專題突破練1三角恒等變換必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2025河北滄州模擬)cos2π12+sinπ12cosπ12-sin2π12A.1+234 B.C.1+322.(2023新高考Ⅱ,7)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2=A.3-58C.3-53.(2025江西南昌模擬)化簡(jiǎn):sin2α-2cosA.22cosα B.2cosα C.2sinα D.sinα4.(2025湖北襄陽(yáng)模擬)1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割,在某直角三角形中,一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比,叫做該銳角的正割,用sec(角)表示;銳角的斜邊與其對(duì)邊的比,叫做該銳角的余割,用csc(角)表示,則csc10°-3sec10°=()A.-4 B.23C.4 D.-235.(2025湖南懷化二模)若α∈(0,π2),sin(π6-α)=-15,則cos(π6+α)A.23-C.26-6.(2025廣東東莞模擬)設(shè)α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tanα=1+sinβcosβ,則2α-A.π4 B.πC.π2 D.7.(多選題)(2025山東淄博模擬)若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2]A.cos2α=-25B.cos2α=2C.α+β=7πD.α+β=58.(2025北京,13)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),寫出滿足條件的一組(α,β)=.

9.(2025廣東潮州模擬)如圖,三個(gè)相同的正方形相接,則α+β=.

關(guān)鍵能力提升練10.(2025安徽皖北協(xié)作區(qū)一模)如圖,這是一朵美麗的幾何花,且這八片花瓣的頂端A,B,C,D,E,F,G,H用線段依次相連后所得的多邊形恰好是一個(gè)正八邊形,設(shè)∠ACG=α,∠EBH=β,則tan(α+β)=()A.-3 B.-22 C.-22+1 D.-2-111.(多選題)(2025江蘇鹽城模擬)已知銳角α,β滿足1-cos2α2sinα-A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2C.sinα=35D.tanα∶tanβ=2∶312.(2025安徽皖南八校三模)如圖所示,兩個(gè)直角三角形有公共斜邊MN,且MN=1,MB-MA=12,NA-NB=13,設(shè)∠AMN=β,∠BMN=α,則cos(β-α)=.13.(2025清華附中模擬)若實(shí)數(shù)α,β∈[-π,π],且α,β滿足方程組1+2cosα=2cosβ,3+2sinα=2sinβ,則α=核心素養(yǎng)創(chuàng)新練14.(2025湖南岳陽(yáng)二模)已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓,其軸截面是以A為頂點(diǎn)的等腰三角形,若A,B,C分別是該三角形的三個(gè)內(nèi)角,則tanB3+tan2B3+tanB+tanB3tan2BA.3 B.23 C.0 D.1

答案：1.A解析cos2π12+sinπ12cosπ12-sin2π12=cos(2×π12)+=cosπ6+12sin2.D解析由cosα=1-2sin2α2,得sin2α2=1-cosα2=12(1因?yàn)?<α<π2,所以0<α2<π4,所以sinα2>0,3.A解析原式=2sinαcosα-2cos2α224.C解析csc10°-3sec10°=1=-3sin10°=4sin20°sin20°=4.5.C解析因?yàn)閟in(π6-α)=-15,所以sin(α-π6)=15.因?yàn)棣痢?0,π2),所以α-π6∈(-π6,π3),所以cos(α-π6)=1-sin2(α-π6)=265,所以cos(π6+α)=cos[(6.C解析因?yàn)閠anα=1+sinβcosβ,所以sinαcosα=1+sinβcosβ,即sinαcosβ-cosαsinβ=cosα,即sin(α-β)=因?yàn)棣痢?0,π2),β∈(0,π2),所以α-β∈(-π2,π2),π2-則α-β=π2-α,即2α-β=π2.7.AC解析因?yàn)棣痢蔥π4,π],所以2α∈[π2,2π].因?yàn)?<sin2α=55<22,所以3π4<2α<π,則cos2α<0,則cos2α=-1-552=-255,所以A正確;由3π4<2α<π可得3π8<α<π2,又β∈[π,3π2],利用不等式的性質(zhì)可得β-α∈(π2,9π8),α+β∈(11π8,2π),所以cos(β-α)=-1-10102=-31010,則cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin28.(π2,π3)(答案不唯一)解析∵sin(α+β)=sin(α-β),∴sinαcosβ+cosαsinβ=sinαcosβ-cosα∴cosαsinβ=0.①∵cos(α+β)≠cos(α-β),∴cosαcosβ-sinαsinβ≠cosαcosβ+sinαsinβ,∴sinαsinβ≠0.②由①②可知cosα=0,sinβ≠0,可取α=π2,β=π3.故答案為(π2,π39.π4解析由題圖可得tanα=13,tanβ=12,所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=13+121-1310.D解析如圖,連接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH.設(shè)線段AE與CG的交點(diǎn)為O,線段BH與線段AE的交點(diǎn)為M.因?yàn)椤螩OB=∠AOB=π4,所以∠AOC=π2,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=π4.設(shè)OA=a,則易知OB=OE=a,OM=MB=22a,所以tan∠EBH=tan∠EBM=a+22a22a=2+所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtan11.ABD解析由1-cos2α2sinα-sin2所以sinαcosβ=sinβ-cosαsinβ,所以sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β),所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去),故A正確;由1tanα+1tanβ+2tanαtanβ=2,得tanα+tanβtanαtanβ+2tanαtanβ=2,即tanα+tan由A選項(xiàng)得tanβ=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=2,所以tanα=tan[(α+β)-β]=tan(α+β)-tanβ1+tan(α+β)tanβ=-2-21-4=43,即sinαcosα=tanα∶tanβ=43∶2=2∶3,故D正確.故選12.5972解析∠BMN=α,∠AMN=β,由題意可得MB=cosα,NB=sinα,MA=cosβ,NA=sinβ,兩式兩邊平方,左、右相加可得2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=1336,即2-2cos(β-α)=13所以cos(β-α)=5913.-π30(答案不唯一)解析∵∴(①+②,得1+cosα+3sinα=0,根據(jù)輔助角公式得2sin(α+π6)=-∴α+π6=2kπ-π6或α+π6=2kπ+7π6即α=2kπ-π3或α=2kπ+π,k∈Z∵α∈[-π,π],∴可只取α=-π3,此時(shí),2cosβ=1+2cos(-π3)∴β=2kπ,k∈Z,又∵β∈[-π,π],∴可取β=0.14.B解析設(shè)圓錐的底面圓半徑以及圓