湖北省鄂東南教育聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，則.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.3.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸無公共點，則（）A.0 B.1 C.0或 D.0或1【答案】D【解析】由題意或1.故選：D.4.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴，∴.故選：A.5.已知，則是的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】令，此時滿足，但不滿足，說明是的不充分條件；若，假設(shè)，則：，這與矛盾，故假設(shè)不成立，成立，說明，所以是的必要條件，是的必要不充分條件.故選：B.6.在等比數(shù)列中，是方程的兩個根，則（）A. B.6 C.36 D.【答案】D【解析】∵是方程的兩個根，∴，由，∴由.故選：D.7.函數(shù)零點的個數(shù)為（）A.4 B.5 C.3 D.2【答案】A【解析】或，或或，，或或或；設(shè)，則，，，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，，與不符，方程無實數(shù)解.故函數(shù)只有4個零點.故選：A.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，當(dāng)時，，故函數(shù)在單調(diào)遞增.解法一：構(gòu)造函數(shù)，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，則.解法二：對數(shù)糖水不等式：.先證明糖水不等式：，理由：，故.解法三：，，所以.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，函數(shù)的部分圖象與坐標(biāo)軸分別交于點，且的面積為，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的對稱中心是C.點的縱坐標(biāo)為D.的解集為【答案】ACD【解析】最小正周期，故選項C正確；由，令，當(dāng)時，單調(diào)遞增且，此時單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選項A正確；，所以函數(shù)的對稱中心為，故選項B錯誤；，故選項D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，，則（）A.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時，有兩個極值C.若有三個不同零點，則D.過點且與曲線相切的直線恰有3條，則【答案】ACD【解析】解法一：當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；有2個極值，但時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，故選項B錯誤；設(shè)函數(shù)，故選項C正確；設(shè)切點，則切線方程為：，代入點得：，過點且與曲線相切的直線恰有3條與圖象有3個不同的交點，，或，函數(shù)在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且，，故選項D正確.故選：ACD.解法二：當(dāng)時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項A正確；有2個極值，但時，恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，故選項B錯誤；一元三次方程，韋達定理：，故，選項C正確；三次函數(shù)切線問題：過三次函數(shù)對稱中心作切線（有且僅有一條），則坐標(biāo)平面被該條切線和三次函數(shù)圖象分為4個區(qū)域：過①③區(qū)域內(nèi)的點（不含邊界）作切線有且僅有3條；過②④區(qū)域內(nèi)的點（不含邊界）作切線有且僅有1條；過切線或三次函數(shù)上的點（除去對稱中心）作切線有且僅有2條；，所以函數(shù)的對稱中心為，過該點的切線方程為：恒過，而函數(shù)恒過，故只有時，點落在①③區(qū)域內(nèi)，符合題意，故D正確.故選：ACD.11.定義.若函數(shù)，在區(qū)間上的值域為，則的可能取值為（）A.1 B.2 C.6 D.5【答案】BD【解析】，圖象開口向下，對稱軸為.當(dāng)時，由或；由時，由，依題意：觀察函數(shù)與函數(shù)的圖象，誰的圖象在上方就是函數(shù)的圖象（包含邊界），如圖所示：，當(dāng)時，，符合題意，，，當(dāng)，符合題意，而，故選項BD正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由題意，在方向上投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：.13.記等差數(shù)列的前項和為，若，則___________.【答案】9【解析】因為，所以，所以.故答案為：.14.已知，函數(shù)若關(guān)于的方程的解集中恰好只有一個元素，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】由題意可得，所以，所以原方程即，且滿足，當(dāng)時，，此時符合題意；當(dāng)時，或，若，此時符合題意；若，則或，綜上所述：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)的值.解：（1）法一：累乘法依題意：，當(dāng)時，；當(dāng)時，符合，故.法二：構(gòu)造法依題意：，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則.（2），故，由題意，，故滿足條件的最大整數(shù)的值為8.16.已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，最后使圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）.由，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為由，故函數(shù)的對稱中心為.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得的圖象，然后再向下平移1個單位長度，得的圖象，最后使圖象上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮瑱M坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，即..所以.17.為了研究某種藥物，用小白鼠進行試驗，發(fā)現(xiàn)藥物在血液內(nèi)的濃度與時間的關(guān)系因使用方式的不同而不同.若使用注射方式給藥，則在注射后的4小時內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度與時間滿足關(guān)系式：為常數(shù)），若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度與時間滿足關(guān)系式：，現(xiàn)對小白鼠同時進行注射和口服該種藥物，且注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾.（注：4小時內(nèi)意思是小于或等于4小時）（1）若，求4小時內(nèi)，小白鼠何時血液中藥物的濃度最高，并求出最大值？（2）若使小白鼠在用藥后4小時內(nèi)血液中的藥物濃度都不低于4，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）時，，則小白鼠血液中藥物的濃度，當(dāng)時，，當(dāng)即時，；當(dāng)時，，當(dāng)即時，，由于，故小白鼠在時，濃度最高，達到.（2）.當(dāng)時，可得，在時單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，可得，，則當(dāng)，即時，，又，.18.如圖，中，，點在線段上，點與點位于直線的異側(cè)且為等邊三角形.（1）若，，求線段的長度；（2）若，求線段的最大值；（3）若為的平分線，求與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍.解：（1）已知，為等邊三角形，若，，則，又，則.即線段的長度.（2）法一：是線段中點，不妨設(shè)，則，當(dāng)時，，即線段的最大值為.法二：以線段中點為坐標(biāo)原點，方向為軸，方向為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，當(dāng)時，，即線段的最大值為.（3）法一：已知，為的平分線，由角平分線定理知：，不妨設(shè)，，要構(gòu)成，則.不妨設(shè)與內(nèi)切圓半徑分別為、，，，則，在上單調(diào)遞增，所以，即與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍為.法二：不妨設(shè)，不妨設(shè)與內(nèi)切圓半徑分別為，在中，由余弦定理得：，，令，則，在時單調(diào)遞減，所以，即與內(nèi)切圓半徑之比的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個極值點，滿足且，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線仍是函數(shù)圖象，求的取值范圍.（1）證明：若，則，令，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立，在上單調(diào)遞減（2）解：，令，①若，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則在上最多一個極值點，不符合題意.②若，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且所以，且.依題意：且.，，，，恒成立，故在單調(diào)遞增，.構(gòu)造函數(shù)：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以.綜合：.（3）解：方法一：在函數(shù)圖象上任取一點，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到點，其中.若，則，要使旋轉(zhuǎn)后，得到的曲線仍是函數(shù)圖象，即對定義域內(nèi)任意一個的值，都有唯一的與之對應(yīng)，此時是單調(diào)函數(shù)，否則可能出現(xiàn)一個，會求出至少兩個，導(dǎo)致至少兩個