專題27.2平行線分線段成比例（舉一反三講義） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u18496【題型1判斷比例式正誤】 227828【題型2“#”字型】 321904【題型3“X”字型】 420099【題型4“A”字型】 526242【題型5“8”字型】 632179【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 79094【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 85384【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】 926629【題型9作垂線構造平行線分線段成比例】 1118226【題型10作平行線構造平行線分線段成比例】 12知識點平行線分線段成比例1.基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．2.數學語言描述：如圖，已知直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于點A，B，C，D，E，F，則ABBC=DEEF3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)所得的對應線段成比例．如圖（1）、圖（2）所示，BC∥DE，則有ABBD=ACCE，【題型1判斷比例式正誤】【例1】（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，點D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，連接DE、EF、AF，AF交DE于點G，四邊形BFED為平行四邊形，則下列式子一定正確的是（）A．ADBD=DECF B．AEAC=【變式1-1】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，AB∥CD∥EF,AF與BE相交于點G，若AG=1,GD=2,DF=3，則下列結論中錯誤的是（

）A．BGGC=12 B．BGBE=【變式1-2】（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E，F在AC上，且DE∥BC，A．AFAE=AEAC B．DEBC=【變式1-3】如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點DE∥BC，點F為BC邊上一點，連接AF交DE于點G．則下列結論中一定正確的是（A．ADAB=AEEC B．AGGF=【題型2“#”字型】【例2】（2025·浙江杭州·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE:AB=1:3，DF=3，則A．6 B．4 C．5 D．4.5【變式2-1】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，AD∥BE∥CF，若ABBCA．23 B．32 C．2【變式2-2】如圖，直線a∥b∥c，點A，B在直線a上，點C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點E，F，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【變式2-3】（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，則A．47 B．43 C．37【題型3“X”字型】【例3】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，a∥b∥c，m分別交a、b、c于點A、B、C，n分別交a、b、c于點D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，則線段A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5【變式3-1】（24-25八年級下·重慶·期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，若AG=DF=3，GD=1，則BCBE的值為（

A．34 B．23 C．37【變式3-2】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1、l2、l3交于A、B、C三點，直線DF分別與直線l1、l2、l3交于D、E、F三點，AC【變式3-3】已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點A，B，C，截直線l5于點D，E，(1)求DE的長；(2)求OB的長．【題型4“A”字型】【例4】（2025·河南南陽·模擬預測）如圖，△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CG=4，則DF的長為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【變式4-1】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在△ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AF=1，則FC的長是（A．12 B．1 C．2 【變式4-2】（2025·河南·中考真題）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網格線的交點上，點D、E分別是邊BA、CA與網格線的交點，連接DE，則DE的長為（

）

A．12 B．1 C．2 D．【變式4-3】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在3×4的正方形網格中，A、B、C為格點，連接CD，交過點A的水平格線于點E．若小正方形邊長為1，則CE=．【題型5“8”字型】【例5】（2025·安徽亳州·三模）如圖，?ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E的直線MN分別交邊AB，BC于點F，G，交射線DA，DC于點M，N．若MF=3，EF=2，則EG?EN的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．15【變式5-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F，AB=3，FD=2，則EFFB的值為（

A．25 B．38 C．37【變式5-2】如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數量關系式是（）A．1r+1q=1p B．【變式5-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F為AD上一點，EF與AC交于點H，FH=3cm，EH=6

A．22cm B．20cm C．18cm【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】【例6】（24-25九年級下·貴州銅仁·階段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是線段BC上一點，連接AD,∠BAD=15°，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接BE交AC于點F，則CF的長度為【變式6-1】（24-25八年級下·湖南郴州·期末）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE∥CD．若OE=4，則線段CD的長為．【變式6-2】（2025·內蒙古·模擬預測）如圖，BD是△ABC的角平分線，E是AB的中點，連接CE交BD于點F，若CE⊥BD，CE=2BD=8，則線段AB的長為．【變式6-3】如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】【例7】如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQ的長為（

）A．2 B．2．5 C．3 D．4【變式7-1】如圖，點G為△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，連接CG并延長交AB于點D，作DE⊥CB于點E，過點G作GF∥AD交AC于點F，則GFDEA．1 B．43 C．32 【變式7-2】如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么EFEC=（A．13 B．12 C．14【變式7-3】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，將△PCD沿CP折疊，若點D的對應點E恰好是△ABC的重心，則PD的長為．【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】【例8】（2025九年級上·全國·專題練習）如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一條直線上，且AB=3，BC=3，BF分別交AC，DC，DE于點M，N，H(1)FGBG(2)求證：FGBG(3)求：BM:MN:NF的值．【變式8-1】如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，

【變式8-2】如圖，點D是△ABC邊BC上一點，連接AD，過AD上點E作EF∥BD，交AB于點F，過點F作FG∥AC交BC于點G，已知AEED=3(1)求CG的長；(2)若CD=2，在上述條件和結論下，求EF的長．【變式8-3】（24-25八年級下·吉林長春·期中）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在ΔABC中，點D是BC的中點，點E是AC中點．連結AD，BE交于點G，求AG（1）小明發(fā)現，過點D作DH∥BE交AC于解：如圖1，過點D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中點，∴BD=CD，∴CD請你補全余下的解題過程．【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AC分別交DE、BF于M、N，則MNAC【拓展提高】（3）如圖3，點E是AC邊的中點，DC=2BD,AD、BE交于F,AD=10，BE=6,AD⊥BE，直接寫出四邊形CDFE的面積．【題型9作垂線構造平行線分線段成比例】【例9】（24-25九年級下·山東煙臺·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于點O，E為BA延長線上一點，連接OE交AD于點F，若AE=1，則OE的長度為（

）A．412 B．272 C．262【變式9-1】（2025·浙江寧波·三模）如圖，在△ABC中，CD是△ABC的中線，延長CB至點E，使BE=3BC，連接AE，若∠EAB=∠BDC=45°，AB=62，則BC的長為（

A．23 B．3 C．522【變式9-2】（2025·廣東清遠·二模）如圖1，將邊長為4的等邊△ABC沿其BC邊上的高AD剪開，再把△ADC向左平移得到△A′D′C′，當【變式9-3】如圖，在四邊形ABDE中，∠B=∠D=90°，點C是邊BD上一點，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分點FCF<EF，連接AF，過點C作CG⊥AF交AF于點G，延長交AE于點H，若DE=6，∠BAC=30°，則【題型10作平行線構造平行線分線段成比例】【例10】（24-25九年級下·全國·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點E在AD上，射線BE交AC于點F，若AEED=12，AB=10，則【變式10-1】如圖，AG：GD4∶1，BD：DC2∶3，則AE∶EC的值為．【變式10-2】（24-25九年級下·浙江寧波·階段練習）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在邊BC上，且滿足∠ABC=2∠CAD，連結AD．作∠ABC的平分線分別交AC、AD于點E，點F．若AF=2DF，則ABBD=，AE【變式10-3】如圖，在△ABC中，AD與MN交于點G，點G為△ABC的重心，點M、N分別在邊AB、AC上，若AM:AB=3:4，則AN:AC的值為．

專題27.2平行線分線段成比例（舉一反三講義） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u18496【題型1判斷比例式正誤】 227828【題型2“#”字型】 421904【題型3“X”字型】 720099【題型4“A”字型】 926242【題型5“8”字型】 1232179【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 169094【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 205384【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】 2526629【題型9作垂線構造平行線分線段成比例】 3118226【題型10作平行線構造平行線分線段成比例】 37知識點平行線分線段成比例1.基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．2.數學語言描述：如圖，已知直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于點A，B，C，D，E，F，則ABBC=DEEF3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊延長線)所得的對應線段成比例．如圖（1）、圖（2）所示，BC∥DE，則有ABBD=ACCE，【題型1判斷比例式正誤】【例1】（24-25九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，點D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，連接DE、EF、AF，AF交DE于點G，四邊形BFED為平行四邊形，則下列式子一定正確的是（）A．ADBD=DECF B．AEAC=【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理，由平行四邊形的性質可得DE=BF，EF∥AB，DE∥BC，再根據平行線分線段成比例定理逐項分析即可得解．【詳解】解：∵四邊形BFED為平行四邊形，∴DE=BF，EF∥AB，DE∥BC，∴ADBD因為CF≠BC，故D選項不正確，不符合題意；AEACDGEG=BFFC=故選：A．【變式1-1】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，AB∥CD∥EF,AF與BE相交于點G，若AG=1,GD=2,DF=3，則下列結論中錯誤的是（

）A．BGGC=12 B．BGBE=【答案】B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理內容是解答本題的關鍵，三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．【詳解】解：A．AB∥CD，則B．AB∥EF，則C．AB∥EF，則D．AB∥EF，則故選：B．【變式1-2】（24-25九年級上·江蘇南京·期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E，F在AC上，且DE∥BC，A．AFAE=AEAC B．DEBC=【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，證明三角形相似是解題的關鍵．由平行線分線段成比例可得AFAE=AEAC，DEBC=DF【詳解】解：∵DE∥BC，DF∥BE，∴DEBC=ADAB=AE∴AFAE=AEAC，DE∴EF∴AD故選：D.【變式1-3】如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點DE∥BC，點F為BC邊上一點，連接AF交DE于點G．則下列結論中一定正確的是（A．ADAB=AEEC B．AGGF=【答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，推論1：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例；推論2：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例．由此逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，DE∥∴ADAB故選項A結論錯誤，不合題意；∵在△AFC中，EG∥∴AGGF∵EC不一定等于BD，∴AGGF故選項B結論錯誤，不合題意；∵在△ABC中，DE∥∴BDAD故選項C結論正確，符合題意；∵在△AFC中，EG∥∴AGGF故選項D結論錯誤，不合題意；故選C．【題型2“#”字型】【例2】（2025·浙江杭州·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在AB上，EF∥AD交CD于點F，若AE:AB=1:3，DF=3，則A．6 B．4 C．5 D．4.5【答案】A【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據平行線分線段成比例解答．【詳解】解：∵AE:AB=1:3，∴AE:EB=1:2，∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，EF∥∴AD∥BC∥EF，∴AEEB=DF解得FC=6．故選：A．【變式2-1】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，AD∥BE∥CF，若ABBCA．23 B．32 C．2【答案】A【分析】本題考查平行線分線段成比例，先根據平行線分線段成比例得到DEEF【詳解】解：∵AD∥BE∥∴DEEF∴DEDF故選：A．【變式2-2】如圖，直線a∥b∥c，點A，B在直線a上，點C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點E，F，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【答案】B【分析】根據平行線分線段成比例，即可得到BFBD【詳解】解：∵a∥b∥c，∴BFFD∴BFBD故選擇：B.【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例是解題的關鍵．【變式2-3】（24-25九年級上·江蘇徐州·階段練習）如圖，直線AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，則A．47 B．43 C．37【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，正確識別對應線段是解題的關鍵．利用平行線分線段成比例定理，找出線段BD、BF與AC、AE的比例關系，再通過已知線段長度計算比值．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD∵AC=3，CE=4，AE=AC+CE=7，∴BD故選：C．【題型3“X”字型】【例3】（24-25八年級下·吉林長春·期末）如圖，a∥b∥c，m分別交a、b、c于點A、B、C，n分別交a、b、c于點D、E、F，若AB=6，BC=4，EF=3，則線段A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5【答案】B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握比例的運算，平行線分線段成比例的知識是解題的關鍵．根據平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：∵a∥b∥c，AB=6，∴ABBC=DE∴DE=18故選：B．【變式3-1】（24-25八年級下·重慶·期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，若AG=DF=3，GD=1，則BCBE的值為（

A．34 B．23 C．37【答案】D【分析】本題考查了平行線分線段成比例．根據AB∥CD∥EF，得到BCBE【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCBE故選：D．【變式3-2】（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，直線AC分別與直線l1、l2、l3交于A、B、C三點，直線DF分別與直線l1、l2、l3交于D、E、F三點，AC【答案】6【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關鍵．根據平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結果．【詳解】解：∵直線l1∴ABBC∵BC=AB，DE=3，∴EF=3，∴DF=ED+EF=3+3=6，故答案為：6．【變式3-3】已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點A，B，C，截直線l5于點D，E，(1)求DE的長；(2)求OB的長．【答案】(1)24(2)5【分析】（1）由l1∥l（2）由BE∥AD，推出OBAB【詳解】（1）解：∵l1∴DEEF∴DE8∴DE=24（2）解：∵BE∥AD，∴OBAB∴OB3∴OB=5【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．【題型4“A”字型】【例4】（2025·河南南陽·模擬預測）如圖，△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，若EC=2BE=6，CG=4，則DF的長為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了平移的性質，平行線分線段成比例，先根據平移的性質得AB∥EG，AC=DF，再根據平行線分線段成比例求出【詳解】解：∵將△ABC沿著BC邊向右平移得到△DEF，∴AB∥EG，∴CEBE∵CG=4，∴AG=2，∴DF=AC=AG+CG=6．故選：A．【變式4-1】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在△ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點，且EF∥BC．若AE=2，BE=4，AF=1，則FC的長是（A．12 B．1 C．2 【答案】C【分析】本題考查運用平行線分線段成比例定理，解題關鍵是由平行線得到對應邊成比例求解．根據平行對應邊成比例列出等式，代入已知邊的長度，求出FC．【詳解】解：∵EF∥∴AEEB=解得：FC=2，故選：C．【變式4-2】（2025·河南·中考真題）如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC的三個頂點均在網格線的交點上，點D、E分別是邊BA、CA與網格線的交點，連接DE，則DE的長為（

）

A．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，證明出DE是△ABC的中位線是解題關鍵．取格點G、H，由網格的性質可知，EG∥CH，得到ADAB=AGAH=【詳解】解：如圖，取格點G、H，

由網格的性質可知，EG∥∴ADAB=∴D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1故選：B．【變式4-3】（24-25八年級下·山東淄博·期末）如圖，在3×4的正方形網格中，A、B、C為格點，連接CD，交過點A的水平格線于點E．若小正方形邊長為1，則CE=．【答案】61【分析】本題考查了勾股定理、平行線分線段成比例定理，根據勾股定理求出CD的長，再根據平行線分線段成比例得出等式求出CE的長即可．【詳解】解：如圖所示，由AB在網格中的位置，可知MD=ND=1∴DF=DN+FN=5在Rt△CDF中，CD=∵EG∥∴CE∴CE解得：CE=61故答案為：613【題型5“8”字型】【例5】（2025·安徽亳州·三模）如圖，?ABCD中，E為對角線BD上一點，過點E的直線MN分別交邊AB，BC于點F，G，交射線DA，DC于點M，N．若MF=3，EF=2，則EG?EN的值為（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】C【分析】本題主要查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例．根據平行四邊形的性質，可得AD∥BC,AB∥CD，再由平行線分線段成比例可得EGME=BEDE，【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AB∥CD，∴EGME=BE∴EGME∵MF=3，EF=2，∴EG3+2∴EG?EN=10．故選：C【變式5-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F，AB=3，FD=2，則EFFB的值為（

A．25 B．38 C．37【答案】B【分析】根據平行四邊形的性質證得AD∥BC，AD=BC，再根據角平分線的定義和平行線的性質以及等角對等邊證得AF=AB=3，BC=5，再根據平行線分線段成比例和比例性質求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴EFBE∴EFFB故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、平行線的性質、角平分線的定義、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理、比例性質等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．【變式5-2】如圖，AB，CD相交于點E，且AC∥EF∥DB，點C，F，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數量關系式是（）A．1r+1q=1p B．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例，可證得EFAC=BF【詳解】解：∵AC//EF，∴EFAC∵EF//DB，∴EFBD∴EFAC+EF∴1p故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關鍵．【變式5-3】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，F為AD上一點，EF與AC交于點H，FH=3cm，EH=6

A．22cm B．20cm C．18cm【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質，構造輔助線證明兩個三角形全等是關鍵；延長FE交CB的延長線于點G，由平行四邊形的性質及中點條件可證明△AFE≌△BGE，得EG=EF；再由平行線分線段成比例定理即可求得結果．【詳解】解：延長FE交CB的延長線于點G，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAF=∠EBG，∵E為AB的中點，∴AE=BE，∴△AFE≌∴EG=EF，∵EF=EH+FH=3+6=9(cm)∴EG=9cm∴GH=GE+EH=9+6=15(cm∵AD∥BC，∴AHCH即4CH解得：CH=20cm故選：B．

【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】【例6】（24-25九年級下·貴州銅仁·階段練習）如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3,D是線段BC上一點，連接AD,∠BAD=15°，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接BE交AC于點F，則CF的長度為【答案】3?【分析】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的性質與判定，中位線的性質，解直角三角形；延長BC至點C，使CG=BC，連接AG,EG，根據旋轉以及等腰直角三角形的性質證明△ABD≌△AGESAS，進而得出EG=BD,∠AGE=∠ABC=45°，證明CF是△BGE的中位線，解Rt△ACD得出【詳解】解：如圖，延長BC至點C，使CG=BC，連接AG,EG，∵CA=CB=CG,∠ACB=90°，∴△ABG為等腰直角三角形，AB=AG，又∵∠BAG=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠GAE∵AD旋轉得到AE，∴AD=AE∴△ABD≌△AGESAS∴EG=BD,∠AGE=∠ABC=45°，∵∠AGC=45°∴∠CGE=90°，∵∠ACB=90°∴CF∴BFEF=∴BF=EF，∴CF是△BGE的中位線，∴CF=∵∠BAC=45°，∠BAD=15°，∴∠DAC=30°在Rt△ACD中，CD=∴BD=3?∴CF=1故答案為：3?3【變式6-1】（24-25八年級下·湖南郴州·期末）在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OE∥CD．若OE=4，則線段CD的長為．【答案】8【分析】本題考查平行四邊形的性質，三角形中位線定理，證明OE是△BCD的中位線，利用三角形中位線定理求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴O為BD的中點，∵OE∥CD，∴BOOD∴BE=EC，∴E為BC的中點，∴OE為△BCD的中位線，∴CD=2OE=8．故答案為：8．【變式6-2】（2025·內蒙古·模擬預測）如圖，BD是△ABC的角平分線，E是AB的中點，連接CE交BD于點F，若CE⊥BD，CE=2BD=8，則線段AB的長為．【答案】10【分析】先證明△BEF≌△BCFASA，取AD的中點G，連接EG，則EG是△ABD的中位線，即CDDG=CFFE【詳解】∵E是AB的中點，∴AE=BE=1∵CE⊥BD，∴∠BFE=∠BFC=90°．∵BD是△ABC的角平分線，∴∠EBF=∠CBF．又∵BF=BF，∴△BEF≌△BCFASA∴EF=CF．∵CE=2BD=8，∴EF=CF=BD=4．如圖，取AD的中點G，連接EG，∴EG是△ABD的中位線，∴EG=12BD=∴CDDG∴DG=CD．又∵EF=CF，∴DF是△CEG的中位線，∴DF=1∴BF=BD?DF=4?1=3．在Rt△BEF中，BE=∴AB=2BE=2×5=10．故答案為：10.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，三角形中位線，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關鍵.【變式6-3】如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【答案】B【分析】過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根據三角形中位線定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝1【詳解】解：過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M是DE的中點，∴DM＝ME＝12∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝∴NM＝12AG＝1∵DM＝ME，∴S△DMN：S四邊形MFCE＝12DM?NHEM?PG故選：B．【點睛】本題考查了三角形中位線定理及平行線分線段成比例定理．本題關鍵是找準比例關系求解．【題型7平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】【例7】如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQ的長為（

）A．2 B．2．5 C．3 D．4【答案】A【分析】連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點F，連接ED、PQ，由題意易得ED∥BC，ED=12BC【詳解】解：連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點F，連接ED、PQ，如圖所示：∵G是△ABC的重心，延長BG交AC于點D，延長CG交AB于點E，∴AE=BE，AD=DC，∴ED∥BC，又∵P,Q分別是△BCE和△BCD的重心，∴EPPF∴PQ∥ED，∴PQ=1∵BC=12∴PQ=2故選：A．【點睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段成比例是解題的關鍵．【變式7-1】如圖，點G為△ABC的重心，∠C=90°，∠B=30°，連接CG并延長交AB于點D，作DE⊥CB于點E，過點G作GF∥AD交AC于點F，則GFDEA．1 B．43 C．32 【答案】B【分析】首先根據30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出DE=12BD．設DE=a，則BD=2a．再根據重心的定義與性質以及直角三角形的性質得出CD=AD=BD=2a，CGCD=【詳解】解：∵DE⊥CB，∠B=30°，∴DE=1設DE=a，則BD=2a．∵點G為△ABC的重心，∠C=90°，連接CG并延長交AB于點D，∴CD=AD=BD=2a，CGCD∵GF∥AD，∴GFAD∴GF=2∴GFDE故選：B．【變式7-2】如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的中線，點G是△ABC的重心，過點G作GF∥AB交BC于點F，那么EFEC=（A．13 B．12 C．14【答案】A【分析】由題意易得BE=EC，EGAG【詳解】解：∵AE是BC邊上的中線，∴BE=EC，∵點G是△ABC的重心，∴EGAG∵GF∥AB，∴EFBF∴EFBE=1故選A．【點睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心是解題的關鍵．【變式7-3】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，P是AD邊上一點，將△PCD沿CP折疊，若點D的對應點E恰好是△ABC的重心，則PD的長為．【答案】3【分析】此題主要考查了矩形的性質，三角形的重心，圖形的折疊變換及其性質，勾股定理，延長CE交AB于F，在EF的延長線上取一點H，使FH=FE，連接AH，BH，PF，連接AE并延長交BC于點T，連接BE，由折疊的性質得PPD=PE，CE=CD=6，根據點E是△ABC的重心，得AT是BC邊上的中線，CF是AB邊上的中線，則AF=BF=12AB=3，CT=BT，先證四邊形AEBH是平行四邊形得BH∥AE，進而得ET是△CBH的中位線，則EH=CE=6，進而得FH=FE=3，在Rt△BCF中，由勾股定理得BC=CF2【詳解】解：延長CE交AB于F，在EF的延長線上取一點H，使FH=FE，連接AH，BH，PF，連接AE并延長交BC于點T，連接BE，如下圖所示：∵四邊形ABCD為矩形，AB=6，∴∠BAD=∠D=90°，CD=AB=6，AD=BC，由折疊的性質得：PD=PE，CE=CD=6，∠PEC=∠D=90°，∵點E是△ABC的重心，∴AT是BC邊上的中線，CF是AB邊上的中線，即AF=BF=12AB=3又∵FH=FE，∴四邊形AEBH是平行四邊形，∴BH∥AE，即BH∥ET，∴CTBT∵CT=BT，∴CE=EH，∴ET是△CBH的中位線，∴EH=CE=6，∴FH=FE=3，∴CF=CE+FE=6+3=9，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC=∴AD=BC=62∵FE=3，AF=3，∴AF=FE，∵∠PEC=90°，∠BAD=90°，∴∠BAD=∠PEF=90°，在Rt△PAF和RtAF=FEPF=PF∴Rt△PAF≌∴PA=PE，∴PD=PA=1故答案為：32【題型8多次利用平行線分線段成比例求解】【例8】（2025九年級上·全國·專題練習）如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一條直線上，且AB=3，BC=3，BF分別交AC，DC，DE于點M，N，H(1)FGBG(2)求證：FGBG(3)求：BM:MN:NF的值．【答案】(1)3(2)證明見解析(3)BM:MN:NF=2:1:3【分析】（1）由題意可得AB=AC=DC=DE=FE=FG=3，BC=CE=EG=3，從而可得BG=3BC=3（2）由題意可得BC=CE=EG=3，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3（3）由題意可得∠ABC=∠DCE=∠FEG，∠ACB=∠DEC=∠FGE，從而可得AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG，再由平行線分線段成比例定理可得BNNF=33=1，BM:MH:HF=【詳解】（1）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，AB=3，BC=3∴AB=AC=DC=DE=FE=FG=3，BC=CE=EG=3∴BG=3BC=33∴FGBG故答案為：33（2）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，∴BC=CE=EG=3，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3∴FGBG（3）解：∵△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，∴∠ABC=∠DCE=∠FEG，∠ACB=∠DEC=∠FGE，∴AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG，∴BNNF=BC∵BC=CE=EG=3∴BNNF=3∴BN=NF，BM=MH=HF，∴BN?BM=NF?HF，即MN=NH=1∴BM=2MN，NF=3MN，∴BM:MN:NF=2:1:3．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的性質，平行線分線段成比例的運用，掌握等腰三角形的性質，平行線分線段成比例是計算是解題的關鍵．【變式8-1】如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接DE、EF，DE∥BC，EF∥CG，

【答案】9【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,【詳解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,∴AD∴AD∵AD∴AG=9【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式8-2】如圖，點D是△ABC邊BC上一點，連接AD，過AD上點E作EF∥BD，交AB于點F，過點F作FG∥AC交BC于點G，已知AEED=3(1)求CG的長；(2)若CD=2，在上述條件和結論下，求EF的長．【答案】(1)6(2)24【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=（2）由EF∥BD，推出EFBD【詳解】（1）∵EF∥BD，∴AFFB∵FG∥AC，∴BGCG∵BG=4，∴CG=3（2）∵CD=2，CG=6，∴DG=CG?CD=4，∵BG=4，∴BD=BG+DG=8，∵AFBF∴AFAB∵EF∥BD，∴EFBD∴EF8∴EF=24【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這個定理是關鍵．【變式8-3】（24-25八年級下·吉林長春·期中）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：如圖，在ΔABC中，點D是BC的中點，點E是AC中點．連結AD，BE交于點G，求AG（1）小明發(fā)現，過點D作DH∥BE交AC于解：如圖1，過點D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中點，∴BD=CD，∴CD請你補全余下的解題過程．【嘗試應用】（2）如圖2，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，連接AC分別交DE、BF于M、N，則MNAC【拓展提高】（3）如圖3，點E是AC邊的中點，DC=2BD,AD、BE交于F,AD=10，BE=6,AD⊥BE，直接寫出四邊形CDFE的面積．【答案】（1）見解析；（2）13；（3）【分析】此題考查了平行四邊形的性質、平行線分線段成比例等知識，理解題意，熟練掌握平行線分線段成比例是解題關鍵．（1）根據平行線分線段成比例定理和中點的定義進行解答即可；（2）連接BD交AC于點O，則點O為BD的中點，點O為AC的中點．根據（1）問可得AMMO=2．同理可得CNNO=2,由點O為（3）過點E作EG∥AD交BC于G，由（1）同理得出CGCD=EGAD=CEAC=12，確定CG=DG=BD，同理確定【詳解】（1）解：如圖1，過點D作DH∥BE交AC于∵D是BC的中點，∴BD=CD，∴CD∵E是AC的中點∴AE=EC∴AE又∵DH∴（2）證明：連接BD交AC于點O，則點O為BD的中點，點O為AC的中點．∵E為AB的中點，根據（1）問可得∴AM同理可得CN∵點O為AC的中點∴AO=OC∴AM=MN=NC，∴MN（3）過點E作EG∥AD交BC于同理得：CGCD∴CG=DG，∵DC=2BD，∴CG=DG=BD，同理得：DFGE∴DFAD=4∴AFFD∴AF=7.5，FD=2.5，同理得：BEBF=2，∴BF=3，EF=3，∴S∴S∴S∵DC=2BD，∴SS△AEF∵=30?11.25=18.75．【題型9作垂線構造平行線分線段成比例】【例9】（24-25九年級下·山東煙臺·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，AC,BD相交于點O，E為BA延長線上一點，連接OE交AD于點F，若AE=1，則OE的長度為（

）A．412 B．272 C．262【答案】A【分析】此題主要考查了矩形的性質，平行線線段成比例定理，三角形中位線定理，理解矩形的性質，熟練掌握三角形中位線定理，勾股定理是解決問題的關鍵．過點O作OH⊥AB于點H，由平行線線段成比例定理證明OH是△ABD的中位線得OH=12AD=2，AH=BH=12AB=3【詳解】解：過點O作OH⊥AB于點H，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，∴OB=OD，∠DAB=90°，∵OH⊥AB，∴∠OHB=∠OHE=∠DAB=90°，∴OH∥AD，∴OD又∵OB=OD，∴AHBH∴HA=HB，∴OH是△ABD的中位線，∴OH=12AD=2∵點E為BA延長線上一點，且AE=1，∴EH=AE+AH=1+3在Rt△OEH中，由勾股定理得：故選：A．【變式9-1】（2025·浙江寧波·三模）如圖，在△ABC中，CD是△ABC的中線，延長CB至點E，使BE=3BC，連接AE，若∠EAB=∠BDC=45°，AB=62，則BC的長為（

A．23 B．3 C．522【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，平行線等分線段定理等，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AE于點F，可得∠AGD=90°，AG=DG，AF=BF，即得BF∥CG，然后求得AF，AG，再由平行線等分線段定理和BE=3BC可得EF=9，最后利用勾股定理求得【詳解】解：如圖，延長CD交AE于點G，過點B作BF⊥AE于點F，則∠AFB=90°，∵∠EAB=∠BDC=45°，∴∠ADG=∠BDC=45°=∠EAB，∠ABF=90°?∠EAB=45°，∴∠AGD=90°，AG=DG，AF=BF，∴BF∥∵CD是△ABC的中線，AB=62∴AD=12AB=3∴AG=DG=32∴FG=AF?AG=6?3=3，∵BF∥∴EFFG∵BE=3BC，∴EF3∴EF=9，∴在Rt△EFB中，BE=∴BC=1故選：D．【變式9-2】（2025·廣東清遠·二模）如圖1，將邊長為4的等邊△ABC沿其BC邊上的高AD剪開，再把△ADC向左平移得到△A′D′C′，當【答案】5【分析】本題考查了平移的性質，等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形，掌握平移的性質和等邊三角形的性質是解題的關鍵．過G點作GH⊥BC′，交BC′于點H，由等邊三角形的性質和含30°角的直角三角形，可得BD=CD=2，AD=23，繼而可求出BD′=DD′=C′【詳解】解：如圖，過G點作GH⊥BC′，交BC∵AD是邊長為4的等邊△ABC上的高，∴∠B=∠C=60°，BD=CD=2，AD=3∵D′是BD∴BD∴BC∵∠B=∠C∴∠BGC∴△BC∴BG=BC∴GH=3∵AD是等邊△ABC上的高，∴ED′⊥BD∴ED∴BE又∵點D′是BD∴點E是AB的中點，∴ED′=∴兩個三角形重疊部分面積為S△B故答案為：54【變式9-3】如圖，在四邊形ABDE中，∠B=∠D=90°，點C是邊BD上一點，且AC=CE，AC⊥CE，取CE的三等分點FCF<EF，連接AF，過點C作CG⊥AF交AF于點G，延長交AE于點H，若DE=6，∠BAC=30°，則【答案】9【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定和性質，證明三角形相似是解題的關鍵．過點E作EM⊥CH交CH的延長線于點M，先證明△ACB≌△CED(AAS)，再求出AC=CE=12,AE=122，根據點F為CE的三等分點（【詳解】如解圖①，過點E作EM⊥CE交CH的延長線于點M．∵∠ACE=90°，∠B=∠D=90°，∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵AC=CE，∴△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠DCE=30°，BC=DE=6，∴CE=2DE=12，∵△ACE是等腰直角三