2/37專題1.3多面體與旋轉(zhuǎn)體教學(xué)目標(biāo)通過空間幾何體概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過對(duì)實(shí)物模型的觀察，歸納認(rèn)知多面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征．教學(xué)難點(diǎn)：能運(yùn)用面體、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計(jì)算．知識(shí)點(diǎn)01多面體1、多面體定義：由三角形或平面多邊形圍成的；如：棱柱、棱錐、棱臺(tái)等幾何體都是多面體；2、多面體可以用它的面的數(shù)量進(jìn)行命名：有幾個(gè)面的多面體就叫做幾面體；例如，三棱錐有一個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面，所以是；長方體（四棱柱）有六個(gè)面，是．一般地，一個(gè)棱錐,有一個(gè)底面和個(gè)側(cè)面，所以是；棱柱或棱臺(tái)有兩個(gè)底面和個(gè)側(cè)面，所以是；由此可見，面數(shù)最少的多面體是四面體，即三棱錐;3、與平面上的正多邊形類比：在空間中可以考慮正多面體；如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的或，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都，這個(gè)多面體就叫做；【即學(xué)即練】如圖，給定一個(gè)正方體形狀的土豆塊，只切一刀，可以得到下面哪些類型的多面體？①四面體；

②四棱錐；

③四棱柱；④五棱錐；

⑤五棱柱；

⑥六棱錐；⑦七面體．（找出可能的結(jié)果，并將序號(hào)填在橫線上）知識(shí)點(diǎn)02正四面體正四面體（四個(gè)面都是三角形的三棱錐）在立體幾何中的作用相當(dāng)于三角形在平面幾何中的作用；將正四面體放在正方體中。1、若正四面體棱長設(shè)作1，則對(duì)應(yīng)的正方體棱長為________,外接球半徑為________；正四面體的體積________,正四面體的高_(dá)_______結(jié)論1：正四面體的對(duì)棱相互垂直結(jié)論2：（體積）結(jié)論3：(高)利用正方體對(duì)角線可求外接圓半徑和正四面體的高(直接法，等體積法，結(jié)論3法)（簡單實(shí)用）【即學(xué)即練】在正四面體中，設(shè)，則四面體的體積等于（

）.A．1 B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03多面體的折疊與展開1、由多面體畫平面展開圖，一般要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖；2、由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推；3、求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過的最短距離，常將幾何體的側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題；【即學(xué)即練】如圖，在長方形中，，在上存在一點(diǎn)，沿直線把折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若的面積為，那么折疊的的面積為（

）A．30 B．20 C． D．知識(shí)點(diǎn)04旋轉(zhuǎn)體由一個(gè)平面封閉圖形繞其所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間封閉幾何體稱為；這條直線叫做該；與旋轉(zhuǎn)體類似地可以定義空間中的旋轉(zhuǎn)面：一條平面曲線（包括直線、折線等）繞其所在平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形稱為；圓柱、圓錐和圓臺(tái)的概念（1）圓柱、圓錐和圓臺(tái)的定義將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、、所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺(tái)；（2）與圓柱、圓錐、圓臺(tái)有關(guān)的概念繞著旋轉(zhuǎn)的這條直線叫做；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做；【即學(xué)即練】已知中，，將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是．題型01多面體的概念【典例1】若四面體的三對(duì)相對(duì)棱分別相等，則稱之為等腰四面體，若四面體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，則稱之為直角四面體，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，可以得到等腰四面體、直角四面體的個(gè)數(shù)分別為（

）A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8【變式1】下列多面體中，屬于五面體的是（

）A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱柱 D．五棱錐【變式2】下列說法中，正確的是（

）A．底面是正多邊形，而且側(cè)棱長與底面邊長都相等的多面體是正多面體B．正多面體的面不是三角形，就是正方形C．若長方體的各側(cè)面都是正方形，它就是正多面體D．正三棱錐就是正四面體【變式3】如果一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這個(gè)多面體就叫做正多面體.下列幾何體中，所有棱長均相等，同一表面的角都相等，則是正多面體.（寫出所有正確的序號(hào)）

題型02正四面體和正三棱錐【典例1】盧浮宮玻璃金字塔是世界著名建筑，其結(jié)構(gòu)單元中采用了正四面體衍生的索桁架體系，通過交叉拉索與剛性桿件形成穩(wěn)定單元，體現(xiàn)了正四面體在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的力學(xué)優(yōu)勢．一個(gè)正四面體兩側(cè)面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【變式1】已知正四面體（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為，設(shè)能裝下正四面體的最小正方體的體積為，正四面體的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為，則（

）A． B． C． D．【變式2】在正三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【變式3】已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成角是，則三棱錐的體積等于（

）A． B． C．2 D．1【變式4】在正四面體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為．

題型03折疊與展開面問題【典例1】如圖，已知中，是邊上的高，以為折痕折疊，使為直角.求證：平面平面，平面平面.

【變式1】如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長為a，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，的周長的最小值為，則側(cè)棱SA，SC的夾角為（

）A． B． C． D．【變式2】圓錐頂點(diǎn)，底面半徑為1，母線的中點(diǎn)為，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)的最短路線中，其中下坡路的長是（

）A．0 B． C． D．【變式3】在平行四邊形ABCD中，，，將此平行四邊形沿對(duì)角線BD折疊，使平面平面CBD，則三棱錐A-BCD外接球的體積是.【變式4】如圖,??分別為正三角形的三邊中點(diǎn),的中點(diǎn)為,若沿著??折疊,使點(diǎn)??重合,在折疊后的四面體中,直線與所成角的余弦值為.題型04多面體性質(zhì)探究【典例1】多面體的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V?棱數(shù)E與面數(shù)F有關(guān)系.請(qǐng)運(yùn)用歐拉定理解決問題：碳具有超導(dǎo)特性?抗化學(xué)腐蝕性?耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖所示，碳的分子結(jié)構(gòu)是—個(gè)由正五邊形面和正六邊形面共32個(gè)面構(gòu)成的凸多面體，60個(gè)碳原子處于多面體的60個(gè)頂點(diǎn)位置，則32個(gè)面中正五邊形面的個(gè)數(shù)是.【變式1】一個(gè)多面體共有10個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)都有4條棱，面的形狀只有三角形和四邊形，則三角形個(gè)數(shù)與四邊形個(gè)數(shù)分別為（

）A．4、8 B．6、6 C．7、5 D．8、4【變式2】下列說法：①只有正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理②所有凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理③所有簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理④所有多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理其中正確的是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【變式3】螢石是非常漂亮的一種礦物，其原石往往呈現(xiàn)正八面體形狀.在如圖所示的正八面體EABCDF中，EA與平面ABCD所成的角為（

）A． B． C． D．【變式4】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體的所有棱長和為．題型05由平面圖旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體【典例1】如圖，在直角梯形中，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體．一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為．

【變式1】平面直角坐標(biāo)系中以四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（

）A． B．C． D．大小無法計(jì)算【變式2】在梯形ABCD中，，，且，將梯形繞著邊BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成空間幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【變式3】分別以銳角三角形的邊AB，BC，AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積之比為，則（

）A． B． C． D．【變式4】如圖，點(diǎn)M為矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，，，將矩形ABCD沿DM剪去，將剩余部分繞直線BM旋轉(zhuǎn)一周，則所得到的幾何體的表面積為．

題型06由旋轉(zhuǎn)體找出旋轉(zhuǎn)圖形【典例1】如圖所示的組合體，則由下列所示的哪個(gè)三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周可以得到（

）A． B． C． D．【變式1】下列平面圖形中，通過圍繞定直線旋轉(zhuǎn)可得到如圖幾何體的是（

）A． B． C． D．題型07簡單組合體的表面積和體積【典例1】如圖，在梯形中，，則將此梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為（結(jié)果用含的式子表示）．【變式1】如圖，圓錐PO的底面半徑為3，高為，過PO靠近P的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則下列說法正確的序號(hào)有．①圓錐母線與底面所成的角為

②圓錐PO的側(cè)面積為③挖去圓柱的體積為

④剩下幾何體的表面積為【變式2】高中某DIY社團(tuán)一學(xué)生想把實(shí)心的圓錐木塊改造成一個(gè)正四棱柱木塊，且正四棱柱的中心在圓錐的軸上，底面在圓錐的底面內(nèi).已知該圓錐的底面圓半徑為3cm，高為cm，則該正四棱柱側(cè)面積的最大值為cm2.【變式3】“阿基米德多面體”又稱“半正多面體”，與正多面體類似，它們都是凸多面體，每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相同．某些阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行“截角”得到．如圖，正八面體（每個(gè)面都是棱長相等的正三角形）的棱長為6，取各條棱的三等分點(diǎn)，從各棱的三等分點(diǎn)處截去六個(gè)角后可得到一個(gè)阿基米德多面體，則該多面體的表面積為．

【變式4】魔方，又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具.魔方擁有競速?盲擰?單擰等多種玩法，風(fēng)靡程度經(jīng)久未衰，每年都會(huì)舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一，一個(gè)三階魔方，由27個(gè)單位正方體組成，如圖是把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動(dòng)了45°，則該魔方的表面積是.

1．在正三棱臺(tái)中，，，棱臺(tái)的高為，則該棱臺(tái)的體積為.2．某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，母線長為5，則該圓臺(tái)的體積為．3．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為和，若兩底面圓心的連線長為，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長為，該圓臺(tái)的軸截面的面積為．4．給出下列命題：①正棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的矩形；②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；③各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐；⑤圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線．其中正確的命題是．（填序號(hào)）5．三位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選取了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口飲料杯，如圖所示.盛滿飲料后約定：先各自飲杯中飲料一半.設(shè)剩余飲料的高度從左到右依次為，則它們的大小關(guān)系是.6．用透明塑料制作一個(gè)由圓柱和圓臺(tái)組合而成的封閉容器，并往容器內(nèi)部灌入一些水．圖1和圖2為該容器在不同放置方式下的軸截面，其尺寸（單位：cm）如圖所示．若如圖1放置該容器時(shí)，其圓臺(tái)部分恰好充滿水，則如圖2倒立放置該容器時(shí)，圓柱部分水面高度h為cm．7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAB是等邊三角形，若側(cè)面PAB和底面ABCD所成角的正切值為，則四棱錐的體積為．8．一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上，下底面半徑的比是1：4，截去小圓錐的母線長為3cm，圓臺(tái)的高為，則圓臺(tái)的體積為．9．某班級(jí)學(xué)生到工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng)，加工出如圖所示的圓臺(tái)，在軸截面中，cm，且，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．該圓臺(tái)軸截面面積為 B．該圓臺(tái)的高為1cmC．該圓臺(tái)的側(cè)面積為6 D．該圓臺(tái)的體積為10．如圖，圓柱高8cm，