八、統(tǒng)計(一)隨機抽樣和用樣本估計總體

隨機抽樣和用樣本估量總體(1)

要緊內容：1.簡單隨機抽樣2.分層抽樣3.系統(tǒng)抽樣

一、簡單隨機抽樣：

(1)抽取方式：逐個不放回抽?。?/p>

(2)每個個體被抽到的概率相等；

(3)常用方法：抽簽法和隨機數法.

［提醒］簡單隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取，是不放回

油樣，且每個個體被抽到的概率相等.

1.下列抽取樣本的方式是簡單隨機抽樣的有()

①從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本；

②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進行檢驗.在抽樣操作時，

從中任意拿出一支檢測后再放回箱子里；

③從5()個個體中一次性抽取5個個體作為樣本.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

解析：選A①不滿足樣本的總體數較少的特點；②不滿足不放回抽取

的特點；③不滿足逐個抽取的特點.

2.某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分不有150,120/80』50個銷售點.

公司為了調查產品銷售情形，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100

的樣本，記這項調查為①；在丙地區(qū)有20個大型銷售點，要從中抽取7個

調查其銷售收入和售后服務等情形，記這項調查為②，則完成①，②這兩項

調查宜采納的抽樣方法依次是()

A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法

解析：選B一樣甲、乙、丙、丁四個地

區(qū)會存在差異，采納分層抽樣法較好.在

丙地區(qū)中抽取的樣本個數較少，易采納簡

單隨機抽樣法.

3.(2013?江西高考)總體由編號為

01,02,…，19,20的20個個體組成.利用

下面的隨機數表選取5個個體，選取方法

是從隨機數表第1行的第5列和第6列數

字開始由左到右依次選取兩個數字，則選

出來的第5個個體的編號為()

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07

C.02D.01

解析：選D從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右

依次選取兩個數字，則選出的數字為08,02,14,()7,01,…，故選出的第5個個

體的編號為01.

二、系統(tǒng)抽樣的步驟

假設要鎮(zhèn)定量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

(1)先將總體的N個個體編號；

(2)確定分段間隔k,對編號進行分段.當(n是樣本容量)是整數時，取

k=；

(3)在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l(lWk)；

(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將1加上間隔k得到第2個個體編

號1+k,再加k得到第3個個體編號l+2k,依次進行下去，直到獵取整個樣

［提醒］系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數也確實是分段的段數，當

不是整數時，注意剔除，剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差

數列.

1.(2014?廣東高考)為了解1000名學生的學習情形，采納系統(tǒng)抽樣的

方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔％()

A.50B.40

C.25D.20

解析：由=25,可得分段的間隔為25.故選C.

答案：C

解決系統(tǒng)抽樣咨詢題的兩個關鍵步驟

(1)分組的方法應依據抽取比例而定，即按照定義每組抽取一個樣本.

(2

)

起

始

編

號

的

確

定

應

用

簡

單

隨

機

抽

樣

的

方

法

旦

起

始

編

號

確

定

其

他

編

號

便

隨

之

確

定

T

2、

已

知

某

單

位

有

40

名

職

工

現

要

從

中

抽

取

5

名

職

工

將

全

體

職

工

隨

機

按

1

40

編

號

并

按

編

號

順

序

平

均

分

成

5

組

*

按

系

統(tǒng)

抽

樣

方

法

在

各

組

為

抽

取

個

號

碼

59

62

703

81

(1)若第1組抽出的號碼為2,則所有被抽出職工的號碼為

(2)分不統(tǒng)計這5名職工的體重(單位：千克)，獲得體重數據的莖葉圖如

圖所示，則該樣本的方差為.

解析：(1)由題意知被抽出職工的號碼為2,10,電26,34.

(2)由莖葉圖知5名職工體重的平均數

口=口=69,

則該樣本的方差s2X[(59-69)2+(62-69)2+(70-69)2+(73—69)

2+(81-69)2]=62.

答案：⑴2,10,18,26,34

(2)62

三、分層抽樣

(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，

從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本,

這種抽樣方法是一種分層抽樣.

(2)分層抽樣的應用范疇：

當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.

［提醒］分層抽樣中，易忽視每層抽取的個體的比例是相同的，即.

'學生人數和近視情形分不如圖1

視形成緣故，用分層抽樣的方法抽

年級反的高中生近視人數分不為()

圖2

A.100,10B.200,10

C.100,20D.200,20

解析:

選D

易知(3

500+

35歲以下35?50歲50歲以上

4500

+2

000)X

2%=

200,

即樣

本容

量；抽

取的

高中

生人

數為2

000X

2%=

40,由

于其

近視

率為

50%,

因此

近視

的人

數為

40X

50%=

20.

2.某

公司

有一

批專

業(yè)技

術人

員，對

他們

進行

年齡

狀況

和同

意教

育程

度（學

歷）的

調查，

其結

果（人

數分

布）如

下表：

學歷

本科803020

研究生X20y

（1）用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個

容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人學

歷為研究生的概率；

(2)在那個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N

個人，其中35歲以下48人，50歲以上10人，再從這N個人中隨機抽取1

人，此人的年齡為50歲以上的概率為，求x,y的值.

解：(1)用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一

個容量為5的樣本，設抽取學歷為本科的人數為m,???=，解得m=3.

抽取的樣本中有研究生2人，本科生3人，分不記作SI,S2；Bl,B2,

B3.

從中任取2人的所有等可能差不多事件共有10個：(SI,Bl),(SI,B2),

(SI,B3),(S2,Bl),(S2,B2),(S2,B3),(SI,S2),(Bl,B2),(Bl,B3),(B

2,B3),

其中至少有1人的學歷為研究生的差不多事件有7個：(SI,Bl),(S1,

B2),(SI,B3),(S2,Bl),(S2,B2),(S2,B3),(SI,S2).

???從中任取2人，至少有1人學歷為研究生的概率為.

(2)由題意，得=,解得N=78.

???35?50歲中被抽取的人數為78-48-10=20,

)==，解得x=40,y=5.

即x,y的值分不為40,5.

［類題通法］

進行分層抽樣的有關運算時，常利用以下關系式巧解：

樣本容量n該層抽取的個體數

(D總體的個數N—該層的個體數；

(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比.

課后練習：

一、選擇題

1.(2014?湖南高考)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選

取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每

個個體被抽中的概率分不為pl.p2.p3,貝ij()

A.pl=p2<p3B.p2=p3<pl

C.pl=p3<p2D.pl=p2=p3

解析：選D按照抽洋方法的概念可知，簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分

層抽樣三種抽樣方法，每個個體被抽到的概率差不多上，故pl=p2=p3,

故選D.

2.某學校有男、女學生各500名.為了解男、女學生在學習愛好與業(yè)

余愛好方面是否存在明顯差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，

則宜采納的抽樣方法是()

A.抽簽法B.隨機數法

C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法

解析：選D從全體學生中抽取100名應用分層抽樣法，按男、女學生

所占的比例抽取.故選D.

3.(2015?東北三校聯(lián)考)某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產

品數量之比為3：5：7,現用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中甲

種產品有18件，則樣本容量n=()

A.54B.90

C.45D.126

解析：選B依題意得Xn=18,解得n=9(),即樣本容量為90.

4.某中學采納系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體8()0名學生中抽5()

名學生做牙齒健康檢查.現將800名學生從1到800進行編號.已知從33?

48這16個數中取的數是39,則在第1小組1?16中隨機抽到的數是()

A.5B.7

C.11D.13

解析：選B間隔數k==16,即每16人抽取一個人.由于39=2X1

6+7,因此第1小組中抽取的數為7.

5.某班級有男生20人，女生30人，從中抽取10人作為樣本，恰好抽

到了4個男生、6個女生，則下列命題正確的是()

A.該抽樣可能是簡單隨機抽樣

B.該抽樣一定不是系統(tǒng)抽樣

C.該抽樣中女生被扣到的概率大于男生被抽到的概率

D.該抽樣中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率

解析：選A本題看似是一道分層抽樣的題，實

際上每種抽樣方法都可能顯現那個結果，故B

不正確.按照抽樣的等概率性知C,D不正確.

6.福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號

為01,02,…,33的33個個體組成，其彩民利用

下面的隨機數表選取6組數作為6個紅色球的編

號，選取方法是從隨機數表第1行的第6列和第

7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選

出來的第6個紅色球的編號為（）

4954435482173793237887352096438426349164

572455068877047447672176335025839212（）676

A.23B.09

C.02D.17

解析：選C從隨機數表第1行的第6列和第7列數字開始由左到右

依次選取兩個數字，則選出的6個紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02,

故選出的第6個紅色球的編號為02.

二、填空題

7.（2014?天津高考）某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活

動的意向，擬采納分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個

容量為300的樣本進行調查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的

本科生人數之比為4：5：5：6,則應從一年級本科生中抽取名學

生.

解析：設應從一年級本科生中抽取x名學生，

貝U=，解得x=60.

答案:60

8.(2014?湖北高考)甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4800件，

采納分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測.若樣本

中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為件.

解析：分層抽樣中各層的抽樣比相同.樣本中甲設備生產的有50件，

則乙設備生產的有30件.在4800件產品中，甲、乙設備生產的產品總數

比為5：3,因此乙設備生產的產品的總數為1800件.

答案：1800

9.某班運動隊由足球運動員18人、籃球運動員12人、乒乓球運動員

6人組成(每人只參加一項)，現從這些運動員中抽取一個容量為n的樣本，

若分不采納系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個體；當樣本容量為n

+1時，若采納系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個個體，那么樣本容量n為

解析：總體容量為6+12+18=36.當樣本容量為n時，由題意可知，系

統(tǒng)抽樣的抽樣距為，分層抽樣的抽樣比是，則采納分層抽樣法抽取的乒

乓球運動員人數為6X=，籃球運動員人數為12X=，足球運動員人

數為18X=，可知n應是6的倍數，36的約數，故n=6』2/8.當樣本容

量為n+1時，剔除1個個體，現在總體容量為35,系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，

因為必須是整數，因此n只能取6,即樣本容量n為6.

答案：6

10.(2015?北京海淀區(qū)期末)某企業(yè)三個分廠生產同一種電子產品，三

個分廠產量分布如圖所示，現在用分層抽樣方法從三個分廠生產的該產品

中共抽取100件做使用壽命的測試，則第一分廠應抽取的件數為;

匕-

由Jr月第三ZW分L廠U.值;二出一、二、三分廠取出的產品的使用壽命平均

第1分廠

30%

值夕卜時、1030小時，估量那個企業(yè)所生產的該產

品白一小時.

第二分廠

20%

解析：第一分廠應抽取的件數為1()()X5()%=5()；該產品的平均使用壽

命為1020X0.5+980X0.2+1030X0.3=1015.

答案：501015

三、解答題

11.

用分

層抽

樣法

從高

中三

個年

級的

有關

人員

中抽

有關人數抽取人數

取若

千人

緞成

研究

小

組，

有關

數據

見下

表：

年級

高一99X

高二27y

高三182

(1)求x,y的值；

(2)若從高二、高三年級抽取的人中選2人，求這2人都來自高二年級

的概率.

解：(1)由題意可得==,因此x=ll,y=3.

(2)記從高

一年級推

取的3人

為bl,b2,

b3,從高

三年級推

取的2人

為cl,c2.

則從這兩

個年級推

4045505560

取的5人

中選2人

的所有等

可能差不

多事件共

有10個：

(bl,b2),

(b1,b3),

(bl,cl),

(bl,c2),

(b2,b3),

(b2,cl),

(b2,c2),

(b3,cl),

(b3,c2),

(cl,c2),

設所選的

2人都來

自高二年

級為事件

A,則A

包含的差

不多事件

有3個：

(bl,b2),

(bl,b3),

(b2,b3).

則P(A)=

=0.3,

故所選的

2人都來

自高二年

級的概率

為0.3.

12.一次

數學模擬

考試，共

12道選擇

題,每題5

分，共計

60分，每

道題有四

個可供選

擇的答案，

僅有一個

是正確的.

學生小張

只能確定

其中10道

題的正確

答案,其

余2道題

完全靠推

測回答.

小張所在

班級共有

40A,此

次考試選

擇題得分

情形統(tǒng)計

表如下：

得分（分）

百分率15%10%25%40%10%

現采納分層抽樣的方法從此班抽取20人的試卷進行選擇題質量分析.

(1)應抽取多少張選擇題得60分的試卷？

(2)若小張選擇題得60分，求他的試卷被抽到的概率.

解:(1)得60分的人數為40X10%=4.

設抽取x張選擇題得60分的試卷，則=,

則x=2,故應抽取2張選擇題得6()分的試卷.

(2)設小張的試卷為al,另三名得60分的同學的試卷為a2,a3,a4,所

有抽取60分試卷的方法為：(al,a2),(al,a3),(al,a4),(a2,a3),(a2,a4),

(a3,a4)共6種，其中小張的試卷被抽到的抽法共有3種，故小張的試卷被抽

到的概率為.

第三節(jié),用樣本估量總體

課前0》雙基落實這樣自檢要比死記更仃效/應學4用書P153

基礎盤查一頻率分布直方圖

(一)循綱憶知

1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻

率分布折線圖，體會他們各自的特點.

2.會用樣本的頻率分布估量總體分布.

(二)小題查驗

1.判定正誤

頻率/組距小矩形的高表示頻率()

個長方形的面積之和為1()

0.34

0.28

0.201—攵編)如圖是100位居民月均用水量的頻率分布

0.12

1—10.08

直72.5)范疇內的居民數有人.

O0.511.522.533.5月均用

水屆/1

答案：25

頻率/組距

的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數據落

*不為

°159131721樣本數據

解析：由頻率分布直方圖可得樣本數據落在［5,9）內的頻率為0.05X4=

0.2,頻數為0.2X200=40.

答案:0.2,40

基礎盤查二莖葉圖

（一）循綱憶知

會畫莖葉圖，明白得莖葉圖的特點，同時會用莖葉圖估量總體分布.

（二）小題查驗

1.判定正誤

（1）莖葉圖一樣左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的

順序寫，相同的數據能夠只記一次（）

（2）莖葉圖只適用數據為兩位數字（）

答案：⑴義（2）X

2.（人教A版教材習題改編）某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場競賽得

分記錄用莖葉圖表示，從莖葉圖的分布情形看，運動員的發(fā)揮更穩(wěn)

答案：乙

5

?

武

漢

調

研

)

將

某

選

手

的

9

個

得

分

去

掉

1

個

最

高

分

去

掉

個

聶

低

分

,7

個

剩

余

分

數

的

平

均

分

為

91

現

場

作

的

9

個

分

數

的

莖

葉

到

后

來

有

1

個

數

據

模

糊

無

法

辨

認

在

S

以

X

表

示

則

7

個

剩

余

分

數

的

方

差

為

877

94010x91

解析：由題圖可知去淖的兩個數是87,99,因此87+90X2+91X2+94

+90+x=91X7,解得x=4.

因此s2=」X[(87-91)2+(90-91)2X2+(91—91)2X2+(94—91)2X2]

=36/

7答案:y

基礎盤查三樣本的數字特點

(一)循綱憶知

1.明白得樣本數據標準差的意義和作用，會運算數據標準差.

2.能從樣本數據中提取差不多的數字特點(如平均數、標準差)，并作出

合理的講明.

3.會用樣本的差不多數字特點估量總體的差不多數字特點，明白得樣

本估量總體的思想.

4.會用隨機抽樣的差不多方法和樣本估量總體的思想解決一些簡單的

實際咨詢題.

(二)小題查驗

1.判定正誤

(1)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(

)

(2)在頻率分布直方圖中，眾數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等

的()

(3)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢(

)

(4)一組數據的方差越大，講明這組數據的波動越大()

答案：(1)J(2)X(3)V(4)7

2.(人教A版教材習題改編)兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶

10次，每次命中的環(huán)數如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

由此估量的射擊成績更穩(wěn)固.

答案：乙

3.(2015喃京一模)若一組樣本數據2,3,7,8,a的平均數為5,則該組數

據的方差s2=.

解析：=5,，a=5.

1,A

?%2=早(2—5)2+(3—5)2+(7—5)2+(8—5)2+(5—5)2]=望

答案卷

整案電考點突破一不同考點不同設計更高麴寸應學生用書p154

考點一頻率分布直方圖1(基礎送分型考點一一自主練透)

［必備知識］

1.作頻率分布直方圖的步躲

(1)求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)；

(2)決定組距與組數;

(3)將數據分組；

(4)列頻率分布表；

(5)畫頻率分布直方圖.

2.頻率分布直方圖的性質

(1)小長方形的面積=組距X=頻率.

(2)各小長方形的面積之和等于1.

(3)小長方形的高=,所有小長方形的高的和為.

［提醒］利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，易出錯，應

注意區(qū)分這三者.在頻率分布直方圖中：

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；

(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個

小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.

［題組練透］

1.(2015?湖北黃岡月考)從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高

(單八.禹4%翟短處卻*頻率分布直方圖(如圖).若要從身高在［120,130),［1

30,1的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項

0.020

活Z0.0100］內的學生中選取的人數應為()

0.005

O100110120130140150身高

A.2B.3

C.4D.5

解析：選B依題意可得10X(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=l,則a

=0.03.

因此身高在［120,130),［130,140),［140,150］三組內的學生比例為3：2：

因此從身高在［140,150］內的學生中選取的人數應為3.

2.(2015?河南三市調研)在檢驗某產品直徑尺寸的過程中，將某尺寸分

成若干組，⑶b)是其中的一組，抽查出的個體數在該組上的頻率為m,該

組在頻率分布直方圖上的高為h,則|a—b|等于()

C.mhD.與h,m無關

解析：選A按照概率分布直方圖的概念可知，|a—b|Xh=m,由此可

知|a一b|=

頻率/組建?層1000人的月工資收入，并按照調查結果

畫H0.05圖，為了了解工薪階層對月工資收入的中意

程月0.04周查的1000人中抽出100人做電話詢訪，則

0.02

(30,0.01

10152025303540月工費（百元）

解析：月工資收入落在(3(),35］(百元)內的頻率為1一(0.02+().()4+().()5

+0.05+0.01)X5=1-0.85=0.15,則0.15+5=0.03,因此各組的頻率比為

0.02：0.04：0.05:0.05：0.03：0.01=2：4：5：5：3：1,因此(30,35］(百

元)月工資收入段應抽出X100=15(人).

答案：15

［類題通法］

I.繪制頻率分布直方圖時需注意：

(1)制作好頻率分布表后，能夠利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該

表是否正確；

(2)頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率.

2.由頻率分布直方圖進行有關運算時，需把握下列關系式：

(1)X組距=頻率.

(3)二頻率，此關系式的變形為二樣本容量.樣本容量x頻率二頻

數.

考點二莖葉圖1(重點保分型考點一一師生共牙)

［必備知識］

莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數.

在樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的成效較好.

［提醒］莖葉圖的繪制需注意：

(1)“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一樣不需

要統(tǒng)一；

(2)重復顯現的數據要重復記錄，不能遺漏，專門是“葉”的位置上的數

據.

［典題例析］

某

學

校

隨

機

抽

取

20

個

班

調

查

各

班

中

有

網

上

購

物

經

歷

的

人

教

所

得

數

據

的

莖

葉

圖

如

E

所

示

以

組

距

為

5

將

數

據

分

組

成

10

,5

),

[5

J

0)

[3

0,

35

),

[3

5,

40

J8率/煙柜

9vM

頻率/1HH?

解析：選A由分組可知C,D一定不對；由莖葉圖可知［0,5）有1人，［5,

10）有1人，，第一、二小組頻率相同，頻率分布直方圖中矩形的高應相等，

可排除B.

［類題通法］

在使用莖葉圖時，一定要觀看所有的樣本數據，弄清晰那個圖中數字

的特點，不要漏掉了數據，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義.

［演練沖關］

(2015?廣州調研)如圖是2014年某大學自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評

委為某考生打出的分數的莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，

所剩數據的平均數和眾數依次為()

A.85,84B.84,85

C.

86

,8

4

79

844647

93

解析：選A由圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據為

84,84,84,86,87.

???平均數為二85,眾數為84.

考點三樣本的數字特點|(常考常新型考點一一多角探明)

［必備知識］

1.方差和標準差

方差和標準差反映了數據波動程度的大小.

方差：s2=［(xl—)2+(x2—)2H-----F(xn-)2］,

標準差j____________________________________________

1————

xl—x2+x2-x2H-Fxn—x2］.

2.眾數：顯現次數最多的數據；

中位數：將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據(或最中

間兩個數據的平均數)；

平均數：樣本數據的算術平均數.

［多角探明］___________________________________________________

在考查中，樣木的數字特點常與頻率分布直方圖、莖葉圖等知識交匯命題.常見的命題

角度有：

(1)樣本的數字特點與直方圖交匯；

(2)樣本的數字特點與莖葉圖交匯：

(3)樣本的數字特點與優(yōu)化決策咨詢題.

角度一：樣本的數字特點與直方圖交匯

q頻數……一3碗一一’.一次射擊競賽中各射靶5次，兩人

3§0

K,.22

成綽L.切勿以多留..…月..照］,.呢.

O345678910環(huán)數力345678910環(huán)數

甲乙

A.甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數

B.甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

解析：選C甲的平均數是=6,中位數是6,極差是4,方差是=2；

乙的平均數是=6,中位數是5,極差是4,方差是=，故選C.

角度二：樣本的數字特點與莖葉圖交匯

2.(2015

?濰坊聯(lián)

考)某學

校從高二

甲、乙兩

個班中各

選6名同

學參加數

學競賽,

他們取得

的成績

（滿分100

分）的莖

葉圖如

圖，其中

甲班學生

成績的眾

數是85,

乙班學生

成績的平

均分為

81,貝Ix

+y的值

為（）

甲

9778y

50A8110

I92

A.6B.7

C.8D.9

解析：選D由眾數的定義知x=5,由乙班的平均分為81得=81,

解得y=4,故x+y=9.

角度三：樣本的數字特點與優(yōu)化決策咨詢題

3.（2015?哈

爾濱四校

統(tǒng)考）甲、

乙、丙、丁

四人參加

某運動會

射擊項目甲乙丙T

選拔賽，四

人的平均

成績和方

差如下表

所不：

平均環(huán)數78.38.88.88.7

方差/3.53.62.25.4

從這四個人中選擇一人參加該運動會射擊項目競賽，最佳人選是（

）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析：選C由題目表格中數據可知，丙平均環(huán)數最高，且方差最小，

講明技術穩(wěn)固，且成績好，選C.

［類題通法］

1.用樣本估量總體時，樣本的平均數、標準差只是總體的平均數、標

準差的近似.實際應用中，需先運算數據的平均數，分析平均水平，再運算

方差（標準差）分析穩(wěn)固情形.

2.若給出圖形，一方面能夠由圖形得到相應的樣本數據，再運算平均

數、方差（標準差）；另一方面，能夠從圖形直觀分析樣本數據的分布情形，

大致判定平均數的范疇，并利用數據的波動性大小比較方差（標準差）的大

小.

課后。7演練提能針對高考式活掌控史實族B本課時跟蹤檢測（六十）

一、選擇題

1.（2015?遼寧五校聯(lián)考）關于一組數據xi（i=l,2,3,…，n）,如果將它們

改變?yōu)閤i+C（i=1,2,3,…，n）,其中CW0,則下列結論正確的是（）

A.平均數與方差均不變

B.平均數變，方差保持不變

C.平均數不變，方差變

D.平均數與方差均發(fā)生變化

解析：選B由平均數的定義，可知每個個體增加C,則平均數也增加

C,方差不變，故選B.

2.某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：［50,60）,

[60,70),(70,80),[80,90),[90,100],則圖中a的值為(

A.0.006B.0.005

C.0.0045D.0.0025

解析：選

B由題

意知,a=

=0.005.

3.如圖是H組

I,n兩

紐各7名

同學體重

（單位：kg）

數據的莖

葉圖.設

I,n兩

經數據的

平均數依

次為1

和2,標

注差依次

為si和

s2,那么

（）

I組

36785468

I60I

02723

A.1>2,sl>s2B.1>2,sl<s2

C.1<2,sl>s2D.1<2,sl<s2

解析：選D由題中莖葉圖可得1=61,2=62,si=,s2=，故

選D.

4.（2015?沈陽質量檢測）某大學對1000名學生的自主招生水平測試成績進行統(tǒng)計，得到樣本頻

率分布直方圖（如圖），則這1000名學生在該次自主招生水平測試中成績不低于70分的學生數是（

)

A.300B.400

C.500D.600

解析:

選D乙

依題

意得,

題中

的1

000

名學

生在

該次

自主

招生

水平

測試

中成

績不

低于

70分

的學

生數

是1

000X

(0.03

5+

0.015

+

().010

)X10

5.（2015?鄭州第一次質量推測）PM2.5是指大600,

氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為選D.

可入肺顆粒物.如圖是按照某地某日早7點到晚甲

0.04

8點甲、乙兩個PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數據（單位：21236

930.059

毫克/立方米）列出的莖葉圖，則甲、乙兩地濃度的

6210.0629

方差較小的是（）3310.079

A.甲B.乙640.087

70.09246

C.甲、乙相等D.無法確定

解析：選A從莖葉圖上能夠觀看到：甲監(jiān)測點的樣本數據比乙監(jiān)測

點的樣本數據更加集中，因此甲地濃度的方差較小.

6.如圖是依據某都市年齡在20歲到45歲的居民上網情形調查而繪制

007〔舞浮華距

的獷一讓L已知年齡在［30,35）,［35,40）,［40,45］的上網人數呈遞

減%網民年齡在［35,40）的頻率為（）

O202530354045年齡/歲

A.0.04B.0.06

C.0.2D.0.3

解析：選C由已知得網民年齡在［20,25）的頻率為0.01X5=0.05,在［2

5,30）的頻率為007X5=0.35.因為年齡在［30,35）,［35,40）,［40,45］的上網人

數呈遞減的等差數列分布，因此其頻率也呈遞減的等差數列分布，又年齡

在［30,45］的頻率為1一0.05—0.35=0.6,因此年齡在［35,40）的頻率為0.2.故

選C.

一捕六麻

頻率

組距一片經濟林的生長情形，隨機抽測了其中

60才0T...........T\\_f得數據均在區(qū)間［80,130］上，其頻率分

布j鬻二二jZ""r"H株樹木中，有株樹木的底部周

°8090100110120130底部局長/cm

解析：由頻率分布直方圖可得樹木底部周長小于100cm的頻率是（0.02

5+0.015）X10=0.4,又樣本容量是60,因此頻數是0.4X60=24.

答案：24

8.下圖莖

葉圖是甲、

乙兩人在5

次綜合測

評中的成

績，其中一

個數字被

污損，則甲乙

的平均成

績超過乙

的平均成

績的概率

為

甲

98--8337

2109?9

解析：由圖可知，甲的5次成績分不是88,89,90,91,92,易知甲的平均分

為90.乙的成績分不是83,83,87,99,其中被污損的成績?yōu)?0到99中的某一

個.設被污損的那次成績?yōu)閤,由甲的平均成績超過乙的平均成績，得<9

0.因此x<98.又x是90到99的十個整數中的其中一個，其中有8個整數小

于98,因此xV98的概率為=.

答案：|4

9.

(2

01

5

南

昌

模

)

在

次

演

講

競

賽

,6

位

評

委

對

名

選

手

打

分

的

莖

葉

圖

如

圖

所

示

若

去

掉

個

最

高

分

和

個

最

低

分

得

到

組

數

據

xi

(1

i

W

4)

在

如

圖

所

示

的

程

序

框

圖

中

是

這

4

個

數

據

的

平

均

數

則

輸

出

的

V

的

值

為

778

8024

解析：按照題意得到的數據為78,80,82,84,則二81該程序框圖的功

能是求以上數據的方差，故輸出的v的值為

78—812+80—812+82—812+84—812_

——5.

4

織好“市九運會”，組委會征集了800名理

,后，得到如圖所示的頻率分布直方圖，然而

t,依據此圖可得：

(1)年齡在［25,30)內對應小長方形的高度為；

(2)這800名理想者中年齡在［25,35)內的人數為.

解析：(1)因為各個小長方形的面積之和為1,因此年齡在［25,30)內對應

小長方形的高度為［1-(5X0.01+5X0.07+5X0.06+5X0.02)］=0.04.

(2)年齡在［25,35)內的頻率為0.04X5+0.07X5=0.55,人數為0.55X80

0=440.

答案：(1)0.04(2)440

三、解答題

11.(2015?合肥

質檢)某電視臺

舉辦青年歌手

大獎賽，有十乙

名評委打分，

已知甲、乙兩名

選手演唱后的

得分如莖葉圖

所示：

甲

6439I5

877542801366889

97

(1)從統(tǒng)計的角度，你認為甲與乙比較，演唱水平如何樣？

(2)現場有三名點評嘉賓A.B、C,每位選手能夠從中選兩位進行指導，

若選手選每位點評嘉賓的可能性相等，求甲、乙兩選手選擇的點評嘉賓恰有

/甲的選擇乙的選擇

一^{A,B}

伏,陰----------M.C};導：甲=87.5,乙=86.7,甲〉乙，因此甲演

J'-{A.C}

唱月7方差較大，即評委對甲的水平認可存在較大的差

一^U.B)

異.U.C}V----------{A,C}

{B.C}

_{A.H]、差不多事件:

{B,C}_{A,C}

{B.c]

其中，甲、乙兩選手選擇的點評嘉賓恰重復一人包含6個差不多事件.

因此所求概率為=.

12.(2

015?

廣州

調研)

某單

位Ng

職員

[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]

參加

“社

區(qū)低

碳你

我他”

活

動.他

們的

年齡