數(shù)與式綜合提升卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分3。分,每小題3分）

1.（3分）（2024?山東淄博?中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果是正數(shù)的是（）

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

【答案】A

【分析】題考查了正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義，熟練掌

握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)正數(shù)的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算，絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，乘方，算術(shù)平方根的意義計(jì)算選擇即可.

【詳解】解：A、3T=3是正數(shù)，符合題意;

B、-32=-9是負(fù)數(shù)，不符合題意；

C、一|-3|二-3是負(fù)數(shù)，不符合題意；

D、一6是負(fù)數(shù)，不符合題意；

故選：A.

2.（3分）（2024?山東德州?中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a2+a2=a4B.a（a+1）=a2+1

C.Q2.a，=a6D.（a—I）2=a2—1

【答案】C

【分析】此題考查了合并同類項(xiàng)、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、同底數(shù)冢乘法、完全平方公式等知識(shí)，根據(jù)運(yùn)算法

則進(jìn)行計(jì)算即可作出判斷即可.

【詳解】A.a2+a2=2a2,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.a（a4-1）=a2+a,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.a2-a4=a6,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D.（a-l）2=a2-2a+l,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

3.（3分）（2024?河北?中考真題）已知力為整式，若計(jì)算的結(jié)果為"，則力=（）

xy+y-x+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

【答案】A

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【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算，分式的通分，平方差公式，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

由題意得生一+n=3,對(duì)令+口進(jìn)行通分化簡(jiǎn)即可.

產(chǎn)+xyxyxy+y4xr+xyxy

【詳解】解：???告一士的結(jié)果為u,

xy+）rx^+xyxy

.y+口_A

xz+xyxyxy+y2

./+（x-y）（x+y）_/=x_H

xy（x+y）xy（x+y）xy（x+y）xy+y2xy+y2

:?A—x,

故選：A.

4.（3分）（2024?重慶?中考真題）估計(jì)g（四+，司的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【分析】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再估算即可.

【詳解】解：:姨（或+75）=2遍+6,

而4VV24=2>/6<5,

/.10<2V6+6<11,

故答案為：C

5.（3分）（2024?廣西?中考真題）如果a+b=3,ab=1,那么+2a2b2+Q/的值為（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本題考查因式分解，代數(shù)式求值，先將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，利用整體代入法，求值即可.

【詳解】解：*.*a4-6=3,ab=1,

322

,*,ab+2a2b2+加=ab（a+2ab+b）

=ab（a+匕y

=1x32

=9：

故選D.

6.（3分）（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書(shū)》中記載了一列數(shù)：1,1,2,

3,5.....這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024

第2頁(yè)共22頁(yè)

個(gè)數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫(xiě)下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答.

本題主要考杳的是數(shù)字規(guī)律類問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】這一列數(shù)為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù).

由于2024+3=674…2,

即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，

，奇數(shù)有674x2+2=1350個(gè).

故選：D

7.（3分）（2024?江蘇南通?一模）已知關(guān)于工的多項(xiàng)式ax2十版十c（a40）,當(dāng)工=。時(shí)，該多項(xiàng)式的值為

c-a,則多項(xiàng)式。2-/+3的值可以是（）

A.-B.2C.-D.1

442

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，整式的乘法運(yùn)算，通過(guò)消元法將代數(shù)式化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的形式

是解題的關(guān)鍵.由己知得+ab+c=c-a,化簡(jiǎn)得/=-b-L所以*-4+3=-b-1一+3==-

（b+g）2+￡再求出8的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求出。2一房+3的取值范圍，由

此可判斷答案.

【詳解】???當(dāng)x=a時(shí)，該多項(xiàng)式的值為c—a,

二+Qb+C=C—Q,

整理得。（水+6+1）=0,

Q工0,

二+/?+1=0,

即=—b-1,

:.a2—/?24-3=—b—1—b2+3

=—b2—b+2

=-("斤+￡

第3頁(yè)共22頁(yè)

va2=-b-1,aH0,

d-1>0>

???b<-1,

?.?當(dāng)力=-1時(shí)，一浜+3=一（6+<）2+?=2,

根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)力<一1時(shí)，a2-b2+3<2.

故選A

8.（3分）（2024?山東濟(jì)南?一模）設(shè)xWO,y<0,z<0,則三數(shù)x+Ly+Lz+1中（）

yzx

A.都不大于一2B,都不小于一2

C.至少有一個(gè)不大于一2D.至少有一個(gè)不小于一2

【答案】C

【分析】首先把三個(gè)數(shù)相加，得到（x+3+（y+3+（z+3,由已知可知％+打一2,y+i<-2,

z+-<—2?可得x+」+y+』+z+44―6,據(jù)此即可判定.

zy2x

【詳解】解：x+：+y+3+z+g=（x+3+（y+3+（z+｝）,

vx<0,y<0,z<0,

???x+-<-2,y+-<-2,z+-<-2,當(dāng)且僅當(dāng)工=y=z=-1時(shí)，取等號(hào)

xyz

???x+-+y+-+z+-<-6,

yzx

當(dāng)這三個(gè)數(shù)都大于-2時(shí)，這三個(gè)數(shù)的和一定大于-6,這與x+工+y+L+z+Lw-6矛盾，

yzx

??.這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不大于-2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用不等式的取值及反證法，判定命題的真假，難度比較大.

9.（3分）（2024?重慶開(kāi)州?模擬預(yù)測(cè)）有一臺(tái)特殊功能計(jì)算器：刈任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕刈

值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)％I，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)%2,則顯示氏1-&1的結(jié)果，

如依次輸入1，2,則輸出的結(jié)果是|1-2|=1.此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再

取絕對(duì)值的運(yùn)算.

下列說(shuō)法：

①依次輸入1，2,3,4,則最后輸出的結(jié)果是2；

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②若將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是5：

③若隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入三個(gè)互不相等的正整數(shù)。，2,b,全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果為人.若左的

最大值為2024,則左的最小值為2020.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查了絕對(duì)值，絕對(duì)值方程.理解題意并分情況求解是解題的關(guān)鍵.

依次輸入1,2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為|1-2|=1,|1—3|=2,|2-4|=2,即最后輸出的結(jié)果是2,可

判斷①的正誤；將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入

為6時(shí)，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為||2-3|-6|=5,可判斷②的正誤；令匕為最大的正

整數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，才的最大值為|b-|1-2||=2024,可求滿足要求的解b=2025,此時(shí)k的最小值為|1-

|2025-2||=2022；當(dāng)b>a>2020時(shí)，￡的最大值為-|a-2||=-a+2|=2024,可求滿足要求

的解為b—Q=2022,此時(shí)女的最小值為|。一仍一2||=\a-b+2\=2020；綜上所述，A的最小值為2020,

進(jìn)而可判斷③的正誤.

【詳解】解：依次輸入1，2,3,4,運(yùn)算結(jié)果依次為|1-2|=1,|1-3|=2,|2-引=2,，最后輸出的

結(jié)果是2,①正確，故符合要求；

將2,3,6這3個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)輸入，當(dāng)?shù)谝缓偷诙屋斎霝?或3,第三次輸入為6時(shí)，全部輸入

完畢后顯示的結(jié)果最大，最大值為||2-3|-6|=5,②正確，故符合要求；

令力為最大的正整數(shù)，當(dāng)a=l時(shí)，〃的最大值為加一|1一2||二2024,

解得，8=2025或8=-2023（舍去），

此時(shí)k的最小值為|1-|2025-2||=2022；

當(dāng)力,a>2020時(shí)，k的最大值為也-|a-2||=\b-a+2\=2024,

解得，力一。二2022或b-0!=-2026（舍去），

此時(shí)k的最小值為|Q-\b-2\\=\a-b+2\=2020：

綜二所述，A的最小值為2020,

???③正確，故符合要求：

故選：D.

10.（3分）（2024?安徽安慶?一模）生物學(xué)指出，在生物鏈中大約只有10%的能量能夠流動(dòng)到下一個(gè)營(yíng)養(yǎng)

級(jí)，在/t”2TH3TH4TH5TH6這條生物鏈中（/表示笫n個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)，m=1,2,…，6）,要使兒獲得

第5頁(yè)共22頁(yè)

785千焦的能量，那么需要/提供的能量約為(用科學(xué)記數(shù)法表示)().

A.785X105千焦B.7.85X107千佳

C.78.5x106千焦D.7.85x108千焦

【答案】B

【分析】根據(jù)10%的能量能夠流動(dòng)到下一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)可知：要使也獲得785千焦的能量，那么需要，5提供的

能量約為785x10千焦，以此類推.設(shè)需要提供的能量約為x千焦.根據(jù)題意列方程0.15%=785計(jì)算,

即得.

本題主要考查了乘方的應(yīng)用.熟練掌握乘方的意義及運(yùn)算法則，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)需要/提供的能量約為x千焦.

根據(jù)題意得：。.#工=785,

，10-5%=785,

解得，x=7.05x107,

???需要為提供的能量約為7.85XIO,干焦.

故選:B.

二.填空題(共6小題，滿分18分，每小題3分)

11.(3分)(2024,江西南昌?中考真題)分解因式：2a2-4a+2=.

【答案】2(a-I)2

【詳解】解：先提取公因式2后維續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即

原式=2(a2-2a+1)=2(a-l)2,

故答案為:2(a-l)2.

12.(3分)(2024?四川內(nèi)江?中考真題)已知實(shí)數(shù)〃，〃滿足研=1,那么號(hào)+號(hào)的值為.

【答案】1

【分析】先根據(jù)異分母的分式相加減的法則把原式化簡(jiǎn)，再把必=1代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：言+志

產(chǎn)+1+/+1

(a2+l)(b2+1)

a2+b2+2

-a2b2+a2+b2+1

_a2+b2+2

~(ab)2+a2+d2+1

ab=1

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?庫(kù)式一(/+*+2_<產(chǎn)+*+2_

??爾八一}2+a2+b2+1-混+川+2-1

【點(diǎn)睛】本題考查/分式的化簡(jiǎn)求值，分式求值題中比較多的題型主要有三種：轉(zhuǎn)化已知條件后整體代入

求值；轉(zhuǎn)化所求問(wèn)題后將條件整體代入求值；既要轉(zhuǎn)化條件，也要轉(zhuǎn)化問(wèn)題，然后再代入求值.

13.(3分)(2024?四川內(nèi)江?中考真題)一個(gè)四位數(shù)，如果它的千位與十位上的數(shù)字之和為9,百位與個(gè)

位上的數(shù)字之和也為9,則稱該數(shù)為“極數(shù)〃.若偶數(shù)m為“極數(shù)〃，且詈是完全平方數(shù)，則機(jī)=；

【答案】1188或4752

【分析】此題考查列代數(shù)式解決問(wèn)題，設(shè)出小的代數(shù)式后根據(jù)題意得到代數(shù)式的取值范圍是解題的關(guān)鍵，

根據(jù)取值范圍確定可能的值即可解答問(wèn)題.設(shè)四位數(shù)m的個(gè)位數(shù)字為x,十位數(shù)字為八將機(jī)表示出來(lái)，根

據(jù)於是完全平方數(shù)，得到可能的值即可得出結(jié)論.

JJ

【詳解】解：設(shè)四位數(shù)〃?的個(gè)位數(shù)字為X,十位數(shù)字為y,(x是。到9的整數(shù)，y是0到8的整數(shù))，

Am=1000(9一y)十100(9-x)+y+x=99(100-10y-x),

??5是四位數(shù),

.*.99(100-10y-乃是四位數(shù),

即1000<99(100-10y一幻V10000,

=3(100-10y-x),

A30^<3(100-10y-x)<303專，

??W是完全平方數(shù)，

JJ

.*.3(100-10y-%)既是3的倍數(shù)也是完全平方數(shù)，

.*.3(100-10y-x)RW36,81,144,225這四種可能,

??噌是完全平方數(shù)的所有m值為1188或2673或4752或7425,

又掰是偶數(shù)，

：.m=1188或4752

故答案為：1188或4752.

14.(3分)(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，把Ri，&，附三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為/,

電壓為U,則〃=//?[+/$+/%?當(dāng)8=20.3,/?2=31.9,/?3=47.8,/=2.2時(shí)，U的值為.

凡

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【答案】220

【分析】本題考查了代數(shù)式求值，乘法運(yùn)算律，掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.根據(jù)(/=/&+

/R2+/R3,將數(shù)值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???(/=//?,+IR2+IR3,

當(dāng)場(chǎng)=20.3,R2=31.9,/?3=47.8,/=2.2時(shí)，

U=20.3X2.2+31.9X2.2+47.8X2.2=(20.3+31.9+47.8)x2.2=220,

故答案為：220.

15.(3分)(2024?重慶?中考真題)一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)M=abed,若滿足a+d=b+c=9,

則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)".例如：四位數(shù)1278,?.?1+8=2+7=9,，1278是“友誼數(shù)”.若赤^是一

個(gè)，友誼數(shù)"，且b-a=c-b=l,則這個(gè)數(shù)為；若時(shí)=旃是一個(gè)“友誼數(shù)”，設(shè)"(⑷=*且

型喑包是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得到Q+d=b+c=9,再由b—Q=c—b=l可求出a、b、

c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=999a+90b+99,進(jìn)而得到型嚕且=9a+8+半匕根據(jù)

131，

冬喑包是整數(shù)，得到9Q+8+”生是整數(shù)，即四詈是整數(shù)，則3a+b+6是13的倍數(shù)，求出QW8,

再按照。從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：???旃是一個(gè)"友誼數(shù)〃，

，a+d=b+c=9,

又,：b-a=c-b=l,

，七=4,c=5,

Ja=3,d=6,

,這個(gè)數(shù)為3456；

=赤2是一個(gè)“友誼數(shù)〃，

：,M=1000a+100b+10c+d

=1000a+100b+10(9-b)+9-a

=999a+90b+99,

???F(M)=5=Illa+10/7+11,

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.F(M)+指+下

13

Illa+10b+11+10a+/?+10c4-d

二13

Illa+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-Q

二13

120a4-6+110

二13

117a+3a+b+104十6

13

=9a+8+陪

..F(M)+ab+cd

是整數(shù),

3a+8+6

，9a+8+是整數(shù)，即生普是整數(shù),

131J

，3a+b+6是13的倍數(shù),

:a、b>c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=b+c=9,

：,a<8,

???當(dāng)Q=8時(shí)，31<3a+/）+6<38,此時(shí)不滿足3Q+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意;

當(dāng)a=7時(shí)，28W3a+b+6435,此時(shí)不滿足3Q+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a=6時(shí)，2543Q+b+6<32,此時(shí)可以滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，即此時(shí)b=2,則此時(shí)d=3,c=

7.

二?要使M最大，則一定要滿足。最大，

???滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為:3456；6273.

16.（3分）（2024?北京?中考真題）聯(lián)歡會(huì)有兒見(jiàn)C,。四個(gè)節(jié)目需要彩排.所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開(kāi)

始。一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開(kāi)始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：

芍目ABCD

演員人數(shù)102101

彩排時(shí)長(zhǎng)30102010

已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一人彩排的節(jié)目彩排開(kāi)始到這位演員參演的節(jié)

目彩排開(kāi)始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）。

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若節(jié)目按幺-B-C-ZT的先后麒序彩排，則節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為min；

若使這23位演員的候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排

【答案】60C-A-B-D

【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，正確理解題意，熟練計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

①節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為30+10+20=60min；②先確定。在力的前面，月在。前面，然后分類

討論計(jì)算出每一種情況下，所有演員候場(chǎng)時(shí)間，比較即可.

【詳解】解：①節(jié)目。的演員的候場(chǎng)時(shí)間為30+10+20=60min,

故答案為：60；

②由題意得節(jié)目力和C演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣，那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么。在4

的前面，8和。彩排時(shí)長(zhǎng)一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長(zhǎng)會(huì)短-,些，那么8

在D前面,

???①按照3-A—。順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+2+1)x20+(10+1)x10+1x30=400分鐘;

②按照，一8-。一4順序,則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+2+1)x20+(10+1)x10+10x10=470分鐘;

③按照。一4一8-。順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360分鐘；

④按照8一力一。順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+104-1)X10+(10+1)X20+1X30=450分鐘;

⑤按照B-C-D-4順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+10+1)x10+(10+1)x20+10x10=530分鐘；

⑥按照B-D-C-4順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：(10+10+1)x10+(10+10)x10+10x20=610分鐘.

???按照。一4一B-。順序彩排，候場(chǎng)時(shí)間之和最小,

故答案為：C—A—B—D.

三.解答題(共9小題，滿分72分)

2

17.(6分)(2024?山西?中考真題)(1)計(jì)算：(―6)x[—G)+[(-3)+(―1)]；

⑵化簡(jiǎn)：(￡+擊)+若

【答案】(1)-10；(2)個(gè)

x+2

【分析】本題考杳的是分式的混合運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先算括號(hào)里面的，再算乘法，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，最后算加減即可：

(2)先算括號(hào)里面的，再把除法化為乘法，最后約分即可.

【詳解】解：(1)(一6)'5-6)-2+[(-3)+(-1)]

1/1\-2

=(-6)x--(^-J+(-3-1)

第10頁(yè)共22頁(yè)

=-2—4—4

=-10；

⑵(E+擊)+罟

r+1+x-1(%+l)(x-1)

—(%+l)(x-1)x+2

2x(%+1)(%-1)

(x+1)(%—1)x+2

2x

~x+2'

18.(6分)(2024?福建?中考真題)已知實(shí)數(shù)a,瓦c,m,"滿足3m+九=±,皿1=;

aa

⑴求證:按一12四為非負(fù)數(shù)；

⑵若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析：

(2)m,幾不可能都為整數(shù)，理由見(jiàn)解析.

【分析】本小題考查整式的運(yùn)算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)：考查運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識(shí)等，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力.

(1)根據(jù)題意得出b=a(3m+m，c=G7m,進(jìn)而計(jì)算〃一12ac,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)分情況討論，①m,九都為奇數(shù)；②九為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已

知條件分析即可.

【詳解】(1)解：因?yàn)?m+九==上，

aa

所以匕=a(3zn+n),c=amn.

則嚴(yán)—12ac=[a(3m+n)]2—12a.2mn

=a2(9zn2+677m+n2)-12a2mn

=G2(9m2-6mn+n2)

=a2(3m—n)2.

因?yàn)閍,zn,八是實(shí)數(shù)，所以。2(3小一7。2N0,

所以反一12呢為非負(fù)數(shù).

(2)皿幾不可能都為整數(shù).

理由如下：若mm都為整數(shù)，其可能情況有：①m,n都為奇數(shù)；②m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù).

①當(dāng)m,n都為奇數(shù)時(shí)，則37n+幾必為偶數(shù).

第11頁(yè)共22頁(yè)

又3m+九=2,所以a(3m+n).

a=

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以a（3m+n）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾.

②當(dāng)m,n為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則nm必為偶數(shù).

又因?yàn)閚m=￡,所以c=amn.

a

因?yàn)閍為奇數(shù)，所以anm必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，不可能都為整數(shù).

19.（6分）（2024?河北?中考真題）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸.甲數(shù)軸上的三點(diǎn)/,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次

為-4,2,32,乙數(shù)軸上的三點(diǎn)O,E,廠所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為0,-12.

⑴計(jì)算力，B,。三點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的和，并求笠的值：

AC

⑵當(dāng)點(diǎn)力與點(diǎn)力上下對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)、B,C恰好分別與點(diǎn)E,尸上下對(duì)齊，求x的值.

【答案】（1）30,1

O

（2）x=2

【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵:

（1）直接列式求解三個(gè)數(shù)的和即可，再分別計(jì)算AB,AC,從而可得答案；

（2）由題意可得，對(duì)應(yīng)線段是成比例的，再建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：???甲數(shù)軸上的三點(diǎn)4B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)依次為一4,2,32,

.,.-4+2+32=30,AB=2-（-4）=2+4=6,AC=32-（-4）=32+4=36,

.AB61

**4C-36-6：

（2）解：???點(diǎn)/與點(diǎn)。上下對(duì)齊時(shí)，點(diǎn)&C恰好分別與點(diǎn)E,/上下對(duì)齊，

?竺_竺

?,布一就‘

.x_12

**6-36*

解得：X=2.

20.（8分）（2024?山東威海?中考真題）定義

第12頁(yè)共22頁(yè)

我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)〃的絕對(duì)值.數(shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)4B之間的距離48=

a-b(a>b).特別的，當(dāng)aNO時(shí)，表示數(shù)〃的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于0.當(dāng)a<0時(shí)，表示數(shù)。的點(diǎn)與

原點(diǎn)的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)4從表示-3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)8

從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng).

AB

―?------1-------------------------1——>

一3O12

⑴經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)46之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度？

⑵求點(diǎn)48到原點(diǎn)距離之和的最小值.

【答案】⑴過(guò)4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕而值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則力表示的數(shù)為-3+%,〃表示的數(shù)為12-2無(wú)，根據(jù)“點(diǎn)兒〃之間的距離等于3個(gè)單

位長(zhǎng)度〃列方程求解即可；

(2)先求出點(diǎn)46到原點(diǎn)距離之和為|-3+%|+|12-2川，然后分XV3,3<x<6,%>6三種情況討

論，利用絕對(duì)值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，則4表示的數(shù)為-3+%,8表示的數(shù)為12-2%,

根據(jù)題意，得|12-2%-(-3+幻|=3,

解得％=4或6,

答，經(jīng)過(guò)4秒或6秒，點(diǎn)48之間的距離等于3個(gè)單位長(zhǎng)度；

(2)解：由(1)知：點(diǎn)A,8到原點(diǎn)距離之和為3+%|+|12—2%],

當(dāng)x<3時(shí)、|-34-x|+|12-2%|=3-x+12-2x=15-3x,

■V3,

/.15-3x>6,即|-3+刁+|12—2川>6,

當(dāng)3WxW6時(shí)，|-3+%|+|12-2%|=x-3+12—2x=9—x,

V3<x<6,

A3<9-x<6,即3W|-3++|12-2x|<6,

當(dāng)力>6時(shí)。，|-3+x|+|12-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

第13頁(yè)共22頁(yè)

??4>6,

.\3x-15>3,即|-3+川+|12-2%|>3,

綜二，|-3+x|+|12-2x|>3,

???點(diǎn)4,B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3.

21.（8分）（2024,四川涼山,中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問(wèn)題：

下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)......第九行有幾個(gè)點(diǎn)…

容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10.

⑴探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為,前15行的點(diǎn)數(shù)之和為,那么，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為

（2）體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)之和（填"能"或"不能"；為500.

⑶運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆......第九排2九盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

【答案】（1）36：120：1n（n+1）

（2）不能

（3）一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；

（2）根據(jù)前〃行的點(diǎn)數(shù)和是500,即可得出關(guān)于〃的一元二次方程，解之即可判斷；

（2）先得到前〃行的點(diǎn)數(shù)和是幾3+1）,再根據(jù)題意得出關(guān)于〃的一元二次方程，解之即可得出〃的值.

【詳解】（1）解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+4+5+6+7+8=T（1+8）X8=36,

前15行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+14+15="1+15）X15=120,

那么，前幾行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+=1（14-n）xn=^n（n+1）；

故答案為：36：120：^n（?i4-1）；

（2）解：不能,

第14頁(yè)共22頁(yè)

理由如下:

由題意得］（九+1）=500,

得M+n—1000=0,

21=l2-4x（-1000）=4001,

???此方程無(wú)正整數(shù)解，

所以三角點(diǎn)陣中前〃行的點(diǎn)數(shù)和不能是500:

故答案為：不能；

（3）解：同理，前n行的點(diǎn)數(shù)之和為2+4+6+…+2九=2xg（l+九）X九=九（九+1）,

由題意得n（n4-1）=420,

得九2+〃-420=0,即（幾+21）（幾一20）=0,

解得n=20或n=-21（舍去），

???一共能擺放20排.

22.（9分）（2024,江蘇無(wú)錫?一模）閱讀下面材料：

一個(gè)含有多個(gè)字母的式子中，如果任意交換兩個(gè)字母的位置，式子的值都不變，這樣的式子就叫做對(duì)稱式.例

如：a+b+c,abc?a2+b2,...

含有兩個(gè)字母a,b的對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是a+b和ab,像a?+匕2,（a+2）（b+2）等對(duì)稱式都可以用a+b,

222

ab表示，例如：a+b=（a+b）-2ab.請(qǐng)根據(jù)以上材料?解決下列問(wèn)題：

（1）式子①a2b2②a2-b?③:+：中，屬于對(duì)稱式的是（填序號(hào)）；

（2）已知（x+a）（x+b）=x2+mx+n.

①若=求對(duì)稱式2+的值：

Lab

②若n=-4,直接寫(xiě)出對(duì)稱式字+字的最小值.

【答案】（1）①③；（2）①￡+,=6：+5尹的最小值為

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱式的定義進(jìn)行判斷：

（2）①先得到a+b=-2,ab=；,再變形得到2+?=邛=利牛弛，然后利用整體代入的方法計(jì)算；

2ababah

②根據(jù)分式的性質(zhì)變形得到罷+器+/+〃+/,再利用完全平方公式變形得到（a+b）2-

2ab佇黯叱所以原式4m2§然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定察+器1的最小值.

第15頁(yè)共22頁(yè)

【詳解】解：⑴式子①a2b2②a?-b2③十+抻，屬于對(duì)稱式的是①③.

故答案為①③；

⑵*.*x2+（a+b）x+ab=x2+mx+r

/.a+b=m,ab=n.

(T)a+b--2,ab=—,

b.a_a2+b2_(a+b)2-2ab_(-2)Z-2x1__

；+；=-=--=-1-=6;

2

②拶+華=次+?扶+/

=(a+b)2?2ab+("+*2ab

17..17

Rk

V-^m2>0.

16

???梨+整的最小值為弓.

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的定義及完全平方公式進(jìn)行求解即可.

23.（9分）（2024?江蘇鹽城?中考真題）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問(wèn)題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖I

分析問(wèn)題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體枳和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開(kāi)圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開(kāi)圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有〃個(gè)籽，每列有上個(gè)籽，

行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（〃，左均為正整數(shù)，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

第16頁(yè)共22頁(yè)

方案1:圖1是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長(zhǎng)為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)

為;

方案2：圖2是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為:

方案3：圖3是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫(xiě)出該方案鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng).

解決問(wèn)題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長(zhǎng)最短？請(qǐng)寫(xiě)出比較過(guò)程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

三三山【山川…NNX

后三聲i中刖L.

圖1圖2圖3

【答案】分析問(wèn)題：方案1：(n-l)d：2k：2(〃-l)dk：方案2：2(k-l)dn：方案3：yX(2/c-l)nd：

解決問(wèn)題：方案3路徑最短，理由見(jiàn)解析

【分析】分析問(wèn)題：方案1：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案2：根據(jù)題意列出代數(shù)式即可求解；方案

3：根據(jù)圖得出斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為亞咨=苧，根據(jù)眶意得一共有2孔列，2而斜著鏟相當(dāng)于

有〃條線段長(zhǎng)，同時(shí)有2k-1個(gè)：即可得出總路徑長(zhǎng)：

解決問(wèn)題：利用作差法比較三種方案即可.

題目主要考查列代數(shù)式，整式的加減運(yùn)算，二次根式的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：方案1：根據(jù)題意每行有〃個(gè)籽，行上相鄰兩籽的間距為d，

???每行鏟的路徑長(zhǎng)為(n-l)d,

???每列有k個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，

???相當(dāng)于有2k行，

???鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2(n-l)dk,

故答案為：(n-l)d；2k；2(n-l)d/c；

方案2：根據(jù)題意每列有k個(gè)籽，列上相鄰兩籽的間距為d,

???每列鏟的路徑長(zhǎng)為(k-l)d,

???每行有〃個(gè)籽，呈交錯(cuò)規(guī)律排列，，

???相當(dāng)于有2n列,

???儼除全部籽的路徑總長(zhǎng)為2(〃l)dn,

第17頁(yè)共22頁(yè)

故答案為：2(/c-l)dn；

方案3：由圖得斜著鏟每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離為近乎=當(dāng)，

根據(jù)題意得一共有2九列，2k行,

斜著鏟相當(dāng)于有。條線段長(zhǎng)，同時(shí)有2k-1個(gè)，

???鏟除全部籽的路徑總長(zhǎng)為：yX(2/c-l)nd；

解決問(wèn)題

由上得：2(九—l)dk—2(k—l)dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n—k)>0,

???方案1的路徑總長(zhǎng)大于方案2的路徑總長(zhǎng)；

2(〃-l)dn-yx(2/c-l)dn=[(2-V2)/c-2+y]dn,

*：n>k>3,

當(dāng)A=3時(shí)，

(2-V2)x3-2+y=4-^>0,

2(&-l)dn-yx(2/c-l)dn>0,

???方案3鏟籽路徑總長(zhǎng)最短，銷他:員的操作方法是選擇最短的路徑，減少對(duì)菠蘿的損耗.

24.(10分)(2024?廣東肇慶?一模)【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

由(a-b)220得，M+￡)2之2ab：如果兩個(gè)正數(shù)a.b,即a>0.b>0.則有下面的不等式：

Q+8N2而，當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)取到等號(hào).

【提出問(wèn)題】若Q>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？

【分析問(wèn)題】例如：已知%>0,求式子”+冷勺最小值.

X

解：令。=》,8=±,則由。+匕22\^,得4+」之2=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=±時(shí)，即x=2時(shí)，式子有最

xxyjxx

小值，最小值為4.

【解決問(wèn)題】

請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問(wèn)題：

(1)2+32^2x3(用“二〃”>〃"<”填空)；當(dāng)無(wú)>0,式子％+1的最小值為；

X

【能力提升】

(2)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻(墻長(zhǎng)20米)，問(wèn)這個(gè)

第18頁(yè)共22頁(yè)

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（3）如圖，四邊形A8CD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,△A0B.△C0D的面積分別是8和14,求四邊形力BCD

面積的最小值.

【答案】（1）>,2；（2）當(dāng)長(zhǎng)、寬分別為8米，4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是16米；（3）

四邊形4BCD面積的最小值為22+8V7

【分析】本題考查了配方法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了等高三角形的在面積計(jì)算中的應(yīng)用.

（1）當(dāng)%>0時(shí)，按照公式a+bN2而（當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)取等號(hào)）來(lái)計(jì)算即可：當(dāng)XV0時(shí)，一4%>0,

-->0,則也可以按公式Q+Z?2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來(lái)計(jì)算；

（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形花園靠墻的一邊的長(zhǎng)為x米，另一邊為y米，則xy=32,可得y=,，推出籬笆長(zhǎng)=—十居

利用題中結(jié)論解決問(wèn)題即可

（3）設(shè)SaBOC=%,已知S&40B=8,=14,則由等局二角形可知:S^goc,.S^cOD=^^AOB-^^AODr用

含X的式子表示出來(lái)，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可.

【詳解】解：（1）V2>0,3>0,且2H3,

A2+3>2V2T3；

當(dāng)4>0時(shí)，x+->2lxX-=2,

XyjX

故答案為：>，2；

（2）設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形花園靠墻的一邊的長(zhǎng)為工米，另一邊為y米，

則xy=32,

32

???尸丁，

二這個(gè)籬笆長(zhǎng)=.X2+X=（當(dāng)+無(wú)）米，

根據(jù)材料可得，絲+XN2舊工，當(dāng)竺=%時(shí)，絲+%的值最小，

xyjxxx

x=8或一8（舍棄），

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3232.

???y=—=—=4,

zx8

???當(dāng)長(zhǎng)、寬分別為8米，4米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是竺+%=8+8=16米.