???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題06方程（組）與不等式（組）

考點(diǎn)（）1一次方程（組）

1.（2023?永州）關(guān)于x的一元一次方程2x+加=5的解為x=l，則機(jī)的值為（）

A.3B.?3C.7D.-7

【分析】根據(jù)方程的解的定義把x=l代入方程即可求出〃?的值.

【解答】解：??"=1是關(guān)于x的一元一次方程2x+=5的解，

A2X1+〃？=5，

/n=3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的

解.

2.（2023?益陽）某學(xué)校為進(jìn)一步開展好勞動(dòng)教育實(shí)踐活動(dòng)，用1580元購進(jìn)A,8兩種勞動(dòng)工具共145件，

A，8兩種勞動(dòng)工具每件分別為10元，12元.設(shè)購買A,B兩種勞動(dòng)工具的件數(shù)分別為x,y,那么下面

列出的方程組中正確的是（）

（x+y=145

A'（10x4-12y=1580

fx-y=145

〔IO%+12y=1580

fx+y=145

（12x+lOy=1580

（x-y=145

（IZx+lUy=158U

【分析】利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，結(jié)合學(xué)校用1580元購進(jìn)A,3兩種勞動(dòng)工具共145件，可列出關(guān)于x,

y的二元一次方程組，此題得解.

【解答】解：???購進(jìn)A，B兩種勞動(dòng)工具共145件，

?\x+y=145；

???4,8兩種勞動(dòng)工具每件分別為10元，12元.且購買這批勞動(dòng)工具共花費(fèi)1580元，

/.10xM2y=1580,

???根據(jù)題意可列出方程組]匕;158。

故選：故

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解

題的關(guān)鍵.

3.（2023?衡陽）《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足,

問雞兔各幾何.”

設(shè)有x只雞，y只兔，依題意,可列方程組為()

產(chǎn)y=35(x+y=94

{4x+2y=946(4%+2y=35

(x+y=35

J12x+4y=94

【分析】根據(jù)今有雞兔同籠，上有三十五頭，可以得到x+y=35,再根據(jù)下有九十四足，可以得到2葉4》，

=94,然后即可得到相應(yīng)的方程組.

【解答】解：由題意可得，

（X+y=35

[2x+4y=94'

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組.

4.12025?長沙）衣服穿戴整不整齊，系好第一?？圩雍苤匾?青少年邁開人生第一步就要走正道，要嚴(yán)格

遵守國家法律法規(guī).同樣的道理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先就必須遵守?cái)?shù)學(xué)中的基本法則.

例如：下面命題的推理過程所得出的錯(cuò)誤結(jié)論就是由于不遵守?cái)?shù)學(xué)的基本法則導(dǎo)致的.

命題：如果a,b,c為實(shí)數(shù)，且滿足。+〃=一c.那么2=1.

推理過程如下：

第一步：根據(jù)上述命題條件有。+人=-。；①

第二步：根據(jù)七年級(jí)學(xué)過的整式運(yùn)算法則有。=2a-〃/=2b-bc=2c-c；②

第三步：把②代入①，可得（2a-“）+3-/2）=-（2c-c）；③

第四步：把③兩邊利用移項(xiàng)、去括號(hào)法則、加法交換律等，變形可得2（〃+b+c）=（a+0+c）；④

第五步：把④兩邊同時(shí)除以5+人+c）,得2=1.⑤

請你判斷上述推理過程中，第步是錯(cuò)誤的，它違背了數(shù)學(xué)的基本法則.

【答案】五

【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)2

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論即可.

【詳解】解：???等式兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的整式，或是等式左右兩邊同時(shí)乘方，等式仍然成

立.

工對(duì)于等式2("+"+°)=3"+c)；

當(dāng)a+〃+c=()時(shí)，該等式恒成立；

當(dāng)4+〃+c=(),兩邊同時(shí)除以僅+6+c),得2=1；

?/a+b=-c,

.?.a+b+c=O

???上述推理過程中，第五步是錯(cuò)誤的；

故答案為：五.

5.(2024?長沙)為慶祝中國改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動(dòng)，現(xiàn)場參與者均為

在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1,2,3,

4,5,6,7,8,9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10,再加上4.6,將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10,

然后加上1978,最后減去參與者的出生年份(注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如201()年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)

是2010),得到最終的運(yùn)算結(jié)果.只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年

份.若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915,則這位參與者的出生年份是2009.

【分析】根據(jù)題意列出方程，再根據(jù)實(shí)際情況推理即可得解.

【解答】解：設(shè)這位參與者的出生年份乂選取的數(shù)字為〃?，

(lO/n+4.6)X10+1978-x=915

???100〃?+46+1978-x=915,

，工=1109+100〃?，

,??此時(shí)中學(xué)生的出生時(shí)間應(yīng)該在2000年后，

?e?/n-9,

/.x=2009.

故答案為：2009.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程實(shí)際應(yīng)用以及邏輯推理等知以，理解題意列出關(guān)系式進(jìn)行推理是解

期關(guān)鍵.

輛數(shù)時(shí)用'‘收尾法"，而不是“四舍五入”.

考點(diǎn)02不等式與不等式組

1.(2024?湖南)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P(x,y),若x,y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為“整點(diǎn)”，

特別地，當(dāng)?(其中孫W0)的值為整數(shù)時(shí)，稱“整點(diǎn)”P為“超整點(diǎn)”.已知點(diǎn)P(2〃-4,〃+3)在第

二象限，下列說法正確的是()

A.a<-3

B.若點(diǎn)。為“整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3個(gè)

C.若點(diǎn)。為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1個(gè)

D.若點(diǎn)。為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和大于10

【分析】根據(jù)點(diǎn)P(2a-4,〃+3)在第二象限得2a-4<0,〃+3>0,解得-3<。<2,由此可對(duì)選項(xiàng)A

進(jìn)行判斷；根據(jù)“整點(diǎn)”定義得。=-2,-1,0,1,進(jìn)而得當(dāng)〃=-2時(shí)，點(diǎn)尸(-8,1)；當(dāng)〃=-I

時(shí)，點(diǎn)尸(-6,2)；當(dāng)。=0時(shí)，點(diǎn)P(-4,3)；當(dāng)。=1時(shí)，點(diǎn)P(-2,4),由此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)

行判斷：根據(jù)“超整點(diǎn)”的定義得：當(dāng)。=1時(shí)，點(diǎn)P(-2,4)是“超整點(diǎn)”，由此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判

斷：根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)尸到兩坐標(biāo)軸的距離之和為6可對(duì)選項(xiàng)。進(jìn)行判斷，綜上所述即可

得出答案.

【解答】解：???點(diǎn)］(2。-4,4+3)在第二象限，

'2a-4<0

解得：-3<〃V2,

。+3>0

故選項(xiàng)A不正確，不符合題意；

???點(diǎn)P(2a-4,。+3)為“整點(diǎn)”，

工。為整數(shù)，

又丁-3V〃V2,

：,a=-2,-1,0,I,

當(dāng)a=-2時(shí)，2a-4=-8,a-3=1,此時(shí)點(diǎn)P(-8,1)；

當(dāng)〃=-1時(shí)，2?-4=-6,4-3=2,此時(shí)點(diǎn)P(-6,2)；

當(dāng)。=0時(shí)，2a-4=-4,4+3=3,此時(shí)點(diǎn)P(-4,3)；

當(dāng)。=1時(shí)，2a-4=-2,?+3=4,此時(shí)點(diǎn)尸(-2,4)：

?,?“整點(diǎn)”。的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選項(xiàng)8不正確，不符合題意；

根據(jù)''超整點(diǎn)"的定義得：當(dāng)。=1時(shí)，點(diǎn)尸（-2,4）是“超整點(diǎn)”，

:?點(diǎn)、P為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為1個(gè)，

故選項(xiàng)。正確，符合題意：

當(dāng)點(diǎn)。為“超整點(diǎn)”，則點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和為：52|+|4|=6,

故選項(xiàng)。不正確，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，一元一次不等式組的應(yīng)用，理解點(diǎn)的坐標(biāo)，“整點(diǎn)”及“超整點(diǎn)”

的定義，熟練掌握解一元一次不等式組的方法與技巧是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2023?長沙）不等式組［2*+4>°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

-1<0

J1LII

A.-2-101B.-2-101

F111A——?——?-----

C.-2-101D.-2-101

【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式外的解集表示

在數(shù)軸上即可.

【解答】解：由2竹4>0得x>-2,

由x-1W0得xWl,

解集在數(shù)軸上表示為：

則不等式組的解集為-2VxWl.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上

表示出來（>,2向右畫；V,W向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表

示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集

時(shí)“2”，“W”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“V”，要用空心圓點(diǎn)表示.

3.（2023?婁底）不等式組廠"+3<5的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

（2%-2<0

A.-2-10I2

-O---1----1-------L

B.-2-1012

-d------1-------1--------------

C.-2-1012

_?——?I~~?A

D.-2-10I2

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

r+3<5①

【解答】解:

2x-2<0②‘

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：xWl,

???原不等式組的解集為：-2VxWl,

???該不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示:

-0------1-------1--------------

-2-1012

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組

的步驟是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?郴州）一元一次不等式組｛：；：：：的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

無解了確定不等式組的解集.

【解答】解：解不等式3-x20,得：xW3,

解不等式x+l>0,得：x>?1,

則不等式組的解集為-1VXW3,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2023?益陽）將不等式組卜>°的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（）

（X-2<0

C.-2-101MD.-2-1012X

【分析】先求出不等式組中每?個(gè)小等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把小等式的解集表不在

數(shù)軸上即可.

【解答】解：由工=2W0得xW2,又Q0,

則不等式組的解集為（）VxW2.

A項(xiàng)代表0Wx<2；

B項(xiàng)代表0<啟2；

C代表xVO且x22；

D代表￡>0.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解不等式組，并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，解題的關(guān)鍵是注意>,2

向右畫；V,W向左畫；同時(shí)還要注意“2”，“W”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“V”，“>”要用空心圓

B.-2-101

【分析】分別求出各不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可.

【解答】解：卜

{-2x<4@

由①得，xV1,

由②得，-2,

在數(shù)軸上表示為：

-2-101

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找：大大小小

找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

（V-1<2

7.（2023?湘西州）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正詢的是（）

（1-x<4

_?----Ji;???!二—>

A.-4-3-2-10I234

?Xi???iik?.

B.-4-3-2-101234

C.-4-3-2-101234

11i?????,

D-4-3-2-101234

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，確定不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出來即可.

【解答】解：由x-1V2,得：x<3；

由1-xV4,得：x>-3；

???不等式組的解集為：-3Vx<3；

I2K11tliI

在數(shù)軸上表示如下：一4—3-2-101234

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求不等式組的解集，并在數(shù)軸上表示出解集.解題的關(guān)鍵是正確的求出每一個(gè)不等式

的解集.

8.(2023?常德)不等式組二■JU”的解集是，)

A.x<5B.0V5C.-l<x<5D.xW-1

【分析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集.

%-3<2①

【解答】解:

,3x+1>2x②‘

解不等式①，得：x<5,

解不等式②，得：-1,

???該不等式組的解集是-1?5,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解一元-一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法.

9.[2025?湖南)已知，a,b,c是VA3C的三條邊長，記，=(7)+(￡)，其中憶為整數(shù).

(1)若三角形為等邊三角形，則/=；

(2)下列結(jié)論正確的是(寫出所有正確的結(jié)論)

①若k=2,r=l,則V4AC為直第三角形

②若左=1,〃=gb+2,c=l,則

③若攵=1,Kg,〃，b,。為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且av〃vc,則滿足條件的VA8C的個(gè)數(shù)為7

【答案】2①②/②①

【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)、利用勾股定理的逆定理求

蟀

【分析】本題主要考杳了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的

性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得據(jù)此求解即可;

,,,a=—b+2

（2）當(dāng)％=2,，=1時(shí)，可證明G+"=廣，由勾股定理的逆定理可判斷①；當(dāng)％=1,2,c=\

i]

\-b+2-b<\b--b-2<\

j22

t=-b+2[-b+2>b—1/,?+c2</，?

時(shí)，可得2；當(dāng)。2力時(shí)，可得】2,當(dāng)avb時(shí)，可得2，則可求出2<〃<6,

a+b,,5

t=------a+b<—c

據(jù)此求出l的取值范圍即可判斷②；當(dāng)左=1時(shí)，則。，則可得到3；根據(jù)題意不妨設(shè)c=〃+2,

則剩下兩個(gè)數(shù)分別為幾，?+1（n為正整數(shù)），則可得3'\解不等式組求出整數(shù)n

即可判斷③.

【詳解】解：（I）:。，力，c?是V/1BC的三條邊長，jlV/IBC是等邊三角形,

：.a=b=c.

=1*4-1*

=1+1

=2,

故答案為；2；

t=-+-

(2)①當(dāng)攵=2,，=1時(shí)，1

.a2=c2,

???VA3c為直角三角形，故①壬確;

a=—b+2

②當(dāng)A=l,2,c=l時(shí)，

112

當(dāng)〃時(shí)，

,/a-b<ct

-b+2-b<\

2

-h+2>b

???12

;<2</?<4.

當(dāng)。<〃時(shí)，

?/b-a<cf

b--b-2<\

2

-b+2<b

?-?12

.?.4<b<6,

?*2<<6.*

3,c

t=-b+2

???2,

???t隨b的增大而增大,

當(dāng)力=2時(shí)，f=5,

當(dāng)。=6時(shí)，'=11,

故②正確；

raY（力丫a+b

t=—+—=------

③當(dāng)％=1時(shí)，則VcJc,

//

*/3,

a+b5

----<一

???C-3,

a+b<-c

???3；

???a、b、c是三個(gè)相鄰的正整數(shù)，

.??不妨設(shè)c=〃+2,則剩下兩個(gè)數(shù)分別為〃，〃+l（n為正整數(shù)），

c<a+b<-c

???3,

〃+2<〃+〃+l<—（7?+2）

3,

解得

???符合題意的n的值有2、3、4、5、6、7,共6個(gè)，

???符合題意的a、b、c的取值一共有6組，

???滿足條件的VA3C的個(gè)數(shù)為6,故③錯(cuò)誤；

故答案為：①②.

1

10.（2023?株洲）關(guān)于x的不等式1〉0的解集為.r>2.

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，即可得出答案.

【解答】解：V1>0,

移項(xiàng)，得：|x>l,

系數(shù)化1,得x>2.

故答案為：x>2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

l+2x>A-6,

11.（2025?長沙）解不等式組：［八0

4x<3x+2.

【答案】-7<XW2

【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解集

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同

小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集.

1+2x>x-6①

【詳解】解：|4x43x+2②

解不等式①，得x>-7.

悔不等式②，得XW2.

???不等式組的解集為-7vxW2.

,2x+1>%+3①

12.（2023?岳陽）解不等式組:

2x-4<x（2）

【分析】利用解一元?次不等式組的方法進(jìn)行求解即可.

'2x+l>x+3?

【解答】解:

.2%-4<x(2)

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<4,

故不等式組的解集為：2<x<4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式組，解答的關(guān)鍵是熟練掌握解一.元一次不等式組的方法.

13.(2023?湘潭)解不等式組：-144°⑦并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

(2(x+3)>x+4@

-5-4-3-2-I012345

【分析】先解不等式組求得其解集，然后在數(shù)軸上表示其解集即可.

14<0?

【解答】解:

,2(x+3)>x+4@，

由①得7xW14,

則xW2,

由②得2x+6>.r+4,

則x>-2,

故原不等式組的解集為：?2VxW2,

在數(shù)軸上表示其解集如下：

-5-4-3-2-I012345

【點(diǎn)評(píng)】本題考查在數(shù)軸上表示一元一次不等式組的解集，正確解不等式組求得其解集是解題的關(guān)鍵.

14.(2023?衡陽)解不等式組：仔一4①

(.2(x+l)<3x@

【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

x-4<0(V

【解答】解:

2(x+1)<3x(2)f

解不等式①得：xW4,

解不等式②得：x>2,

?,?原不等式組的解集為：2VxW4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

2x-2>0

15.（2023?永州）解關(guān)于x的不等式組:

,3(x-l)-7<-2x

【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分即可.

【解答】解：解不等式2_v-2>0得，x>\,

解不等式3（x7）-7V-2x得，x<2,

所以不等式組的解集為1VXV2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解一元一次不等式組，掌握求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大

小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關(guān)鍵.

16.（2025?湖南）同學(xué)們準(zhǔn)備在勞動(dòng)課上制作艾草香包，需購買A,9兩種香料.已知A種材料的單價(jià)比

B種材料的單價(jià)多3元，且購買4件A種材料與購買6件8種材料的費(fèi)用相等.

（1）求A種材料和8種材料的單價(jià)：

（2）若需購買A種材料和3種材料共50件，且總費(fèi)用不超過360元，則最多能購買A種材料多少件？

【答案】（1）A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；

12）最多能購買A種材料20件.

【知識(shí)點(diǎn)】銷售、利潤問題（二元一次方程組的應(yīng)用）、用一元一次不等式解決實(shí)際問題

【分析】本題主要考查二元一?次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用.

（1）設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)最多可以購買A種材粒m件，則購買8種材料（5°一〃。件，根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)A種材料的單價(jià)為x元，B種材料的單價(jià)為y元，

x-y=3

依題意4x=6y

卜=9

蟀得L=6,

答：A種材料的單價(jià)為9元，B種材料的單價(jià)為6元；

（2）解：設(shè)最多可以購買A種材料m件，則購買8種材料（5°一〃）件,

+6(50-4360

依題意得:

解得，后20.

的最大值為20.

答：最多能購買A種材料20件.

17.（2025?長沙）為落實(shí)科技興農(nóng)政策，某鄉(xiāng)辦食品企業(yè)應(yīng)用新科技推動(dòng)農(nóng)產(chǎn)品由粗加工向精和工轉(zhuǎn)變.根

據(jù)市場需求，該食品企業(yè)將收購的農(nóng)產(chǎn)品加工成A,B兩種等級(jí)的農(nóng)產(chǎn)品對(duì)外銷售，已知銷售6千克A

等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和4千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收入112元，銷售4千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和2千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品共收

入68元.（不考慮加工損耗）

（1）求每千克A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品和每千克B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品的銷售:單價(jià)分別為多少元？

（2）若該食品企業(yè)以每千克8元購進(jìn)6000千克農(nóng)產(chǎn)品，全部加工后對(duì)外銷售，要求總利潤不低于16000元，

則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品多少「克？

【答案】（1）A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為12元，B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為1。元

12）要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品2000千克

【知識(shí)點(diǎn)】銷售、利潤問題（二元一次方程組的應(yīng)用）、用一元一次不等式解決實(shí)際問題

【分析】本題考查了二元一次方程組、一元一次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，正確理解題意即可.

（1）設(shè)A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克俏售單價(jià)為x元，B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為y元，由題意得

6x+4y=112,

4x+2y=68.即可求解;

（2）設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品，〃千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品I6000-'“）千克，由題意得

（12-8>〃+（10—8）（6000—〃?）216000即可求解；

【詳解】（1）解：設(shè)A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為x元，B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為）'元，

6x+4y=112,卜=12,

由題意得i4工+2尸68.解得b=io.

答：A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為12元，B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品每千克銷售單價(jià)為1。元.

（2）解：設(shè)需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品〃1千克，則需加工B等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品（G000-"）千克，

由題意得（12-8）〃?+（10-8）（6000_〃7）216000

解得〃后2mo,

答：要求總利潤不低于16000元，則至少需加工A等級(jí)農(nóng)產(chǎn)品2000千克.

18.（2024?長沙）刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝，湘繡作為中國四大刺繡之一，聞名中外，在巳黎奧運(yùn)會(huì)倒

計(jì)時(shí)50天之際，某國際旅游公司計(jì)劃購買4、B兩種奧運(yùn)主題的湘繡作品作為紀(jì)念品.已知購買1件A

種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購買2件A和湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200

元.

（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元？

（2）該國際旅游公司計(jì)劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費(fèi)用不超過50000元，那么

最多能購買A種湘繡作品多少件？

【分析】（1）設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買1件4種湘繡作

品與2件8種湘繡作品共需要700元，購買2件A種湘繡作品與3件8種湘繡作品共需要1200元”，

可列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購買4種湘繡作品機(jī)件?，則購買4種湘繡作品（200-機(jī)）件，利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，結(jié)合總

價(jià)不超過50（X）0元，可列出關(guān)于〃?的一元一次不等式，解之雙其中的最大值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)八種湘繡作品的單價(jià)為工元,B種湘繡作品的單價(jià)為y元.

根據(jù)題意得：爆鷺=7乳0,

解得:

答：4種湘繡作品的單價(jià)為300元，8種湘繡作品的單價(jià)為20（）元；

（2）設(shè)購買A種湘繡作品機(jī)件，則購買8種湘繡作品（200-6）件，

根據(jù)題意得：300^+200（200-m）<50000,

解得:mW100,

???加的最大值為100.

答：最多能購買100件A種湘繡作品.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

19.（2024?湖南）某村決定種植臍橙和黃金貢柚，助推村民增攻致富.已知購買1棵臍橙樹苗和2棵黃金

貢柚樹苗共需110元；購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元.

（1）求臍橙樹苗和黃金貞柚樹苗的單價(jià)；

（2）該村計(jì)劃購買臍橙樹苗和黃金貢柚樹苗共1000棵，總費(fèi)用不超過38000元，問最多可以購買臍橙

樹苗多少棵？

【分析】（1）設(shè)臍橙樹苗的單價(jià)為工元，黃金貢柚樹苗的單價(jià)為y元，根據(jù)購買1棵臍橙樹苗和2棵黃

金貢柚樹苗共需110元：購買2棵臍橙樹苗和3棵黃金貢柚樹苗共需190元.列出二元一次方程組，解

方程組即可；

（2）設(shè)可以購買臍橙樹苗加棵，則購買黃金貢柚樹苗（lOOO-w）棵，根據(jù)總費(fèi)用不超過38000元,列

出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）設(shè)臍橙樹苗的單價(jià)為x元，黃金貢柚樹苗的單價(jià)為‘，元，

由題意得：酋x==i；靠，

解得:

答：臍橙樹苗的單價(jià)為50元，黃金貢柚樹苗的單價(jià)為30元；

（2）設(shè)可以購買臍橙樹苗m棵,則購買黃金貢柚樹苗（1000?加）棵，

由題意得:50m+30（1000-m）W38000,

解得：mW400,

答：最多可以購買臍橙樹苗400棵.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找出數(shù)量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

20.（2023?婁底）為落實(shí)“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學(xué)校在勞動(dòng)周組織學(xué)生到校園周邊種植甲、乙兩

種樹苗，已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗I棵，乙種樹苗3棵共需II

7L.

（1）求每棵甲、乙樹苗的價(jià)格；

（2）本次活動(dòng)共種植了200棵甲、乙樹苗，假設(shè)所種的樹苗若干年后全部長成了參天大樹，并且平均每

棵樹的價(jià)值（含生態(tài)價(jià)值、經(jīng)濟(jì)價(jià)值等）均為原來樹苗價(jià)的100倍，要想獲得不低于5萬元的價(jià)值，請

問乙種樹苗種植數(shù)量不得少于多少棵？

【分析】（1）設(shè)甲種樹苗的價(jià)格為文元/棵，乙種樹苗的價(jià)格為），元/棵，根據(jù)“購買甲種樹苗3棵，乙

種樹苗2棵共需12元；購買用種樹苗I棵，乙種樹苗3棵共需11元”，可列出關(guān)于My的二元一次方

程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)種植乙種樹苗〃［棵，則種植甲種樹苗（200-/H）棵，根據(jù)要獲得不低于5萬元的價(jià)值，可列出

關(guān)于〃?的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)甲種樹苗的價(jià)格為x元/棵，乙種樹苗的價(jià)格為），元/棵，

根據(jù)題意得：層V3r=］：2,

解得:C：3-

答：甲種樹苗的價(jià)格為2元/棵，乙種樹苗的價(jià)格為3元/棵；

（2）設(shè)種植乙種樹苗二棵,則種植甲種樹苗（200-m）棵,

根據(jù)題意得:2X100（200-m）+3X100m>50000,

解得：機(jī)2100,

???切的最小值為100.

答：乙種樹苗種植數(shù)量不得少于100棵.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

21.（2023?懷化）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客45人的A種客車若干輛，則有30人沒有座

位；若租用可坐乘客60人的，種客車，則可少租6輛，且恰好坐滿.

（1）求原計(jì)劃租用A種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？

（2）若該校計(jì)劃和用A、B兩種客車共25輛，要求B種客車不超過7輛，口每人都有座位，則有哪兒

種租車方案？

（3）在（2）的條件下，若A種客車租金為每輛220元，B種客車租金每輛300元，應(yīng)該怎樣租車才最

合算？

【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃租用A種客車上?輛，則這次研學(xué)去了（451+30）人，根據(jù)這次去研學(xué)的人數(shù)不變，

可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)租用“種客車），輛，則租用A種客車（25-y）柄，根據(jù)“租用的25輛客車可乘坐人數(shù)不少于

120（）人，且租用的8種客車不超過7輛”，可得出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之可得出），的取值范

圍，再結(jié)合），為正整數(shù)，即可得出各租車方案；

（3）利用總租金=每輛A種客車的租金又租用A種客車的輛數(shù)+每輛8種客車的租金X租用B種客車的

輛數(shù)，可分別求出選擇各方案所需總租金，比較后，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)原計(jì)劃租用A種客車x輛，則這次研學(xué)去了（45A-+30）人，

根據(jù)題意得：45A+30-60（x-6）,

解得：x=26,

.,.45x+30=45X26+30=1200.

答：原計(jì)劃租用A種客車26輛，這次研學(xué)去了1200人；

（2）設(shè)租用8種客車），輛，則租用A種客車（25-），）輛，

根據(jù)題意得:鬻r）+60y“2。。.

解得：5W,W7,

又???丁為正整數(shù)，

可以為5,6,7,

???該學(xué)校共有3種租車方案，

方案1：租用5輛B種客車，20輛人種客車；

方案2：租用6輛B種客車，19輛A種客車；

方案3：租用7輛B種客車，18輛A種客車；

（3）選擇方案1的總租金為300X5+220X20=5900（元）：

選擇方案2的總租金為300X>220X19=5980（元）：

選擇方案3的總租金為300X7+220X18=6060（元）.

V5900<5980<6060,

工和用5輛8種客車，20輛A種客車最合算.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用以及有埋數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)

鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次

方程，（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出選擇各方案所需總租金.

22.（2023?邵陽）低碳生活已是如今社會(huì)的一種潮流形式，人們的環(huán)保觀念也在逐漸加深.“低碳環(huán)保，

綠色出行”成為大家的生活理念，不少人選擇自行車出行.某公司銷化:甲、乙兩種型號(hào)的自行車，其中

甲型白行車進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)5（X）元，乙型白行車進(jìn)貨價(jià)格為每臺(tái)800元.該公司銷售3臺(tái)甲型白行車和

2臺(tái)乙型自行車，可獲利650元，銷售I臺(tái)甲型自行車和2臺(tái)乙型自行車，可獲利350元.

（1）該公司銷售一臺(tái)甲型、一臺(tái)乙型自行車的利潤各是多少元？

（2）為滿足大眾需求，該公司準(zhǔn)備加購甲、乙兩種型號(hào)的自行車共20臺(tái)，且資金不超過13000元，最

少需要購買甲型自行車多少臺(tái)？

【分析】（1）設(shè)該公司銷售一臺(tái)甲型自行車的利潤是4元，一臺(tái)乙型自行車的利潤是），元，根據(jù)該公司

銷售3臺(tái)甲型自行車和2臺(tái)乙型自行車，可獲利650元，銷售1臺(tái)甲型自行車和2臺(tái)乙型自行車，可獲

利350元.列出二元一次方程組，解方程組即可；

（2）需要購買甲型自行車機(jī)臺(tái)，則需要購買乙型自行車（20-加）臺(tái)，根據(jù)資金不超過13000元，列出

一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）設(shè)該公司銷售一臺(tái)甲型自行車的利潤是大元，一臺(tái)乙型自行車的利潤是y元，

由題意得：｛肥篇餐

解得:{;:《

答：該公司銷售一臺(tái)甲型自行車的利潤是150元，一臺(tái)乙型自行車的利潤是100元；

（2）需要購買甲型自行車陽臺(tái)，則需要購買乙型自行車（20-,〃）臺(tái)，

由題意得：500m+800（20-in）W13000,

解得：m210,

答：最少需要購買甲型自行車10臺(tái).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（】）找準(zhǔn)等量

關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

23.（2023?長沙）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精

神.某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在八年級(jí)開展“體育賦能，助力成長”班級(jí)籃球賽，共16個(gè)班級(jí)參加.

（1）比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一-場積3分，負(fù)一場積1分.某班級(jí)在15場比賽中獲

得總枳分為41分，問該班級(jí)勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

（2）投籃得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分，在3分線內(nèi)（含3分線）投籃，投中一球可

得2分，某班級(jí)在其中一場比賽中，共投中26個(gè)球（只有2分球和3分球），所得總分不少于56分，

問該班級(jí)這場比賽中至少投中了多少個(gè)3分球？

【分析】（1）設(shè)勝了x場，負(fù)了y場，根據(jù)15場比賽中獲得總積分為41分可列方程組，求解即可.

（2）設(shè)班級(jí)這場比賽中投中了〃?個(gè)3分球，則投中了（26-加）個(gè)2分球，根據(jù)所得總分不少于56分,

列出相應(yīng)的不等式，從而可以求出答案.

【解答】解：（I）設(shè)勝了x場，負(fù)了），場，

根據(jù)題意得：苣;11"

解得憂;3,

答：該班級(jí)勝負(fù)場數(shù)分別是13場和2場：

<2）設(shè)班級(jí)這場比賽中投中了，〃個(gè)3分球，則投中了（26-/〃）個(gè)2分球，

根據(jù)題意得：3m+2（26-m）256,

解得〃i24,

答：該班級(jí)這場比賽中至少投中了4個(gè)3分球.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出

相應(yīng)的方程組和不等式.

考點(diǎn)03分式方程

12

1.（2025?湖南）將分式方程上=,去分母后得到的整式方程為（）

xx+1

A.x+i=2xB.x+2=lC.1=2xD.x=2（x+1）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程（化為一元一次）

【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程

求解.

將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，消去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程.

_2

【詳解】解：％一工+1.

方程兩邊同時(shí)乘以“（X+1），得：八十1=2人.

故選：A.

31

2.（2023?株洲）將關(guān)于x的分式方程丁=—;去分母可得（)

2xx-1

A.3x-3=2xB.3x-1=2xC.3x-1=xD.3x-3=x

【分析】方程兩邊同乘2A■a-1）,然后整理即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意.

【解答】解《

去分母，得：3（x-I）=2x,

整理，得：3x-3=2x,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，解答本題的關(guān)鍵是找出最簡公分母.

3.（2023?湘潭）某校組織九年級(jí)學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動(dòng)，已知學(xué)校離韶山50千米.師生乘大巴車前往，

某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的1.2倍前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá).設(shè)大巴車

的平均速度為x千米/時(shí)，則可列方程為（）

505015050

A.—=+-B.+10=

X1.2x6X1.2x

505050150

C.—=+1()D.—+-=

X1.2%X61.2x

【分析】設(shè)大巴車的平均速度為工千米/時(shí)，則小車的平均速度為12t千米/時(shí)，根據(jù)題意列出方程即可.

【解答】解：設(shè)大巴車的平均速度為工T?米/時(shí)，則小車的平均速度為1.2A■千?米/時(shí)，

50501

根據(jù)題意可得：-=—+

X1.2X6

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題關(guān)鍵關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系.

4.（2023?張家界）《四元玉鑒》是我國古代的一部數(shù)學(xué)著作.該著作記載了“買椽多少”問題：“六貫

二百一十錢，倩人去買幾株椽,每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽”，大意是：現(xiàn)請人代買一批椽，這

枇椽的總售價(jià)為6210文.如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于?株

椽的價(jià)錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)6210文購買椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是（）

A.3G7)=警B.3(x-1)=6210

x-1

6210

C.3(1)=等D.----=3x

x-1

【分析】設(shè)621。元購買椽的數(shù)量為“株，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)+數(shù)量，求出一株椽的價(jià)錢為等，再根據(jù)

少拿一株椽后剩卜的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等十一株椽的價(jià)錢，即可列出分式方程，得到答案.

【解答】解?：設(shè)6210文購買橡的數(shù)量為x株，則一株椽的價(jià)錢為名

x

由題意得：3（x-I）=跆，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了從實(shí)際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.（2023?郴州）小王從4地開車去“地，兩地相距240Mz.原計(jì)劃平均速度為x&〃?〃?，實(shí)際平均速度提

高了50%,結(jié)果提前1小時(shí)到達(dá).由此可建立方程為（