2/37專題1.3多面體與旋轉(zhuǎn)體教學(xué)目標(biāo)通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知多面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)難點(diǎn)：能運(yùn)用面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)01多面體1、多面體定義：由三角形或平面多邊形圍成的封閉幾何體；如：棱柱、棱錐、棱臺(tái)等幾何體都是多面體；2、多面體可以用它的面的數(shù)量進(jìn)行命名：有幾個(gè)面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，所以是四面體；長(zhǎng)方體（四棱柱）有六個(gè)面，是六面體．一般地，一個(gè)棱錐,有一個(gè)底面和個(gè)側(cè)面，所以是面體；棱柱或棱臺(tái)有兩個(gè)底面和個(gè)側(cè)面，所以是面體；由此可見，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;3、與平面上的正多邊形類比：在空間中可以考慮正多面體；如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體；【即學(xué)即練】如圖，給定一個(gè)正方體形狀的土豆塊，只切一刀，可以得到下面哪些類型的多面體？①四面體；

②四棱錐；

③四棱柱；④五棱錐；

⑤五棱柱；

⑥六棱錐；⑦七面體．（找出可能的結(jié)果，并將序號(hào)填在橫線上）【答案】①③⑤⑦【分析】結(jié)合正方體的性質(zhì)逐一作圖，可能出現(xiàn)①③⑤⑦這四種情況．【詳解】如圖，平面截正方體，可得到四面體；如圖，平面截正方體，可得到四棱柱；如圖，平面截正方體，可得到五棱柱，也是七面體.故答案為：①③⑤⑦.知識(shí)點(diǎn)02正四面體正四面體（四個(gè)面都是三角形的三棱錐）在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；將正四面體放在正方體中。1、若正四面體棱長(zhǎng)設(shè)作1，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長(zhǎng)為________,外接球半徑為________；正四面體的體積________,正四面體的高_(dá)_______結(jié)論1：正四面體的對(duì)棱相互垂直結(jié)論2：（體積）結(jié)論3：(高)利用正方體對(duì)角線可求外接圓半徑和正四面體的高(直接法，等體積法，結(jié)論3法)（簡(jiǎn)單實(shí)用）【即學(xué)即練】在正四面體中，設(shè)，則四面體的體積等于（

）.A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由題意將正四面體補(bǔ)形成邊長(zhǎng)為1的正方體，從而可求解.【詳解】如圖，把正四面體補(bǔ)形成邊長(zhǎng)為1的正方體，則四面體的體積為，故四面體的體積為，故C正確.故選：C.

知識(shí)點(diǎn)03多面體的折疊與展開1、由多面體畫平面展開圖，一般要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖；2、由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推；3、求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過的最短距離，常將幾何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題；【即學(xué)即練】如圖，在長(zhǎng)方形中，，在上存在一點(diǎn)，沿直線把折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若的面積為，那么折疊的的面積為（

）A．30 B．20 C． D．【答案】D【分析】由三角形面積公式可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，即可求的面積.【詳解】∵四邊形是矩形，∴，∵，即，∴，在中，（cm）∵折疊后與重合，∴，∴，∴，在中，，∴，解得，∴（cm2）.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)04旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體；這條直線叫做該旋轉(zhuǎn)體的軸；與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為旋轉(zhuǎn)面；圓柱、圓錐和圓臺(tái)的概念（1）圓柱、圓錐和圓臺(tái)的定義將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)；（2）與圓柱、圓錐、圓臺(tái)有關(guān)的概念繞著旋轉(zhuǎn)的這條直線叫做軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做母線；【即學(xué)即練】已知中，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．【答案】【分析】先分析出旋轉(zhuǎn)體為圓錐，然后根據(jù)表面積等于側(cè)面積加上底面積求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為，高為，母線長(zhǎng)為的圓錐，所以表面積為，故答案為：.題型01多面體的概念【典例1】若四面體的三對(duì)相對(duì)棱分別相等，則稱之為等腰四面體，若四面體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，則稱之為直角四面體，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，可以得到等腰四面體、直角四面體的個(gè)數(shù)分別為（

）A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8【答案】A【解析】根據(jù)矩形的面對(duì)角線相等和每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱都是兩兩垂直的即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榫匦蔚拿鎸?duì)角線相等，所以長(zhǎng)方體的六個(gè)面的對(duì)角線構(gòu)成2個(gè)等腰四面體．因?yàn)殚L(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱都是兩兩垂直的，所以長(zhǎng)方體中有8個(gè)直角四面體．故選：A.【變式1】下列多面體中，屬于五面體的是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱錐【答案】B【分析】根據(jù)多面體的概念判斷．【詳解】三棱錐只有4個(gè)面，三棱柱有五個(gè)面，四棱柱有六個(gè)面，五棱錐有六個(gè)面．故選：B．【變式2】下列說法中，正確的是（

）A．底面是正多邊形，而且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等的多面體是正多面體B．正多面體的面不是三角形，就是正方形C．若長(zhǎng)方體的各側(cè)面都是正方形，它就是正多面體D．正三棱錐就是正四面體【答案】C【分析】由正多面體的概念對(duì)選項(xiàng)依次辨析即可.【詳解】對(duì)于A，如上圖所示正四棱錐，底面為正方形，且，即滿足底面是正多邊形，而且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，但該多面體不是正多面體，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如上圖所示正十二面體的各個(gè)面均為正五邊形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若長(zhǎng)方體的各側(cè)面都是正方形，則該長(zhǎng)方體為正方體，即正六面體，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，如上圖所示正三棱錐，且，但側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)不相等，則該正三棱錐不是正四面體，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C．【變式3】如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體.下列幾何體中，所有棱長(zhǎng)均相等，同一表面的角都相等，則是正多面體.（寫出所有正確的序號(hào)）

【答案】（1）（2）（4）【分析】由題意，逐項(xiàng)判別，可得答案.【詳解】對(duì)于（1），該多面體由全等的正三角形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有條，符合題意；對(duì)于（2），該多面體由全等的正四邊形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有條，符合題意；對(duì)于（3），該多面體由全等的正三角形組成，且頂點(diǎn)聚集的棱有條也有3條，不符合題意；對(duì)于（4），該多面體由全等的正五邊形組成，且每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱有條，符合題意；故答案為：（1）（2）（4）.題型02正四面體和正三棱錐【典例1】盧浮宮玻璃金字塔是世界著名建筑，其結(jié)構(gòu)單元中采用了正四面體衍生的索桁架體系，通過交叉拉索與剛性桿件形成穩(wěn)定單元，體現(xiàn)了正四面體在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的力學(xué)優(yōu)勢(shì)．一個(gè)正四面體兩側(cè)面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過取中點(diǎn)作中線找到二面角的平面角然后在三角形中利用余弦定理求其余弦值.【詳解】如圖所示所示正四面體，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)四面體棱長(zhǎng)為，則，因?yàn)樗忻娑紴榈冗吶切嗡?，，則為兩側(cè)面所成角的平面角，在中由余弦定理有.故選：C【變式1】已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四面體的最小正方體的體積為，正四面體的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，由等體積法求出，將該正四面體放入一個(gè)正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，即可求出，設(shè)正四面體的外接球的半徑，根據(jù)正方體和正四面體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球計(jì)算出，即可得出答案．【詳解】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正四面體的表面積為，由題設(shè)底面的外接圓半徑，則所以正四面體的高為，其體積為，設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，半徑為，解得：，所以，解得：，將該正四面體放入下圖的正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對(duì)角線，此時(shí)即為能裝下正四面體的最小正方體，正四面體的最小正方體的邊長(zhǎng)為，如下圖，即，所以，體積為，設(shè)正四面體的外接球半徑為，則正方體的外接球，也即正四面體的外接球的半徑為，所以，所以外接球的體積為，.故選：A.【變式2】在正三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到或其補(bǔ)角是直線與所成的角，求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出答案..【詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，⊥，則或其補(bǔ)角是直線與所成的角，.由題中數(shù)據(jù)可知，，，由勾股定理得，在中，由余弦定理可得，則，故.故選：A【變式3】已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面與底面所成角是，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)正三棱錐的定義和側(cè)面與底面所成二面角的定義求出三棱錐的高，代入體積公式即可.【詳解】如下圖所示：由正三棱錐的定義，底面為正三角形，且邊長(zhǎng)為，作正三棱錐的高，垂足為的中心，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)；由正三棱錐的幾何的性質(zhì)可知：，，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，，可得是等腰直角三角形，.根據(jù)正三角形的性質(zhì)，，即正三棱錐的高為.三棱錐的體積為：.故選：B【變式4】在正四面體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為．

【答案】/【分析】根據(jù)題目已知條件判斷出異面直線所成角為，利用余弦定理計(jì)算即可.【詳解】連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因異面直線所成角的范圍為，則異面直線所成角為，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，，根據(jù)余弦定理，，則異面直線所成角的余弦值為.故答案為：.

題型03折疊與展開面問題【典例1】如圖，已知中，是邊上的高，以為折痕折疊，使為直角.求證：平面平面，平面平面.

【答案】證明見解析【分析】利用線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】因?yàn)?，，，平面，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以平面平面；已知為直角，所以，又，，平面，因此平面，因?yàn)槠矫鍭BD，所以平面平面.【變式1】如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先將三棱錐的側(cè)面沿著剪開，得到，即，即可得到答案.【詳解】將三棱錐的側(cè)面沿著剪開，如圖所示：因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)的最小值為，所以當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，即，又因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)槿忮F是正三棱錐，所以，即側(cè)棱SA，SC的夾角為.故選：A【變式2】圓錐頂點(diǎn)，底面半徑為1，母線的中點(diǎn)為，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)的最短路線中，其中下坡路的長(zhǎng)是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】將圓錐側(cè)面沿母線剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的線段，過作的垂線，垂足為，求出的長(zhǎng)即可.【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線剪開并展開成扇形，

則該扇形半徑，弧長(zhǎng)為，圓心角，最短路線即為扇形中的線段，,過作的垂線，垂足為，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)過程中，它與點(diǎn)的距離越來越小，于是為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)爬行到點(diǎn)的過程中，它與點(diǎn)的距離越來越大，于是為下坡路段，下坡路段長(zhǎng).故選：B【變式3】在平行四邊形ABCD中，，，將此平行四邊形沿對(duì)角線BD折疊，使平面平面CBD，則三棱錐A-BCD外接球的體積是.【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，，取AC的中點(diǎn)O，得到外接球的球心是O，求得球的半徑，利用體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫嫫矫?，可得取的中點(diǎn)，則，于是外接球的球心是，則又由所以半徑所以外接球的體積為..故答案為：【變式4】如圖,??分別為正三角形的三邊中點(diǎn),的中點(diǎn)為,若沿著??折疊,使點(diǎn)??重合,在折疊后的四面體中,直線與所成角的余弦值為.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，求出，，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題意結(jié)合中位線的性質(zhì)可得該四面體為正四面體，如圖為折疊后的三棱錐，取的中點(diǎn)，連接、，由的中點(diǎn)為可知，則即為直線與所成角，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，則，，在中，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角的求解和余弦定理的應(yīng)用，考查了空間思維能力，屬于中檔題.題型04多面體性質(zhì)探究【典例1】多面體的歐拉定理：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V?棱數(shù)E與面數(shù)F有關(guān)系.請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決問題：碳具有超導(dǎo)特性?抗化學(xué)腐蝕性?耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示，碳的分子結(jié)構(gòu)是—個(gè)由正五邊形面和正六邊形面共32個(gè)面構(gòu)成的凸多面體，60個(gè)碳原子處于多面體的60個(gè)頂點(diǎn)位置，則32個(gè)面中正五邊形面的個(gè)數(shù)是.【答案】12【分析】由歐拉定理求得足球烯表面上的棱數(shù)，設(shè)正五邊形的個(gè)數(shù)為x，正六邊形個(gè)數(shù)為y，由題意列出方程，聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意可知，由可得,設(shè)正五邊形的個(gè)數(shù)為x，正六邊形個(gè)數(shù)為y，則，∵一條棱連著兩個(gè)面，∴足球烯表面的棱數(shù),聯(lián)立，解得，即32個(gè)面中正五邊形面的個(gè)數(shù)是12個(gè)，故答案為：12【變式1】一個(gè)多面體共有10個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都有4條棱，面的形狀只有三角形和四邊形，則三角形個(gè)數(shù)與四邊形個(gè)數(shù)分別為（

）A．4、8 B．6、6 C．7、5 D．8、4【答案】D【分析】先由多面體共有10個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有四條棱，得到棱數(shù)，由歐拉公式得面數(shù)，設(shè)面的形狀分別為三角形和四邊形的個(gè)數(shù)是，建立的方程，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎嗝骟w共有10個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有四條棱，所以棱數(shù)有：.由歐拉公式，得，故面數(shù)，設(shè)面的形狀分別為三角形和四邊形的個(gè)數(shù)是，則，解得，即該多面體中三角形和四邊形的個(gè)數(shù)分別是8，4.故選：D【變式2】下列說法：①只有正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理②所有凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理③所有簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理④所有多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)歐拉定理的適用條件及簡(jiǎn)單多面體的定義判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理，而凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體，故①錯(cuò)誤，②③正確；對(duì)于④，并不是所有的多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理，比如長(zhǎng)方體是簡(jiǎn)單多面體，但在其表面挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后不再是簡(jiǎn)單多面體，此時(shí)不滿足歐拉定理，故④錯(cuò)誤.故選：C.【變式3】螢石是非常漂亮的一種礦物，其原石往往呈現(xiàn)正八面體形狀.在如圖所示的正八面體EABCDF中，EA與平面ABCD所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征和線面角的定義求解即可【詳解】設(shè)正八面體的棱長(zhǎng)為a，由題意得四棱錐和均為正四棱錐，連接AC與EF的交點(diǎn)為正方形的中心，則平面，即為直線EA與平面ABCD所成的角，又，，即，則，所以，故選：A【變式4】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體的所有棱長(zhǎng)和為．【答案】/【分析】從圖形中作一個(gè)最大的水平截面，它是一個(gè)正八邊形，八個(gè)頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為的正方形邊上，由此可計(jì)算出棱長(zhǎng)．【詳解】取半正多面體的截面正八邊形ABCDEFGH，由正方體的棱長(zhǎng)為1，可知，易知，設(shè)半正多面體的棱長(zhǎng)為x，過B，C分別作于M，于N，則，，解得，故該半正多面體的所有棱長(zhǎng)和為．故答案為：題型05由平面圖旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體【典例1】如圖，在直角梯形中，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體．一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為．

【答案】12【分析】根據(jù)已知幾何體是母線長(zhǎng)為6，上下底面半徑分別為的圓臺(tái)，其側(cè)面展開圖為圓環(huán)的一部分，將其補(bǔ)為圓錐并將側(cè)面展開，即可求螞蟻爬行的最短路程.【詳解】由題意，幾何體是母線長(zhǎng)為6，上下底面半徑分別為的圓臺(tái)，其側(cè)面展開圖為圓環(huán)的一部分，所以，可將幾何體補(bǔ)為母線長(zhǎng)為12，底面半徑為2的圓錐，再將其側(cè)面展開如下圖示，

所以圓環(huán)的一部分，即為圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，而，所以為等邊三角形，故螞蟻爬行的最短路程為線段.故答案為：12【變式1】平面直角坐標(biāo)系中以四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（

）A． B．C． D．大小無(wú)法計(jì)算【答案】A【分析】由圓臺(tái)、圓錐以及圓柱的體積公式計(jì)算并比較大小即可得解.【詳解】繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的是圓臺(tái)，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱和圓錐的組合.所以，故選：A.【變式2】在梯形ABCD中，，，且，將梯形繞著邊BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成空間幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】易知空間幾何體是圓臺(tái)，利用圓臺(tái)的體積公式計(jì)算即可.【詳解】將梯形ABCD繞著邊BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成以BC為軸的圓臺(tái)，如圖：

由于，，設(shè)的中點(diǎn)為M，連接，可得，，，所以，所以圓臺(tái)的體積為.故選：A【變式3】分別以銳角三角形的邊AB，BC，AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，根據(jù)面積關(guān)系可得，再根據(jù)體積關(guān)系可得，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)邊上的高為，以邊AB，BC，AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積分別為，

則，可得，可得：，，由題意可得：，整理得，所以.故選：C.【變式4】如圖，點(diǎn)M為矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，，，將矩形ABCD沿DM剪去，將剩余部分繞直線BM旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的幾何體的表面積為．

【答案】【分析】所得到的幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐形成的組合體，利用圓柱和圓錐的側(cè)面積公式，可得答案．【詳解】矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，，，.將矩形ABCD沿DM剪去，將剩余部分繞直線BM旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的幾何體是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐形成的組合體，

圓柱的底面半徑，母線長(zhǎng)，故側(cè)面積，底面面積,圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，故側(cè)面積，故所得到的幾何體的表面積.故答案為：.題型06由旋轉(zhuǎn)體找出旋轉(zhuǎn)圖形【典例1】如圖所示的組合體，則由下列所示的哪個(gè)三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周可以得到（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】旋轉(zhuǎn)后的幾何體是由兩個(gè)共底的圓錐組合而成的立體圖形，再根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中三角形的特征及旋轉(zhuǎn)軸即可作出判斷．【詳解】A旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿足題意；B旋轉(zhuǎn)一周是兩個(gè)圓錐，滿足題意；C旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿足題意；D旋轉(zhuǎn)一周是圓柱挖去一個(gè)圓錐的幾何體，不滿足題意.故選：B.【變式1】下列平面圖形中，通過圍繞定直線旋轉(zhuǎn)可得到如圖幾何體的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】逐項(xiàng)分析旋轉(zhuǎn)圖形可得旋轉(zhuǎn)體的立體圖，分析即可得答案.【詳解】解：A是上面一個(gè)圓錐，下面一個(gè)圓臺(tái)，不符合；B是上下兩個(gè)圓錐，中間一個(gè)圓柱，不符合；C是上面一個(gè)圓柱，下面一個(gè)圓錐，符合上圖；D是兩個(gè)圓錐，不符合.故選：C題型07簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積【典例1】如圖，在梯形中，，則將此梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】【分析】分析題意得出梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為一個(gè)圓錐及圓臺(tái)中挖掉一個(gè)小圓錐，根據(jù)圓錐及圓臺(tái)體積公式求解即可．【詳解】如圖，連接，則，過點(diǎn)作，則，所以，所以，故，過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為底面半徑為，高為的圓錐，直角梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓臺(tái)，其中上底面半徑為，下底面半徑為，高為，繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為底面半徑為，高為的圓錐，所以繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓臺(tái)中挖掉一個(gè)圓錐，故此梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．故答案為：．【變式1】如圖，圓錐PO的底面半徑為3，高為，過PO靠近P的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則下列說法正確的序號(hào)有．①圓錐母線與底面所成的角為

②圓錐PO的側(cè)面積為③挖去圓柱的體積為

④剩下幾何體的表面積為【答案】①③④【分析】根據(jù)題意利用勾股定理可求圓錐的母線長(zhǎng)，挖去圓柱的半徑和高，然后根據(jù)體積公式以及表面積公式即可逐項(xiàng)求解．【詳解】如下圖：因?yàn)閳A錐的底面半徑為3，高為，所以母線長(zhǎng)，則，即圓錐母線與底面所成的角為，故①正確；圓錐的側(cè)面積，故②錯(cuò)誤；設(shè)圓柱底面與圓錐母線交于點(diǎn)，與圓錐底面直徑交于兩點(diǎn)，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，所以，則圓柱的體積為，故③正確；圓柱的側(cè)面積，剩下幾何體的表面積，故④正確；故答案為：①③④【變式2】高中某DIY社團(tuán)一學(xué)生想把實(shí)心的圓錐木塊改造成一個(gè)正四棱柱木塊，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm，高為cm，則該正四棱柱側(cè)面積的最大值為cm2.【答案】【分析】首先以上底面所在圓的半徑為，再根據(jù)幾何關(guān)系表示棱柱的側(cè)面積，根據(jù)二次函數(shù)求最值.【詳解】設(shè)正四棱柱上底面所在圓的半徑為，高為，則正四棱柱底面棱長(zhǎng)為，且，得，所以正四棱柱的側(cè)面積為，當(dāng)時(shí)，側(cè)面積的最大值為.故答案為：【變式3】“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．某些阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到．如圖，正八面體（每個(gè)面都是棱長(zhǎng)相等的正三角形）的棱長(zhǎng)為6，取各條棱的三等分點(diǎn)，從各棱的三等分點(diǎn)處截去六個(gè)角后可得到一個(gè)阿基米德多面體，則該多面體的表面積為．

【答案】【分析】根據(jù)正八面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合題意，利用正方形與正六邊形的面積公式可得答案.【詳解】由圖可知該多面體有24個(gè)頂點(diǎn)，36條棱，正八面體的棱長(zhǎng)為6，從各棱的三等分點(diǎn)處截得多面體，則該多面體的棱長(zhǎng)為2，且表面由6個(gè)正方形和8個(gè)正六邊形組成，故該多面體的表面積為，故答案為：.【變式4】魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競(jìng)速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一，一個(gè)三階魔方，由27個(gè)單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°，則該魔方的表面積是.

【答案】【分析】利用俯視圖分析多出來的表面積部分，結(jié)合對(duì)稱性可解.【詳解】如圖，轉(zhuǎn)動(dòng)了后，此時(shí)魔方相對(duì)原來魔方多出了16個(gè)小三角形的面積，俯視圖如圖，由圖形的對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，設(shè)直角邊為，則斜邊為，故，可得.由幾何關(guān)系得：，故所求面積.故答案為：

1．在正三棱臺(tái)中，，，棱臺(tái)的高為，則該棱臺(tái)的體積為.【答案】/【分析】根據(jù)臺(tái)體體積公式計(jì)算可解.【詳解】，.故答案為：.2．某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則該圓臺(tái)的體積為．【答案】【分析】先利用直角梯形來求臺(tái)體的高，再利用臺(tái)體體積公式即可求得圓臺(tái)體積.【詳解】如圖，圓臺(tái)的軸截面，分別為上、下底面圓的圓心，

由圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，可得：，解直角梯形可得：，由圓臺(tái)體積公式得：，故答案為：.3．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為和，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，該圓臺(tái)的軸截面的面積為．【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何性質(zhì)和勾股定理，求出母線長(zhǎng)和軸截面面積.【詳解】如圖所示，作圓臺(tái)軸截面，上下底面圓心為，根據(jù)題意，可知，根據(jù)勾股定理，可知，所以母線長(zhǎng)為13；軸截面為等腰梯形，則面積為，所以軸截面面積為132；故答案為：13；132.4．給出下列命題：①正棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形；②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；③各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐；⑤圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線．其中正確的命題是．（填序號(hào)）【答案】①⑤【分析】根據(jù)正棱柱的定義即可判斷①，根據(jù)圓柱母線的定義即可判斷②，根據(jù)三棱錐的定義即可判斷③，根據(jù)正六棱錐的定義即可判斷④，由圓錐的母線定義即可判斷⑤.【詳解】正棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形，故①正確；只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線，故②錯(cuò)誤；如圖所示，故③錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故④錯(cuò)誤；圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線，故⑤正確.所以正確的命題是①⑤．故答案為：①⑤.5．三位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選取了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口飲料杯，如圖所示.盛滿飲料后約定：先各自飲杯中飲料一半.設(shè)剩余飲料的高度從左到右依次為，則它們的大小關(guān)系是.【答案】【分析】根據(jù)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的結(jié)構(gòu)特征判斷大小關(guān)系即可.【詳解】圓錐、圓柱是圓臺(tái)的特例，它們上底面積、高相同，所以各自飲杯中飲料一半后，所剩飲料最大，最?。樵瓉淼囊话耄?，介于之間，所以.故答案為：6．用透明塑料制作一個(gè)由圓柱和圓臺(tái)組合而成的封閉容器，并往容器內(nèi)部灌入一些水．圖1和圖2為該容器在不同放置方式下的軸截面，其尺寸（單位：cm）如圖所示．若如圖1放置該容器時(shí)，其圓臺(tái)部分恰好充滿水，則如圖2倒立放置該容器時(shí)，圓柱部分水面高度h為cm．【答案】【分析】根據(jù)水的體積恒定，應(yīng)用圓臺(tái)、圓柱的體積公式列方程求圓柱部分水面高度h.【詳解】由題設(shè)，水的體積為，所以，可得.故答案為：7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，若側(cè)面PAB和底面ABCD所成角的正切值為，則四棱錐的體積為．【答案】/【分析】過作平面于，過作于，連接，可得為平面PAB和底面ABCD所成的角，進(jìn)而可得，可求體積.【詳解】過作平面于，過作于，連接，因?yàn)槠矫妫?，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為平面PAB和底面ABCD所成的角，所以，所以，，所以，又因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，所以，所以，所以，所?故答案為：.8．一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上，下底面半徑的比是1：4，截去小圓錐的母線長(zhǎng)為3cm，圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積為．【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)圖形特征結(jié)合相似得出邊長(zhǎng)，再應(yīng)用圓臺(tái)體積公式計(jì)算求解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，截得的圓臺(tái)的上、下底面半