數(shù)海之旅公眾號(hào)數(shù)海之旅公眾號(hào)TOC\o"1-5"\h\z\u阿波羅尼斯圓 1立體幾何 12阿波羅尼斯圓的拓展 145圓的反演和阿波羅尼斯圓 16圓的反演初步 16圓的軌跡薈萃 23定長(zhǎng)對(duì)定角，軌跡為圓弧 23線段的分點(diǎn)——構(gòu)造分點(diǎn)位似圓 35圓的弦中點(diǎn)軌跡 40隱藏的圓 41旋轉(zhuǎn)的圓 4410綜合練習(xí) 507阿波羅尼斯圓7.1平面阿波羅尼斯圓引例已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比為，那么點(diǎn)P的軌跡是什么？證明不妨設(shè)、，，由得：，即 ，①當(dāng)時(shí)，即為，整理得：，即點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)P的軌跡為y軸．定理一般地，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段AB的中垂線．起名背景阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一．注在研究完橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，對(duì)于，，我們可以清楚地了解點(diǎn)P的軌跡；類(lèi)似地，如果改成：或，點(diǎn)P的軌跡方程又當(dāng)如何？顯然，本專題就是對(duì)進(jìn)行的探究，對(duì)于的探究，可參見(jiàn)后續(xù)圓錐曲線之卡西尼卵形線專題．調(diào)和點(diǎn)列vs阿波羅尼斯圓如圖，①A、C、B、D為調(diào)和點(diǎn)列；②PC、PD分別為∠APB的內(nèi)、外角平分線；③PC⊥PD；以上三個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)都可以推得第三個(gè)！設(shè)阿波羅尼斯圓的圓心為O，半徑，則有， 即，即，即，即（反演）．同時(shí)，，即．已知兩個(gè)定點(diǎn)及定比，求阿波羅尼斯圓半徑公式已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比為，則已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B，及定比，則．【最好熟記！】注菠蘿圓的常用公式，，菠蘿圓的半徑為：很常用，形式也很簡(jiǎn)單，最好熟記?。A心坐標(biāo)利用定比分點(diǎn)求內(nèi)外分點(diǎn)的坐標(biāo)，即，D包括，由于內(nèi)外分點(diǎn)也是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，故圓心坐標(biāo)和半徑可以一起確定．已知一個(gè)定點(diǎn)和阿波羅尼斯圓，求另一個(gè)定點(diǎn)和定比如圖，已知其中一個(gè)定點(diǎn)A，以及動(dòng)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的阿波羅尼斯圓，如何快速確定另一個(gè)定點(diǎn)B和定比的位置？注圓心O在線段的延長(zhǎng)線上??！有些粗心的同學(xué)在數(shù)形結(jié)合畫(huà)草圖的時(shí)候，肯定會(huì)犯模糊？例已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)、的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．法一直譯法設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)整理可得：．法二利用定比分點(diǎn)，確定內(nèi)外分點(diǎn)法設(shè)D為分點(diǎn)，則，可得：，，由于內(nèi)外分點(diǎn)也是圓直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，易得圓心坐標(biāo)為，半徑為2．法三設(shè)圓心為C，半徑為r，則，又，即，由定比可知圓心C在定點(diǎn)A的左側(cè)，故．例(1)(2006四川文理)已知兩定點(diǎn)，，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()．A． B．4 C．8 D．9(2)在平面直角坐標(biāo)系中，圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊，若直線上存在點(diǎn)P，使得，則m的取值范圍為．解(1)選B；；(2)．例(1)(2008江蘇)滿足條件，的的面積的最大值是______．(2)

已知等腰三角形腰上的中線長(zhǎng)為，則該三角形面積的最大值是______．解(1)法一易知C的軌跡為圓O，且半徑，分析易得：當(dāng)且僅當(dāng)CO⊥AB時(shí)，面積取最大，即為．法二作高法；作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)，，則，由可得： ，即，故，易知面積最大為．(2)法一如圖所示，，中線，，又，A的軌跡是以B、D為定點(diǎn)的菠蘿圓，其半徑，故△ABC最大值為．法二借助重心的性質(zhì)：如圖所示，設(shè)重心為G，則，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．例(2014湖北文壓軸)已知圓和點(diǎn)，若定點(diǎn)和常數(shù)滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有，則(1)

；(2)

．解此題的背景是阿波羅尼斯圓，熟悉背景的話，此題可以直接口算，是送分題！由于，故，結(jié)合圖形可知，即，即．例在平面坐標(biāo)系xOy中，已知圓，兩個(gè)定點(diǎn)和，且P為圓上任意一點(diǎn)，若為定值k，則，．解結(jié)合草圖必有且，由，即，．例(2015湖北理壓軸)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A、B（B在A的上方），且．(1)

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)

過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓相交于M、N兩點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）解(1)

；(2)

顯然圓O是以A、B為定點(diǎn)的阿波羅尼斯圓，易得，，阿波羅尼斯圓的半徑，故，，因此，①②③都正確．例(1)

已知點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是_______．(2)

已知P在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是_______．解

(1)

有圓O和一個(gè)定點(diǎn)（A或B），由于，故不妨取A為定點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)為，定比為（結(jié)合圖形，必有），則，則．因此，，又，故．(2)

和上題分析類(lèi)似，，．例(1)

已知A、B分別為x、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，M為AB的中點(diǎn)，，，則的最小值為．(2)

設(shè)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則的最小值為．(3)

如圖所示，直角扇形AOB的半徑為6，C、D分別為OA、OB上的點(diǎn)，其中，，點(diǎn)P為弧AB上任意一點(diǎn)，則的最小值為．解

(1)

易知M的軌跡方程為：，即；根據(jù)“”可以確定菠蘿圓的定比必為2或，又，，顯然菠蘿圓的一個(gè)定點(diǎn)必定可以是P，設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)為，利用，即；結(jié)合圖形可知，故．(2)

根據(jù)“”可以確定菠蘿圓的定比必為2或，又，，，顯然菠蘿圓的一個(gè)定點(diǎn)必定可以是原點(diǎn)O，設(shè)另一個(gè)定點(diǎn)為，利用，點(diǎn)P在直線上，易得，結(jié)合圖形可知，故．(3)

13；方法類(lèi)似，具體過(guò)程略．以角平分線為隱藏的菠蘿圓例(1)(2016臺(tái)州一模)已知C是線段AB上的一點(diǎn)，，，則的最小值范圍為．(2)(2016杭州一模)已知是非零不共線的向量，設(shè)，定義點(diǎn)集，當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)c的最小值為．解(1)；，故點(diǎn)M軌跡是以A、B為定點(diǎn)的菠蘿圓．設(shè)AB的中點(diǎn)為D，利用極化恒等式： ．(2)；，，故點(diǎn)K的軌跡為圓，又不等式恒成立，故，顯然，當(dāng)為圓的直徑時(shí)取得最大值，故，即．例在△ABC中，，，若恰好當(dāng)時(shí)，△ABC面積最大，則．答案；如圖所示，點(diǎn)B的軌跡為菠蘿圓O，因此，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，，由于，故，又，則 ．例P、Q是兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且(且)，點(diǎn)M的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為S，設(shè)，則以下判斷正確的是()．A．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)B．在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù) C．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) D．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)解設(shè)，則，故，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，顯然選A．例已知點(diǎn)，，，點(diǎn)D是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是___________．解對(duì)直譯可得點(diǎn)D的軌跡是：，依題意，只須直線與圓相切或相離即可，即，解得或．例過(guò)△ABC的重心G作直線MN分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N，若，，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，四邊形MNCB面積的最大值為()．A． B． C． D．解選D；由“，”可知點(diǎn)C的軌跡為圓，且半徑．當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，則此時(shí)的點(diǎn)C到AB的距離為半徑r，此時(shí)．欲使得四邊形MNCB面積最大，則等價(jià)于△AMN的面積最小，直線MN過(guò)△ABC的重心G，設(shè)，，其中，則，M、N、G三點(diǎn)共線可得：，由于，故，，因此，四邊形MNCB面積的最大值為，此時(shí)的直線MN恰好和直線BC平行．例已知△ABC的面積為1，∠A的平分線交對(duì)邊BC于D，，且，，則當(dāng)時(shí)，邊BC的長(zhǎng)度最短．解；由可知：點(diǎn)A的軌跡為阿氏圓，設(shè)其半徑為R，則，故，，如圖所示，作出相應(yīng)的幾何圖形．由于△ABC的面積為定值，欲使得邊BC的長(zhǎng)度最短，則BC邊上的高必須最大，即為半徑R，即在阿氏圓與y軸的交點(diǎn)處，此時(shí)，．例在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且，，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．法一根據(jù)題意有，即，兩邊平方整理得：，其中為和的夾角，故，注意到，易解得．法二由于，如圖所示，構(gòu)造菠蘿圓模型，設(shè)菠蘿圓的半徑為R，則，即，，．不妨令，則菠蘿圓方程為：，，，故 ，，注意到，故k在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值，易得．注法一中的向量手法，可以積累一下，在解三角形中，與線段分點(diǎn)有關(guān)的題，可以嘗試使用！法二利用了阿氏圓的背景，相對(duì)法一，思路也很簡(jiǎn)單，就是計(jì)算量是硬傷！！例已知共面向量、、滿足，，且．若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，的最大值為()．A． B．2 C．4 D．6答案選B．解如圖所示，易知點(diǎn)B的軌跡為阿氏圓，的最大值即為阿氏圓的半徑．例已知橢圓，A、F是其左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，若（為常數(shù)），則此橢圓的離心率為．解點(diǎn)P的軌跡是菠蘿圓，故，即，解得．例(2013江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上．(1)

若圓心C在直線上，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程．(2)

若圓C上存在點(diǎn)M，使，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．解(1)

圓心C為直線和的交點(diǎn)，解得，易知切線的斜率必存在，故設(shè)切線為，則，解得或，故切線的方程為或．(2)

圓心C在直線上，故圓C的方程為：，設(shè)，由得：，即，因此，點(diǎn)M的軌跡是以圓心，半徑為2的圓．由題意可知點(diǎn)M也在圓C上，因此，只需要圓C和圓D有公共點(diǎn)即可，故 ，即，解得，故圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為．例(2002全國(guó)文)已知點(diǎn)P到兩定點(diǎn)、距離的比為，點(diǎn)N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程．解設(shè)P的坐標(biāo)為，由題意有，即，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，，所以，直線的斜率為，直線的方程為，將代入整理得解得，，則點(diǎn)坐標(biāo)為或，或，直線的方程為或．例在x軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使得圓上任意一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)？如果存在，求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析設(shè)點(diǎn)P為圓O上任一點(diǎn)，半徑，假設(shè)A在B的左側(cè)，則，即、，即、，顯然，利用背景很簡(jiǎn)單，不過(guò)，對(duì)于解答題，需要轉(zhuǎn)化為恒成立的問(wèn)題．解假設(shè)在x軸正半軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使得圓上任意一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)，設(shè)、、，其中．即對(duì)滿足的任何實(shí)數(shù)對(duì)恒成立，整理得： ，將代入上式得：，欲使得這個(gè)式子對(duì)任意恒成立，所以一定有：，因?yàn)?，所以解得：、．因此，在x軸正半軸上存在兩個(gè)定點(diǎn)、，使得圓上任意一點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之比為常數(shù)．例有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同．某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離A地的運(yùn)費(fèi)是B地的運(yùn)費(fèi)的3倍．已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購(gòu)買(mǎi)這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低．求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)貨地點(diǎn)．分析：該題不論是問(wèn)題的背景或生活實(shí)際的貼近程度上都具有深刻的實(shí)際意義和較強(qiáng)的應(yīng)用意識(shí)，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實(shí)際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用．解題時(shí)要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法．解以A、B所確定的直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵，∴，．設(shè)某地P的坐標(biāo)為，且P地居民選擇A地購(gòu)買(mǎi)商品便宜，并設(shè)A地的運(yùn)費(fèi)為3a元/公里，B地的運(yùn)費(fèi)為a元/公里．因?yàn)镻地居民購(gòu)貨總費(fèi)用滿足條件：價(jià)格＋A地運(yùn)費(fèi)≤價(jià)格＋B地的運(yùn)費(fèi)即．∵，∴化簡(jiǎn)整理得：，∴以點(diǎn)為圓心為半徑的圓是兩地購(gòu)貨的分界線．圓內(nèi)的居民從A地購(gòu)貨便宜，圓外的居民從B地購(gòu)貨便宜，圓上的居民從A、B兩地購(gòu)貨的總費(fèi)用相等．因此可隨意從A、B兩地之一購(gòu)貨．說(shuō)明：實(shí)際應(yīng)用題要明確題意，建議數(shù)學(xué)模型．7.2推廣至立體幾何阿波羅尼斯球顯然，如果推廣至空間，則例在四面體ABCD中，已知AD⊥BC，，，且，則四面體ABCD的最大值為()．A．6 B． C． D．8解選C；根據(jù)四面體的對(duì)棱求積公式可知，只需要BC和AD之間的距離最大即可，也就等價(jià)于點(diǎn)B、C到AD的距離最大，顯然，當(dāng)點(diǎn)B、C到AD的距離都為半徑時(shí)，BC和AD之間的距離取得最大為（向球心看齊），故四面體ABCD的最大值為．例如圖，已知平面平面，，點(diǎn)A、B是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且DA⊥l，CB⊥l，，，．點(diǎn)P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且有，則四棱錐P－ABCD的體積的最大值是()．A．48 B．16 C． D．144解選A；由題意可知：，即，即，則點(diǎn)P的軌跡是菠蘿圓，且圓的半徑為．因此，四棱錐P－ABCD的體積的最大值是：．例在長(zhǎng)方體中，已知底面ABCD為正方形，P為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)Q是正方形ABCD所在平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段BQ的長(zhǎng)度的最大值為．解6；由可知：點(diǎn)Q在以CP為直徑的菠蘿球上，又點(diǎn)Q在平面ABCD內(nèi)，故點(diǎn)Q的軌跡是平面ABCD內(nèi)的一個(gè)圓．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，設(shè)，則由可得：，即，設(shè)其圓心為，易得．例如圖，在正方體中，，點(diǎn)E、F在線段上，且，點(diǎn)M是正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P、Q是空間兩動(dòng)點(diǎn)，若，且，則的最小值為．解，，E、F是的三等分點(diǎn)，，依題意可知：P、Q在菠蘿球上，球半徑，設(shè)球心為O，則，即．注意到，故PQ為球O的直徑；由極化恒等式：，又點(diǎn)M在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，注意到與各個(gè)面的夾角是相等的，故不妨令M在平面上．此時(shí)，作于，易知，由，即，因此，的最小值為．7.3阿波羅尼斯圓的拓展在幾何問(wèn)題中，由于圓無(wú)限小就變成了點(diǎn)，故點(diǎn)和圓很多時(shí)候具有相同的性質(zhì)，在實(shí)際解題中，也有一種方法稱為點(diǎn)圓法，比如前面的圓系方程專題中就有一例．因此，如果我們將阿波羅尼斯圓中的兩個(gè)或一個(gè)定點(diǎn)放大為圓，也有類(lèi)似的性質(zhì)：到兩定圓切線長(zhǎng)比值為定值的點(diǎn)的軌跡、以及到一定圓的切線長(zhǎng)與到一定點(diǎn)的距離的比值的軌跡，根據(jù)比值是否為1（利用切線長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離），軌跡可能是直線或者是圓．例(2005江蘇)如圖，圓與圓的半徑都是1，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓圓的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由已知，得，因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以設(shè)，則，即．例在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓，，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，過(guò)P分別作圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，若滿足的點(diǎn)P有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_(kāi)_________．解；易得點(diǎn)P的軌跡方程為，根據(jù)題意，只須直線與此圓相交即可．例(1994全國(guó)文)已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)和圓，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)．求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線．解設(shè)直線MN切圓C于點(diǎn)N，則；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可得：，即，整理得： ．①當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程化為它表示圓，該圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為．例已知圓，直線，點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線，切點(diǎn)為B，且滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．解；從菠蘿圓的角度，將定點(diǎn)C視為點(diǎn)圓，故點(diǎn)A的軌跡為圓．例已知⊙和點(diǎn)．(1)

過(guò)點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程；(2)

求以點(diǎn)M為圓心，且被直線截得的弦長(zhǎng)為4的⊙M的方程；(3)

設(shè)P為(2)中⊙M上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q．試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請(qǐng)舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解(1)

；(2)

；(3)

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，則，即…，又點(diǎn)P在圓上：，即，代入式得： ，欲使得等式恒成立，則系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，即，解得：或．因此，可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得為定值，例如，點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，比值為；或者點(diǎn)R的坐標(biāo)為時(shí)，比值為．8圓的反演初步反演模型引例如左圖，已知圓，M、N是關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，P是圓O上異于M、N的任意一點(diǎn)，連結(jié)PM、PN分別交圓O于點(diǎn)B、A，則．實(shí)際上，此模型推廣到橢圓和雙曲線也是成立的，如右圖，對(duì)于橢圓，亦有，更多內(nèi)容可參見(jiàn)極點(diǎn)極線之等角定理專題．證法一此處給出一個(gè)證明套路，即截距點(diǎn)差法，更多方法可參見(jiàn)后面等角定理專題．設(shè)，，，利用橫截距公式可得： ，，又，即．證法二（幾何法）如圖，連接PO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)Q，連接QM、QN．由于P、Q、N、M四點(diǎn)共圓，則，進(jìn)而可得：，又，故△POA∽△BOP，所以，即．圓的反演定義已知圓O的半徑為r，從圓心O出發(fā)任作一條射線，在射線上任取兩點(diǎn)M、N，若，此時(shí)我們則稱M、N是關(guān)于圓O的反演點(diǎn)．圓的反演點(diǎn)的確定方法(1)

若點(diǎn)M在圓外，則點(diǎn)M關(guān)于圓O的切點(diǎn)弦AB與OM的交點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于圓O的反演點(diǎn)；(2)

若點(diǎn)M在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)M作OM的垂線與圓交于A、B兩點(diǎn)，則圓O在點(diǎn)A、B處的兩條切線的交點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于圓O的反演點(diǎn)．注從極點(diǎn)極線的角度理解反演點(diǎn)，也就是極點(diǎn)M關(guān)于圓O的極線，即切點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)N．圓的反演的常見(jiàn)性質(zhì)如圖所示，A、B是關(guān)于圓O的一對(duì)反演點(diǎn)，BC與圓O相切于點(diǎn)C，P是圓O上任意一點(diǎn)，連結(jié)PA、BP并延長(zhǎng)，分別交圓O于N、M兩點(diǎn)，設(shè)圓O的半徑為r，則有：(1)

；(2)

CA⊥ST；(3)

；(4)

MN⊥ST．注阿波羅尼斯圓的背景也是此模型！相關(guān)拓展、及題型和應(yīng)用參見(jiàn)阿波羅尼斯圓專題?。≈本€關(guān)于圓的反演軌跡任意不過(guò)原點(diǎn)的直線關(guān)于圓的反演必定是除去原點(diǎn)的圓．此外，如果從極點(diǎn)極線的角度出發(fā)，設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l關(guān)于圓C的極點(diǎn)為P，則直線l關(guān)于圓C的反演就是以CP為直徑的圓（除去反演中心C），具體可參考下面的例題理解．例已知圓，點(diǎn)M是不過(guò)原點(diǎn)的直線上任一點(diǎn)，且直線l與圓O相離，在射線OM上任取一點(diǎn)N滿足：，則點(diǎn)N的軌跡為：（除去原點(diǎn)）．分析形如“”的問(wèn)題，一般都可以利用極坐標(biāo)處理；當(dāng)然，此題也可以從極點(diǎn)極線的背景出發(fā)證明，具體參考下面的例題．證明以原點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox的正半軸方向?yàn)檎较?，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，，則即為：，將直線l的方程化成極坐標(biāo)形式： ，兩邊同時(shí)乘以：，即，因此，點(diǎn)N的軌跡為：（除去原點(diǎn)）注這個(gè)性質(zhì)也可以推廣到橢圓，具體參考圓錐曲線的極坐標(biāo)專題的例題之“1995全國(guó)卷理壓軸”．例過(guò)直線上的點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則AB的中點(diǎn)M到直線l的距離的取值范圍為．法一老規(guī)矩，將距離設(shè)法向圓O的圓心靠攏！如圖所示，作MN⊥l、OQ⊥l，垂足分別為N、Q，則，且．又在中，，故，即，易知，故．法二借助極點(diǎn)極線的背景＋反演圓的思想直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，即直線AB恒過(guò)極點(diǎn)T，因此，中點(diǎn)M在以O(shè)T為直徑的圓上（除去原點(diǎn)），即，即（除去原點(diǎn)），后略．注由于，故此題的背景是反演，點(diǎn)M的軌跡是直線l關(guān)于圓O的反演圓??！法三借助極點(diǎn)極線的背景＋極限的思想直線對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為，直線AB恒過(guò)極點(diǎn)T．①當(dāng)極點(diǎn)T為AB的中點(diǎn)M時(shí)，此時(shí)AB∥l，則AB的中點(diǎn)M到直線l的距離取得最小值為；②當(dāng)直線AB過(guò)原點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)M為原點(diǎn)O，但是，此時(shí)AB⊥l，產(chǎn)生矛盾，因此，只能是AB的中點(diǎn)M到直線l的距離取得極限最大值為．例如圖，已知橢圓，A、B分別其左右頂點(diǎn)，直線AE交其右準(zhǔn)線CE于點(diǎn)E，交橢圓于點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率，B為線段OC的中點(diǎn)．圓C是以C點(diǎn)為圓心，CB長(zhǎng)為半徑的圓，P為直線AE上任意一點(diǎn)，過(guò)P向圓C作切線，切點(diǎn)分別為M、N．(1)

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)

證明：線段MN的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上．分析此題猛然一看，感覺(jué)甚是復(fù)雜，實(shí)際上，橢圓是打醬油的，本質(zhì)還是圓的切線問(wèn)題，亦即反演問(wèn)題，和上面的例題實(shí)質(zhì)是一樣的．解(1)

；(2)圓，直線AD的方程為：，設(shè)MN與PC的交點(diǎn)為Q，則，顯然，又是圓的反演問(wèn)題．方向1直接對(duì)使用套路，即極坐標(biāo)的處理套路．方向2也可以從極點(diǎn)極線的角度出發(fā)，利用套路，易求得極線AD關(guān)于圓C的極點(diǎn)，具體方法如下：易知P、M、C、N在以PC為直徑的圓上，設(shè)，則該圓的方程為： ，與圓C的方程相減，可得切點(diǎn)弦MN的方程為：，即為 ，又，令，解得、，故切點(diǎn)弦MN恒過(guò)定點(diǎn)．又CQ⊥QT，故點(diǎn)Q在以CT為直徑的圓上，除去反演中心C，即為．例(2016四川理壓軸)在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上所以點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)，則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”關(guān)于y軸對(duì)稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線．其中的真命題是

（寫(xiě)出所以真命題的序列）．解②③；注意到，聯(lián)想到反演點(diǎn)的背景！同時(shí)，以反演背景求軌跡的題目，一般可以嘗試?yán)脴O坐標(biāo)求解，因此，結(jié)合“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)形式，可以設(shè)，其中，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的的“伴隨點(diǎn)”，可以變形為：．如圖所示，從的變換過(guò)程，可以看成將點(diǎn)P繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Q，然后，再在射線OQ上取點(diǎn)，使得．【實(shí)際就是先旋轉(zhuǎn)，再進(jìn)行關(guān)于單位圓的反演！】因此，分析易知②③都是正確的，結(jié)合前面的例題，④顯然是錯(cuò)誤的．對(duì)