2025考研數(shù)學(xué)《線代》專項(xiàng)訓(xùn)練考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每小題4分，共20分）1.若向量α=(1,k,3)與β=(2,-1,1)正交，則實(shí)數(shù)k的值為________。2.設(shè)矩陣A=[a_{ij}]是一個3階矩陣，且|A|=2，則|3A|=________。3.齊次線性方程組x_1+2x_2-x_3=0的基礎(chǔ)解系為{(1,-1,0),(2,0,1)}，則該方程組的通解為________。4.已知矩陣A=[begin{matrix}1&1\0&1end{matrix}]，則A^10=________。5.設(shè)矩陣A=[begin{matrix}1&2\3&4end{matrix}]，矩陣B=A^*+2E，其中A^*是A的伴隨矩陣，E為2階單位矩陣，則B的特征值為________。二、選擇題（每小題4分，共20分）1.下列向量組中，線性無關(guān)的是（）。(A)(1,0,1),(0,1,0),(1,1,1)(B)(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)(C)(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0)(D)(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)2.設(shè)矩陣A=[begin{matrix}1&2\2&3end{matrix}]，則矩陣A的秩r(A)為（）。(A)0(B)1(C)2(D)33.設(shè)A是n階方陣，且A可逆，則下列結(jié)論中正確的是（）。(A)|A|=0(B)A的列向量組線性相關(guān)(C)A的行向量組線性無關(guān)(D)A的特征值至少有一個為04.設(shè)n階矩陣A和B滿足AB=O，則必有（）。(A)A=O或B=O(B)A+B=O(C)|A|=0或|B|=0(D)|A|+|B|=05.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，且A可逆，則下列結(jié)論中正確的是（）。(A)A的特征值均為實(shí)數(shù)(B)A的特征向量均為實(shí)向量(C)A必可對角化(D)A的特征值均為正數(shù)三、計算題（每小題10分，共40分）1.計算行列式|begin{matrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{matrix}|的值。2.求矩陣A=[begin{matrix}1&2&3\0&1&4\0&0&1end{matrix}]的逆矩陣A^(-1)。3.已知向量組α_1=(1,2,3),α_2=(0,1,1),α_3=(a,b,c)，問a,b,c滿足什么條件時，α_1,α_2,α_3線性相關(guān)？4.求線性方程組begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\2x_1+5x_2-3x_3=4\3x_1+7x_2-4x_3=6end{cases}的通解。四、證明題（每小題10分，共20分）1.證明：若n階矩陣A可逆，則A的伴隨矩陣A^*也可逆，且A^*的逆矩陣為(A^(-1))^*。2.證明：若n階矩陣A滿足A^2=A，則A的特征值只能為0或1。試卷答案一、填空題1.-22.543.x_1=c_1(1,-1,0)+c_2(2,0,1)(c_1,c_2為任意常數(shù))4.[begin{matrix}1&2^{10}\0&1end{matrix}]5.5,5二、選擇題1.(C)2.(C)3.(C)4.(C)5.(A)三、計算題1.解析思路：使用行列式按行（列）展開法則進(jìn)行計算。選擇零元素較多的行或列展開可以簡化計算過程。計算過程：按第一行展開，得：|begin{matrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{matrix}|=1*|begin{matrix}5&6\8&9end{matrix}|-2*|begin{matrix}4&6\7&9end{matrix}|+3*|begin{matrix}4&5\7&8end{matrix}|=1*(5*9-6*8)-2*(4*9-6*7)+3*(4*8-5*7)=1*(-3)-2*(-6)+3*(-3)=-3+12-9=0答案：02.解析思路：對于上三角矩陣，其逆矩陣也是上三角矩陣，且對角線元素為1。使用初等行變換法求解。計算過程：構(gòu)造增廣矩陣[A|E]：[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&1&|&0&0&1end{matrix}]對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為[E|A^(-1)]：R3->R3-4*R2[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&-3&|&0&-4&1end{matrix}]R3->-1/3*R3[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&4&|&0&1&0\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R2->R2-4*R3[begin{matrix}1&2&3&|&1&0&0\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R1->R1-3*R3[begin{matrix}1&2&0&|&1&-4/3&1/3\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]R1->R1-2*R2[begin{matrix}1&0&0&|&1&2/3&-5/3\0&1&0&|&0&-5/3&4/3\0&0&1&|&0&4/3&-1/3end{matrix}]答案：A^(-1)=[begin{matrix}1&2/3&-5/3\0&-5/3&4/3\0&4/3&-1/3end{matrix}]3.解析思路：向量組線性相關(guān)的充要條件是它們構(gòu)成的矩陣的秩小于向量的個數(shù)。計算該矩陣的秩，并與3進(jìn)行比較。計算過程：構(gòu)造矩陣A：A=[begin{matrix}1&0&a\2&1&b\3&1&cend{matrix}]對矩陣A進(jìn)行初等行變換：R2->R2-2*R1[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\3&1&cend{matrix}]R3->R3-3*R1[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&1&c-3aend{matrix}]R3->R3-R2[begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&0&c-3a-(b-2a)end{matrix}][begin{matrix}1&0&a\0&1&b-2a\0&0&c-b-aend{matrix}]當(dāng)c-b-a=0，即a+b-c=0時，矩陣A的秩小于3，向量組線性相關(guān)。答案：a+b-c=04.解析思路：使用增廣矩陣的初等行變換法求解。將增廣矩陣化為行最簡形，根據(jù)行最簡形寫出方程組的通解。計算過程：構(gòu)造增廣矩陣[A|b]：[begin{matrix}1&2&-1&|&1\2&5&-3&|&4\3&7&-4&|&6end{matrix}]對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行最簡形：R2->R2-2*R1[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\3&7&-4&|&6end{matrix}]R3->R3-3*R1[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\0&1&-1&|&3end{matrix}]R3->R3-R2[begin{matrix}1&2&-1&|&1\0&1&-1&|&2\0&0&0&|&1end{matrix}]該行最簡形對應(yīng)的方程組為：begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\x_2-x_3=2\0=1end{cases}由于存在0=1這樣的矛盾，故該線性方程組無解。答案：無解。四、證明題1.解析思路：利用伴隨矩陣的定義和性質(zhì)，以及矩陣可逆的定義進(jìn)行證明。證明：因?yàn)锳可逆，所以|A|≠0。根據(jù)伴隨矩陣的定義，A^*的第i行第j列元素為A的第j行第i列元素的代數(shù)余子式，即A^_(ji)。因?yàn)锳可逆，所以A^(-1)存在，且A^(-1)A=E。根據(jù)矩陣乘法的定義，(A^(-1))^TA^T=E。根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)，AA^*=|A|E。所以A^*=|A|A^(-1)。因?yàn)閨A|≠0且A^(-1)可逆，所以|A^*|=||A|A^(-1)|=|A|^(n-1)|A^(-1)|=|A|^n|A^(-1)|/|A|=|A|^(n-2)≠0。因此，A^*可逆。根據(jù)矩陣可逆的定義，(A^(-1))^*的逆矩陣為((A^(-1))^*)^(-1)=A^(-1)^(-1)=(A^(-1))^T=A。答案：證明完畢。2.解析思路：利用特征值和特征向量的定義