專題二

函數(shù)綜合1．以近幾年函數(shù)綜合題為訓練背景，讓學生感受中考函數(shù)題的考查難度．2．通過解題歸納考查的知識和方法，了解命題者的設(shè)問方式．1．(2022·貴陽)已知二次函數(shù)y＝ax2＋4ax＋b.(1)求二次函數(shù)圖象的頂點坐標(用含a，b的代數(shù)式表示)；(2)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象過(1，c)，(3，d)，(－1，e)，(－3，f)四點，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；(3)點M(m，n)是二次函數(shù)圖象上的一個動點，當－2≤m≤1時，n的取值范圍是－1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達式．解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x2＋4x＋4－4)＋b＝a(x＋2)2＋b－4a，∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(－2，b－4a)．(2)由(1)得拋物線對稱軸為直線x＝－2，當a＞0時，拋物線開口向上，∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，∴d＞c＞e＝f.當a＜0時，拋物線開口向下，∵3－(－2)＞1－(－2)＞(－1)－(－2)＝(－2)－(－3)，∴d＜c＜e＝f.解：(1)∵四邊形OABC是矩形，∴BC∥OA，AB⊥OA．∵D(4,1)是AB的中點，∴B(4,2)．∴點E的縱坐標為2.3.(2025·山西)綜合與實踐問題情境：青蛙騰空階段的運動路線可看作拋物線．我國某科研團隊根據(jù)青蛙的生物特征和運動機理設(shè)計出了仿青蛙機器人，其起跳后的運動路線與實際情況中青蛙騰空階段的運動路線相吻合．實驗數(shù)據(jù)：仿青蛙機器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運動路線的最高點距地面60cm，起跳點與落地點的距離為160cm.數(shù)學建模：如圖①，將仿青蛙機器人的運動路線抽象為拋物線，其頂點為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機器人在水平地面上的起跳點為O，落地點為M.以O(shè)為原點，OM所在直線為x軸，過點O與OM所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系．(1)請直接寫出頂點N的坐標，并求該拋物線的函數(shù)表達式．問題解決：已知仿青蛙機器人起跳后的運動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．(2)如圖①，若仿青蛙機器人從點O正上方的點P處起跳，落地點為Q，點P的坐標為(0,75)，點Q在x軸的正半軸上．求起跳點P與落地點Q的水平距離OQ的長．(3)實驗表明：仿青蛙機器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點在豎直方向上的距離不少于3cm，才能安全通過．如圖②，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm.仿青蛙機器人從距離AB左側(cè)80cm處的地面起跳，發(fā)現(xiàn)不能安全通過該障礙物．若團隊人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度(平臺的大小忽略不計，障礙物的縱切面與仿青蛙機器人的運動路線在同一豎直平面內(nèi))．(2)∵拋物線的形狀不變，P(0,75)，故第二次的函數(shù)圖象可以看作由(1)的拋物線向上平移75個單位長度得到的，4.(2024·湖南)已知二次函數(shù)y＝－x2＋c的圖象經(jīng)過點A(－2,5)，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是此二次函數(shù)的圖象上的兩個動點．(1)求此二次函數(shù)的表達式．(3)如圖②，點P在第二象限，x2＝－2x1，若點M在直線PQ上，且橫坐標為x1－1，過點M作MN⊥x軸于點N，求線段MN長度的最大值．(1)解：∵二次函數(shù)y＝－x2＋c的圖象經(jīng)過點A(－2,5)，∴5＝－4＋c，解得c＝9.∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2＋9.(2)證明：當y＝0時，0＝－x2＋9，解得x1＝－3，x2＝3.∴B(3,0)．設(shè)直線AB的表達式為y＝kx＋b，5.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為直線x＝1，與x軸交于點A，B(5,0)，且過點C(－1，6)．(1)求拋物線的解析式．(2)若直線y1與拋物線交于點M(m，yM)，N(n，yN)，已知m≤1≤n，mn＜0，且當m≤x≤n時，y的最小值為2m，最大值為4n.當y1＜y時，求x的取值范圍．(3)設(shè)拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，連接AD，過點A的直線y2＝k2x＋b2(k2＞0)上是否存在一點P，使得△ABP與△ADE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．(2)由(1)，得拋物線頂點坐標為(1,