第五章二元一次方程組

3二元一次方程組的應(yīng)用（第1課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

列二元一次方程組解決簡單的實(shí)際問題，是代數(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)聯(lián)系現(xiàn)

實(shí)生活的一個(gè)重要方面。本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)豐富的情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中抽象出二

元一次方程（組）的過程，通過解方程（組）解決實(shí)際問題，進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用意識和

問題解決能力。

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第五章“二元一次方程組”第3節(jié)第1課時(shí),

以經(jīng)典的“雉兔同籠”問題為背景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用算術(shù)方法、一元一次方程以及二元一次

方程組解決實(shí)際問題的過程。通過對比分析，體會(huì)用二元一次方程組建立模型解決實(shí)際問題

的必要性和重要價(jià)信，并在用二元一次方程組解決實(shí)際問撅的過程中總結(jié)一般性策略。因此，

在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)更多的關(guān)注對算術(shù)方法、列一元一次方程和列二元一次方程組等方法的意義

理解與對比分析，以及在列方程組的建模過程中，強(qiáng)化方程的模型思想，培養(yǎng)列方程組解決

現(xiàn)實(shí)問題的意識和能力。同時(shí)，將解方程組的技能與實(shí)際問題的解決融為一體，進(jìn)一步提高

學(xué)生借助方程組解決實(shí)際問題的能力。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了二元一次方程（組）的概念

及解法，以及列二元一次方程組解應(yīng)用題的部分內(nèi)容，能正確地分析和理解現(xiàn)實(shí)問題的題意，

并厘清簡單的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，初步具備了用方程組解決簡單實(shí)際問題的能

力。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)過用算術(shù)方法解決“雉兔同籠”的問題，

積累了一定的分析實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。在七年級上冊，學(xué)生通過對一元一次方程及應(yīng)用的學(xué)習(xí)，

積累了一定利用方程模型解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，掌握了解決現(xiàn)實(shí)問題的基本思想和方法。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.能分析簡單實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程組解決問題。

2.經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，積累利用二元一次方程組解決實(shí)際問題的

一般策略，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想和模型

意識。

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教學(xué)重點(diǎn)：能分析簡單問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程組解決問題。

教學(xué)難點(diǎn)：理解用算術(shù)方法、一元一次方程與二元一次方程組解決實(shí)際問題的差異，體

會(huì)用二元?次方程組解決實(shí)際問題的價(jià)值意義及一般策略。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】情境引入

1.活動(dòng)內(nèi)容

《孫子算經(jīng)》中有一個(gè)“雉兔同籠”問題：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有

九十四足。問：雉兔各兒何？

（1）這個(gè)問題涉及哪些量？

（2）這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

（3）你能列方程組解決這個(gè)有趣的問題嗎？你是怎么做的？與同伴進(jìn)行交流。

追問：你能用一兀一次方程或小學(xué)的算術(shù)方法求解這個(gè)問題嗎？

2.活動(dòng)目的

以中國經(jīng)典的“雉兔同籠”問題為例引入課題，為梳理算術(shù)方法、一元一次方程和二元

一次方程組之間的關(guān)系埋下伏筆，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信。

通過問題串引領(lǐng)，啟發(fā)學(xué)生從實(shí)際問題中獲取關(guān)鍵信息，思考、分析問題中包含的量及

等量關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生從算術(shù)方法，一元一次方程及二元一次方程組等多種方法嘗試解決問

題。

3.注意事項(xiàng)

在解決實(shí)際問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生分析問題中包含的等量關(guān)系。

“雉兔同籠”問題對很多學(xué)生來說并不陌生，學(xué)生在小學(xué)階段或在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)

可能就研究過這一問題。教學(xué)時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生列一元一次方程或用小學(xué)學(xué)過的算術(shù)方

法求解，并對解決這一問題的不同方法進(jìn)行比較，思考這些方法之間的區(qū)別和聯(lián)系。

【第二環(huán)節(jié)】探索新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試?思考

列方程組求解下面的問題：

若甲從乙處得到7第納爾（貨幣單位），則甲擁有的第納爾是乙的5倍—；若乙從甲處得

到5第納爾，則乙擁有的第納爾是甲的7倍。甲、乙兩人原來各擁有多少第納爾？［選自意

大利數(shù)學(xué)家斐波納奇（LeonardoFibonacci,約117。一約1240）的《計(jì)算之書》］

（1）這個(gè)問題涉及哪些量？這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

（2）你能列方程組解決這個(gè)問題嗎？你是怎么做的？

（3）你能用一元一次方程或小學(xué)學(xué)過的算術(shù)方法求解嗎？你覺得哪種方法更簡單？

2.活動(dòng)目的

以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地厘清題目中的數(shù)量關(guān)系，通過對等量關(guān)系和未知量

的分析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)設(shè)兩個(gè)未知數(shù)相較于設(shè)一個(gè)未知數(shù)，在數(shù)學(xué)表達(dá)和降低思維難度上的

優(yōu)越性，進(jìn)一步強(qiáng)化用二元一次方程組解決實(shí)際問題的價(jià)值與意義，同時(shí)幫助學(xué)生在問題解

決的過程中形成建立方程組的策略，從而提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生運(yùn)

用數(shù)學(xué)解決問題的意識。

3.注意事項(xiàng)

此問題為古算題，計(jì)算結(jié)果為分?jǐn)?shù)，為保留古算題的原貌，在數(shù)據(jù)上可向?qū)W生作簡單說

明。

【第三環(huán)節(jié)】典例精析

1.活動(dòng)內(nèi)容：

例1今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù)。甲得乙十錢，多乙余錢五倍。乙得甲十錢，適等。

問：甲、乙懷錢各幾何？（選自《張丘建算經(jīng)》）

題目大意：甲、乙兩人各帶了若干錢。如果甲得到乙的10錢，那么甲的錢數(shù)比乙剩余

的錢數(shù)多5倍；如果乙得到甲的10錢，那么兩人錢數(shù)相等。甲、乙兩人各帶了多少錢？

追問：題目中有哪些等量關(guān)系？你能用含未知量的式子表示這些等量關(guān)系嗎？

回顧以上幾個(gè)問題的解決過程，思考：

列二元一次方程組解決實(shí)際問題的基本思路和策略是什么？與同伴進(jìn)行交流。

思考-交流

列二元一次方程組解決問題與列一元一次方程解決問題有什么區(qū)別和聯(lián)系？與同伴進(jìn)

行交流。

2.活動(dòng)目的

例I在新知應(yīng)用的基礎(chǔ)上，用中國古算題進(jìn)一步鞏固利用二元一次方程組解決實(shí)際問

題，強(qiáng)化建立方程組的策略，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型

解決問題的意識。

“思考?交流”要求學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，思考列二元一次方程組解決問題與列一元

一次方程解決問題之間的區(qū)別和聯(lián)系，力圖讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性和優(yōu)越

性，逐步形成對相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。

3.注意事項(xiàng)

例1為古算題，需要學(xué)生先理解題意，再從實(shí)際情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，并利用二元一

次方程組解決問題。

在“思考?交流”環(huán)節(jié)需要讓學(xué)生感受到，列二元一次方程組解決問題與列一元一次方

程解決問題的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析問題中涉及的各種量，以及

量與量之間的等量關(guān)系，并抓住主要等量關(guān)系。它們的主要區(qū)別在于所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)不同：

列二元一次方程組解決問題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列兩個(gè)方程；列一元一次方程解決問題只需

要設(shè)一個(gè)未知數(shù)，列一個(gè)方程。從理論上講，可以列二元一次方程組解決的問題都可以列一

元一次方程解決：但對一些問題來說，列二元?次方程組的思考過程比較直接、容易，而列

一元一次方程的思考過程則相對比較復(fù)雜。此環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再通過小組交流、

全班分享的方式，讓學(xué)生體會(huì)如何在合作交流中學(xué)習(xí)反思，形成策略，建構(gòu)并逐步完善自我

認(rèn)知體系。

【第四環(huán)節(jié)】遷移應(yīng)用

L活動(dòng)內(nèi)容

（1）列方程組進(jìn)行求解古算題：

今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五，直金八兩。問：牛、羊各直金幾何？（選自

《九章算術(shù)》）

題目大意：5頭牛、2只羊共值10兩“金”；2頭牛、5只羊共值8兩“金”。每頭牛、

每只羊各值多少“金”？

（2）今有井不知深，先將繩折作三條入井汲水，繩長四尺，后將繩折作四條入井，亦

長一尺。問：井深及繩長各若干？（選自《算法統(tǒng)宗》）

題H大意：用繩子測量井的深度，先將繩子折成三等份放入井中，一份繩長比井深多4

尺；再將繩了折成四等份放入井中，份繩長比井深多1尺。繩K、井深各是多少尺？

2.活動(dòng)目的

通過兩道古算題的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)如何建立.二元一次方程組解決實(shí)際問題，通過學(xué)生

自主尋求相關(guān)數(shù)學(xué)模型，突出方程組作為數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性和有效性，在對本節(jié)課知識

方法進(jìn)行鞏固的同時(shí)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力。古算題的設(shè)定可以對學(xué)生

滲透我國優(yōu)秀的數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)中華民族的智慧。

3.注意事項(xiàng)

這兩道題的類型與前面的“雉兔同籠”和典例精析的古算題既有相似，乂有變化，可以

促使學(xué)生在不同的、變化的情境中靈活運(yùn)用所掌握的知識方法解決問題，提升學(xué)生的問題解

決能力。

【第五環(huán)節(jié)】課堂小結(jié)

1.活動(dòng)內(nèi)容

(1)解決現(xiàn)實(shí)問題的常用思路有哪些？分別體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

(2)列二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程是怎樣的？

引導(dǎo)學(xué)生呵I顧總結(jié)列二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生理解其本質(zhì)即是利用

等量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型解決問題的過程。因此，列方程的過程實(shí)際就是建立數(shù)學(xué)模型的過程。

2.活動(dòng)目的

回顧本節(jié)課所學(xué)的基本知識、基本技能和基本方法，同時(shí)對學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化提煉，滲透

建立數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的某本思想，發(fā)展學(xué)牛的模型思根和應(yīng)用意識。

3.注意事項(xiàng)

此環(huán)節(jié)可讓學(xué)生先獨(dú)立思考、再小組交流，最后全班交流分享，建構(gòu)出本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)

知結(jié)構(gòu)和問題解決策略。

【第六環(huán)節(jié)】布置作業(yè)

1.活動(dòng)內(nèi)容

基礎(chǔ)性作業(yè)：習(xí)題5.3第4,5,6,14題.

拓展性作業(yè)：閱讀課后拓展資源，進(jìn)一步了解“雉兔同籠”的前世今生，體會(huì)“雉兔同

籠”問題的文化價(jià)值。

2.活動(dòng)目的

設(shè)置不同層次的作業(yè)，滿足不同學(xué)生?的發(fā)展需求。

3.注意事項(xiàng)

拓展性作業(yè)為長作業(yè)，可以采用個(gè)人獨(dú)立完成或小組合作完成的方式進(jìn)行。在學(xué)生作業(yè)

完成后，教師要注意勸長作業(yè)的收集和反饋。

五、教學(xué)反思

1.尊重教材、理解教材、深挖教材

北師大版教材在設(shè)計(jì)時(shí)為教學(xué)提供了大量的索材，同時(shí)也給教師留下較大的發(fā)揮空間。

以本節(jié)課為例，教材的素材設(shè)計(jì)合理且目標(biāo)明確，大量選擇古算題，突出了數(shù)學(xué)的歷史文化

價(jià)值。因此，在進(jìn)行本節(jié)課設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)充分利用這一特點(diǎn)，通過挖掘古算題的文化價(jià)值，體

現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。同時(shí)，''雉兔同籠”問題是對小學(xué)相關(guān)內(nèi)容學(xué)習(xí)的進(jìn)一步延伸，教

師應(yīng)該理解教材的螺旋上升理念，從單元整體視角挖掘其中的關(guān)聯(lián)性，突出數(shù)學(xué)知識的來龍

去脈，在小學(xué)的算術(shù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)匕引導(dǎo)學(xué)生自然地過渡到利用方程思想解決實(shí)際問題，并通

過對比分析，使學(xué)生體會(huì)算術(shù)方法的巧妙性和局限性以及方程思想的價(jià)值與優(yōu)越性，同時(shí)體

會(huì)方程組作為數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性和重要性，真正實(shí)現(xiàn)對教材的深度理解和挖掘。

2.關(guān)注學(xué)生思維過程，將隱性思維顯性化

本節(jié)課的素養(yǎng)目標(biāo)在于讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，明確方程（組）

是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，發(fā)展模型思想和模型意識。因此，本節(jié)課通過問

題串的形式，層層深入地引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生的思維過程外顯，從而清晰地展現(xiàn)從算術(shù)思

維到方程思想的自然過渡，同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過分析題目中的已知與未知，數(shù)量間的等量關(guān)

系等方法實(shí)現(xiàn)模型建構(gòu)，將實(shí)際問題解決的過程轉(zhuǎn)化為建模、解模的過程，形成解決實(shí)際問

題的一般性策略。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的課堂分享交流空間，通過引導(dǎo)、

啟發(fā)、組織交流等方式，使學(xué)生主動(dòng)參與，積極思考:從而獲得將深度思考的思維過程顯性

化體驗(yàn)。

第五章二元一次方程組

3二元一次方程組的應(yīng)用（第2課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第五章“二元一次方程組”第三節(jié)第2課時(shí),

本節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步掌握用二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟和方法。與上節(jié)課相

比，本課所涉及的實(shí)際問題中等量關(guān)系更為隱蔽，難以直接得出，需要借助表格進(jìn)行分析梳

理，進(jìn)而準(zhǔn)確建立二元一次方程組。學(xué)生將在探究與合作的過程中，逐步掌握借助表格輔助

分析數(shù)量關(guān)系、建立方程組的解題策略。因此，教師需同時(shí)關(guān)注兩方面.：一是學(xué)生運(yùn)用方程

組模型解決問題的能力，二是其對表格分析方法的掌握情況。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在本節(jié)課之前，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)二元一次方程（組）的概念、解

法，以及部分應(yīng)用題的列式與求解方法。他們能夠準(zhǔn)確分析題意，梳理簡單數(shù)量關(guān)系中的已

知量與未知量，初步具備運(yùn)用方程組解決簡單實(shí)際問題的能力，為本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了

扎實(shí)的知識和技能基礎(chǔ)。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：七年級階段，學(xué)生通過學(xué)習(xí)一元一次方程及其應(yīng)用，積累了運(yùn)用

方程模型解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，初步形成了這類問題解決的基本思想方法。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.能借助表格分析較為更雜問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建立并求解二元一次方程組。

2.進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，深化對方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界

數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識，發(fā)展模型思想和模型意識。

教學(xué)重點(diǎn)：借助表格分析復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，建立方程組解決實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：尋找等量關(guān)系。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】創(chuàng)設(shè)情境，建立模型

L活動(dòng)內(nèi)容

某工廠前年的總利潤（總收入一總支出）為200萬元。去年的總收入比前年增加了20%,

總支出比前年減少了10%,去年的總利潤為780萬元。前年的總收入、總支出各是多少萬

元？

（1）這個(gè)問題涉及哪些量？這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

（2）你能用表格梳理問題中的已知量和未知量嗎？與同伴進(jìn)行交流。

2.活動(dòng)目的

通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中初步形成運(yùn)用表格梳理

關(guān)鍵信息的意識。同時(shí)，復(fù)習(xí)增長（降低）率模型：a（\±x）=b（其中。為基數(shù)，x為增降率,

6為日標(biāo)數(shù)；“I”表示增長，“一”表示降低）。此環(huán)節(jié)將解二元一次方程組的技能訓(xùn)練

自然地融入實(shí)際問題的解決過程中。通過對比直接設(shè)未知數(shù)與間接設(shè)未知數(shù)兩種方法，引導(dǎo)

學(xué)生理解：在列方程組時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇思維難度和計(jì)算難度較低的未知數(shù)設(shè)法。

3.注意事項(xiàng)

通過合作探究，學(xué)生對增長（降低）率模型、解方程組的技能以及運(yùn)用表格梳理已知最

與未知量關(guān)系的方法形成「系統(tǒng)性認(rèn)知，明確了本課的核心知識與能力要求。在方法類比的

過程中，學(xué)生進(jìn)一步掌握建立方程組模型的技巧，再次體會(huì)運(yùn)用表格梳理題目中的關(guān)鍵信息,

能有效揭示數(shù)量間的內(nèi)在萩系和規(guī)律。

【第二環(huán)節(jié)】遷移應(yīng)用，深化理解

I.活動(dòng)內(nèi)容

例醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的患者配制營養(yǎng)品。每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)

和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)。如果患者每餐需要35單位蛋

白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐用甲、乙兩種原料各多少克可以恰好滿足患者的需要？

分析：設(shè)每餐用甲原料xg、乙原料j，g，則有

成分甲原料xg乙原料yg所配制的營養(yǎng)品

其中所含蛋白質(zhì)0.5xOJy35

其中所含鐵質(zhì)X0.4}'40

解：設(shè)每餐川甲原料xg、乙原料yg，根據(jù)題意，得

0.5升0.7），=35,

x+0.4y=40o

x=28

解這個(gè)方程組，得‘

y=30。

所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好滿足患者的需要。

思考-交流

在列方程組解決問題時(shí)，如何梳理其中的關(guān)鍵信息？對此你有哪些心得體會(huì)？與同伴進(jìn)

行交流。

利用表格梳理題目中的關(guān)鍵信息，是一種常用的方法。通過觀察和分析表格中的數(shù)據(jù)和

關(guān)系，易于找出數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律。

2.活動(dòng)目的

通過例題教學(xué)，提高學(xué)生運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的意識和能力。引導(dǎo)學(xué)生初

步掌握設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)谋砀窭迩孱}目中數(shù)量關(guān)系的方法，形成建立方程組的有效策略，從而提升

學(xué)生分析問題與解決問題的能力。借助關(guān)聯(lián)情境，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題的意識。

“思考?交流”環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合列方程組解決問題的實(shí)踐活動(dòng)，總結(jié)分析數(shù)量美系的

經(jīng)驗(yàn)，提升分析問題與解決問題的能力。

3.注意事項(xiàng)

本課時(shí)中，學(xué)生通過實(shí)踐體會(huì)到設(shè)計(jì)表格可以更好地明晰題目中各個(gè)量之間的關(guān)系，逐

步形成借助表格梳理題目中關(guān)鍵信息的意識。在教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分體會(huì)利用表格梳理

數(shù)量之間的關(guān)系，有效促進(jìn)將具體問題抽象為方程組這一轉(zhuǎn)化過程，并深化對“審題一列表

f建立方程（組）”這一結(jié)構(gòu)化問題解決流程的理解。

【第三環(huán)節(jié)】練習(xí)鞏固，反饋矯正

1.活動(dòng)內(nèi)容

嘗試完成以下問題；

（1）甲、乙兩班共有100名學(xué)生，他們的體育達(dá)標(biāo)率（達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率）為81%。

如果甲班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.5%,乙班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為75%,那么甲、乙兩班各有

多少名學(xué)生？

（2）某一天，蔬菜經(jīng)營戶花90元從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了黃瓜和茄子共40kg,到菜市

場去賣，黃瓜和茄子當(dāng)天的批發(fā)價(jià)與零售價(jià)見下表：

價(jià)格黃瓜茄子

批發(fā)價(jià)/（元/kg）2.42

零售價(jià)/（元/kg）3.62.8

他當(dāng)天賣完這些黃瓜和茄子可賺多少元？

2.活動(dòng)目的

鼓勵(lì)學(xué)生自主探索并建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型，激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力。通過鞏固性

練習(xí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生分析問題與解決問題的能力。

3.注意事項(xiàng)

引導(dǎo)學(xué)生在多樣化情境中掌握借助表格梳理關(guān)鍵信息的方法，提高策略化解決問題的能

力。

【第四環(huán)節(jié)】總結(jié)歸納.形成聯(lián)結(jié)

L活動(dòng)內(nèi)容

通過學(xué)習(xí)，反思以下問題：

（1）列方程組解決實(shí)際問題的過程中，你借助了什么工具進(jìn)行分析？

（2）利用二元一次方程組解決實(shí)際問題的基本步驟有哪些？

2.活動(dòng)目的

回顧本節(jié)課的基本知識、基本技能和基本方法，同時(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化提煉，從而滲透建立數(shù)

學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的基本思想，發(fā)展學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識。

3.注意事項(xiàng)

通過師生互動(dòng)交流本節(jié)課的收獲，梳理本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)，明嘶其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體系中的

定位與作用。

【第五環(huán)節(jié)】布置作業(yè)，遷移延伸

1.活動(dòng)內(nèi)容

（1）基礎(chǔ)性作業(yè)：習(xí)題5.3第7,8,10題。

（2）發(fā)展性作業(yè)：查閱資料，進(jìn)一步了解阿基米塘與皇冠的故事，類比曹沖稱象，

感受其異同。

2.活動(dòng)目的

設(shè)置分層作業(yè)，滿足學(xué)生個(gè)性化的學(xué)習(xí)需求。

3.注意事項(xiàng)

關(guān)注學(xué)生是否能在實(shí)際問題中找到等量關(guān)系，并準(zhǔn)確用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行表達(dá)。

五、教學(xué)反思

1.尊重教材，挖掘教材，延伸教材

北師大新版教材提供了豐富的素材與廣闊的發(fā)揮空間。本課例中，教材素材設(shè)計(jì)合理、

目標(biāo)明確。在教學(xué)時(shí)，以一個(gè)大的情境串聯(lián)核心內(nèi)容，有效提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與參與度,

優(yōu)化了教學(xué)效果。此外，挖掘課后習(xí)題資源（如阿基米德與皇冠的故事等），實(shí)施跨學(xué)科融

合（物理），引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史，感悟科學(xué)精神。在教學(xué)的過程中，深度研讀

并創(chuàng)造性地使用教材是提升教學(xué)效能的關(guān)鍵。

2.明確核心知識，聚隹核心問題

本節(jié)課的核心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生掌握借助表格分析復(fù)雜數(shù)量關(guān)系、進(jìn)而建立方程組解決問

題的策略。教學(xué)全程緊扣此核心，明確重點(diǎn)并非特定問題類型（如增長率問題、利潤問題等）。

同時(shí)，聚焦核心素養(yǎng)，通過學(xué)生主動(dòng)參與列方程組解決實(shí)際問題的過程，深刻理解方程（組）

是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，切實(shí)發(fā)展模型思想與模型意識。課堂教學(xué)中，教師需

通過引導(dǎo)、啟發(fā)、組織深度交流等方式，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考，從而獲得深刻的建

模體驗(yàn)。

第五章二元一次方程組

3二元一次方程組的應(yīng)用（第3課時(shí)）

一、學(xué)習(xí)任務(wù)分析

本節(jié)課是北師大版初中數(shù)學(xué)八年級（上冊）第五章“二元一次方程組”第三節(jié)的第3

課時(shí)。本節(jié)內(nèi)容共3課時(shí)，第1課時(shí)通過“雞兔同籠”問題，讓學(xué)生初步學(xué)習(xí)通過列二元一

次方程組解決一些比較有趣的數(shù)學(xué)問題及古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問題，涉及的等量關(guān)系相對簡單

直接。第2課時(shí)主要通過解決現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)濟(jì)的應(yīng)用問題來學(xué)習(xí)列二元一次方程組，要求學(xué)

生能對具體情境中的數(shù)學(xué)信息作出合理解釋，并運(yùn)用列表分析法分析較為復(fù)雜的各數(shù)量間的

關(guān)系。第3課時(shí)則重點(diǎn)通過列二元一次方程組解決有關(guān)幾何圖形問題和行程問題的應(yīng)用題，

在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生將運(yùn)用圖表方法分析更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二

元一次方程組的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步鞏固列方程組解應(yīng)用題的方法，進(jìn)一步提高學(xué)生解決實(shí)際

問題的能力。

二、學(xué)生起點(diǎn)分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的應(yīng)用和二元一次方程

組的解法，能熟練地進(jìn)行二元一次方程組的運(yùn)算，并對用二元一次方程組解決實(shí)際問題的步

驟和方法有了基本了解，能借助表格正確地分析和理解題意，尋求題中各種數(shù)量關(guān)系，為本

節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了良好的知識和能力基礎(chǔ)。

學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生己初步枳累了用二元一次方程組解決筒單

實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)：在合作學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了探究、思考與交流，具備一定的小組合作

學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和較強(qiáng)的合作交流能力。

三、教學(xué)目標(biāo)

I.能分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，建立二元一次方程組解決實(shí)際問題，并歸納出用二元

一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟。

2.經(jīng)歷借助線段圖分析復(fù)雜問題中數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，感受將圖形信

息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化思、想。

3.進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中

等量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，發(fā)展應(yīng)用意識。

教學(xué)重點(diǎn)：借助線段圖分析復(fù)雜問題中的數(shù)顯關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：借助線段圖分析復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此建立等量關(guān)系列出方程組。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【第一環(huán)節(jié)】情境引入，初步認(rèn)知

I.活動(dòng)內(nèi)容

（1）如圖1（單位：cm）,8塊相同的小長方形墻磚拼成一個(gè)大長方形，每塊小長方

形墻磚的長和寬分別是多少？

①這個(gè)問題涉及哪些量？這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

②你能列方程組解決這個(gè)問題嗎？

圖I

（2）某糕點(diǎn)包裝盒的展開圖如圖所示。如果長方體盒子的寬比長少4cm,求這種糕點(diǎn)

包裝盒的體積？

圖2

2.活動(dòng)目的

第（1）題引導(dǎo)學(xué)生回顧前兩節(jié)課列方程組解決問題的過程，并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試自行探究

多種分析問題、解決問題的方法。第（2）題的設(shè)置既是對第（1）題探究的鞏固，又是對該

問潁的講一步拓展。通過設(shè)計(jì)空間立體圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化,引導(dǎo)學(xué)牛感受兩者在尋求等

量關(guān)系時(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與差別，從而產(chǎn)生較好的知識聯(lián)結(jié)。

3.注意事項(xiàng)

在第（1）題的教學(xué)中教師可向?qū)W生提出“題目中的已知量、未知量分別是什么”“各

個(gè)量之間的關(guān)系是什么”等問題，以此強(qiáng)化在解決實(shí)際問題中尋找等量關(guān)系的一般策略，為

學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容做好知識鋪墊。

【第二環(huán)節(jié)】思考探究，獲取新知

1.活動(dòng)內(nèi)容

例火車以40m/s的速度經(jīng)過一個(gè)隧道，從車頭進(jìn)入隧道到車尾駛出隧道，共用時(shí)30s,

其中火車全身都在隧道里的時(shí)間是20s,求隧道和火車的長度。

分析：

（1）這個(gè)問題涉及哪些量？

（2）你能畫圖說明“從車頭進(jìn)入隧道到車尾駛出隧道”的過程嗎？

（3）在“從車頭進(jìn)入隧道到車尾駛出隧道”這種情況下，火車行駛的路程與隧道的長

度、火車的長度之間有什么關(guān)系？

（4）類似地，對于“火車全身都在隧道里”的情形，你能得到相應(yīng)的關(guān)系嗎？

對較為復(fù)雜的問題，利用線段圖梳理題目的關(guān)鍵信息，便于厘清題目中的未知量、已知

量以及等量關(guān)系。

2.活動(dòng)目的

鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)嘗試畫出線段圖表征問題，通過線段圖將復(fù)雜問題中的數(shù)量關(guān)系直觀化、

條理化，從而降低思維難度；在此基礎(chǔ)上，借助數(shù)形結(jié)合思想，使列二元一次方程組的思路

更清晰，最終有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。著重強(qiáng)調(diào)線段圖的分析方法，形成

應(yīng)用意識，養(yǎng)成學(xué)生歸納小結(jié)的良好習(xí)慣。

3.注意事項(xiàng)

此題巧妙地借助兩條線段圖，宜觀呈現(xiàn)了隧道的長度與火車的長度之間的關(guān)系，既突破

了用語言描述兩個(gè)量之間關(guān)系的常規(guī)方法，乂生動(dòng)體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)滲透了數(shù)

形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?；疖囘^隧道的問題數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，教學(xué)中教師可適時(shí)提示、引導(dǎo)學(xué)

生進(jìn)行思考，并鼓勵(lì)學(xué)牛.動(dòng)手畫線段圖分析題目，最后邀請學(xué)生講解其分析過程。對思路清

晰、有條理的講解給予肯定與表揚(yáng)，對分析不足之處及時(shí)給予補(bǔ)充，以此提升學(xué)生解決問題

的信心。

【第三環(huán)節(jié)】運(yùn)用新知，深化理解

1.活動(dòng)內(nèi)容

回聲是一種自然現(xiàn)象，當(dāng)聲波投射到距離聲源有一段距離的大面積障礙物上時(shí),聲能的

一部分被吸收，而另一部分會(huì)反射回來，這種反射回來的聲音叫“回聲”。如果聽者聽到由

聲源直接發(fā)來的聲音和由反射回來的聲音的時(shí)間間隔超過十分之一秒，它就能分辨出兩個(gè)聲

音。

某測量員是這樣利用回聲測距離的：他站在兩平行嶼壁間某一位置鳴槍，聽到兩次回聲

的時(shí)間間隔為0.5s,已知兩峭壁間的水平距離為425m,聲傳播速度為34（）m/s,則他到兩

峭壁的距離分別有多遠(yuǎn)？

（1）你還有其他設(shè)未知數(shù)的方法嗎？列出的方程組一樣嗎？

（2）試比較哪一種方法更容易列出方程組？哪一種方法更容易解方程組。

思考?交流

列二元次方程組解決實(shí)際問題的般步驟是怎樣的？與同伴進(jìn)行交流。

2.活動(dòng)目的

通過題目練習(xí)鞏固學(xué)生所學(xué)知識和方法，在強(qiáng)化運(yùn)月線段圖分析數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，引導(dǎo)

學(xué)生發(fā)現(xiàn)在解決具體問題的過程中，未必需要直接設(shè)所求未知數(shù)，也可采用間接設(shè)未知數(shù)的

方式；而靈活選擇未知數(shù)，正是將復(fù)雜問題簡單化的重要途徑之一。題目中涉及了聲音的傳

播，利用回聲測距是物理實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，體現(xiàn)了學(xué)科融合，增強(qiáng)了教學(xué)的趣味性。教師通過引

導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，不僅鞏固了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，又否實(shí)了

其物理知識，有效提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。通過“思考?交流”模塊，讓學(xué)生在交流討論、總

結(jié)反思的過程中，體會(huì)“審、找、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答”解決實(shí)際問題的方法，梳理總結(jié)列

二元一次方程組解決實(shí)際問題的--般步驟。

3.注意事項(xiàng)

本問題借助線段圖表示未知量之間的關(guān)系后，教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組

交流，最后邀請學(xué)生分享其設(shè)未知數(shù)的方法。同時(shí)教師給予點(diǎn)評、引導(dǎo)。讓學(xué)生體會(huì)如何在

合作交流中學(xué)習(xí)反思，形成策略，建構(gòu)并逐步完善自我認(rèn)知體系。

【第四環(huán)節(jié)】師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.活動(dòng)內(nèi)容

回顧-反思

回顧列方程組解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí)過程，你對如何列方程組有哪些新的認(rèn)識，積累了哪

些經(jīng)驗(yàn)？

構(gòu)建框架:

（I）處理問題的過程一般可以概括為: