2025考研統(tǒng)計學(xué)沖刺模擬卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、單項選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。1.設(shè)隨機事件A與B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A與B獨立（B）A與B不獨立（C）P(A|B)=P(A)（D）P(B|A)=P(B)2.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，則下列說法錯誤的是（）。（A）F(x)是單調(diào)不減函數(shù)（B）F(x)是右連續(xù)的（C）0≤F(x)≤1（D）F(-∞)=1，F(xiàn)(+∞)=0.53.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E[(X+Y)^2]等于（）。（A）2λ（B）2λ^2（C）λ^2+2λ（D）λ^2+λ4.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，X1,X2,...,Xn是來自X的樣本，則統(tǒng)計量(∑_{i=1}^n(X_i-μ))^2/σ^2服從的分布是（）。（A）χ^2(n-1)（B）χ^2(n)（C）N(0,1)（D）t(n-1)5.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^(θ-1),0<x<1,θ>0，其中θ未知。若X1,X2,...,Xn是來自X的樣本，則θ的矩估計量是（）。（A）(2/n)∑_{i=1}^nX_i（B）(n/n-1)∑_{i=1}^nX_i（C）(1/n)∑_{i=1}^nX_i^2（D）(n/(n+1))∑_{i=1}^nX_i^2二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請將答案填在題中橫線上。6.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X～N(1,4)，Y～N(2,9)，則P{X<0|Y=3}=_______。7.設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體N(μ,σ^2)的樣本，樣本均值為√X?，樣本方差為S^2，已知n=16，則P{√X?<μ+0.2S}=_______。8.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x)=1/(β+1)x^(β)，x>0，其中β>0未知。若X1,X2,...,Xn是來自X的樣本，則β的極大似然估計量β?=_______。9.從總體X中抽取樣本X1,X2,X3，構(gòu)造一個關(guān)于μ的無偏估計量W=aX1+bX2+cX3，且a+b+c=1，為使其方差最小，a,b,c應(yīng)取值_______。三、計算題：本大題共4小題，共49分。10.（本小題10分）設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={c(x+1),-1<x<0{c(1-x),0≤x<2{0,其他其中c為常數(shù)。（1）求常數(shù)c的值；（2）求隨機變量X落在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的概率。11.（本小題12分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;θ)={θe^(-θx),x≥0{0,x<0其中θ>0未知。X1,X2,...,Xn是來自X的樣本。（1）求θ的矩估計量；（2）求θ的無偏估計量（要求寫出推導(dǎo)過程）。12.（本小題13分）設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,16)，其中μ未知。從總體中抽取容量為n=9的樣本，得到樣本均值X?=50。現(xiàn)要求在顯著性水平α=0.05下檢驗H0:μ=55vsH1:μ<55。（1）寫出檢驗統(tǒng)計量；（2）寫出拒絕域；（3）若樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=10，做出檢驗結(jié)論。13.（本小題14分）從兩個獨立的正態(tài)總體N(μ1,64)和N(μ2,36)中分別抽取容量為n1=16和n2=9的樣本，樣本均值分別為X?1=80和X?2=75。檢驗假設(shè)H0:μ1=μ2vsH1:μ1>μ2，取顯著性水平α=0.05。（1）寫出檢驗統(tǒng)計量；（2）寫出拒絕域；（3）計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值，并做出檢驗結(jié)論。四、證明題：本大題共1小題，共10分。14.設(shè)X1,X2,...,Xn是來自總體N(μ,σ^2)的樣本，證明樣本方差S^2是總體方差σ^2的無偏估計量。試卷答案一、單項選擇題1.B2.D3.C4.B5.A二、填空題6.1/27.0.84138.(1/(1-∑_{i=1}^nx_i))*ln(1/(1-∑_{i=1}^nx_i))9.a=b=c=1/3三、計算題10.（1）解析：由f(x)是概率密度函數(shù)，得∫_{-1}^2c|x+1|dx=1?！襙{-1}^0c(x+1)dx+∫_{0}^2c(1-x)dx=c[1/2(x^2+x)|_{-1}^0+(x-x^2/2)|_{0}^2]=c[1/2+1+2-2/2]=2c=1，故c=1/2。（2）解析：P(-1<X<1)=∫_{-1}^1f(x)dx=∫_{-1}^0(1/2)(x+1)dx+∫_{0}^1(1/2)(1-x)dx=(1/2)[1/2(x^2+x)|_{-1}^0+(1/2-x^2/2)|_{0}^1]=(1/2)[1/2-0]+(1/2)[1/2-1/2]=1/4。11.（1）解析：E(X)=∫_{0}^∞xθe^(-θx)dx=θ∫_{0}^∞xe^(-θx)dx(令t=θx)=θ[-e^(-θx)/θ|x_{0}^∞]=θ[0-(-1/θ)]=1/θ。令1/θ=X?，則θ?=1/X?。（2）解析：E(X^2)=∫_{0}^∞x^2θe^(-θx)dx=θ∫_{0}^∞x^2e^(-θx)dx(令t=θx)=θ[-x^2e^(-θx)/θ|_{0}^∞+∫_{0}^∞2xe^(-θx)dx/θ]=θ[0+2θ(-e^(-θx)/θ^2|x_{0}^∞)]=2/θ^2。Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=2/θ^2-1/θ^2=1/θ^2。令1/θ^2=S^2，則θ?=1/S=1/√S^2。因為S^2是樣本方差，E(S^2)=σ^2=1/θ^2，所以E(1/√S^2)=E(θ)=1/E(1/√S^2)，即E(θ?)=θ。故1/√S^2是無偏估計量。12.（1）解析：檢驗統(tǒng)計量t=(X?-μ_0)/(S/√n)。（2）解析：拒絕域W={t<-t_{α,n-1}}。查t分布表，t_{0.05,8}≈-1.860。拒絕域為t<-1.860。（3）解析：觀測值t=(50-55)/(10/√9)=-5/(10/3)=-1.5。因為-1.5>-1.860，不落入拒絕域，故不拒絕H0，即沒有充分證據(jù)認(rèn)為μ<55。13.（1）解析：檢驗統(tǒng)計量t=(X?1-X?2)/√[(s1^2/n1)+(s2^2/n2)]。因兩總體方差已知，故用Z統(tǒng)計量：Z=(X?1-X?2)/√(σ1^2/n1+σ2^2/n2)=(80-75)/√(64/16+36/9)=5/√(4+4)=5/4=1.25。（2）解析：拒絕域W={Z>z_{α}}。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，z_{0.05}≈1.645。拒絕域為Z>1.645。（3）解析：觀測值Z=1.25。因為1.25<1.645，不落入拒絕域，故不拒絕H0，即沒有充分證據(jù)認(rèn)為μ1>μ2。四、證明題14.證明：E(S^2)=E[(∑(X_i-X?)^2/(n-1))]=E[(∑X_i^2-nX?^2)/(n-1)]。E(∑X_i^2)=∑E(X_i^2)=n[Var(X_i)+(E(X_i))^2]=n(σ^2+μ^2)。E(∑X_i)=∑E(X_i)=nμ，故E(X?^2)=E[(∑X_i/n)^2]=(1/n^2)E[(∑X_i)^2]=(1/n^2)[E(∑X_i^2)+2E(∑X_iX_j)(i≠j)]=(1/n^2)[n(σ^2+μ^2)+2n(n-1)μ^2/n]=(1/n^2)[nσ^2+nμ^2+2n(n-1)μ