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2025學年第一學期環(huán)大羅山聯(lián)盟期中考試

高二數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷(選擇題)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.下列拋物線中，焦點坐標的是()

A.B.y2=xD.x2=y

2.已知直線1的一個方向向量為AB=(√3,3),則直線1斜率為()

B.√3C.3D.3√3

3.已知空間向量a=(2,1,2),b=(-1,μ,-3),C=(1,2,3),若向量a,b,c共面，則實數(shù)μ的

值為()

A.-2B.2C.-1D.0

4.“a=1”是“直線ax+(1-a)y-2=0與直線(a-1)x+(2a+3)y-3=0互相垂直”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.如果AB<0,BC>0,那么直線Ax-By-C=0不經(jīng)過的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.若圓C?:x2+y2=a2(a>0)與圓C?:x2+y2-6x-6√3y+20=0的相交，則a的取值范圍()

A.(4,6)B.(2,10)C.(6,8)D.(8,10)

7.已知F?,F?是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的一點，∠F?PF?=120°,則橢圓離心率e的取值

范圍是()

試卷第1頁，共4頁

8.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-AB?C?D中，M,N分別為BB?,DD?的中點，O為底

面ABCD的中心，點S在正方體的表面上運動，且滿足NS⊥MO,則下列結(jié)論正確的是()

A.點S可以是棱CC?的中點

B.點S的軌跡是矩形A?

C.點S軌跡所圍成的圖形面積為

A

D.點S軌跡的長度為2+√2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全

部選對得6分，有選錯的得0分，部分選對但不全的得部分分。

9.下列命題正確的是()

A.若a=b,則a//b

B.若空間向量a,b,c,滿足a⊥b,b⊥,則a//c

C.若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則b-a,b-a+c,必共面

D.若直線1的方向向量為e=(1,-1,2),平面α的法向量為m=(6,4,-1),則1⊥a

10.下列說法正確的是()

A.若直線傾斜角越大，則斜率越大

B.經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距相等的直線有2條

C.若直線1經(jīng)過點A(1,0),B(2,tana),則直線1的傾斜角是α

D.直線xsina+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍；

11.已知曲線C:4x2-xy+4y2=1,則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.直線y=1與曲線C有公共點

C.曲線C上任一點的橫坐標的取值范圍是

D.曲線C上任一點與原點距離的取值范圍是

試卷第2頁，共4頁

第Ⅱ卷(非選擇題)

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.直線1的方程為(a+2)x+(a-2)y-2a=0(a為常數(shù))恒過定點

13.已知點A(2,0,0)、B(0,0,1)、C(3,1,-1),則點C到直線AB的距離為

14.已知O為坐標原點，雙曲線C的上焦點為F,下頂點為A,過

F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PA=√3|PO|,則C的漸近線方程為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2,E、F、G、H分別是棱AB、

AD、DC、BC的中點.

(1)求GF·AC與EF·BC;

(2)求|HF|的長

16.(15分)已知點P(√3+2,3-√3),直線ax-y+2=0,圓C:x2+y2-4x-6y+7=0(1)

過點P作圓C的切線1,求直線l的方程；

(2)若在圓C上至少存在三個點到直線ax-y+2=0的距離為求a的取值范圍.

17.(15分)已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線T:y2=4x的焦點為F,點A

在T上，點P(t,0),其中t>0.

(1)若直線AF斜率為1,且與T的另一個交點為B,求△OAB的面積；

(2)經(jīng)過點P作直線1交T于D,C兩點，若點Q是點P關(guān)于y軸的對稱點，且A是線段

DQ的中點，證明：AC⊥PQ;

試卷第3頁，共4頁

18.(17分)平面內(nèi)沿著等腰直角△ABC的腰AC作底角∠CAD=30°的等腰△ACD,AC=2,

如圖1.將△ACD沿AC翻折至△ACK,如圖2.

(1)當平面KAC⊥平面ABC時，

(i)證明：KC⊥AB;

(ii)若G是△ACK的重心，求BG與平面ABC所成角的正弦值.

(2)求二面角A-CK-B的夾角的余弦值的最小值.

圖1圖2

19.(17分)如圖1,圓C:(x+1)2+y2=16,點A(1,0),P是圓C上任意一點，線段AP的垂

直平分線和直線CP相交于點Q.當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程；

(2)過點C且與x軸不重合的直線1與E相交于M,N兩點.設(shè)點B(2,0),記直線BM,BN的

斜率分別為k,k?,求k?k?的值；

(3)過點(0,2)作直線1交E于G、H兩點(G在上方),設(shè)點R(0,√3),S(0,-√3),

若直線GS與HR相交于點T,證明：動點T在某定直線上.

圖1

圖2

試卷第4頁，共4頁

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2025學年第一學期環(huán)大羅山聯(lián)盟期中考試

高二數(shù)學參考答案

命題：二外審題：瑞十，二十二中

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是

符合題目要求的。

12345678

DBAAABCC

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

91011

ACBDACD

三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(1,1)B4

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)解：(1)依題意,所以

(2)因為H,F分別為棱BC,AD的中點，

可得C

………………8分

………………12分

HF|=√2………………13分

【其他方法酌情給分】

試卷第1頁，共5頁

16.(15分)解：(1)由題意P((√3+2,3-√3),圓心C(2,3),半徑r=√6.

∴點P在圓C上.……………3分

又kpc=-1∴切線的斜率

∴過點P的圓C的切線方程是y-(3-√3)=x-(√3+2),

即x-y+1-2√3=0…………………7分

(2)

∴5a2-8a-1≤0……13分，

……15分

【其他方法酌情給分】

17.(15分)

(1)直線AB的方程為1:y=x-1,聯(lián)立拋物線I和直線1的方程：,得

y2-4y-4=0……3分

設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?),由韋達定理得y?+y?=4,y?y?=-4,

(2)設(shè)直線1:x=my+t,D(x,y?),C(x?,y?),

不妨設(shè)a>0,因為A是D,Q中點，所以D(a2,2a),………………9分

,即……………………11分

由

→y2-4my-4t=0,所以v?y?=-4t=-2a2,即y?=-a,

所以,所以AC⊥PQ……15分

【其他方法酌情給分】

試卷第2頁，共5頁

18.(17分)

(1)∵等腰直角三角形AB=AC,∴∠BAC=90°,

∴BAlAC

又∵平面KAC⊥平面ABC,

平面KAC∩平面ABC=AC,∴BA⊥平面KAC……………2分

∵KCc平面KAC,∴KC⊥AB……4分

(ii)以A為原點，AB,AC分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,

因為平面KACl平面ABC,所以z軸c平面KAC

,……6分

又平面ABC法向量n=(0,0,1)

所以線面角的正弦值為………9分

試卷第3頁，共5頁

(2)作OK⊥AC,垂足O,在平面ABC中，過O作OM//AB,

因OMnKO=0,OM,KOc平面KOM,則AC⊥平面KOM.

則由(1)AO=3,KO=√3,設(shè)∠KOM=θ,θ∈(0,π),以O(shè)為原點，

OM,OC分別為x軸和y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系

0-xyz,則點K在平面xOz內(nèi)，

O(0,0,0),A(0,-3,0),B(2,-3,0),C(0,-1,0),K(√3cosθ,0,√3sinθ),

所以CA=(0,-2,0),CB=(2,-2,0),CK=(√3cosθ,1,√3sinθ),………10分

設(shè)平面KAC一個法向量為m=(x?,y?,z),則

,取x?=sinθ,則得m=(sinθ,0,-cosθ);...12分

平面KBC的一個法向量為n=(x?,y?,z?),則即

,取x?=1,則得...14分

設(shè)二面角A-CK-B的平面角為4,且4為銳角

所

令

t=cosθ+√3,則由θ∈(0,180°)得t∈(√3-1,√3+1),則