第一部分考點研析第二單元方程(組)與不等式(組)第7講一元二次方程及其應(yīng)用考點1一元二次方程及其解法1．一元二次方程的相關(guān)概念概念只含有______個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是______的整式方程叫作一元二次方程

一般形式一22．解一元二次方程的方法方法適用類型注意事項直接開平方法(1)方程缺少一次項時，即ax2+c=0(a≠0，ac＜0).(2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程開方后取值符號是“±”配方法(1)二次項系數(shù)化為1后，一次項系數(shù)是偶數(shù).(2)各項系數(shù)比較小且便于配方的一元二次方程(1)二次項系數(shù)化為1后，一定要在等號兩邊同時加上________________________.

(2)將方程的二次項系數(shù)化為1后，一次項系數(shù)的正負決定配方后括號里邊是加或減一次項系數(shù)一半的平方方法適用類型注意事項公式法適用于所有的一元二次方程，求根公式為x=________________(b2－4ac≥0)

(1)使用求根公式時，要先把一元二次方程化為一般形式，方程的右邊一定要化為0.(2)將a，b，c代入求根公式時應(yīng)注意其符號.(3)若b2－4ac＜0，則原方程無實數(shù)根

方法適用類型注意事項因式分解法(1)常數(shù)項為0，即ax2+bx=0(a≠0).(2)一元二次方程的一邊化為0后，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積在解方程的過程中，等式兩邊不能同時除以相同的因式，以免丟根，如對于一元二次方程(x－1)(x+2)=x+2，不能兩邊同時約去x+2若題目中有“一元二次方程ax2+bx+c=0”，則必然隱含著a≠0這一條件.若未說明方程類型，則需分a=0時是一元一次方程和a≠0時是一元二次方程兩種情況討論.例1

(2025岳陽模擬)某數(shù)學(xué)興趣小組的四人以接龍的方式用配方法解一元二次方程，每人負責(zé)完成一個步驟(如圖)，老師看后，發(fā)現(xiàn)最后結(jié)果是錯誤的，并說：“錯誤是從某位同學(xué)負責(zé)的步驟開始出現(xiàn)的.”則這位同學(xué)是(

)A．甲

B．乙C．丙

D．丁B考點2一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根的判別式(1)__________叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，記作“Δ”，即Δ=__________.

(2)與根的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個根為x1，x2，則x1+x2=______，x1x2=_____b2－4acb2－4ac

例2

(2023衡陽)已知關(guān)于x的方程x2+mx－20=0的一個根是－4，則它的另一個根是______.

變式2

[開放性](2025岳陽模擬)若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x+a=0有實數(shù)根，則a的值可以為____________________.(寫出一個即可)

51(答案不唯一)考點3一元二次方程的實際應(yīng)用1．列一元二次方程解決實際問題的一般步驟審清題意(找等量關(guān)系)→設(shè)未知數(shù)→列一元二次方程→解方程→檢驗→作答.2．常見類型及等量關(guān)系常見類型等量關(guān)系變化率問題設(shè)原始量為a，變化后的量為b.(1)若平均增長率為x，增長次數(shù)為2，則a(1+x)2=b；(2)若平均下降率為x，下降次數(shù)為2，則_____________傳播(繁殖)問題若原始量為a，每個個體每輪傳播(繁殖)的數(shù)量為b，則兩輪傳播(繁殖)后的總數(shù)為a(1+b)2a(1－x)2=b常見類型等量關(guān)系利潤問題利潤=售價－進價(成本)；利潤率=×100%；總利潤=總售價－總進價(總成本)=單個利潤×總銷售量.“每每問題”：若單價每漲a元，少賣b件，則漲價x元，少賣的數(shù)量為件常見類型等量關(guān)系面積問題S陰影=(a－2x)·(b－2x)S陰影=(a－x)(b－x)AB+BC+CD=l，S陰影=x·循環(huán)問題握手問題：總次數(shù)=(x為人數(shù))送禮物問題：總次數(shù)=x(x－1)(x為人數(shù))用一元二次方程解決實際問題時，一般會求得兩個不相等的實數(shù)根，但往往需要結(jié)合題設(shè)中的實際意義舍去不符合題意的根，如增長率不能小于0、下降率不能大于1、邊長不能為負數(shù)等；同時有的要根據(jù)題設(shè)中的限定條件排除不符合題意的根，如“盡可能減少庫存”的意思是“銷量要盡可能大”.

25解：(1)設(shè)該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率為x.由題意，得40(1+x)2=50.解得x1≈0.12=12%，x2≈－2.12(不符合題意，舍去).答：該車企2024年8月份到10月份新能源汽車銷量的平均增長率約為12%.

答：下調(diào)后每輛汽車的售價為21萬元.1．(2025郴州模擬)某市圖書館1月份借閱量為12萬人次，3月份借閱量為20萬人次.設(shè)這兩個月借閱量的平均增長率為x，根據(jù)題意列方程為(

)A．12(1+x)2=20

B．(1+x)2=12+20C．20(1+x)2=12

D．12(1+2x)=20A

220260或85．(2025長沙模擬)某社區(qū)計劃將一個長12m、寬8m的長方形花壇擴建為公共休息區(qū).擴建方案是在花壇四面修建一條寬度相同的小道，使擴建后的長方形公共休息區(qū)的總面積為192m2.(1)求這條小道的寬度.(2)如果用籬笆圍住擴建后的休息區(qū)，需要多少米籬笆?解：(1)設(shè)這條小道的寬度為xm.由題意，得(8+2x)(12+2x)=192.整理，得4x2+40x－96=0.解得x=2或x=