北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)：第1-4章+期中共

5套評估測試卷

第1章《勾股定理》評估測試卷

（滿分:12（）分時(shí)間:12（）分鐘）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》

中，下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）

A.5,12,11B.6,8,10

C.1.5,2,2.5D.15,17,18

2.如圖，若正方形力，8的面積分別為25和9,則正方形。的面積是（）

3.如圖，在&BC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,則點(diǎn)C至ijAB的距離是（）

1224

A.4B.6C.—D.—

■JJ

4.已知4，b,c是AABC的三條邊，則下列條件能判定AABC為直角三角形的是()

A.a:b:c=\:2:3B.(a+b)2+(^a-b)~=2c2

C.ZA:NA:NC=2:3:4D.ZA=N8=2NC

5.一個(gè)直角三角形，若三邊的平方和為200,則斜邊長為（）

A.8B.9C.10D.11

6.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中，從離地面5m的點(diǎn)C處折斷，倒下后樹頂端著地點(diǎn)8與樹底

端力相距12m,則這棵樹在折斷前的高度是（）.

第1頁共96頁

7.《九章算術(shù)》中記載：今有戶不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之

適出，問戶斜幾何？意思是：今有門，不知其高寬，不知其長短.將一根竿子橫放，竿比門寬

長出4尺；豎放竿比門高長出2尺，斜著放，竿與門對角線恰恰相等.問門高、寬、對角線長

分別是多少.若設(shè)門對角線長為工尺，則可列方程為()

A.(X-2)2+(X-4)2=2X2B.(A--2)2+42=X2

C.(x-4)2+(x-2)2=x2D.(x-4)2+x2=(x-2)2

8.如圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”，它解決的數(shù)學(xué)問題是

()

A.三角形內(nèi)角和定理B.勾股定理

C.三角形全等判定D.等腰三角形判定

9.如圖，在RtZXABC中，NC=90。，AC=4,8C=6,將它的銳角力翻折，使得點(diǎn)力落在邊AC的

中點(diǎn)〃處，折痕交AC邊于點(diǎn)反交AB邊于點(diǎn)、凡則的長為()

10.如圖，在水平直線上依次擺著7個(gè)正方形，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1,

2,3,水平放置的4個(gè)正方形的面積分別為邑，邑，54，則E+S2+S/S4=()

第2頁共96頁

A.5B.6C.4D.8

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.在RtZXW中，ZC=90°,A8=2,則AC2+M=.

12.如圖，在A1BC中，ZABC=90。,A3=12,〃C=5,在AC上截取CO=C4；在AB上截取AP=AO,

則AP=.

13.如圖，在3X3的網(wǎng)格上標(biāo)出了N1和N2,則Nl+N2=

14.某公司舉行開業(yè)一周年慶典，準(zhǔn)備在一個(gè)長13m,高5m的臺階上鋪設(shè)地毯（如圖），若臺

階的寬為4m,地毯的價(jià)格為120元/n?,則購買地毯需花費(fèi)元.

15.如圖，在RlZ\ABC中，ZR4C=90°,8C=4,分別以48、AC為直徑作半圓，面積分別記為立邑,

16.如圖是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離A8為4m,

擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差CO為1m,則該秋千的繩長。4為%

第3頁共96頁

三、解答題（第17,18,19,20題，每題6分；第21,22,23題，每題8分；第24,25題,

每題12分：共9小題，共72分）

17.在RlZ\A8C中，NB=90,三條邊長如圖所示，求x的值.

18.為了求出湖兩岸A,。兩點(diǎn)之間的距離，觀測者小林在點(diǎn)。設(shè)樁，使A\BC恰好為直角三角

形|Z5C=9O。），如圖所示，通過測量得AC長為26m,8c長為24m,請求出圖中A、8兩點(diǎn)之

間的距離A8.

第4頁共96頁

19.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,CO_L4B垂足為。.

⑴若AC=3,BC=4,直接寫出C。的值為」

⑵若4)=4,BD=9,求C。的長

20.如圖，一架長2.5米的梯子A8,斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻0.7米.

(1：此時(shí)梯子頂端A離地面多少米？

⑵若梯子頂端A下滑。4米到。，那么梯子底端A將向左滑動多少米到m

第5頁共96頁

21.如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,AB=15cm,AC=9cm,動點(diǎn)夕從點(diǎn)8出發(fā)沿射線8。以Icm/s

的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為長(r>0).

備月圖

⑴求BC邊的長；

⑵當(dāng)△的為直角三角形時(shí)，求1的值.

22.八年級開展了手工制作競賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品.陳莉同學(xué)在制

作手工作品的第①②步驟是：

①先裁下了一張長BC=20cm，寬AB=16cm的長方形紙片ABCD；

②將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)〃恰好落在8c邊上的點(diǎn)處.

請你根據(jù)①②步驟解答下列問題：求所，CE的長.

第6頁共96頁

23.閱讀與理解閱讀下面材料，在理解的基礎(chǔ)上解決下列問題.

勾股數(shù)，也稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)，是指滿足勾股定理的三個(gè)正整數(shù)a,b,c.其中J

和力是直角三角形的兩條直角邊長，c是斜邊長.

勾股數(shù)可以通過以下公式生成:。=渥-可,b=2mn,c=+，其中/〃和刀都是正整數(shù)，且，心〃.

例如，當(dāng)，〃=2,〃=1時(shí)，a=22-l2=3,例2x2xl=4,c=22+l2=5.因此,（3,4,5）是一組勾股

數(shù).

⑴使用勾股數(shù)生成公式，當(dāng)陽=4,〃=1時(shí)，求對應(yīng)的勾股數(shù)（。八。）.

⑵若小明通過材料中的勾股數(shù)生成公式得到勾股數(shù)（5,12,13）,請你計(jì)算他代入的正整數(shù)勿和

〃（/"〃）的值.

24.【問題情境】

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為

20、3、2,A和B是一個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn).

【探究實(shí)踐】

老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到8點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺

階爬到8點(diǎn)的最短路程是多少？

（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為

20.寬為15的長方形，連接A8,經(jīng)過計(jì)算得到A8長度為,就是最短路程.

【變式探究】

第7頁共96頁

(2)如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm,圖是8cm,若螞蟻從點(diǎn)A出

發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)8,則螞蟻爬行的最短距離為__________.-

A20

B

圖①

【加展應(yīng)用】

(3)如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁晶杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴

蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點(diǎn)8處，則螞蟻從外壁A

處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不計(jì))(畫出示意圖并進(jìn)行計(jì)算)

25.我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1所示的圖形，其中四邊

形A8E。和四邊形CEGH都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長a,b,。之間

的一個(gè)重要結(jié)論：a2+h2=c2.

第8頁共96頁

⑴請你將數(shù)學(xué)家趙爽的說理過程補(bǔ)充完整：

222

已如：在RtAMC中，ZACB=90°,BC=a,AC=bfAB=c.求證：a+b=c.

證明：由圖1可知S正方形ABED=4s八詆+S正方形CFGH,

???S正方形A8ED=C,S“BC=______，

正方形CFG”邊長為,

/.（?=4xg。力+（。-b）2=2ab+a2-lab+b~,

即/+從=。2.

⑵如圖2,在AWC中，ZC=90°,BC=a,AC=bfAB=c,以A8為直角邊在AB的右側(cè)作等腰

直角△A5。，其中詼=麻），?ABD90?,過點(diǎn)〃作O￡_LCB,垂足為點(diǎn)￡你用兩種不同的方

法表示梯形ACE。的面積，并證明/+〃=/;

⑶將圖1中的四個(gè)直角三角形中較短的直角邊分別向外延長相同的長度，得到如圖3所示的

“數(shù)學(xué)風(fēng)車”.若〃=12,〃=9,“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓（圖中實(shí)線部分）的總長度為108,求

這個(gè)風(fēng)車圖案的面積.

第9頁共96頁

參考答案

一、選擇題

1.B

【分析】本題考查勾股數(shù)，熟知勾股數(shù)的定義是正確解答此題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股數(shù)的定義，三個(gè)正整數(shù)滿足兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，即為勾股數(shù).逐

一驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.

22

【詳解】解：A.5+11=25+121=146,而122=144,故不是勾股數(shù)，不符合題意；

B.6?+8?=36+64=1(X3而10?口的，故是勾股數(shù)，符合題意；

C.1.5,2.5均非正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；

D.⑶十172.225+289-514,而182—324,故不是勾股數(shù)，不符合題意.

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了勾股定理的幾何應(yīng)用，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，得出/反卯=90。，再根據(jù)勾股定理，得出。序+。尸=石尸，再結(jié)合正方形的面積，

得出DF2=EF2-DE2=25-9=16,進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】解：如圖,

由題意得NEDb=90°，

:.DE~+DF~=EF\

???四邊形都是正方形，

=

$正方形A=EF~,S正方形a=DE~,S正方形c

??,正方形4、5的面積分別為25和9,

/.EF2=25,。爐=9,

DF2=EF2-DE2=25-9=16,

第10頁共96頁

二?正方形。的面積為：16.

故選：D.

3.D

【分析】本題考查了勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①利用勾股定理求出4B,②

利用面積表達(dá)式求解.

【詳解】解：在中，AB=JAC?+BC?=10,過點(diǎn)。作人“的垂線交相于點(diǎn)。,

即CO為點(diǎn)。至IJA8的距離,

.BC=-ACxBC=-ABxCDfAC=6,BC=8,

.?.CD=y.

故選：D.

4.B

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用勾股定理逆定

理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形內(nèi)角和定理逐項(xiàng)分析判斷即可解答.

【詳解】解：A.由。也c=l:2:3,&a=k,b=2k,c=3k,則F+4-=9公，即/+〃工cL能判定

4BC不是直角三角形，不合題意;

B.由(“+4+(〃-4=2/可得"+"=/,能判定A\BC是直角三角形，符合題意;

C.由ZA:N8:NC=2:3:4可得4=40。，NB=60。,ZC=80°,不能判定&BC是直角三角形，不合

題意；

D.由"=口=2"可得ZA=72。，NZ?=72。，NC=36。，不能判定AABC是直角三角形，不合題意.

故選：B.

5.C

【分析】本題考查了勾股定理，設(shè)直角三角形的三邊長為。、氏c,。為斜邊，利用勾股定理可

得2c2=200,據(jù)此解答即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)直角三角形的三邊長為久b、c,。為斜邊，

第11頁共96頁

由勾股定理得，

???一個(gè)直角三角形的三邊長的平方和為200,

，/+/+/=200,

/.2?=200,

/./=10(),

c=10,

即斜邊長為10,

故選：C.

6.C

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)AC=5m,48=12m,且結(jié)合勾股定理列式代入數(shù)值計(jì)算，

即可作答.

【洋解】解：依題意，AC=5m,43=12m

則8C=yjAC2+AB2=13(m)

A13+5=18(m)

???這棵樹在折斷前的高度是18m,

故選：C

7.C

【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用勾股定理將數(shù)學(xué)思想運(yùn)用到實(shí)際問題中是解

答本題的關(guān)鍵.由題意可知：竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構(gòu)成直角三角

形，然后運(yùn)用勾股定理列方程即可.

【詳解】解：設(shè)門對角線長為x尺，則竿的長度為x尺，門寬為(x-4)尺，高為(x-2)尺，

根據(jù)勾股定理可得：(x-4+(>2)2=/.

故選：C.

8.B

【分析［本題考查了勾股定理的證明.根據(jù)“弦圖”說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解

決的問題是：勾股定理即可得出.

【詳解】解：“弦圖”說明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問題是：勾股定理.

故選：B.

第12頁共96頁

9.D

【分析［本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由題意得出CO=：8C=3,由折疊的性質(zhì)可得

AE=DE,設(shè)AE=DE=x,則CE=4-x,再由勾股定理計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：?.?點(diǎn)〃為BC的小點(diǎn)，

/.CD=-BC=3,

2

由折疊的性質(zhì)可得A石=，

設(shè)AE=DE=x,則CE=AC-4E=4-x,

由勾股定理得CE2+CD2=DE2,

/.（4-X）2+32=X2,

解得：苦，

O

25

:.DE=-f

8

故選：D.

10.C

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，先根

據(jù)正方形的性質(zhì)得到？A3。90?,AB=DB,,再根據(jù)等角的余角相等得到NC48=NZME,則可

根據(jù)“AAS”判斷于是有AC=4￡,然后利用勾股定理得到。爐+破2=切2,

代換后有DE2+AC2=BD\根據(jù)正方形的面積公式得到\=3,S?=DE?,瓦）2=1,所以￡+邑=1,

利用同樣方法可得到習(xí)+邑=3,通過計(jì)算可得解，解答此題的關(guān)鍵是注意發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的

面積和正好是中間的正方形的面積.

【詳解】解:如圖,

CBE

???四邊形為正方形，

/.ZABD=90°,AB=DB,

???NABC+NDBE=900,

,?ZABC+ZC4B=9O°,

第13頁共96頁

，4cAB=/DBE,

在AABC和能DE中,

NACB=NBED

<NCAB=NEBD,

AB=BD

：.AAHN血陀(AAS),

:?AC=BE,

?：DE2+BE2=BD2，

222

DE+AC=BDf

2

*?'S|=AC,S2—DE：BD?=1f

:.sy+s2=\f

同理可得S3+S4=3,

5,+52+S3+54=1+3=4,

故選：C.

二、填空題

11.4

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.根據(jù)NC的度數(shù)確定"8。為直

角三角形，且為斜邊，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???△A8C中，ZC=90°,

..△A8C為直角三角形，且A8為斜邊.

?.?48=2,

二.AC2+BC2=AB2=21=4.

故答案為：4.

12.8

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

由勾股定理求出AC=13,由題意知：CD=CB=5,再根據(jù)AO=AC-CD求出AO=8,最后根據(jù)

"=AD即可得解.

【詳解】解：在RlZ^ABC中，AC=y/AB2+BC2=13,

第14頁共96頁

由題意知：CD=CB=5,

：.AD=AC-CD=S,

,\AP=AD=Sf

故答案為：8.

13.45°

【分析】通過作輔助線構(gòu)造平行線，利用平行線的性質(zhì)將』1、12轉(zhuǎn)化為N8AP、NCAN,再

通過計(jì)算三角形邊長，判斷三角形形狀，進(jìn)而求出N1+/2的度數(shù).本題主要考查了平行線的

性質(zhì)、勾股定理及其逆定理，熟練掌握平行線性質(zhì)實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用勾股定理及其逆定理判

斷三角形形狀是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖,

,/AP//BQ,CM//AN,

AZi=ZMP,N2=NGW,

設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為a,

;AB=HC=瓜,AC=VlOd,

/.AB2+BC2=AC2,

??.△ABC是等腰直角三角形，

4AC=45。，

AZBAP+^CW=45°,即Nl+/2=45。.

故答案為：45°.

14,8160

【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，先利用勾股定理求出臺階最上面和最下面的水

平距離，再求出需要鋪設(shè)的地毯面積即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，臺階最上面和最下面的水平距離為而7二手=12m，

???購買地毯需花費(fèi)(12x4+5x4)x120=8160元，

第15頁共96頁

故答案為:8160.

15.2乃

【分析】本題主要查了勾股定理.根據(jù)勾股定理可得A^+AC2=8C2=16,再由

S1/乃X(等)+5x(手，，即可求解.

【詳解】解：在RtAAAC中，N8AC=90。,4c=4,

:.AB2+AC2=BC2=\6,

???￡+S,=一江x+—7rx

一2

故答案為：2兀

16.2.5

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，理解圖示，掌握勾股定理的計(jì)算是關(guān)鍵.

根據(jù)題意可證慮△BOO(SAS),AD=BD=-AB=2,ZADO=^BDOfZAD0=/BD0=M設(shè)

Q4=x(x>0),則OD=OC-CQ=x-l,在R^AO。中，由勾股定理得。解=4》十。力2,由此列式

求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，NAOD=NBOD,OA=OB=OC,且8=OD,

.?.^AOD^^OD(SAS),

:.AD=BD=-AB=2,ZADO=ZBDO,

^ADO+ZBDO=\SO°t

：."DO=NBDO=900,

設(shè)0A=x(x>0),貝1」。。=0€-。。="一1,

在Rt^AOD中，OA2=AD2+OD2,

AX2=22+(X-1)2,整理得，2x=5,

解得,x=2.5t

/.OA=2.5m,

故答案為：2.5.

三、解答題

第16頁共96頁

17.解：由勾股定理得

122+X2=(X+8)2

解得>5

???》的值為5.

18.解：由題意得，ZABC=90。,AC=26mffiC=24m,

在RtAA^C中，AB=JAC?-BC?=>/262-242=10(m).

答：點(diǎn)A到點(diǎn)6的距離AB為IDm.

19.(1)解：在RtZXAAC中，VZACB=90°fAC=3fBC=4,

?*-AB=VAC2+BC2=V32+42=5,

CDA.ABf

/.S4BC=~ACxBC=—CDxAB,

22

即1x3x4=，C〃x5,

22

??.CD=￡；

J

12

故答案為：—;

(2)解：-AD=4fBD=9,

..AB=AD+BD=4+9=\3,

.?.Z4DC=ZBDC=90°,

在□△ACO中，AD2+CD2=AC2,

即42+CD2=AC2,

在RtABCD中，BD2+CD-=BC1,

222

即9+CD=BCf

222

在RtZXABC中，AC+BC=ABf

BP42+CD2+92+CD2=132,

解得CZ)=6.

第17頁共96頁

20.(1)解：由題意得，在RtzMBO中，A8=2.5米，08=0.7米，ZAOB=90°,

?*-OA=』AB?—OB2=2.4米,

，梯子頂端/T離地面2.4米；

(2)解：在RlZkCDO中，8=2.5米，00=2.4-0.4=2米，ZCOD=90°,

:.OD7CD2-OC?=1.5米,

:.BD=OD-OB=Q8米,

?,?梯子底端8將向左滑動0.8米到D.

21.(1)解：在Rt△八8c中，BC=yjAB2-AC2=V152-92=12(cm)

BC邊的長為12cm.

(2)解：由題意知8P=/cm,

①當(dāng)Z4P8為直角時(shí)，如圖1,

圖1

點(diǎn)〃與點(diǎn)。重合，BP=BC=12cm,

即f=12；

②當(dāng)ZZ?AP為直角時(shí)，如圖2,8P=/cm,CP=(r-12)cm,AC=9cm.

圖2

222

在R^ACP中，AP=9+(t-\2)f

在RtA^P中，AB2+AP2=BP',

即6+F+(12)2]=/,解得,嚀.

綜上所述，當(dāng)“BP為直角三角形時(shí)，，=12或，=與.

4

第18頁共96頁

22.解：???長方形ABC/),

AAD=BC=20,CD=AB=\6fZfi=ZC=90°,

由折疊的性質(zhì)可知，DE=FE,AF=AD=20,

由勾股定理得，BF=/AF2-AB2=12，

CF=8,

設(shè)CE=x,貝ljFE=O￡=16-x,

由勾股定理得，CF?=EF2-CE?,即8:(167)2-Y,

解得，x=6,

:.EC=6,

/.EC=6cm,13F=12cm.

23.(1)解：當(dāng)〃?=4,〃=1時(shí)，代入勾股數(shù)生成公式，

22

得。=4?-尸=15,/7=2x4xl=8,C=4+1=17.

.??對應(yīng)的勾股數(shù)是(15,8,17).

(2)解：根據(jù)題意得病-〃2=5,2〃?〃=12,〃/+/=13.

inn=6.

又?.?/”〃，勿，刀都是正整數(shù)，

二.〃？=6,〃=1或〃？=3,n=2.

當(dāng)?shù)?6,〃=1時(shí)，〃7?-〃205,不符合題意；

當(dāng)加=3,〃=2時(shí)，＞-〃2=5,〃/+〃2=13,符合題意.

)〃=3,n=2.

24.解：(1)由題意得人3=加2+2()2=25，

故答案為：25；

(2)將圓柱體展開，由題意得

AB=V82+152=17cm，

故答案為：17cm；

(3)如圖，

第19頁共96頁

從玻璃杯側(cè)面展開，作3關(guān)于EG的對稱點(diǎn)C,作CQ_LAE交AE延長線于點(diǎn)。，連接AC交石G于

點(diǎn)尸，

BF=CF,DE=CG=BG=1cm,

：.AF+BF=AF+CF=ACt

VAD=9-4+DE=5+l=6cm,8=16+2=8cm

/.AC=yJcrf+Ab2=V82+62=10cm，

???螞蟻從外壁B處至lj內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm.

25.(1)證明：由圖可知S正方囪麗=4S△A8c+S正方形CFGH，

C

丁5正方形八=">5A4M，

正方形CFGH邊長為a-b,

(?=4x^ab+(a-b)2=lab+a1-lab+b',

即/+y.

故答案為：；(由,a-b；

(2)解：?:DE上BC,

:.4DBE+/BDE=900,

■:?ABD90?,

乙48。+NOB石=90。，

:、公BC=/BDE,

又“J=/BED=90。,AB=BD,

：.^ABC^^BDE(AAS).

:.BC=DE=a,AC=BE=b.

由題意，第一種方法:

第20頁共96頁

S梯彩ACED=SJBC+S+S述以)=—ab+—c2+—ab

=ab+^c2；

第二種方法:

S梯琢回=g(AC+OE)(C8+8E)

二;("+/7)("+b)

=；(。+匕)2，

=ah++^c2,

/.a2+2ab+h~=2ab+c2,

.\a2+Z>2=c2；

（3）由題意，如圖,

???“數(shù)學(xué)風(fēng)車”外圍輪廓(圖中實(shí)線部分)的總長度為108,

.?.4)+40=108+4=27,

設(shè)AO=x,則8O=27T,

在△BCD中，BC2+CD2=BD2

.?./+(〃+x)2=(27-x)2,

將.=12的=9代入可得，

(9+x/+144=(27-x/，

「?x=7

???小正方形的邊長等于。-6=12-9=3,

工風(fēng)車的面積為：^CxCDx4+3x3=lxl2xl6x4+3x3=393

第21頁共96頁

第2章《實(shí)數(shù)》評估測試卷

（滿分:120分時(shí)間:120分鐘）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖，在數(shù)軸上手掌處表示的數(shù)可能是)

A.-75B.-V7C.D."

2.下列說法中正確的有（)

A.4的平方根是±2B.（-3尸的算術(shù)平方根是-3

C.負(fù)數(shù)沒有立方根D.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)

3.若師是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值是（)

A.3B.4C.5D.6

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.6.乂亞=不B.26-6=2

C.D.V6-r>/3=y/2

5.下列各根式中，是同類二次根式的是（)

A.G和?B.血和g

C.和&檸D.Ja+\和Ja-\

6.有下列實(shí)數(shù)：-3.14159,瓜,0,炳，y,0.31(31循環(huán)),0.1010010001-(每兩

個(gè)1之間多一個(gè)0）,其中無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

7.實(shí)數(shù)。，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則+》+閩的值為（)

b-430a6

A.-a-bB.-a+bC.a-bD.a+b

8.按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x的值是64,則輸出的），的值是（)

第22頁共96頁

是有理數(shù)

A.V2B.GC.2D.3

9.規(guī)定：若一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱這樣的數(shù)為“最美實(shí)數(shù)”.若a+〃

是“最美實(shí)數(shù)”，則a的值是（）

A.V2-1B.-V2C.&或6-1D.-&或1-應(yīng)

10.用⑶表示不超過X的最大整數(shù)，例如：[2.94]=2,[-3.89]=-4.已知"7=2-6,a=ni-[m],

Z?=T〃+[T〃]+5,則!+，=（）

ab

A.4B.2GC.-4D.2G+2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11,比較大小：畢

44

12.若2G與最簡二次根式5G是同類二次根式，則。的值為.

13.如圖，正方形A8CD的面積為10,點(diǎn)A表示的數(shù)為1,以點(diǎn)A為圓心，A。的長為半徑畫圓，

交數(shù)軸于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè)），則點(diǎn)M表示的數(shù)為.

14.如圖，從一個(gè)大正方形中裁去兩個(gè)面積分別為一和）戶的小正方形，己知工=行—2,y=>/5+2f

則留下的陰影部分的面積為.

n15.有三根長度分別為處的木棒，已知〃咚尼率c為整數(shù)，若這三根木棒能圍成三角

形，則C的值為.

第23頁共96頁

16.若一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱這樣的數(shù)為“完美實(shí)數(shù)”.若是“完

美實(shí)數(shù)"，則〃X；若4與所。都是“完美實(shí)數(shù)”，則|照的平方根為.

三、解答題（第17,18,19,20題，每題6分；第21,22,23題；每題8分；第24,25題，

每題12分；共9小題，共72分）

17.計(jì)算：

（1:732+^-718;（2）X/24-X/2+X/3（X/3-1）.

18.(1)計(jì)算：商+Q—卜自—2卜6(2)解方程：(21—1)2—16=9.

19.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)（填序號）.

①-；，②-6，③亞，⑤-歷，⑤0,⑦-乃，⑧3.1O1OO1OOO1…（每相鄰兩個(gè)1之間0

的個(gè)數(shù)逐次加.

⑴無理數(shù)集合{…};

⑵分?jǐn)?shù)集合{…};

⑶負(fù)實(shí)數(shù)集合{…}.

20.已知：。＞0且。的立方根是它本身，%+3的算術(shù)平方根是3.

⑴直接寫出：。=_;

⑵求。+2b的平方根；

⑶若疝的整數(shù)部分是x,小數(shù)部分是九求外的值.

第24頁共96頁

21.請觀察圖形并分析下列各式，然后解答問題.

0A-,1=I2+12=2?S,=—；

12

OA^=\2+2=3,S,=烏

-2

。42=12+3=4,5.=—；

2

⑴請用含有〃（〃為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：。叩=_,s“=_；

⑵若一個(gè)二角形的面積是2&,計(jì)算說明它是第幾個(gè)二角形？

⑶求出sr+sj+s.*…+品：的值.

22.我們新定義一種三角形:兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫作奇異三角形.例

如，某三角形的三邊長分別是2,2虛和6，因?yàn)?2+（2&『=i2=2x（石。所以這個(gè)三角形

是奇異三角形.

（1；若&BC的三邊長分別是3,5和J萬，判斷此三角形是小是奇異三角形，說明理由.

⑵若&BC是奇異三角形，且其中有兩條邊長分別為3、4,求出第三條邊長.

第25頁共96頁

3_3（4+灼_12+375

23.我們知道（4+逐）（4一石）=11,因止匕I,像這樣通過分子、分

-V5（4-6）（4+石）11

母同乘一個(gè)式子，把無理數(shù)的分母化成有理數(shù)的變形叫做分母有理化.請你通過分母有理化完

成以上各小題.

⑴計(jì)算：入；

23

⑵比較：&024—I024與a（）2*—0025的大小;

小、八期1II1

（力化簡：再加+屈+而+而+舊+…+&024+6025.

24.觀察下列等式：

第1個(gè)等式：,1+,+.=1+；-3；

第2個(gè)等式：J1+/+?=l+g-g：

第3個(gè)等式:

第4個(gè)等式：Jl+*+5=l+H；……

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第6個(gè)等式：______；

⑵寫出第〃個(gè)等式：______；（用含〃的等式表示）

⑶根據(jù)上面的結(jié)論計(jì)算：+,J+,+*+J+/+不+…+^1+^4?+2^F

第26頁共96頁

25.定義：若二次根式。+2〃可以表式成（而+冊『的形式（其中心人,而，〃都是整數(shù)），

則禰。+2%為完整根式，而+4是。+2振的完整平方根.例如：因?yàn)?+26=（6+五），所

以5+2"是一個(gè)完整根式，6+a是5+26的完整平方根.

⑴判斷：石+G是否是完整根式8+2而的完整平方根，并說明理由；

（2）若完整根式。+24的完整平方根是后+",請用含加，〃的代數(shù)式分別表示*b；

⑶若4+2折是完整根式，證明：〃_助一定是完全平方數(shù).

第27頁共96頁

參考答案

一、選擇題

1.B

【分析1本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系以及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是估算出各選項(xiàng)中無

理數(shù)的取值范圍，并結(jié)合數(shù)軸判斷.

先估算出每個(gè)選項(xiàng)中數(shù)的大致范圍，再根據(jù)數(shù)軸上手掌遮擋點(diǎn)的位置判斷該點(diǎn)表示的數(shù)的范圍,

最后對比得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意得：在數(shù)軸上手掌處表示的數(shù)大于-3和小于-2,

1<3<4,4<7<9,

1<73<2,2<\/7<3,故C,D選項(xiàng)不符合題意；

-2<-73<-1,-3<-41<-2,故A選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)符合題意；

故選：B.

2.A

【分析】本題考查平方根，立方根和無理數(shù)，根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根及無理數(shù)的定

義逐一判斷各選項(xiàng)的正誤即瓦.

【詳解】A、4的平方根是±2,正確；

B、（-3『的算術(shù)平方根是3,錯誤；

C、負(fù)數(shù)也有立方根，負(fù)數(shù)的立方根仍為負(fù)數(shù)，如-8的立方根是-2,錯誤，

D、帶根號的數(shù)都是無理數(shù)，錯誤，例如a=2為有理數(shù)，故帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù).

故選：A.

3.D

【分析】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.要使師為整

數(shù)，需滿足24〃是完全平方數(shù)，由屈=2瘋，即可確定〃的最小值.

【詳解】解：???24=4x6,

/.x/24=2x/6,

\124n=2\/6n,

,：j24n是整數(shù),且〃是整數(shù),

第28頁共96頁

則6〃是完全平方數(shù)，

???〃的最小值為：6.

故選：D.

4.D

【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算

根據(jù)二次根式的乘法法則對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的減法運(yùn)算對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根

據(jù)二次根式的性質(zhì)對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.石=加，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.273-73=73,所以B選項(xiàng)不符合題意；

C.后了=3,所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.\/6-r5/3==>/2所以D選項(xiàng)符合題意；

故選：D

5.B

【分析】本題考查同類二次根式的概念，判斷同類二次根式需化簡為最簡二次根式后比較被開

方數(shù)，對各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】A、6已是最簡，79=3,所以A選項(xiàng)不是同類二次根式；

B、O已是最簡，《=孝，化簡后被開方數(shù)均為2,所以B選項(xiàng)是同類二次根式；

C、〃而=〃揚(yáng)，病=b&，被開方數(shù)分別為人和。，所以C選項(xiàng)不是同類二次根式；

D、G和GT被開方數(shù)不同，所以D選項(xiàng)不是同類二次根式；

故選：B.

6.C

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，立方根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的定義.

首先計(jì)算立方根，然后根據(jù)無理數(shù)的定義，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】V27=3,

?,?其中無理數(shù)有T，瓜,0.1010010001…（每兩個(gè)1之間多一個(gè)0）,共3個(gè).

故選：C.

第29頁共96頁

7.A

【分析［本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì).先判斷〃-g<（）,"百<0,然后根據(jù)二次

根式的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】解：?“v—Gv0vavG

”G<o,b+G<o

???+6+四

=_"⑹-他+何

=-a+y/3-b-y/3

=-a—h.

故選A.

8.A

【分析】本題考查了無理數(shù)、算術(shù)平方根、立方根及計(jì)算程序的應(yīng)用，正確理解計(jì)算程序圖的

計(jì)算步驟，會正確計(jì)算數(shù)的算術(shù)平方根及立方根，能正確判斷有理數(shù)及無理數(shù)是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意，利用算術(shù)平方根及立方根的定義計(jì)算，直至結(jié)果為無理數(shù)即可，理解題干中的運(yùn)算程

序并進(jìn)行正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【洋解】解：64的算術(shù)平方根是8,

???8是有理數(shù)，

J取立方根為2,

???2是有理數(shù)，

???取算術(shù)平方根為拉，

???拉是無理數(shù)，

y=V2.

故選：A.

9.D

【分析】本題考查算術(shù)平方根及立方根，根據(jù)“最美實(shí)數(shù)”的定義，可知上+4=0或應(yīng)+4=1,

求出a的值即可.

【詳解】解：若&+〃是“最美實(shí)數(shù)”，

第30頁共96頁

則有&+4=0或&+4=1,

若0+4=0，解得CI=->/?.?

若x/5+a=l,解得a=1-5/5,

綜上，d的值為-夜或1-&,

故選：D.

10.A

【分析】本題考查新定義、無理數(shù)的估算，二次根式的混合運(yùn)算，先估算出0<2-白<1,根據(jù)

題中新定義規(guī)定可求得［〃力和卜間，進(jìn)而求出。⑦的值，然后代入-+3計(jì)算可得答案.

【詳解】解：?.?&<石<4,即1<6<2,

-2<->/3<-I,

??0<2—5/3<1,

*.*m=2—G,

?，?[間=[2-6]=0,

-m=-（2-V3）=V3-2,

/?—1<\/3-2<0,

；?卜間=[6-2]=-1,

?.?=〃？一1〃]=2一6一0=2一百,?]+5=>/3-2+（-1）+5=>/3+2,

11112+\/32—>/3/T/T,

.?.—+：=---7="!----T==7----FT7---K+7----FT7---FT=2+>/3+2-43=

ab2-62+V3（2-V3）（2+V3）（2+G）（2-6）

故選：A.

二、填空題

11.>

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，利用作差法比較實(shí)數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.利用作差法

比較實(shí)數(shù)的大小即可得出答案.

【詳解】解.：..?正里_之=正二，石>4=2,

444

第31頁共96頁

.金>0,

4

?

??-x/-5-+-1>一3?

44

故答案為：>.

12.2

【分析】本題考查了同類二次根式的定義，同類二次根式的被開方數(shù)相等,據(jù)此列出方程求解.

【詳解】解：與最簡二次根式5G是同類二次根式，

。+1=3,

解得。=2,

故答案為:2.

13.i-Vio

【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出A。，從而求出AM,設(shè)點(diǎn)”表示的數(shù)為X,然后根據(jù)兩

點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于x的方程，解方程求出X即可.

本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式.

【詳解】解：由題意可知：AD=AMf

?.?正方形八BCD的面積為10,

AM=AD=y/\0f

設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為x,

1-x=Vio,

解得：x=1-V10,

???點(diǎn)M表示的數(shù)為：1-M，

故答案為：I-癡.

14.2

【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，二次根式的運(yùn)算，由圖可知陰影部分是兩個(gè)長為九

寬為x的長方形，利用平方差公式求出2盯的值即可求解，正確識圖是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由圖可知，陰影部分是兩個(gè)長為九寬為)的長方形，

???陰影部分的面積=2到=2x(石一2)(6+2)=2x(5-4)=2,

第32頁共96頁

故答案為：2.

15.2

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形中，任

意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可得忘<c<2應(yīng)，再證明2<2夜<3即

可得到答案.

【洋解】解：由三角形的三邊關(guān)系可知，逑-正逑+也，即仆<。<20.

2222

Vl<2<4,

1<V2<2,

苧T且電

2

，2<2&<3,

TC為整數(shù)，

?X的值為2

故答案為:2.

16.-G或1一百o或土;

【分析】本題考查了平方根，算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算，掌握其計(jì)算方法是關(guān)鍵.

根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的計(jì)算方法求解即可.

【詳解】解：一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根等于它的立方根，則稱這樣的數(shù)為“完美實(shí)數(shù)”,

70,1的算術(shù)平方根是04,0,1的立方根是0,1,

???這個(gè)實(shí)數(shù)可以是01，

/.當(dāng)+機(jī)=0時(shí)，m=—,

當(dāng)6+6=1時(shí),〃?=1一6,

m=-\/5或加=1一6;

若武力與〃都是“完美實(shí)數(shù)”，

a+b=0a+b=\“+〃=1

a-b=0a-b=()

第33頁共96頁

11

a=—

67=022

解得，或，或，1或，

匕=0b=01，

b=

2

???對應(yīng)的囪=0或|明=0或附=(或卜心|=；,

???對應(yīng)的平方根為0或0或士；或士；,

JL

綜上所述，I羽的平方根為?；蚨?/p>

故答案為：①-6或1-6;②?；蚴?.

三、解答題

17.(1)解：病+逐-加

=4拒+2夜-3夜

=30:

(2)解：后+&+6(6-1)

=、'24+2+3-6

=26+3-6

=、自+3.

18.解：(1)原式=9+(—3)—(2—6)-6

=9-3-2+V3-x/3

(2)(21)2-16=9,

⑵-爐=9+16,

(2A-I)2=25,

2x-l=±5,

2x=l+5或2x=l-5,

x=3或x=-2.

19.(1)解：-際=-3,

第34頁共96頁

無理數(shù)集合{②③⑦⑧};

(2)解：分?jǐn)?shù)集合{①④};

(3)解：負(fù)實(shí)數(shù)集合{①②⑤⑦}.

20.(1)解：??%>()且〃的立方根是它本身，

:.a=\,

???沙+3的算術(shù)平方根是3,

/.72/7+3=3,

.,.力=3,

故答案為：1，3.

(2)丁。=1/=3,

。+2。=1+2x3=7,

.??。+處的平方根為±77.

(3)???[="=3,

/.\ab=Jlx3=G，

?.?Vi■〈石<4，

1<A/3<2,

，點(diǎn)的整數(shù)部分x為i,小數(shù)部分y為G-1,

/.xy=1x(-^—lj=>/3—jt

則9