專題04導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義一、考情分析二、考點梳理一、平均變化率1.變化率事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2.平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的平均變化率為：3.如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即。二、導(dǎo)數(shù)的概念定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作三、求導(dǎo)數(shù)的方法：求導(dǎo)數(shù)值的一般步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導(dǎo)數(shù)：。也可稱為三步法求導(dǎo)數(shù)。三、題型突破重難點題型突破1、平均變化率與瞬時變化率函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)例1．（1）一質(zhì)點M按運動方程做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），若質(zhì)點M在時的瞬時速度為8m/s，則常數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】先對已知方程求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可直接求解．【詳解】解：因為，由題意得，，所以．故選：B（2）設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A． B． C． D．以上都不對【答案】B【分析】根據(jù)極限的定義計算．【詳解】由題意．故選：B．（3）多選）已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．叫作函數(shù)值的增量B．叫作函數(shù)在上的平均變化率C．在處的導(dǎo)數(shù)記為D．在處的導(dǎo)數(shù)記為【答案】ABD【分析】由函數(shù)值的增量的意義判斷A；由平均變化率和瞬時變化率的意義判斷BCD.【詳解】A中，叫作函數(shù)值的改變量，即函數(shù)值的增量，A正確；B中，稱為函數(shù)在到之間的平均變化率，B正確；由導(dǎo)數(shù)的定義知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)記為，故C錯誤，D正確.故選：ABD【變式訓(xùn)練1-1】已知某物體位移（米）與時間（秒）的關(guān)系是，則速度為9米/秒的時刻是（）A．1秒末 B．0秒末C．3秒末 D．1秒末或3秒末【答案】C【分析】由位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示運動質(zhì)點的瞬時速度，即令，從而可求得結(jié)果【詳解】依題意，，由對求導(dǎo)得：，而位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示運動質(zhì)點的瞬時速度，由速度為9，即得：，，所以速度為9米/秒的時刻是3秒末.故選：C【變式訓(xùn)練1-2】設(shè)函數(shù)，則（）A．1 B．5 C． D．0【答案】B【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.【變式訓(xùn)練1-3】（多選）甲?乙兩個學(xué)校同時開展節(jié)能活動，活動開始后兩學(xué)校的用電量（單位：），（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系如圖所示，則一定有（）A．甲校比乙校節(jié)能效果好B．甲校的用電量在上的平均變化率比乙校的用電量在上的平均變化率小C．兩學(xué)校節(jié)能效果一樣好D．甲校與乙校在活動期間的用電量總是一樣大【答案】AB【分析】根據(jù)切線斜率的實際意義判斷AC選項的正確性.根據(jù)平均變化率的知識確定B選項的正確性.根據(jù)圖象判斷用電量是否“總是一樣大”，由此判斷D選項的正確性.【詳解】由圖可知，對任意的，曲線在處的切線斜率的絕對值比曲線在處的切線斜率的絕對值大，所以甲校比乙校節(jié)能效果好，A正確，C錯誤；由圖可知，，則甲校的用電量在上的平均變化率比乙校的用電量在上的平均變化率小，B正確；由于曲線和曲線不重合，故D錯誤.故選：AB.重難點題型突破2、利用定義求導(dǎo)數(shù)的值例2．（1）已知函數(shù)的定義域為，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D.（2）函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為.故選：D.（3）（多選）已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值的排序正確的是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，記，，作直線AB，根據(jù)兩點坐標(biāo)求出直線AB的斜率，結(jié)合圖形即可得出.【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)圖象上任意一點處的導(dǎo)函數(shù)值都大于零，并且由圖象可知，函數(shù)圖象在處的切線斜率大于在處的切線斜率，所以；記，，作直線AB，則直線AB的斜率，由函數(shù)圖象，可知，即.故選：AB【變式訓(xùn)練2-1】已知曲線在點處的切線方程是，則與的值分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線方程可計算得與.【詳解】由題意可知，，.故選：D【變式訓(xùn)練2-2】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出．【詳解】故選：C．【變式訓(xùn)練2-3】（多選）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象不可能是（）A．B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上，函數(shù)各點處的斜率k是遞增的，由圖知選BCD．故選：BCD.重難點題型突破3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義例3．曲線在點處的切線方程為________．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可求解.【詳解】解：因為，所以，所以曲線在點處的切線斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即，故答案為：.【變式訓(xùn)練3-1】函數(shù)在點處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把點的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函，數(shù)值即為切線的斜率，由求出的斜率和點的坐標(biāo)寫出切線方程即可．【詳解】由得函數(shù)在點處的切線斜率為2，所以所求切線方程為.故選：B．【變式訓(xùn)練3-2】曲線在處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由已知得，，即切線的斜率，又∵，∴切線方程為，即，故選：.四、課堂訓(xùn)練（30分鐘）1．若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為2，則等于（）A． B．2 C．3 D．1【答案】D【分析】直接利用平均變化率的公式求解.【詳解】解：由題得.故選：D2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（）．A．4 B． C． D．【答案】B【分析】由給定條件求出函數(shù)增量，再根據(jù)平均變化率的意義列式化簡即得.【詳解】因函數(shù)，則在區(qū)間上的函數(shù)增量有：，于是有，所以所求平均變化率等于.故選：B3．（多選）下列說法中錯誤的是（）A．若不存在，則曲線在處沒有切線B．若曲線在處有切線，則必存在C．若存在，則曲線在處的切線的斜率存在D．若曲線在處的切線的斜率不存在，則曲線在該點處沒有切錢【答案】ABD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題意，對每一個命題進行分析判斷，適當(dāng)?shù)嘏e出反例，說明命題是否正確．【詳解】解：對于A，不存在時，曲線在點，處不一定沒有切線，如，則，當(dāng)時不存在，但曲線在該點處的切線方程為，故A錯誤；對于B，曲線在點，處有切線時，不一定存在，因為A、B是逆否命題，舉例如A中函數(shù)即可，故B錯誤；對于C，當(dāng)存在時，根據(jù)曲線在某點處的導(dǎo)數(shù)幾何意義知，在點，處的切線斜率存在即為，故C正確；對于D，當(dāng)曲線在點，處的切線斜率不存在時，曲線在該點處也可能有切線，此時切線垂直軸，故D錯誤．故選：C．4．氣球的半徑從2增加到3時，氣球的體積平均膨脹率為______．【答案】【分析】根據(jù)平均變化率的概念直接計算即可.【詳解】∵，，∴氣球的體積平均膨脹率為．故答案為：5．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)平均變化率求法即可求得答案.【詳解】由題意，函數(shù)的平均變化率為：.故答案為：.6．若，則___．【答案】【分析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】故答案為：.專題04導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義A組基礎(chǔ)鞏固1．自由落體運動的公式為，若，則下列說法正確的是（）A．是在0~1s這段時間內(nèi)的速度B．是1s到s這段時間內(nèi)的速度C．是物體在s這一時刻的速度D．是物體從1s到s這段時間內(nèi)的平均速度【答案】D【分析】代入解析式，化簡，由平均速度的概念判斷即可.【詳解】由平均速度的概念可知，，表示1s到這段時間內(nèi)的平均速度，故D正確.故選：D2．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均變化率的定義算出答案即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于故選：C3．一物體的運動方程是，則t在內(nèi)的平均速度為（）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3【答案】B【分析】由平均速度的定義求解即可【詳解】，故選：B4.設(shè)在處可導(dǎo)，則（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】解：∵在處可導(dǎo)，∴，故選：C.5．已知物體做自由落體的運動方程為，且無限趨近于0時，無限趨近于9.8m/s．那么關(guān)于9.8m/s正確的說法是（）．A．物體在0~1s這一段時間內(nèi)的速度B．物體在這一段時間內(nèi)的速度C．物體在1s這一時刻的速度D．物體從1s到這一段時間內(nèi)的平均速度【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式知，應(yīng)表示的是在1這一時刻的瞬時速度.【詳解】由平均速度的概念，表示的是這一段時間內(nèi)的平均速度，其極限值即，表示這一時刻的瞬時速度．故選：C6．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合圖象，利用平均變化率的定義求解.【詳解】因為，，，由圖象知，所以．故選：A7．一物體的運動滿足曲線方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其實際意義是（）A．物體5s內(nèi)共走過42mB．物體每5s運動42mC．物體從開始運動到第5s運動的平均速度是42m/sD．物體以t＝5s時的瞬時速度運動的話，每經(jīng)過1s，物體運動的路程為42m【答案】D【分析】根據(jù)瞬時速度的定義即可得出選項.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的物理意義知，s′（5）＝42(m/s)表示物體在t＝5s時的瞬時速度．故選：D.8．函數(shù)y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0的平均變化率為k2，則（）A．k1<k2 B．k1>k2 C．k1＝k2 D．不確定【答案】D【分析】計算出，求出k1－k2＝2Δx，即得解.【詳解】解：由題得k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx.所以k1－k2＝2Δx，因為Δx的正負不確定，所以k1與k2的大小關(guān)系也不確定.故選：D9．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】過點作切線，過點作切線，連接，得到直線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知(2)(3)，整理可得答案．【詳解】過點作切線，過點作切線，連接，得到直線，由圖可知，的斜率的斜率的斜率，即(2)(3)，即(3)(3)(2)(2)，故選：B．10．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則____________．【答案】2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極限的定義求解．【詳解】，所以．故答案為：2．11．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是8，則________．【答案】1【分析】結(jié)合即可求解.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義知，，解得．故答案為：112．已知，則___________.【答案】-8【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的定義可得答案.【詳解】解：令，因為.所以，故答案為：.13．某生物種群的數(shù)量Q與時間t的關(guān)系近似地符合.給出下列四個結(jié)論：①該生物種群的數(shù)量不會超過10；②該生物種群數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；③該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量成正比；④該生物種群數(shù)量的增長速度最大的時間.根據(jù)上述關(guān)系式，其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【分析】對解析式上下同時除以，結(jié)合反比例函數(shù)模型可判斷①正確；對求導(dǎo)，即為該生物種群數(shù)量的增長速度與時間的關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)特征和對勾函數(shù)模型可判斷③錯，②④正確【詳解】，因為，故，，故該生物種群的數(shù)量不會超過10，①正確；由，顯然該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量不成正比，③錯；因為為對勾函數(shù)模型，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，故整體先增加后減小，當(dāng)時，最大，故②④正確，綜上所述，①②④正確，故答案為：①②④14．函數(shù)在上的平均變化率為，在上的平均變化率為，則與的大小關(guān)系是______．【答案】#【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義分別求出從到和從到的平均變化率，利用作差法比較的大小即可.【詳解】∵函數(shù)從到的改變量為，∴．∵函數(shù)從到的改變量為，∴．∵，而，∴．

B組能力提升15．（多選）已知函數(shù)的圖象如下圖，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率情況是（）A．在區(qū)間上的平均變化率最小B．在區(qū)間上的平均變化率大于0C．在區(qū)間上的平均變化率比上的大D．在區(qū)間上的平均變化率最大【答案】BC【分析】利用平均變化率的定義逐一判斷即可.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，由函數(shù)圖象可得，在區(qū)間上，，即函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率小于0；在區(qū)間，，上時，且相同，由圖象可知函數(shù)在區(qū)間上的最大.故選：BC16．（多選）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（）A．物體在時的瞬時速度為0m/s B．物體在時的瞬時速度為1m