2023-2025北京高三二模數(shù)學(xué)匯編

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、單選題

1.（2023北京朝陽高三二模）已知4=1，力=c=sinl,則（）

A.a>b>cB.b>c>ciC.c>a>bD.a>c>b

2.（2024北京朝陽高三二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)乂在其定義域上是增函數(shù)的是（）

A./(x)=sinxB./(x)=cosx

C./(x)=?D./(x)=x*

3.（2023北京豐臺(tái)高三二模）已知A,B是VABC的內(nèi)角,“VABC為銳角三角形”是“sinA>cos6”的

（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023北京海淀高三二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0/）上單調(diào)遞增的是（）

2

A.y=lgAB.y=—C.y=2ldD.y-tanx

x

5.（2024北京昌平高三二模）若0va<b<l,ol,則（）

A.ch<cuB.log<a>k>g?C.sin—>sinyD.ac<be

ab

6.（2024北京西城高三二模）將函數(shù)/（x）=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得圖象再關(guān)于>軸對(duì)

稱，得到函數(shù)g&）的圖象，則飄外=（）

A.1-tan.vB.-1-tcin.vC.-tan(x-l)D.-tan(x+l)

7.（2024北京海淀高三二模）設(shè)函數(shù)/（x）的定義域?yàn)?。，?duì)于函數(shù)/（力圖象上一點(diǎn)（七,%）,若集合

任wRl&（X7o）+）b"（x）,DxwQ｝只有1個(gè)元素，則稱函數(shù)/（力具有性質(zhì)。.下列函數(shù)中具有性質(zhì)素的

是（）

A./（x）=|x-l|B./（x）=lg￥

.7T

C./(x)=VD.〃x)=-sin-x

2

8.（2025北京豐臺(tái)商三二模）“紅移”和“藍(lán)移”是物理學(xué)和天文學(xué)中的概念.如果接收器接收到的光波的頻

率小于波源發(fā)出的光波的頻率，則光的譜線向紅光方向移動(dòng)，稱為“紅移”；如果接收器接收到的光波的頻

率大「波源發(fā)出的光波的頻率，則光的譜線向藍(lán)光方向移動(dòng)，稱為“藍(lán)移記接收器接收到的光波的頻率

為正數(shù)/‘，波源發(fā)出的光波的頻率為正數(shù)/,r和/滿足光的普遍多普勒效應(yīng)公式廣=/法鳥

（尸￡（0,1）為波源運(yùn)動(dòng)速率與光速的比值，。式0,可為波源到接收器的方向與波源運(yùn)動(dòng)方向的夾角）.某同

學(xué)依據(jù)該公式利用加工具制作了“光的普遍多普勒效應(yīng)計(jì)算器“，在給定范圍內(nèi)輸入夕和。的值，點(diǎn)擊“計(jì)

算''按鈕后，運(yùn)行結(jié)果顯示“紅移”、“藍(lán)移”或“無頻移下列說法正確的是（）

A.輸入〃=0和任意夕，運(yùn)行結(jié)果顯不“紅移”

B.輸入。=楙和任意夕，運(yùn)行結(jié)果顯示“藍(lán)移”

471

C.輸入〃==和任意。＞￡,運(yùn)行結(jié)果顯示“紅移”

56

D.輸入/=平和任意運(yùn)行結(jié)果顯示“藍(lán)移”

二、填空題

9.（2023北京房山高三二模）若函數(shù)/（x）=sin（2.Lf）,x€[0，B的圖象與直線），="有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩

42

個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為.

10.（2023北京海淀高三二模）設(shè)函數(shù)/（x）=sins;g（x）=,小,

①若《=5〃7=1,則不等式/（x）＞g（x）的解集為；

②若3=:,且不等式/（力＞屋耳的解集中恰有一個(gè)正整數(shù)，則〃?的取值范圍是.

11.（2025北京豐臺(tái)高三二模）已知直線x=T為函數(shù)/（x）=cos"-3口＞0）圖象的一條對(duì)稱軸，則滿

足條件的一個(gè)。的取值為—；若/"）在區(qū)間卜方，。）上有零點(diǎn)，則口的最小值為.

12.（2025北京高三二模）設(shè)函數(shù)仆）=2sin（2x+D則使得函數(shù)"網(wǎng)苦）在區(qū)間（。身上存

在最大值的一個(gè)0值為.

13.（2024北京通州高三二模）已知的數(shù)〃x）=sin（s+2）（^＞0）,若/（力的最小正周期為兀，/（力

的圖象向左平移g個(gè)單位長度后，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）

O

的圖象，則g（x）=;若/（"在區(qū)間（。4）上有3個(gè)零點(diǎn)，則0的一個(gè)取值為.

14.（2024北京西城高三二模）已知函數(shù)/（x）=sin（公t+p）（&＞0,|同＜5，直線），=坐與曲線），=/（x）

的兩個(gè)交點(diǎn)如圖所示.若|A4|=%且/（力在區(qū)間（行，當(dāng)）上單調(diào)遞減，則/=;".

15.（2023北京豐臺(tái)高三二模）已知函數(shù)/（x）Tcos2x|+l.給出下列四個(gè)結(jié)論;

①/。）的最小正周期是兀;

②的一條對(duì)稱軸方程為X=f;

4

9JT

③若函數(shù)g（x）=/*）+仇〃eR）在區(qū)間0,—上有5個(gè)零點(diǎn)，從小到大依次記為x,々，為，匕，/，則

O_

x}+2（X2+七+七）+/=5兀；

④存在實(shí)數(shù)小使得對(duì)任意”?wR,都存在-［。且百工?，滿足叭4）=/（〃?）+:二伏二1⑵.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

參考答案

1.D

【分析】利用中間值0J可以比較三者的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)椤?hi!<lnl=0,c=sin^e(0,l),

所以a>c>0.

故選：D.

2.D

【分析】根據(jù)已知的各個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，可以直接作出判斷.

【詳解】/(x)=sinx是奇函數(shù)，它在區(qū)間-%k*+2kjv，2eZ上單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)不是增函

數(shù)，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；

f(《)=cosx是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的；

/(》)=?既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；

/(x)=d滿足既是奇函數(shù)乂在其定義域上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)D是止確的；

故選：D.

3.A

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)單調(diào)性得到充分性成再舉出反例得到必要性不成匕

/\

【詳解】因?yàn)閂ABC為銳角三角形，所以且A+BA5，所以人>?一8,

其中8《0,￡|，

因?yàn)閥=sinx在xe。,])上單獨(dú)遞增，所以sinA>sin1]-8=cos8,充分性成立，

若sinA>8s8,不妨設(shè)4=],B=滿足sinA>cos8,但V/1AC為直角三角形，故必要性不成立.

故選:A

4.D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可由選項(xiàng)逐一判斷.

【詳解】對(duì)于A,)，=lgx的定義域?yàn)?0,+8),定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)

誤，

oI

對(duì)于B,=*的定義域?yàn)?YO,0)J(QXO),定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又x)=-x-所以

.1X

/(X)為奇函數(shù)，但在(0,1)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,〃x)=2國的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又〃-x)=2i=2+f(x),故/(x)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)

誤，

對(duì)于D,/（x）=lan.%由正切函數(shù)的性質(zhì)可知/（"=lanx為奇函數(shù)，且在（0,1）單調(diào)遞增，故D正確，

故選:D

5.D

【分析】構(gòu)造函數(shù)了二d，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)），=1。&」（1>0）,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性

判斷B選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)y=sinx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)y=根據(jù)基函數(shù)的性質(zhì)，

判斷D選項(xiàng).

【詳解】A：構(gòu)造函數(shù)y="，因?yàn)閏>l,所以y-c'為增函數(shù)，

又因?yàn)閯t有c”〉/,所以A錯(cuò)誤；

B：構(gòu)造函數(shù)V=logcX（x>0）,因?yàn)閏>l,所以y=log°x（x>0）為增函數(shù)，

又因?yàn)閯t有l(wèi)og/clog/,所以B錯(cuò)誤;

c：因?yàn)?<〃<力<1,所以一又c>i,則

abah

構(gòu)造函數(shù)丁=5皿4，當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)），=sinx不單調(diào)，

所以無法判斷sin工與sinj的值的大小，C錯(cuò)誤；

D：構(gòu)造函數(shù)y=因?yàn)樗院瘮?shù)），=/在（0,+e）上單調(diào)遞增，

有不〈凡D正確.

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)正切函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱變換即可得變換后的函數(shù)冢文）的解析式.

【詳解】將函數(shù)/"）=tanx的圖象向右平移1個(gè)單位長度，所得函數(shù)為/（x-l）=ian（x-l）,

則函數(shù)/。-1）=劃1（工一1）的圖象再關(guān)于曠軸對(duì)稱得函數(shù)8。）=/（一工一1）=1@11（一工一1）二一1@11（工+1）.

故選：D.

7.D

【分析】根據(jù)性質(zhì)，的定義，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.

【詳解】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)4,則/（"的圖象不能在過點(diǎn)出/（1））的直線的上方，且這樣的直線只有

一條；

對(duì)A：〃“=卜-1|的圖象，以及過點(diǎn)（1。的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)（L0）的百線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：f（x）=lgT的圖象，以及過點(diǎn)（M））的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點(diǎn)0,0）的直線，使得/（力的圖象都在該直線的上方，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C：/（工）=/的圖象，以及過點(diǎn)（1』）的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點(diǎn)（U）的直線，使得/（X）的圖象都在咳直線的上方，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：/"）=-sin^x的圖象，以及過點(diǎn)的直線，如下所示：

數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過點(diǎn)的直線即&=0,滿足題意，故D正確.

故選：D.

8.D

【分析】利用已知條件去研究另一個(gè)變量的函數(shù)值域，通過值域分析與1的大小，從而去比較r與/的大

小關(guān)系，即可判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,由〃

可知人,品=八窖"屋,席>八

1-pcosO1-p\\-p丫1-/>

由「一接收器接收到的光波的頻率/'大:波源發(fā)出的光波的頻率/,則光的譜線向藍(lán)光方向移動(dòng)，稱為“藍(lán)

移”.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由￡￡（0」），

可知"@＜九

1-^cos-

由于接收器接收到的光波的頻率/'小于波源發(fā)出的光波的頻率/,則光的譜線向紅光方向移動(dòng)，稱為“紅

移”.故B錯(cuò)誤；

4

對(duì)于C,由夕=g,可知r=/

"fcos。5-4COS。

5

則cosOe-1,4，即5一4cos0w(5一26,9],

因?yàn)?＜夕《兀，

6

此時(shí)工3^卜1』3)1,由于3所以廣與/的大小關(guān)系不確定，故c錯(cuò)誤;

ri

對(duì)于D,由夕=＞可知/'=/----尸2=f-----1=----,

33-2任。s。

因?yàn)閯tcos6w即3-2及cosew[3-2&,l),

4

此時(shí)三短T(⑶2*所以

由于接收器接收到的光波的頻率/'大于波源發(fā)出的光波的頻率/，則光的譜線向藍(lán)光方向移動(dòng)，稱為“藍(lán)

移”.故D正確；

故選：D.

八3兀

9.—

4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性求得正確答案.

【詳解】當(dāng)?！癢時(shí)一52”一%去

由22/解得x.

3兀3兀

所以兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為

故答案為：不

io.(9,一1)5。，1)崎

【分析】①在坐標(biāo)系中分別作出/(X)和g(x)的圖象，利用圖像法求解即可;

②在坐標(biāo)系中分別作出/(“和g(x)的圖象，根據(jù)圖象列不等式組求解即可.

和g(x)=V的圖象如圖所示,

由圖象可得當(dāng)X￡(YO,T)D(0,1)時(shí)，/(x)>g(x)；

②當(dāng)0=￡時(shí)，/(x)=sin￡x的圖象如圖所示,

若不等式/(x)>g(x)的解集中恰有一個(gè)正整數(shù),

則由圖象可得J,解得me

故答案為:(^o-l)u(O,1)；

H.1(答案不唯一)

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性求出。的取值集合，即可完成第一空，由余弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出。的最

小值.

【詳解】因?yàn)橹本€x=q為函數(shù)/(x)=cos"+沙>0)圖象的一-條對(duì)稱軸，

所以一四0+四=桁M€2,解得<y=l-3kMwZ,

33

又0>0,所以取g=1(答案不唯一)；

若“X)在區(qū)間卜宗。)上有零點(diǎn)，令5+方=]+EMeZ,解得％=言+^/wZ,

由一色〈二+生＜0,故左＜一1且口＞—，一3&,

366yco2

又0＞0且要求①的最小值，故2=-1,所以①的最小值為4;

故答案為：1（答案不唯一）；4

12.-y（答案不唯一）

【分析】首先求出/（X+0）的解析工3再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出。的范圍，即可得解.

T

2x+*2.,則〃*+0)=2sin2X+20+T,

3J')x3，

令21+2^)+—=—+2kjt,kGZ,所以x=--—~(p+k7i,kEZ,

312

因?yàn)?（工+尹）（|同〈9在區(qū)間上存在最大值,

TVIF

所以0v-----(p+kn<一,keZ,

122

貝(!一匚+攵兀<:*<---+lai,kGZ,

1212

又即所以或需＜0＜5'

444乙1乙I乙乙

所以符合題意的一個(gè)。值為（答案不唯一）.

故答案為：（答案不唯一）

13.cosx或sin（x+］）6（答案不唯一）

【分析】由?。┑淖钚≌芷跒樨?，可求出/（x）=sin（2x+^）,再根據(jù)三角函數(shù)的平移和伸縮變化可求

出g（x）=8sx；根據(jù)求出5+舐但,?+小，結(jié)合題意可得3"警+黃4兀，解不等式即

Vovo2oy26

可得出答案.

【詳解】因?yàn)?（X）的最小正周期為兀，所以丁吟=%解得：。=2,

所以〃x）=sin（2.i+J〃x）的圖象向左平移,個(gè)單位長度后，

可得：y=sin2x+-1+-=sin（2x+‘=cos2x,

I6J6V2J

再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g"）的圖象,

所以g（x）=cosx；

ll,?ccon兀=，h”,3I/,23

所以3兀<二一+:W4兀，解得：—<<y<—,

2633

則。的一個(gè)取值可以為6.

故答案為：COS.T或sin卜+]}6（答案不唯一）.

14.2--

3

【分析】根據(jù)/。）=乎和|4用=：,可構(gòu)造方程求得出，并確定（魯，詈）為半個(gè)周期，根據(jù)正弦函數(shù)單

調(diào)性可構(gòu)造方程組求得。.

【詳解】設(shè)A（z，y）,現(xiàn)孫必），

71?

(ox.+(p=—+2kn

由#得：，Tt

;(丘z)，<w(x-Xj)=

22

cox2+(P=—+2KTI

又卜.=々_司=彳，.?.（0=5,解得?=2.

此時(shí)/（力的小正周期T=—=71,

CO

v7T-77=^=?>/"）在區(qū)間（崔，售）上單調(diào)遞減，

.門喏和…皆分別為“X）單調(diào)遞減區(qū)間的起點(diǎn)和終點(diǎn),

(5n1g(5n1In

當(dāng)XW時(shí),2x+(pe

WE\oo

5兀冗…

—+^=—+2kn

(ZeZ),:.(p=--+2kit(k€Z),

1In3冗?3

----+(p=—+2k兀

62

又"Y'

4J

綜上所述：a）=2,8=-方，

故答案為：2,-y.

15.②③

【分析】畫出函數(shù)圖像，可判斷①②，對(duì)于③，轉(zhuǎn)化為與y=/(x)在xw0,—上交點(diǎn)問題，數(shù)形

O

結(jié)合得到5個(gè)根的對(duì)稱性，從而得到答案；對(duì)于④，xw-￡,0時(shí)，/(.r)=|cos2x|+l單調(diào)遞增，且

O

/(-V)e彳,2,從而判斷出存在實(shí)數(shù)4,使得對(duì)任意〃7WR,只有一個(gè)XC-7*0,滿足要求.

_2J[_o

【詳解】/(x)=lcos2x|+l的圖象如下：

對(duì)于①，/。)的最小正周期是①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，/(X)的一條對(duì)稱軸方程為彳=￡,②正確：

4