.3.1函數(shù)單調(diào)性題型一用倒數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性1．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在單調(diào)遞增.解法一：構(gòu)造函數(shù)，可證得在單調(diào)遞減，則，進(jìn)而可得答案；解法二：先證明對(duì)數(shù)糖水不等式：，可推出，進(jìn)而可得答案；解法三：利用對(duì)數(shù)換底公式結(jié)合基本不等式可得，，進(jìn)而可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞增.解法一：構(gòu)造函數(shù)，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，則.解法二：對(duì)數(shù)糖水不等式：.先證明糖水不等式：，理由：，故.解法三：，，.故選：C.2．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的有，且在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】令，由題意得為奇函數(shù)，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)得的單調(diào)性，再由，利用的單調(diào)性求解即可.【詳解】令，即，則為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，∵，即，∴，解得．故答案為：.3．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)曲線上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱？若存在，求出此時(shí)a的值：若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）假定曲線存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為曲線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可得解.【詳解】（1），，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）不存在，理由如下.假定曲線上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)其坐標(biāo)分別為，，，則有，即，化簡(jiǎn)得.令，則，由知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，即，這與矛盾，所以曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）4．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的定義域，解不等式，即可得出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，因?yàn)?，由，可得，故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5．設(shè)函數(shù)，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為．【答案】，【分析】先根據(jù)條件確定的值，再根據(jù)求的取值范圍，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所?所以，令，得或.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,．故答案為：,．6．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，判斷并證明與的大小關(guān)系.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)，證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)分析單調(diào)遞區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再通過(guò)做差法即可判斷與的大小關(guān)系.【詳解】（1）由題意：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2），證明如下：由題意，令，則因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞減故則所以，即題型三由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)7．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成或在上恒成立的問(wèn)題，然后分離參數(shù)處理.【詳解】由題知，，而在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則或在時(shí)恒成立，當(dāng)在恒成立時(shí)，，由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上遞增，則，故當(dāng)在恒成立時(shí)，等價(jià)于，即；當(dāng)在恒成立時(shí)，，此時(shí)，即.綜上，.故選：A8．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的極值點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)判斷極值點(diǎn)與區(qū)間關(guān)系可得.【詳解】，令，時(shí)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，所以或，解得或.故答案為：.9．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而用分離參數(shù)法求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）由在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得到有解，用分離參數(shù)法求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1），，∵在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，∵，時(shí)，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，∴，又，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．（2）∵在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴當(dāng)時(shí)，有解，即有解，∵，時(shí)，∴當(dāng)，即時(shí)，取最小值，∴，又，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．題型四由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)10．若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)換成不等式恒成立問(wèn)題，然后換元，數(shù)形結(jié)合即可得出答案.【詳解】由題可知恒成立，，即恒成立，設(shè)，則在恒成立，，則，解得，故選：C.11．已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得在上恒成立，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，分析求解，即可得答案.【詳解】由題意，在上恒成立，因?yàn)樵赗上恒成立，所以只需在上恒成立即可，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：12．已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得到切線斜率，從而得到切線方程；（2）由在區(qū)間上單調(diào)遞增得，分離參數(shù)得，利用基本不等式求得，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，則，所以，所求切線方程為，即.（2），，令，即，，恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型五函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察圖象，可比較出在和處的切線斜率及與兩點(diǎn)連線的斜率大小，即可得解.【詳解】由圖象可得，在處的切線斜率大于在處的切線斜率，而與兩點(diǎn)連線的斜率介于二者之間，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)定義可得.故選：D.14．已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集．【答案】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象確定單調(diào)性，求出為正為負(fù)的范圍，再分段求解不等式.【詳解】由函數(shù)的圖象，得當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，不等式化為或，解，無(wú)解；解，得，所以不等式的解集.故答案為：15．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：有且僅有個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）、求出，將代入即可求出切線斜率，再確定切點(diǎn)，然后利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（2）、先求出，令，確定的單調(diào)性和正負(fù)，確定的單調(diào)性及正負(fù)，從而得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），，，又，在點(diǎn)處的切線斜率為.曲線在點(diǎn)處的切線有程為.（2），，令，，①、當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，又，時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，是在上的唯一零點(diǎn)；②、當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，又，，在上有唯一零點(diǎn)，其中，當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞減;而，，使，當(dāng)時(shí)，,，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，,，在上單調(diào)遞減;而，，時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)；③、當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減;又，時(shí)，在上單調(diào)遞減;而，在上有一個(gè)零點(diǎn)；④、當(dāng)時(shí)，，，，在上無(wú)零點(diǎn)；綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn).題型六利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（含參）的單調(diào)區(qū)間16．若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通過(guò)求導(dǎo)，再依據(jù)和分類討論求其單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】，則，，當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，不滿足題意，舍；當(dāng)，即或時(shí)，的兩根為，且，則得或；得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，滿足題意，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.17．已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為．【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為【分析】求導(dǎo)，按，，討論即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，①，若，；若，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．②，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增．③，若，；若，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為18．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，定義集合.(1)若函數(shù)，求集合；(2)若，判斷下列命題是否正確并說(shuō)明理由：①存在函數(shù)為偶函數(shù)；②存在函數(shù)在處取最大值；(3)已知函數(shù)滿足，求的范圍.【答案】(1)(2)①錯(cuò)誤；②正確；理由見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解即可；（2）對(duì)于①：根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性分析判斷即可；對(duì)于②：舉例說(shuō)明即可；（3）求導(dǎo)，分、和三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性分析求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，對(duì)任意實(shí)數(shù)，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，即對(duì)，均有，所以集合.（2）對(duì)于①：若存在是偶函數(shù)，取，由集合的定義可知對(duì)于任意，均有，這與矛盾，所以不存在函數(shù)為偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：構(gòu)造函數(shù)，其圖象如圖所示：

由圖象可知：滿足題意，且此時(shí)在處取最大值，