專題強(qiáng)化平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題類平拋運(yùn)動(dòng)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.熟練運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析解決平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題(重點(diǎn))。2.掌握類平拋運(yùn)

動(dòng)的特點(diǎn)，能用平拋運(yùn)動(dòng)的分析方法分析類平拋運(yùn)動(dòng)(難點(diǎn))。

一、平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題

1.與平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)的臨界情況

⑴有些題目中“剛好”“哈好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在臨界點(diǎn)。

⑵如題目中有“取值范圍”“多長時(shí)間”“多大距離”等詞語，表明題述過程中存在著“起

止點(diǎn)”，而這些“起止點(diǎn)”往往就是臨界點(diǎn)。

⑶若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述過程中存在著極值，這

些極值也往往是臨界點(diǎn)。

2.平拋運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析方法

(1)確定研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。

⑵根據(jù)題意確定臨界狀態(tài)。

(3)確定臨界軌跡，畫出軌跡示意圖。

(4)應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，結(jié)合臨界條件列方程求解。

11(2022?茂名市高一期末)中國面食文化博大精深，“刀削面”的歷史最早可以追溯到元

朝，其制作方式可用平拋運(yùn)動(dòng)的模型來進(jìn)行分析。如圖所示,古人在制作刀削面時(shí)而團(tuán)距離

鍋的高度仁0.45m,與鍋沿的水平距離L=0.3m,鍋的半徑也為L=0.3m,“刀削面”在

空中的運(yùn)動(dòng)可看作平拋運(yùn)動(dòng)，重力加速度g=10m/s2。求：

(1)面片在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

(2)面片恰好落在鍋中心。點(diǎn)時(shí)的速度大?。?結(jié)果可帶根號(hào))

(3)為保證削出的面片都落在鍋內(nèi)，削出的面片初速度如大小的取值范圍。

答案60.3sm/s(3)1m/s<v()<3m/s

解析(1)據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，豎直方向上/?=女尸

得尸=0.3s

⑵落在鍋中心。點(diǎn)時(shí)的水平速度大小uoi=Y=2m/s

豎直方向速度大小vy=gt=3m/s

2

恰好落在鍋中心。點(diǎn)時(shí)的速度大小u=^/PO?+vy^=yf\3m/s

⑶面片水平位移的范圍為L<x<3L

由平拋運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，有

代入數(shù)據(jù)得1m/s<o（）<3m/so

m21如圖所示，窗子上、下沿間的高度差〃=1.6m,墻的厚度d=0.4m。某人在到墻壁

水平距離為L=1.4m且距窗子上沿百度為h=0.2m處的P點(diǎn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體以速度P

水平拋出，小物體直接穿過窗口并落在水平地面上，不計(jì)空氣阻力，g取lOmH,則，的取

值范圍是（）

A.v>2.3m/s

B.2.3m/s<p<7m/s

C.3m/s<u<7m/s

D.2.3m/s<v<3m/s

答案C

解析小物體做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，恰好擦著窗子上沿右側(cè)穿過時(shí)初速度v

最大，此時(shí)水平方向有Lf豎直方向有〃=妗，聯(lián)立解得。心=7m/s；恰好擦著窗子

下沿左側(cè)穿過時(shí)初速度。最小，此時(shí)水平方向有L+d=Umin/',豎直方向有〃+〃=/磔'2,

解得。min=3m/s,所以。的取值范圍是3m/s<i，<7m/s,故選C。

【例3】如圖所示，排球場的長為18m,球網(wǎng)的高度為2m。運(yùn)動(dòng)員站在離網(wǎng)3m遠(yuǎn)的線上，

正對(duì)球網(wǎng)豎直跳起，把球沿垂直于網(wǎng)的方向水平擊出。（雙g=10m/s2,不計(jì)空氣阻力）

（1）設(shè)擊球點(diǎn)的高度為2.5門，問球被水平擊出時(shí)的速度如在什么范圍內(nèi)才能使球既不觸網(wǎng)也

不出界？

（2）若擊球點(diǎn)的高度小于某個(gè)值，那么無論球被水平擊出時(shí)的速度為多大，球不是觸網(wǎng)就是出

界，試求出此高度。

答案（1）3，T6m/sGoW12鏡m/s（2啟m

解析（1）如圖甲所示，排球恰不觸網(wǎng)時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡為I,排球恰不出界時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡為II,

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，由x=v（）t和力=全戶可得，當(dāng)排球恰好觸網(wǎng)時(shí)有

x\=3m,①

用=2.5m-2m=0.5m,h\=^gh2@

由①②可得口=3?m/s

當(dāng)排球恰不出界時(shí)有

也=3m+9m=12m,工2=。2,2③

h2=2.5m,/”《g川④

由③④可得也=12吸m/s

所以排球既不觸網(wǎng)也不出界時(shí)，速度%的范圍是3聞m/svUoW126m/so

(2)如圖乙所示為排球恰不觸網(wǎng)也恰不出界的臨界軌跡。設(shè)擊球點(diǎn)的高度為心根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)

的規(guī)律有

X\=VQt\'⑤

hi'=/?-2m,h\'=*/i'2@

X2=V^2⑦

h=\gtz逸)

32

聯(lián)式⑤⑥⑦⑧式可得。=去

1V*mo

二、類平拋運(yùn)動(dòng)

1.類平拋運(yùn)動(dòng)的概念

凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的運(yùn)動(dòng)都可以稱為美平拋運(yùn)動(dòng)。

2.類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)

(I)初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是豎直向下，但合力的方向應(yīng)與初

速度方向垂直。

⑵加速度不一定等于重力加速度g,但應(yīng)恒定不變。

3.類平拋運(yùn)動(dòng)的分析方法

⑴類平拋運(yùn)動(dòng)可看成是沿初速度方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直初速度方向的由靜止開始的勻

加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

(2)處理類平拋運(yùn)動(dòng)的方法和處理平拋運(yùn)動(dòng)的方法類似，但要分析清楚加速度的大小和方向。

4.類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律

初速度加方向上：2r=%，維。

合外力方向上：。=得，Vy=at,尸。

「思考與討論」

類平拋運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)有何區(qū)別？

答案D

解析小球在斜面上做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律及位移公式分別可得用gsin〃=〃心，熹

=^cir,聯(lián)立解得小球從4點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)所用的時(shí)間為i=2s,到達(dá)6點(diǎn)時(shí)的速度大小為0

=、如2+(的2,代入數(shù)據(jù)解得。=1(八尼m/s,故選D。

專題強(qiáng)化練

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.如圖所示，在水平路面上一運(yùn)動(dòng)員駕駛摩托車跨越壕溝，壕溝兩側(cè)的高度差為0.8m,水

平距離為8m,則運(yùn)動(dòng)員跨過壕溝的初速度至少為(取^=10m/s2)()

A.0.5m/sB.2m/s

C.10m/sD.20in/s

答案D

解析根據(jù)x=0o/、y=:卻將已知數(shù)據(jù)代入可得。o=20m/s,故選項(xiàng)D正確。

2.利用手機(jī)可以玩一種叫“扔紙團(tuán)”的小游戲。如圖所示，游戲時(shí)，游戲者滑動(dòng)屏幕將紙團(tuán)

從P點(diǎn)以速度。水平拋向固定在水平地面上的圓柱形廢紙簍，紙團(tuán)恰好從紙簍的上邊緣入簍

并直接打在紙簍的底角。若要讓紙團(tuán)進(jìn)入紙簍中并直接云中簍底正中間，下列做法可行的是

A.在尸點(diǎn)將紙團(tuán)以小于。的速度水平拋出

B.在。點(diǎn)將紙團(tuán)以大于。的速度水平拋出

C.在P點(diǎn)正上方某位置將紙團(tuán)以小于。的速度水平拋出

D.在P點(diǎn)正下方某位置將紙團(tuán)以大于。的速度水平拋出

答案C

3.某同學(xué)對(duì)著墻?壁練習(xí)打網(wǎng)球，假定球在墻面上以20m/s的速度沿水平方向反彈，球在墻

面上反彈點(diǎn)距地面的高度在1.25m至1.80m之間，忽略空氣阻力，身取10m/s2,則球反彈

后到第一次落地()

A.飛行的最短時(shí)間為0.6s

B.飛行的最長時(shí)間為1.1s

C.飛行的最遠(yuǎn)水平距離為10m

D.飛行的最大位移將超過12m

答案D

解析球反彈后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)〃=家，可得取Amin=1.25m,可得/min=0.5S,

取/?max=L80m,可得/max=0.6S,故A、B錯(cuò)誤；球在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向

運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)距離為Smax=UWmax=12m,故C錯(cuò)誤：球落地的最大位移=

^/1224-L82m>12m,故D正確。

4.（多選）如圖所示，一個(gè)電影替身演員準(zhǔn)備跑過一個(gè)屋頂，水平地跳躍并離開屋頂，然后落

在下一棟建筑物的屋頂上。如果他在屋頂跑動(dòng)的最大速度是4.5m/s,那么下列關(guān)于他能否安

全跳過去的說法正確的是恁取10m/s2）（）

裝4.5m/s

ST

日產(chǎn)

A.他可能安全跳過去

B.他不可能安全跳過去

C.如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應(yīng)大于6.2m/s

D.如果要安全跳過去，他在屋頂水平跳躍速度應(yīng)小于4.5m/s

答案BC

解析由x=Vot,將〃=5m,x=6.2m代入解得安全趺.過去的最小水平速度co

=6.2m/s,B、C正確，A、D錯(cuò)誤。

5.如圖所示，M、N是兩塊擋板，擋板M高/?'=10m,其上邊緣與擋板N的下邊緣在同一

水平面。從高〃=15m的A點(diǎn)以速度如水平拋出一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），A點(diǎn)與兩擋板的水平

距離分別為力=10m,"2=20m。N板的上邊緣高于4點(diǎn)，若能使小球直接進(jìn)入擋板M的右

邊區(qū)域，則小球水平拋出的初速度比的大小可能是（g取10m/s2,空氣阻力不計(jì)）（）

A.8in/sB.4m/s

C.15m/sD.21m/s

答案C

解析要讓小球落到擋板M的右邊區(qū)域，下落的高度為△/?=/?—/=5m,由/=

/=1s,由力=。（）"，di=V（）itt得火的范圍為10m/sV如V20m/s,故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

6.如圖所示，質(zhì)量為0.1kg的小球放在光滑水平面上的P點(diǎn)，現(xiàn)給小球一個(gè)水平初速度?！?

同時(shí)對(duì)小球施加一個(gè)垂直于初速度的水平恒力F,小球運(yùn)動(dòng)1s后到達(dá)。點(diǎn)，測得P、。間

的距離為1m,P、。連線與初速度的夾角為37。，sin37°=0.6,cos37°=0.8,則初速度如

的大小和恒力F的大小分別為（）

A.0.6m/s,0.12NB.0.6in/s,0.16N

C.0.8m/s,0.12ND.0.8nVs,0.16N

答案C

解析小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的加速度小球沿初速度方向的位移x=次k,沿拉力產(chǎn)

方向的位移產(chǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系有,，=ssin37°,x=5cos37°,聯(lián)立解得的=0.8m/s,F=

0.12N,故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。

能力綜合練

7.在如圖所示的相同臺(tái)階中，水平部分48長0.3m,豎直部分4c高0.2m,現(xiàn)在A正上方某

一高度4以如的速度平拋一小球（視為質(zhì)點(diǎn)），如果力小于某一值，無論。o取何值，小球均不

會(huì)落在C、。兩點(diǎn)之間，重力加速度g=10m/s2,忽略阻力，則這個(gè)值為（）

A.eqcmB.eqcm

C.10cmD.eqcm

答案B

解析若小球剛好經(jīng)過8點(diǎn)和。點(diǎn)，則無論如取何值，，卜球均不會(huì)落在C、。兩點(diǎn)之間。小

球做平拋運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過8點(diǎn)，有/1=研）/1=0.3m,//=^/|2,小球剛好經(jīng)過。點(diǎn)，則有文2

=0o,2=O.6m,/z+0.2m=^22,綜合以上各式解得〃=#cm,故選B。

8.（多選）如圖所示，水平面上放置一個(gè)直徑d=lm、高力=1m的無蓋薄油桶，沿油桶底面直

徑A3距左桶壁s=2m處的正上方有一點(diǎn)P2點(diǎn)的高度〃=3m,從F點(diǎn)沿直徑A3方向水

平拋出一小球，不考慮小球的反彈和空氣阻力，下列說法正確的是（取g=10m/s2,為桶

頂平行AB的直徑）（）

rr

L-S

A.小球的速度范圍為m/s<c><y\/7om/s時(shí)，小球擊中油桶的內(nèi)壁

B.小球的速度范圍為m/s<o舄/T6m/s時(shí)，小球擊中油桶的下底

C.小球的速度范圍為REm/s<u<VT6m/s時(shí)，小球擊中油桶外壁

D.若P點(diǎn)的高度變?yōu)?.8m,則小球無論初速度多大，均不能直接落在桶底（桶邊沿除外）

答案ACD

解析當(dāng)小球落在油桶外皇人點(diǎn)時(shí)，有產(chǎn)，S=。"，聯(lián)立解得0=m/s,

同理可知，當(dāng)小球落在。點(diǎn)時(shí)，6=.、/萬亡方m/s,當(dāng)小球落在3點(diǎn)時(shí)，s=（s+

o3t—

=A/T5m/s,當(dāng)小球■落在C點(diǎn)時(shí)，。4=（$+2(H-/7)=2^m/s,選項(xiàng)A、C正

確，B錯(cuò)誤；假設(shè)P點(diǎn)的高度變?yōu)镠o時(shí)，枕跡同時(shí)過D點(diǎn)和B點(diǎn),則此時(shí)初速度優(yōu)=

2(“°i)=(s+,解得“o=1.8m,在此高度上，小球無論初速度多大，招不能

直接落在桶底（桶邊沿除外），選項(xiàng)D正確。

9.如圖所示，A、B兩質(zhì)點(diǎn)從同一點(diǎn)。分別以相同的水平速度相沿x軸正方向拋出，A在豎

直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為P，B沿光滑斜面運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為生，Pi和P2在同一水平地面上,

不計(jì)阻力，則下列說法正確的是（）

A.A、B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同

B.A、B沿x軸方向的位移相同

C.A、R運(yùn)動(dòng)過程中的加速度大小相同

D.A、B落地時(shí)速度大小相同

答案D

解析設(shè)O點(diǎn)與水平地面的高度差為h,A質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，h

=%/J,B質(zhì)點(diǎn)在光滑斜面上的運(yùn)動(dòng)為類平拋運(yùn)動(dòng)，其沿斜面方向的加速度為gsina由類

平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，^=|^/2sin/

2則A、B兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為：

2h

2n,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由X|=&）h,X2=%12可知，X|<X2,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由0=g,

42=gsin?？芍x項(xiàng)C錯(cuò)誤；A落地的速度大小為%=y]M+（w）2=7M+2gh,B落地的

速度大小為0B=4加+（W2）2=#加+2gh,所以0A=詼，選項(xiàng)D正確。

10.在真空環(huán)境內(nèi)探測微粒在重力場中能量的簡化裝置如圖所示。P是個(gè)微粒源，能持續(xù)水平

向右發(fā)射質(zhì)量相同、初速度不同的微粒，高度為/?的探測屏A8豎直放置，離P點(diǎn)的水平距

離為L,上端A與P點(diǎn)的高度差也為小已知重力加速度為g。

P

探

測

屏

⑴若微粒打在探測屏AB的中點(diǎn)，求微粒在空中飛行的時(shí)間;

⑵求能被探測屏探測到的微粒的初速度范圍。

答案⑴Q）叭島

解析（1）對(duì)打在屏中點(diǎn)的微粒有

31

券=刎,解得

（2）對(duì)打在8點(diǎn)的微粒有

L=V]t\,2力=利，

解得5=叭生

同理，打在A點(diǎn)的微粒初速度v2=L-yJ^

故能被探測屏探測到的微粒初速度范圍為、伍WoW叭仔。

11.（2023?陽泉市第十一中學(xué)期中）近年來，乒乓球自動(dòng)發(fā)球機(jī)被廣泛應(yīng)用于乒乓球運(yùn)動(dòng)員的日

常訓(xùn)練中。如圖所示，乒乓球球臺(tái)KL1=2.74III、寬L2=L525IU,球網(wǎng)位丁球臺(tái)中央，高〃

=15cnio一自動(dòng)發(fā)球機(jī)固定于球臺(tái)左側(cè)邊緣中點(diǎn)A處，發(fā)球點(diǎn)在A點(diǎn)正上方H高處，發(fā)球

機(jī)可沿球臺(tái)中線A8方向?qū)⑵古仪蛩缴涑?。已知乒乓球能過網(wǎng)且落到臺(tái)面上，設(shè)其所受的

空氣阻力可以忽略，取g=10m/s2。

⑴若H=45cm,求乒乓球射出時(shí)最小速度的大小；

（2）求”的最小值。

答案（1）5.59m/s⑵20cm

解析（1）乒乓球自A點(diǎn)、沿AB方向水平拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，乒乓球恰好通過球網(wǎng)上沿中點(diǎn)、時(shí),

射出速度最小，為如，有

解得Vo=^y>/6m/s^5.59m/s

（2）設(shè)乒乓球能過網(wǎng)且剛好落到臺(tái)面最邊緣時(shí)具有最小發(fā)球高度，為“min,剛好過網(wǎng)用時(shí)m

落到臺(tái)面上用時(shí)打，有

“min—/=方/1

Ll=Vf2

聯(lián)立解得“min=20ClBo

尖子生選練

12.（多選）在某次排球比賽中，球員甲接隊(duì)友的一個(gè)傳球，在網(wǎng)前L=3.60m處起跳，在離地

面高〃=3.2（）m處將球以70=12m/s的速度正對(duì)球網(wǎng)水立擊出，對(duì)方球員乙剛好在進(jìn)攻路線

的網(wǎng)前\她可利用身體任何部位進(jìn)行攔網(wǎng)阻擊，如圖所示。假設(shè)球員乙的直立攔網(wǎng)高度（從腳

底到指尖）為加=2.40m、起跳攔網(wǎng)高度為〃2=2.85m