2專題總結(jié)篇2.1數(shù)量積的進(jìn)階數(shù)量積的平方差公式數(shù)量積的平方差公式（其中的“”不能省略）．注該公式和極化恒等式，即（參見后面專題）實(shí)際上一系的，剛好相反；對應(yīng)的幾何意義可參見下面的例題．例(2007天津文)在△ABC中，，，D是邊BC的中點(diǎn)，則．答案．解．例(1)如圖，O、A、B是平面上的三點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的垂直平分線CP上任意一點(diǎn)，已知向量，，則．(2)如圖，四棱錐O－ABCD中，AC垂直平分BD，，，則的值是．答案(1)6；(2)3；解(1)注意到P是任意一點(diǎn)，因此，可以直接令P與C重合，即可得到答案；正常解法如下：．(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為M，AC與BD相交于點(diǎn)N，則 ．例設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，若，則△ABC是()．

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形答案選B．解即．向量形式的余弦定理向量形式的余弦定理，使用該定理時(shí)，要有共起點(diǎn)的意識(shí)；該公式在后面的凸四邊形專題中也會(huì)用到．例(1)(2012湖南理)在△ABC中，，，，則()．A． B． C． D．(2)在△ABC中，，則．答案(1)選A；(2)．解(1)．例已知正五邊形ABCDE，，則．答案2．法一如圖，，即．法二由于△ACE為等腰三角形，因此，利用投影得：．例如圖，已知AC與BD交于點(diǎn)E，AB∥CD，，，則當(dāng)時(shí)，的值是．答案12．解．?dāng)?shù)量積的三元完全平方式數(shù)量積的三元完全平方式

①；②特殊地，若，即、、組成一個(gè)閉合回路，則有；③，其中，，．例(2004浙江文理)已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足，，，則的值等于．答案．例已知向量、、滿足，則的最大值是，最小值是．答案．解，易驗(yàn)證是成立的（直接計(jì)算或者以、、為三邊能構(gòu)成三角形），故，即．例已知向量、、滿足，，則的最小值是．答案．法一數(shù)形結(jié)合法如圖，設(shè)、、，則，其中M為AB的中點(diǎn)．又在△AOB中，有，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)、且O、M、C三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)．法二萬能坐標(biāo)法設(shè)，，，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取得等號(hào)．注顯然，對于雙參數(shù)的三角函數(shù)最值問題不太好處理，需要對三角函數(shù)的公式變形（包括和差化積、和差化積公式）非常熟悉．法三調(diào)整放縮法記，，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取得等號(hào)．法四利用代數(shù)恒等式： ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．?dāng)?shù)量積的共起點(diǎn)意識(shí)(投影)例如圖是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”．若A、B、C、D四點(diǎn)均位于圖中的“晶格點(diǎn)”處，且A、B的位置所圖所示，則的最大值為________．答案24．解為了便于分析在上的投影，最好讓兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，此外，如果起點(diǎn)的位置不便于分析投影的變化規(guī)律，果斷考慮平移．因此，如圖建系，首先平移到，此時(shí)結(jié)合圖形，易知當(dāng)為時(shí)，投影最大，即的最大值為．綜合應(yīng)用數(shù)量積的處理方法很多的，此處不過例在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，，，則．【】例已知AB為圓的直徑，點(diǎn)C、D為圓上兩點(diǎn)（在AB兩側(cè)），且，，，則的值為．答案．解，又（托勒密定理），解得例(1)

如圖，點(diǎn)A、B、C是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓O上任意三點(diǎn)，則的取值范圍是．(2)

如圖，C、D在半徑為1的⊙O上，線段AB是⊙O的直徑，則的取值范圍是．答案(1)

；(2)．分析從填空題的角度，這兩個(gè)小題，得到答案是不難的！對于(1)，的最大值顯然是，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)A、B的位置必定關(guān)于點(diǎn)C是對稱的，此時(shí)，再借助極化恒等式，易得最小值為．對于(2)，的最小值顯然是，當(dāng)取得最大值時(shí)，C、D的位置必定是對稱的，因此，猜測C、D必定是弧AB的三等分點(diǎn)，此時(shí)．解(1)

易知當(dāng)AC、BC均為直徑時(shí)，取得最大值為4；下面從多個(gè)不同的角度，去求的最小值．法一極化角度，固定一點(diǎn)C欲求的最小值，不妨先固定C，則必有，此時(shí)，圓心O在△ABC的外部，如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．注也可以固定點(diǎn)A、B，分析點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)，方法大同小異，具體過程此處略．法二投影角度，固定兩點(diǎn)A、C固定AC，設(shè)點(diǎn)B在AC上的投影為D，移動(dòng)點(diǎn)B，易知當(dāng)AC的垂線與圓相切于點(diǎn)B時(shí)，如圖，取得最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．法三利用公式：，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．(2)

先平移向量，共起點(diǎn)，延長DO交圓O于點(diǎn)E，則，此時(shí)，就和題(1)一模一樣了；當(dāng)然了，此題還有其他許多種方法，不過，此處暫時(shí)不作一題多解的探討了．例在直徑AB為2的圓上有長度為1的動(dòng)弦CD，則的取值范圍是．答案．法一注意到△OCD是正三角形（以AB為直徑的圓設(shè)為圓O），將向圓心O拆分： ，易知，故．法二，易知，故．2.2數(shù)量積投影模型2.2.1直角三角形投影模型如圖，在中，設(shè)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，則．例(1)(2015湖北文理)已知向量，，則．.(2)(2015山東理)已知菱形ABCD的邊長為a，，則()．A． B． C． D．(3)(2007山東理)在直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，則下列等式不成立的是()．A． B． C． D．(4)已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，AD是圓的直徑，若滿足，則．答案(1)

9；(2)選D；(3)選C；(4)2．解(1)；(2)設(shè)對角線交點(diǎn)為O，則．(4)，故，即BC是直徑，．例(1)(2010天津文理)如圖，在△ABC中，，，，則．(2)如圖，在四邊形ABCD中，，，若，，則等于()．A． B． C． D．答案(1)

；(2)

選A．解(1)

．(2)

．例(1)(2012湖南文)如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且，則．(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB的中點(diǎn)為M，過A作DM的垂線，垂足為H，若，則________．答案(1)

18；(2)27．解(1)；(2)

．例(1)(2014上海文壓軸)如圖，四個(gè)邊長為1的正方形排成一個(gè)大正方形，AB是在正方形的一條邊，是小正方形的其余各個(gè)頂點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為()．A．7 B．5 C．3 D．1(2)(2014上海理)如圖，四個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為()．A．1 B．2 C．4 D．8答案(1)

選C；(2)選A．解(1)

①對于、，值為0；②對于、、，值為2；③對于、，值為4．(2)由于AB與上底面垂直，故，利用投影，顯然．例如圖，在平行四邊形ABCD中，BH⊥CD，垂足為H，BH交AC于點(diǎn)E，若，，則．解注意到等式中的“”，比較孤立，因此，嘗試?yán)猛队澳Ｐ吞鎿Q掉，即，故 ，解得，所以．例在Rt△ABC中，斜邊AB長為1，E為AB的中點(diǎn)，CD⊥AB，則的最大值為．答案．解設(shè)，，則，，則，，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．例如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，其中，過點(diǎn)A向點(diǎn)C處的切線作垂線，垂足為P，則的最大值是()．A．2 B．1 C．0 D．答案選B．法一，由于，根據(jù)最大張角對應(yīng)的軌跡，顯然；法二過點(diǎn)A作PC的平行線交OC于點(diǎn)D，則．例如圖，半徑為1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一點(diǎn)，且滿足OP⊥OB，M、N分別是線段OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為()．A． B． C．1 D．答案選C．解，當(dāng)且僅當(dāng)M與O重合時(shí)取得等號(hào)．例如圖同心圓中，大、小圓的半徑分別為2和1，點(diǎn)P在大圓上，PA與小圓相切于點(diǎn)A，Q為小圓上的點(diǎn)，則的取值范圍是．答案．解設(shè)圓心為O，OA⊥PA，，故 ．2.2.2三角形外心投影模型如圖，O為△ABC的外心，D是AB的中點(diǎn)，則；顯然，此模型實(shí)質(zhì)上也是直角三角形投影模型！例(1)

已知△ABC的外心為O，，，則．(2)

設(shè)點(diǎn)O是△ABC的外心，，，，則的取值范圍是．(3)

已知O為△ABC的外接圓的圓心，D為BC的中點(diǎn)，若，，則．答案(1)

；(2)

；(3)

．解(1)

．(2)

由于，即，故 ．(3)

，即．例如圖，已知點(diǎn)O是平面四邊形ABCD的外接圓的圓心，，，，則．答案．解利用投影可知：，又，利用余弦定理易求得，故．例(1)在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，，，若△ABC的外心O恰在線段BD上，則．(2)已知在△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，，，若△ABC的外心恰在線段BD上，則．答案(1)；(2)．解(1)法一注意到B、O、D三點(diǎn)共線，故可設(shè) ，又△ABC是等腰三角形，故，即，即…，再利用投影，即對式兩邊同時(shí)乘以（向量與外心合作的老套路——點(diǎn)積轉(zhuǎn)邊長）： ，即，解得，因此，由余弦定理得，即．法二在△ABD中，利用角平分線定理得：，即，即，進(jìn)而，后續(xù)同上．法三如圖所示，連接OC，并延長AO交BC于點(diǎn)M，則．對△ACM和截線BOD利用梅氏定理：，即，即．(2)法一（外心點(diǎn)乘投影）設(shè)，則 ，即，解得，，即．法二（奔馳定理）首先，，又，故，又B、O、D共線，故，即 ，即，解得或（舍去）．法三（等腰三角形的性質(zhì)）設(shè)外接圓的半徑為R，，則…①；設(shè)O到AC的距離為h，則，即…②；由①②解得，，故，又，即，解得．例(2009全國聯(lián)賽湖北預(yù)賽改編)已知O是△ABC的外心，，，若，且，則．答案或．法一（點(diǎn)乘大法）對兩邊分別點(diǎn)乘、得： …①，…②又…③，由②－③得：；當(dāng)時(shí)，易得，；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，；綜上所述，或．?dāng)?shù)據(jù)特殊？法二（構(gòu)造等和線）當(dāng)時(shí)，，即，故B為直角，；當(dāng)時(shí)，如圖，延長AB至D，使得，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，則 ，即O、D、E三點(diǎn)共線，又O為外心，故DE⊥AC，．法三利用奔馳定理：，故 ，即，例已知△ABC的外接圓的圓心為O，滿足：，，且，，則．答案36．法一，即，即，其中R為△ABC的外接圓的半徑；由于，故CA為直徑，即（或者利用正弦定理），所以．法二，所以，又，所以法三，取的中點(diǎn)，取的三等分點(diǎn)，則，又，所以三點(diǎn)共線所以，所以例已知△ABC中，，點(diǎn)O為三角形外接圓的圓心，若，且，則△ABC面積的最大值為．解取中點(diǎn)為，則又，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉橄倚木啵怨?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)例已知點(diǎn)O是△ABC的外心，，若，，，則．答案9．解設(shè)M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，則，故O、M、N三點(diǎn)共線，此時(shí)，結(jié)合圖形可知：必有O與N重合，即△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，故．例已知O為△ABC的外心，，，若，且，則()．A． B． C． D．答案選D．解，即△ABC的外接圓半徑；又，即，注意到，故不是最大角，即．例已知O為銳角△ABC的外心，，，若，且，記，，，則()．A． B． C． D．答案選D．解設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，則 ，，，對兩邊點(diǎn)乘得：，即；根據(jù)正弦定理：，即，，進(jìn)而可得，比較易得，即，因此，．2.3數(shù)量積vs面積在△ABC中，給出等價(jià)于已知△ABM的面積為．例(1)(2014山東理)在△ABC中，已知，當(dāng)時(shí)，△ABC的面積為_______.(2)已知△ABC的面積S滿足且，則角A的取值范圍是．答案(1)

；(2)．解(1)．(2)由于，易得，又，故．2.4三角形和四邊形的坐標(biāo)面積公式三角形(1)

在△ABC中，已知，，則△ABC的坐標(biāo)面積公式為 ．(2)

在△ABC中，已知，，，則△ABC的坐標(biāo)面積公式為 ，顯然，當(dāng)A、B、C中的一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，就可以推得(1)，此公式實(shí)際用的不多，了解即可．四邊形在四邊形ABCD中，AC和BD是對角線，且，，則四邊形的面積為 ，其中為AC與BD的夾角．注(1)

對于公式的記憶，利用行列式的對角線法則進(jìn)行記憶，即、．(2)

該公式的背景實(shí)際上是向量的矢積的幾何意義，一般也稱作向量的叉乘．當(dāng)A、B、C三點(diǎn)是逆時(shí)針排列時(shí)，可以去掉絕對值符號(hào)，即，因?yàn)楦鶕?jù)向量叉乘的右手定則，S的取值朝向?yàn)閦軸的正方向．(3)

三角形的坐標(biāo)面積公式，可以和向量平行的判定公式類比：若向量和平行，則，也就相當(dāng)于此時(shí)．同時(shí)，坐標(biāo)面積公式，恰好就是二維柯西不等式的差．(4)

在正規(guī)考試的大題中，最好不要直接使用，上面也已經(jīng)給出了證明套路．例(1)(2010遼寧文理)平面上O、A、B三點(diǎn)不共線，設(shè)，，則△OAB的面積等于()．A． B． C． D．(2)(2005江西文理)在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，則△OAB的面積達(dá)到最大值時(shí)，()．A． B． C． D．答案(1)選C；(2)選D．例(2013福建文理)在四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為()．A． B． C．5 D．10答案選C．解利用公式，顯然選C；當(dāng)然了，此題數(shù)據(jù)特殊，AC⊥BD，故．例(2011北京文壓軸)已知點(diǎn)，，若點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為()．A．4 B．3 C．2 D．1答案選？．解例已知平面向量、、滿足，，，，則的最大值為()．A． B． C． D．答案選D．解如圖，設(shè)，，，由可得，所以，又 ，設(shè)h為△OBC的BC邊上的高，利用等面積，易得，因此，欲使得的面積最大，只須其BC邊上的高最大即可，由于點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，故高最大為，此時(shí)，．例設(shè)、、是平面曲線上任意三點(diǎn)，則的最大值為．答案20．解曲線是過原點(diǎn)O的圓，設(shè)、、，且O、A、B、C四點(diǎn)依次逆時(shí)針排列，則 ，其中為OB、AC的夾角．例設(shè)且，記，則的最小值為()．A．1 B． C．2 D．答案選B．解設(shè)，，，，則 ，故，因此， ，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取得等號(hào)．2.6基底策略對于不含直角的幾何圖形，比如非直角三角形、平行四邊形、菱形、非直角梯形，在沒有明顯的解題思路時(shí)，一般都可以優(yōu)先嘗試?yán)没追ǖ牟呗赃M(jìn)行求解．當(dāng)然，這也并不絕對，對于含有直角的幾何圖形，在建系不好處理的情況下，也可以利用基底法進(jìn)行處理．例(1)(2007天津理)如圖，在△ABC中，，，，D是邊BC上一點(diǎn)，，則．(2)(2017天津文理)在△ABC中，，，．若，，且，則的值為_______．(3)已知AD、BE分別是△ABC的中線，若，且，則與的夾角為．答案(1)

；(2)

；(3)

．解(1)

以、為基底即可，．(3)設(shè)△ABC的重心為G，以和為基底，則，，代入，可得．例(1)(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，，，，則．(2)(2013天津文理)在平行四邊形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)．若，則AB的長為________．(3)(2012上海理)在平行四邊形ABCD中，，邊AB、AD的長分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是__________．答案(1)

22；(2)

；(3)．解(1)

依題意，只須以、為基底即可，則，，代入．(2)

如圖，以、為基底，則．(3)

如圖，以、為基底，則，，；令，則，，，故 ．例(1)(2014天津文)已知菱形ABCD的邊長為2，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，，．若，則的值為．(2)(2014天津理壓軸)已知菱形ABCD的邊長為2，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，，．若，，則()．A． B． C． D．答案(1)

2；(2)

選C．解(1)以、為基底，則，，解得．(2)

不妨以、為基底，則；故 ，即，相加可得：．例如圖，在邊長為的菱形ABCD中，，，F(xiàn)為線段BC的中點(diǎn)，G為EF上一點(diǎn)，，則()．A． B． C． D．答案選A．解由于E、F、G三點(diǎn)共線，故只須將以、為基底表示出來即可，但是，直接表示不易，故選取、為中轉(zhuǎn)基底．，易得，解得，故 ，解得，故，平方取模得．例(2015天津理壓軸)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為．答案．解依題意，選擇、為基底即可，易得；，，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．例(1)

如圖，在四邊形ABCD中，，，，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，，則．(2)

在四邊形ABCD中，，AC與BD交于O點(diǎn)，若，，，則．答案(1)

；(2)

．解(1)

依題意，以與為基底，由可知：，故，則 ，解得，故．(2)

以、為基底即可，．例如圖，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在腰BC上，且，若，且，則．答案2．解以、為基底，則 ，故、，又，易解得．例(2012天津文)在△ABC中，，，，設(shè)點(diǎn)P、Q滿足，，，，若，則()．A． B． C． D．2答案選B．解以、為基底，則 ．例在△ABC中，已知，，，若點(diǎn)P滿足，且，則實(shí)數(shù)的值為．答案或1．解易知△ABC為直角三角形，如果采用建系的策略，雖說行得通，但是坐標(biāo)的處理比較繁瑣；注意到，因此，可以利用基底的思想，將含有點(diǎn)P的向量替換掉即可，故 ，即，解得或．2.7基建系策略(萬能坐標(biāo)法)對于含有直角的幾何圖形，比如直角三角形、直角梯形、矩形或正方形、等腰或等邊三角形，一般都可以嘗試?yán)媒ㄏ挡呗裕O(shè)點(diǎn)的技巧，單位向量和解三角形有關(guān)的問題，建系坐標(biāo)化也是很常見且很重要的一種解題策略．含直角的幾何圖形例(2018上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．答案．解不妨設(shè)，，則．例(1)(2012江蘇)如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是__________．(2)(2015福建理)已知，，，若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于()．A．13 B．15 C．19 D．21(3)(2011天津文理壓軸)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________．答案(1)；(2)選A；(3)5．解(1)以A為原點(diǎn)建系，，，設(shè)，則，即，故．(2)以A為原點(diǎn)建系，，，則，即，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．(3)如圖，以D為原點(diǎn)建系，設(shè)，則，，，故 ．例(2012天津理)已知△ABC為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)P、Q滿足，，，，若，則()．A． B． C． D．答案選A．法一（建系法）令，，，則，，故 ，整理得：，即．法二（基底法）．例(1)平面上的兩個(gè)向量、滿足，，且，，若向量，且，則的最大值是．(2)已知平面上的兩個(gè)向量和滿足，，，，若向量，且，則的最大值是()．A． B． C． D．答案(1)2；(2)選B．解(1)不妨令O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，，則，又，即，其中M為AB的中點(diǎn)，即C在以M為圓心，1為半徑的圓上，故．(2)不妨設(shè)，，則；將變形為：，即點(diǎn)在橢圓上；由于，其中，故．例如圖，圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，已知，，C是直角，過圓心的直線l交圓O于P、Q兩點(diǎn)，則的取值范圍為．答案．法一易知P、Q在半徑為的內(nèi)切圓運(yùn)動(dòng)，且P、Q關(guān)于圓心O對稱；如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以過平行BC、AC的直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，并且設(shè)，，則 ．法二，其中的，H為BC與圓O的切點(diǎn)．法三．例已知腰長為2的等腰直角△ABC中，M為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為該平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是．答案．解以C為原點(diǎn)建系，，，，設(shè)，則，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，其中．當(dāng)然，也可以不建系，利用極化恒等式＋中線定理即可，具體過程此處略．例如圖，已知B、D是直角C的兩邊上的動(dòng)點(diǎn)，AD⊥BD，，，，，則的最大值為．答案；建系或者極化皆可．例已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊的邊長分別為3、4、5，且．若點(diǎn)P在△ABC的邊上，則的取值范圍為．答案．解如圖，以C為原點(diǎn)建系，，，易得（實(shí)際上O是△ABC的內(nèi)心）；結(jié)合投影可知，只須考慮點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)即可，故．例已知向量、滿足，．若，則與夾角的余弦值的最小值等于．答案．法一（萬能坐標(biāo)系）設(shè)，，則，，設(shè)與的夾角為，則 ，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．法二（幾何法＋夾角公式）如圖，設(shè)，，則，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，進(jìn)而．注從法二可以看出，“”這一條件實(shí)際上是打醬油的；對于法一，只須將分母中的“”換為“”，故（下面配湊的系數(shù)可以簡單待定得到） ．例設(shè)平面向量、滿足，，，點(diǎn)P滿足 ，其中，，則點(diǎn)P所表示的軌跡長度為()．A． B． C． D．答案選D．解設(shè)，，故，即點(diǎn)P在圓(，)上，故點(diǎn)P所表示的軌跡長度為．例記，已知向量，，滿足，，，(，且)，則當(dāng)取最小值時(shí)，()．A． B． C．1 D．答案選A．法一不妨設(shè)，，計(jì)算易得 ，作出其圖像，易得當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故．注實(shí)際上，對于選擇題，只須得到，對于此類一元雙重最值問題，即，只須令即可．法二，欲求該式的最小值，設(shè)點(diǎn)的技巧例已知、、均為單位向量，且滿足，則的最大值是()．A． B． C． D．答案選C．解設(shè)，，，則 ．例已知是單位向量，，，則的取值范圍是．答案．解設(shè)，則，故．例在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)C滿足，則的最大值是()．A．9 B．8 C．4 D．3答案選D．解由于，故設(shè)，故．例(2018浙江)已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是()．A． B． C．2 D．答案選A．解不妨設(shè)，，，由得：，故．例已知平面向量、的夾角余弦值為，，，若平面向量滿足，則．答案．法一設(shè)，則，即，解得，故．法二設(shè)，，，代入，解得．例已知平面向量、滿足，，．已知，，，，若有且只有一個(gè)，滿足，則x的值為．答案．解不妨令，，則，故，依題意，只須即可，故．例(1)已知，向量滿足，當(dāng)、的夾角最大時(shí)，．(2)

設(shè)向量、，且，，則的最大值是；最小值是．答案(1)

；(2)

9；1．解(1)

設(shè)，，由得：，則，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，、的夾角取得最大值為，此時(shí)．(2)

法一（萬能坐標(biāo)法）設(shè)，，由得：，故．法二（平方取模法）設(shè)向量、的夾角為，則由得：，解得．法三（幾何法）以，為鄰邊構(gòu)造平行四邊形OACB，則，即，設(shè)，，利用△OAP的邊長關(guān)系，解得；又，即，即．例(1)

已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．(2)

已知平面向量、、滿足，，則的取值范圍()．A． B． C． D．(3)

已知平面向量、、滿足：，，則的最小值為．答案(1)

2；(2)

選D；(3)

2．解(1)設(shè)，，，由得：，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．(2)

設(shè)，，，由得：，故；從上述解答來看，實(shí)際上是打醬油的，可以略去此條件．(3)

法一設(shè)，，，由得：；又，即，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取得等號(hào)．法二設(shè)與的夾角為，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)．例(2016浙江文壓軸)已知向量、，，，．若為平面單位向量，則的最大值是．答案．法一（萬能坐標(biāo)法）不妨設(shè)，，，則 ，假設(shè)在第一象限，顯然等號(hào)是能取到的．注實(shí)際上，利用法一，我們也可以得到的最小值，令 ，易知的周期為，不妨取，則，計(jì)算易得，相應(yīng)的圖象如圖所示．法二當(dāng)與同號(hào)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取得等號(hào)，對應(yīng)的幾何意義如左圖；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取得等號(hào)，對應(yīng)的幾何意義如右圖；綜上所述，的最大值是．法三（絕對值恒等式），當(dāng)且僅當(dāng)與共線時(shí)取得等號(hào)．例(2016浙江理壓軸)已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值是．答案．解等價(jià)于求的最大值，求解方法和文科的實(shí)質(zhì)一樣．法一（萬能坐標(biāo)法）不妨設(shè)，，，則，又 ，解得（假設(shè)、在第一象限，顯然等號(hào)是能取到的），故．法二（絕對值恒等式），解得．典型錯(cuò)解，解得；雖然最后得到的答案是對的，但是在邏輯上是錯(cuò)誤的．例已知向量、滿足，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．答案或；解設(shè)，，由得：；若恒成立，則等價(jià)于恒成立，結(jié)合圖象，只須兩圓外切或者外離即可，故圓心距．注此題的背景是阿波羅尼斯圓．例(1)已知、滿足，，且，則的最小值為()．A． B． C． D．(2)已知平面向量、、滿足：，，，與的夾角為，，則的取值范圍是．答案(1)

選A；(2)

．解(1)

法一（萬能坐標(biāo)法）不妨設(shè)，，則，如圖，作出相應(yīng)的可行域，故．法二（由所求到已知）只須設(shè)法將“”中的或用含有“、”的式子表示出來即可（由于，避免多次放縮），故只能令，即 ，當(dāng)且僅當(dāng)與同向，即，即時(shí)取得等號(hào)．法三（由已知到所求）由于，故．注(1)

無論是使用何種不等式（三角、均值、柯西、…），都一定要養(yǎng)成驗(yàn)證等號(hào)的習(xí)慣??！(2)

對于此題的幾何法，實(shí)質(zhì)就是法一，只是變相利用解析的形式來呈現(xiàn)而已，最終的幾何分析圖都是一樣的．例已知互相垂直的兩個(gè)向量、滿足，其中是方向上的單位向量，則的取值范圍是．答案．解不妨設(shè)，，則，，故 ．例已知單位向量、的夾角是，，向量滿足，則的取值范圍是．答案．法一（萬能坐標(biāo)法）以O(shè)為原點(diǎn)，設(shè)，，則．設(shè)，由得：，即點(diǎn)D在以為圓心