2023-2025全國高考真題數(shù)學(xué)匯編

計數(shù)原理章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2023全國高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)

生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C：QC嬴種B.C：MC機種

C.CQC落種D.CQC品種

2.（2023全國高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有

1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種C.120種D.240種

3.（2023全國高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從

這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

4.（2023全國高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2

名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）

A.-B.-C.4D.-

6323

5.（2024全國高考真題）某獨唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場次序

由隨機抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

6432

6.（2024北京高考真題）在卜-4了的展開式中，/的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

二、填空題

7.（2025天津高考真題）在（尤的展開式中，/項的系數(shù)為.

8.（2023全國高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修

2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

9.（2023天津高考真題）在12元3一工丫的展開式中，/的系數(shù)為.

10.（2024天津高考真題）在+的展開式中，常數(shù)項為

11.（2024上海高考真題）在（x+1）"的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32,則/項的系數(shù)為

12.（2025北京高考真題）已知（1一2%）4=〃0-2〃/+4〃2%2-8〃3%3+16〃4/,則為=

%+%+〃3+=

13.（2025上海高考真題）在二項式（2x-iy的展開式中，/的系數(shù)為.

14.（2025上海高考真題）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊列，要求隊列的頭和尾均是

家長，則不同的排列個數(shù)有種.

15.（2023上海高考真題）已知（1+2023。°°+（2023-0100=%+弓彳+%*2+…+佝9￡）+400儲00，若存在左e

{0,1,2,…，100}使得以＜。，則上的最大值為.

16.（2024全國高考真題）（g+x；的展開式中，各項系數(shù)中的最大值為.

17.（2024全國高考真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中無放回地隨機取3

次，每次取1個球.記加為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，”為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則機與〃

之差的絕對值不大于g的概率為.

18.（2023上海高考真題）空間內(nèi)存在三點A、B、C,滿足AB=AC=8C=1,在空間內(nèi)取不同兩點（不

計順序），使得這兩點與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為.

19.（2024全國高考真題）在如圖的4x4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選

中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

參考答案

1.D

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x黑=40人，高中部共抽取60x笑=20,

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C黯C2種.

故選：D.

2.C

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有A；種，

根據(jù)分步乘法公式則共有A；=120種，

故選：C.

3.B

【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.

【詳解】不妨記五名志愿者為c,4e,

假設(shè)。連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有

A；=12種方法，

同理：6,c,d,e連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有12種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有5x12=60種.

故選：B.

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.

【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有C；=6件，

其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有C；C；=4,

42

所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為工=不

63

故選：D.

5.C

【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.

【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，出場次序共有24種，

其中符合題意的出場次序共有8種，

Q1

故所求概率尸=五="

解法二：當(dāng)甲最后出場，乙第一個出場，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲最后出場，乙排第二位或第三位出場，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲最后出場共4種方法，同理乙最后出場共4種方法，于是共8種出場順序符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A：=24,

Q1

根據(jù)古典概型的計算公式，所求概率為會=*

故選：C

6.A

【分析】寫出二項展開式，令4-1=3,解出「然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.

【詳解】［一?『的二項展開式為&1=《釬［_6,=(2；(-1)'尤4-5,(廠=0,1,2,3,4)，

令4-5=3,解得r=2,

故所求即為C：(T)2=6.

故選：A.

7.-20

【分析】根據(jù)二項式定理相關(guān)知識直接計算即可.

【詳解】(x-球展開式的通項公式為&，

當(dāng)r=3時，看=或尤3.(_1)3=一20%3,

即(x-l)6展開式中*3的系數(shù)為一20.

故答案為：-20

8.64

【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.

【詳解】(1)當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C：=16種；

(2)當(dāng)從8門課中選修3門,

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C：C：=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

9.60

【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式幾1=(-1)鼠26-隈。"98』，令18-必=2確定左的

值，然后計算爐項的系數(shù)即可.

【詳解】展開式的通項公式G=C(2尤3廣]-：=(T*X26YXC：XXI8』，

令18—4左=2可得，左=4,

則V項的系數(shù)為(-ifx26-4xC^=4x15=60.

故答案為：60.

10.20

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項分析求解即可.

【詳解】因為1]+*]的展開式的通項為=32r-6C；?2-4r,r=0,l,--,6,

令12-4r=0,可得r=3,

所以常數(shù)項為3℃：=20.

故答案為：20.

11.10

【分析】根據(jù)給定條件，求出累指數(shù)"，再利用二項式定理求出指定項的系數(shù).

【詳解】則二項式(x+1)”的展開式各項系數(shù)和為32,得2"=32,解得〃=5,

所以6+1)5的展開式/項的系數(shù)為C；=10.

故答案為：10

12.115

【分析】利用賦值法可求。0，利用換元法結(jié)合賦值法可求％+。2+。3+。4的值.

【詳解】令1=0,則%=1,

234

又(1—2x)4=a0—2oyX+4a2x—Sc^x+16a4x,

^1—2%)=%+.](—2])+出(—2%)+/(—2%)+%(—2%),

令t=-2x,則(1+f)=%+qf+a,產(chǎn)+//+內(nèi)尸，

令t=1,貝!]%+4+/+/+4=2,，故q+%+/+&=15

故答案為：U5.

13.80

【分析】利用通項公式求解可得.

【詳解】由通項公式Tr+l=G.25T.產(chǎn)，.(力=q.(-iy.25/5",

令5-r=3,得r=2,

可得d項的系數(shù)為c>(-1)2.25-2=80.

故答案為：80.

14.288

【分析】先選家長作隊尾和隊首，再排中間四人即可.

【詳解】先選兩位家長排在首尾有聲=12種排法；再排對中的四人有P：=24種排法，

故有12x24=288種排法.

故答案為：288

15.49

【分析】根據(jù)二項展開式的通項可得以=<4,[2023*+2023Kxit?(-：!)"],然后由4<0可得％為奇數(shù)，然后

可得2023^-20231°°-*<0,即可求出答案.

[詳解】二項式(1+20234°°的通項為Tr+l=C；0n(2023x)'=C；。。?2023、Kre{0,1,2,…,100},

二項式(2023-x)必的通項為&=G002023gq0=C；0G二。2*-3-!)』，/^。,1,2,…,100},

100100

ak=-2023k+cfg.2O23^.(-1/=[2023k+2O23^?(T)],

左e{0,1,2,…,100},若4<0,則左為奇數(shù)，

A100A100

此時ak=C：0G(2023-2O23^),2023-2O23^<0,

;"<100-左,.，"<50,又左為奇數(shù)，.：k的最大值為49.

故答案為：49.

16.5

【分析】先設(shè)展開式中第r+1項系數(shù)最大，則根據(jù)通項公式有<

解.

【詳解】由題展開式通項公式為4Mxr,0<r<10J!LreZ,

、29

YN—

42933

即3"工一,又FZ,故r=8,

,3344

r<——

4

所以展開式中系數(shù)最大的項是第9項，且該項系數(shù)為C：0《］=5.

故答案為：5.

17.—

15

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個球的號碼為。，以第三個球的號碼為。，則

a+b-3<2c<a+b+3,就c的不同取值分類討論后可求隨機事件的概率.

【詳解】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個球的號碼為。步，第三個球的號碼為c,則空卡-等三；,

故12c-(。+6)|<3,?-3<2c-(a+Z?)<3,

故a+b-3V2cVa+6+3,

若c=L則a+H5,則(。⑼為:(2,3),(3,2),故有2種,

若c=2,m<a+b<l,則(a,6)為：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種,

當(dāng)c=3,則3Wa+6<9,貝！為：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種,

當(dāng)”4,則5Va+b〈ll,同理有16種，

當(dāng)c=5,貝ij7Wa+b413,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝！|9Va+bV15,同理有2種，

共加與鼠的差的絕對值不超過!時不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,

故所求概率為言=《.

7

故答案為：—

18.9

【分析】根據(jù)題意，先考慮正四棱錐中三個點構(gòu)成等邊三角形的情況，分類討論VABC為正四棱錐的側(cè)面

或?qū)敲鎯煞N情況，再結(jié)合VABC三邊的輪換對稱性即可得解.

【詳解】因為空間中有三個點A、B、C,且AB=3C=C4=1,

不妨先考慮在一個正四棱錐中，哪三個點可以構(gòu)成等邊三角形，同時考慮VA3C三邊的輪換對稱性，可先

分為兩種大情況，即以下兩種：

第一種：VABC為正四棱錐的側(cè)面，如圖1,

此時4民8。,AC分別充當(dāng)為底面正方形的一邊時，對應(yīng)的情況數(shù)顯然是相同的；

不妨以為例，此時符合要求的另兩個點如圖1所示，顯然有兩種情況，

考慮到VABC三邊的輪換對稱性，故而總情況有6種；

第二種：VABC為正四棱錐的對角面，如圖2,

此時ABBC,AC分別充當(dāng)?shù)酌嬲叫蔚囊粚蔷€時，對應(yīng)的情況數(shù)顯然也是相同的；

不好以為例，此時符合要求的另兩個點圖2所示，顯然只有一種情況，

考慮到VABC三邊的輪換對稱性，