17.1用提公因式法分解因式（第1課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式奏法的基礎(chǔ)上，研究對(duì)整式的一種變形即因式分解，是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化

成兒個(gè)整式相乘的形式，它與整式乘法是互逆變形的關(guān)系。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是整式乘法的逆向?qū)W習(xí)，核心是將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾人整式乘積的形式，即因式分解。這種互逆

關(guān)系是理解因式分解意義的關(guān)鍵。提公因式法作為因式分解的基礎(chǔ)方法，其本質(zhì)是運(yùn)用乘法分配律的逆運(yùn)

算，提取多項(xiàng)式各項(xiàng)中含有的公共因式，從而簡(jiǎn)化多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)。本節(jié)課既是對(duì)整式運(yùn)算的深化，也為后續(xù)

學(xué)習(xí)分式化簡(jiǎn)、解一元二次方程等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，在代數(shù)變形體系中具有承上啟下的作用。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解因式分解的概念；能用提公因式法分解因式。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系。

（2）了解公因式的概念，能用提公因式法進(jìn)行因式分解（指數(shù)為正整數(shù)）。

（3）在探究提公因式法的過程中.體會(huì)逆向思維與轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展代數(shù)推理能力，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)和嚴(yán)

謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需明確因式分解是“和差化積”的變形，能準(zhǔn)確判斷一個(gè)變形是否為因式分解；通過對(duì)比實(shí)

例，清晰區(qū)分整式乘法與因式分解的.互逆關(guān)系，理解二者在變形方向上的本質(zhì)區(qū)別。

（2）學(xué)生需掌握公因式的定義，能從多項(xiàng)式各項(xiàng)中識(shí)別出系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次幕的

乘積；井能運(yùn)用提公因式法將多項(xiàng)式分解因式，做到提取徹底、結(jié)果正確。

（3）學(xué)生在經(jīng)歷“觀察多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)一尋找公因式一提取公因式”的過程中，體會(huì)將復(fù)雜多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)

單整式乘積的“轉(zhuǎn)化思想”，以及從整式乘法逆向思考因式分解的“逆向思維”;通過規(guī)范的因式分解步驟訓(xùn)練,

提升代數(shù)運(yùn)算的準(zhǔn)確性與邏輯性，發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)，同時(shí)培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

1.混淆因式分解與整式乘法的概念

我們先來看整式的乘法:

(1)x(x+l)/+x:(2)(x+\)(x-\)=x2-\；(3)(A+1)2『+2.計(jì)1

反過來，即可得到【探究】的答案.

X2+X=X(X4-1)33=3X11

W+x的因式33花函數(shù)

多項(xiàng)式等工整式相乘數(shù)字篝…

整式乘法

概念（多項(xiàng)式的）因式分解

把一個(gè)老邈式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這樣的式子變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這

個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解與整式乘法是方向相反的變形.

一分解因式、,一、

pa+pb+pc＜一二-pm+b+c）

整式乘法

觀察多項(xiàng)式〃。+/力+”的各項(xiàng)有什么共同特征?

答它的各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式p.

我們把因式“叫作這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

例如pa+pb+pc=p(a+b+c).

〃是各項(xiàng)的公因式，〃+匕+。是pa+/力+pc除以〃所得的商.

概念提公因式法

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因

式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法.

設(shè)計(jì)意圖：直觀呈現(xiàn)因式分解與整式乘法的反向變形關(guān)系，幫助學(xué)生理解因式分解的概念，實(shí)現(xiàn)新舊

知識(shí)的自然過渡。以pa+p/?+pc為例，引導(dǎo)學(xué)生觀察多項(xiàng)式各項(xiàng)妁公共因式，提煉“公因式”概念，讓學(xué)生掌

握提公因式法的關(guān)鍵——找公因式?；诠蚴降母拍?，明確提公因式法的操作步驟，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用提公

因式法分解因式，掌握因式分解的基本技能。

（三）典例分析

例1下列從左到右的變形中是因式分解的有（B）

①f-y2T=(x+>')(-v-v)-l；?x^+x=x(x2+1)；

③(x-y)2=f—2o+V；④x2-9)2=Q+3)，)(x-3y).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例2分解因式：

(1)tTLT+my2；(2)3f-4。2+工.

解⑴原式二川仔+狗：

(2)原式=”3廣K4)2+0二43k4聲1).

注意將工提出后，括號(hào)內(nèi)的第三項(xiàng)為1.

設(shè)計(jì)意圖：通過判斷變形是否為因式分解的題目，強(qiáng)化學(xué)”對(duì)因式分解概念的理解。設(shè)置用提公因式

法分解因式的實(shí)例，讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)，實(shí)踐提公因式法的操作流程。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)提出公因式后括號(hào)內(nèi)

的第三項(xiàng)為I,及時(shí)提醒學(xué)生注意易錯(cuò)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從概念到應(yīng)用的轉(zhuǎn)化。

(四)鞏固練習(xí)

1.下列由左邊到右邊的式子變形,哪些是因式分解？哪些不是？為什么？

(1)4a(a+2b)=4a2+Sab:不是，是整式乘法.

(2)cr-4=(a+2)(a-2)；足.

(3)A2-3A+2=X(X-3)+2.不是，等式右邊不是整式乘積的形式.

2.分解因式：

(1)ax-ay；(2)a2-2a；(3)a2+ab；(4)xy-y^+yz.

解(1)原式=a(/Ly).(2)原式=〃3-2).

(3)原式=。伍+6).(4)原式=)(尸)葉2).

3.利用因式分解計(jì)算：

(1)1.992+1.99x0.01；(2)49x20.22+52x20.22-20.22:

(3)5X34+4X34+9X32.

解(1)原式=1.99x(1.99+0.01)=1.99x2=3.98.

(2)原式=20.22x(49+52-1尸20.22x100=2022.

(3)原式=5X3'+4X34+3‘=34X(5+4+1)=34X10=810.

4.已知4+8=7,ab=4,求/b+R?的值：

解a+b=l?ab=4,

原式=a》(a+〃)=4x7=28.

方法總結(jié)含〃土乩H的求值題，通常要將所求代數(shù)式進(jìn)行為式分解，將其變形為能用。切和必表示

的式子，然后將〃土乩油的值整體代入即可.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

(五)歸納總結(jié)

因式分解一提公因式法

把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式.這樣的式子變形

因式

叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因

分解

式分解與整式乘法是方向相反的變形.

公因式多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的相同因式,叫作這個(gè)多項(xiàng)式的公因式.

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提取

提公因

出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

(六)感受中考

1.(2022?山東濟(jì)寧)下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是(C)

A.x2-x-1=x(x-1)-1B.x2-1=(x-I)2

C.x2-x-6=(x-3)(x4-2)D.x(x-1)=x2-x

2.(2020?河北)對(duì)于①％-3xy=x(l-3y),②(x+3)(x-1)=/+2x-3,從左到右的變形,表

述正確的是(C)

A.都是因式分解B.都是乘法運(yùn)算

C.①是因式分解，②是乘法運(yùn)算D.①是乘法運(yùn)算，②是因式分解

3.(2025?江西)因式分解：a?一Q=_磯。-1)_.

4.(2025?四川達(dá)州)因式分解：m2+2m=_m(m+2)_.

5.(2025?湖南長(zhǎng)沙)分解因式：mx-2my=_m(x-2y)_.

6.(2024?江蘇徐州)若nrn=2,m-n=1,則代數(shù)式m2n-的值是?.

解：Vmn=2,m—n=1,

m2n—mn2=mn(m—n)=2x1=2,

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，

檢臉學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

(七)小結(jié)梳理

提公因式法

（A）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題17.1第1,2,3題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.1第7題.

五、教學(xué)反思

17.1用提公因式法分解因式（第2課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)用提公因式法分解較復(fù)雜的因式：公因式為較復(fù)雜的單項(xiàng)式,或多項(xiàng)式的因式。通過實(shí)

例分析如何識(shí)別、確定這些復(fù)雜的公因式，并運(yùn)用提公因式法完成因式分解。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是第一課時(shí)的延伸，為后續(xù)學(xué)習(xí)復(fù)雜多項(xiàng)式的因式分解奠定基礎(chǔ)；復(fù)雜公因式的確定是提公因

式法的核心難點(diǎn)，掌握這部分內(nèi)容能幫助學(xué)生全面理解因式分解的木質(zhì)，同時(shí)為解決更復(fù)雜的弋?dāng)?shù)問題（如

分式化簡(jiǎn)、方程求解）提供工具。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：熟練運(yùn)用提公因式法解決較復(fù)雜的因式分解問題。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）熟練運(yùn)用提公因式法解決較復(fù)雜的因式分解問題。

（2）在提取復(fù)雜公因式的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和整體思想，提升數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需突破第一課時(shí)單個(gè)字母公因式的局限，掌握系數(shù)需提取最大公約數(shù)、同底數(shù)察取最低次數(shù)

的單項(xiàng)式公因式提取方法，問時(shí)掌握多項(xiàng)式作為公因式時(shí)的識(shí)別與提取，最終能將這些復(fù)雜公因式準(zhǔn)確應(yīng)

用「因式分解，是對(duì)提公因式法的深化與拓展。

（2）學(xué)生在處理如公因式含多項(xiàng)式、需變形構(gòu)造公因式等狂雜情況時(shí)，要把陌生、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化

為熟悉的提公因式流程：遇到把多項(xiàng)式某部分看成整體找公因式，則需運(yùn)用整體思想。在這一過程中，通

過知識(shí)應(yīng)用深化思想方法，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：難以識(shí)別多項(xiàng)式型公因式，尤其是當(dāng)多項(xiàng)式公因式符號(hào)不同時(shí)(如(。-8)與S-〃))

的轉(zhuǎn)化。應(yīng)對(duì)策略：針對(duì)多項(xiàng)式型公因式，先通過實(shí)例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)式子中重復(fù)出現(xiàn)的多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，再講解

符號(hào)轉(zhuǎn)化技巧(如3-〃)=-(〃-力)，并結(jié)合具體題目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：確定復(fù)雜多項(xiàng)式的公因式。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)復(fù)習(xí)引入

問題1什么是因式分解？它與整式乘法有什么關(guān)系？

答把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，這樣的式子變形叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解.

因式分解與整式乘法是方向相反的變形，在運(yùn)算上是互逆的關(guān)系.

問題2我們學(xué)習(xí)了哪些分解因式的方法？

答提公因式法：?般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公

因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法.

問題3用提公因式法分解因式：

(1)am+bm=m(a+b)；

(2)f-x=,v(A-l)；

(3)x1y+xy-yz=ytf+x-z).

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)因式分解的定義、與整式乘法的關(guān)系，以及提公因式法的概念，再搭配簡(jiǎn)單的提

公因式法分解因式練習(xí)，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，為第二課時(shí)學(xué)習(xí)復(fù)雜的提公因式法分解因式做好基礎(chǔ)

鋪墊。

(二)合作探究

探究1把Sa3b2+\2ab3c分解因式：

追問如何找出8“%2和12"3c的公因式？

系數(shù)：最大公因數(shù)為4.同底數(shù)塞：次數(shù)最低為。和尻.公因式為：4帥2.

解原式=4。戶加2+44匕2.3枚,

=4ab2(2a2+3bc).

方法總結(jié)

正確找出多項(xiàng)式的公因式的步驟：

(1)定系數(shù)：公因式的系數(shù)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

(2)定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同字母；

(3)定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中的最低指數(shù).

探究2分解因式：

(1)2a(b+c)-3(b+c)；(2)4(a-b)3-S(b-a)2.

解(1)原式=(。+。)?24+(力+。＞(-3)

=(b+c)(2a-3).

(2)原式=4(a-/?F(“T?)+4(aT，F(xiàn)2

=4(a-b)2(a-b+2).

方法總結(jié)

公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.

設(shè)計(jì)意圖：通過追問“如何找公因式”，細(xì)化定系數(shù)、定字母、定指數(shù)的步驟，讓學(xué)生掌握我公因式

的系統(tǒng)方法，突破提公因式法中“找公因式”這一關(guān)鍵難點(diǎn)。設(shè)置含多項(xiàng)式型公因式的因式分解題目，引

導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用整體思想，深化提公因式法的應(yīng)用場(chǎng)景，提升學(xué)生分析和解決笑雜困式分解問題的施力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(I)Sm2n+2mn；(2)4a2b+\Oab-ab2；

(3)〃(/+護(hù))一虱^+爐)；(4)2a(y-z)3-4%(Z-)，)3.

解(1)原式=2/%〃(4m+l)；

(2)原式=而(4〃+10-b).

(3)原式=(/+從)(/尸夕)；

(4)原式=2a(y-z)x+4b(y-z)3=(y-z)3(2a+4b).

例2先分解因式，再求值：

4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

解原式=。+7)(4.-3).

當(dāng)a=-5,x=3時(shí)，

原式=(3+7)[4X(-5)2-3]=10x97=970.

設(shè)計(jì)意圖：通過多樣題型，讓學(xué)生鞏固找公因式的方法，提升因式分解技能的熟練度與靈活性。設(shè)計(jì)”先

分解因式，再求值”的題目，將因式分解與代數(shù)式求值結(jié)合，既沐現(xiàn)因式分解在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用，又讓學(xué)

生感受到知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

(四)鞏固練習(xí)

1.多項(xiàng)式15〃件/+5加2〃-20/RP的公因式是（c）

A.5mnB.5m2n2C.SnvnD.5mn2

2.把多項(xiàng)式（x+2）（尸2）+（尸2）卷取公因式（x-2）后，余下的部分是（D）

A.x+1B.2xC.x+2D.x+3

3.下列多項(xiàng)式的分解因式，正確的是（B）

A.12冷?一9A2v2-3AVZ（4-3A3?Z）

B.3a2y-34y+6.y=3y（a2-a+2）

C.-j^+xy-xz=-x（x+5^z）

D.a2h+5alf-b=h（a2+5a）

4.把下列各式分解因式：

（1）］與吆-9/9=3xv（4z-3xy）；

（2）-j^y^-^y^-xy=+4+1）；

（3）（x-），）2+y（）r）二（r）⑵r）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情以，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（六）歸納總結(jié)

因式分解一提公因式法

一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取

提公因

出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種

式法

分解因式的方法叫作提公因式法.

確定公（1）定系數(shù)：公因式的系數(shù)取多項(xiàng)式各項(xiàng)系系的最大公約數(shù)；

因式的（2）定字母：字母取多項(xiàng)式各項(xiàng)中都含有的相同字母;

步驟（3）定指數(shù)：相同字母的指數(shù)取各項(xiàng)中的最低指數(shù).

（六）感受中考

1.（2020?廣西賀州）多項(xiàng)式2a2/+8/力2因式分解為（c）

A.a2b2(2b+Sa2>)B.2ab2(ab+4a-')

C.2〃2〃3+4標(biāo))D.2a2b(b2+4a2b)

2.（2024?山東棗莊）因式分解：xyfx+2).

3.（2020?山東聊城）因式分解：x(x-2}-x+2=(.Y-2)(X-1)

4.（2023?湖北黃石）因式分解：x伊1-4八-y?=（n-1Mx-4）.

5.（2023,山東濟(jì)寧）已知實(shí)數(shù)加滿足1=0,則2"/-3〃?2_加+9=8.

解：Vm2-m-l=0,

.*.2m3-3m2-m+9

=2m（ni2-/〃）-〃/“〃+9

=2m-nr-m+9

=m-m2+9

=-（/M2-W）+9.

當(dāng)〃兒/”=I時(shí),原式=-1+9=8.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型，

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提汗學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（七）小結(jié)梳理

相反變形

整式的乘法因式分解

具體j方法

、，

提公因式法

公因式：?jiǎn)雾?xiàng)式或多項(xiàng)式

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題17.1第4,5,6題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.1第8題.

五、教學(xué)反思

17.2用公式法分解因式（第1課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整式夷法公式的基礎(chǔ)上，研究具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的方法一一公式

法；學(xué)習(xí)運(yùn)用平方差公式來分解因式。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課是在學(xué)生已掌握整式乘法公式的基礎(chǔ)上，逆向研究如何將符合〃形式的多項(xiàng)式，轉(zhuǎn)化為

m+b）m-6）的整式乘積形式，即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。它是因式分解方法的拓展，也為后續(xù)學(xué)習(xí)完

全平方公式等因式分解方法、分式化簡(jiǎn)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，是代數(shù)運(yùn)算體系中“逆向思維”應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

i.目標(biāo)

（1）探索并運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解。

（2）體會(huì)逆向思維，轉(zhuǎn)化思想和整體思想，發(fā)展代數(shù)推理能力和運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需先回顧整式乘法中的平方差公式，理解其“從整式乘積到多項(xiàng)式”的正向運(yùn)算邏輯，再逆

向推導(dǎo)“從多項(xiàng)式到整式乘積”的因式分解形式，明確。2一尻=（〃+與缶-加中。、b可代表單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等

形式。通過實(shí)例練習(xí)，能準(zhǔn)確識(shí)別多項(xiàng)式是否符合平方差公式的特征，并熟練運(yùn)用公式將其分解為兩個(gè)整

式的乘積，掌握公式法分解因式的基本操作流程。

（2）從乘法的平方差公式到因式分解的平方差公式，引導(dǎo)學(xué)生突破“正向運(yùn)算慣性”，理解數(shù)學(xué)運(yùn)算

的雙向性，培養(yǎng)思維的靈活性。將陰生的因式分解問題，轉(zhuǎn)化為已熟悉的平方差公式形式，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)

單化，建立新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)化，提升問題轉(zhuǎn)化與解決能力。用整體思想識(shí)別平方差結(jié)構(gòu)，拓展對(duì)公式中

“字母”含義的理解。在探索公式應(yīng)用、分析多項(xiàng)式特征、嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)分解過程中，鍛煉代數(shù)推理能力；通

過規(guī)范書寫分解步驟、細(xì)致檢查符號(hào)等，培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

1.對(duì)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征理解不深，忽略兩項(xiàng)符號(hào)需相反、均為平方形式等條件。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)

比練習(xí)，分析是否滿足“兩項(xiàng)、異號(hào)、平方項(xiàng)''特征，結(jié)合整式乘法驗(yàn)證，加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)的精準(zhǔn)識(shí)別。

2.當(dāng)〃、b為多項(xiàng)式時(shí)，難以用整體思想識(shí)別平方差結(jié)構(gòu)，不知如何下手。應(yīng)對(duì)策略：先從簡(jiǎn)單的“整

體代換”例子入手，讓學(xué)生理解整體思想的應(yīng)用；再逐步過渡到直接分析多項(xiàng)式，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子是否具

備”兩個(gè)整體的平方差”形式，多進(jìn)行此類變式練習(xí)，強(qiáng)化整體思想的運(yùn)用，突破思維障礙。

基r以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用平方差公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

原題重現(xiàn)計(jì)算紅色區(qū)域的面積：

左圖：W—b?右圖：3+與3T7)

因?yàn)閮蓚€(gè)圖中紅色區(qū)域的面積相等，所以a2~b2=(a+b)(a~b).

設(shè)計(jì)意圖：借助幾何圖形面積計(jì)算，喚醒學(xué)生對(duì)整式乘法中圖形面積計(jì)算的知識(shí)儲(chǔ)備，以直觀的方式

呈現(xiàn)因式分解的平方差公式a2T?2=5+份(〃_/力將代數(shù)公式與幾何意義關(guān)聯(lián)，降低公式的理解難度。

(-)合作探究

a2-b2=(a+b)(a-b).

追問1這個(gè)等式的左邊有什么特點(diǎn)？

答這個(gè)等式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差的形式.

追問2這個(gè)等式的右邊有什么特點(diǎn)？

答這個(gè)等式的右邊是形如a+b的多項(xiàng)式與形如a-b的多項(xiàng)式相乘.

追問3你能用文字語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律嗎？

答兩個(gè)數(shù)(式子)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)(式子)的和與這兩個(gè)數(shù)(式子)的差的積.

歸納(因式分解的)平方差公式

符號(hào)語(yǔ)言a2-b2=(a+h)(a-b).

文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)(式子)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)(式子)的和與這兩個(gè)數(shù)(式子)的差的積.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從式子左右兩邊的形式特點(diǎn)，逐步抽象出平方差公式的本質(zhì)規(guī)律，并用文字語(yǔ)言

精準(zhǔn)描述，幫助學(xué)生深度理解公式結(jié)構(gòu)，為后續(xù)運(yùn)用公式分解因式筑牢認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分

析、歸納的數(shù)學(xué)思維能力。

(三)典例分析

例1分解因式：

(1)4.C-9；(2)/-25扭.

解⑴原式二(2A)2-32=(2K+3)(2L3)；

⑵原式二/一(5與2=(a+5b)(〃一5b).

例2分解困式:

(1)X2-/:(2)(x+p)2—(x+q)2.

解⑴原式才-3y小+川口一出：

(2)原式=[(x+〃)+Q+q)(x+M-(x+如=(2t+〃+g)(p-q).

溫馨提示1.看成整體的部分需要添括號(hào)；

2.去括號(hào)時(shí)要注意是否需要變號(hào).

設(shè)計(jì)意圖：通過例1讓學(xué)生初步熟悉平方差公式的應(yīng)用；例2則進(jìn)階到含多項(xiàng)式，需運(yùn)用整體思想的

情況，拓寬公式的應(yīng)用場(chǎng)景。強(qiáng)調(diào)添括號(hào)、去括號(hào)等細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生規(guī)范解題步驟，逐步提升運(yùn)用平方差

公式分解因式的熟練度與靈活度。

(四)鞏固練習(xí)

1.下列多項(xiàng)式能否利用平方差公式分解因式？為什么？

(1)f+y2；不能.

(2)/一/；能，原式=Cvty)(x-y).

(3)-?+/；能，原式=y2r^(尹水廠外.

(4)-AT-y2.不能.

2.因式分解：a2-4(a+b)2=(D)

A.(3a+2b)(a-2b)B.(5a+4b)(-3a-4b)

C.-(5a+4b)(3a+4b)D.-(3a+2b)(a+2b)

3.已知m+〃=4,W2-/72=-8,則〃卜〃的值為(B)

A.-4B.-2C.2D.4

4.分解因式：

■>1,

(1)36-m2；(2)49zr-l；(3)a2--b2；

(4)81/_]6/；(5)4/—S+c)?；(6)(m-2n)2-(iTi-2n)2.

解(1)原式=62rn2=(6+"?)(6-/??).

(2)原式=(7〃)2T2=(7〃+1)(7n-1).

(3)原式=〃2-(工〃)2=(〃+").

555

(4)原式二(9a產(chǎn)一(4〃)2=(9。+4〃)(9a-4b2).

(5)^A=(2b)2-(b+c)2=[2b+(/n-c)][2b-(b+c)]=(3b+c)(b-c'i.

(6)原式=[(〃?+2〃)+(加-2〃)][("?+2〃)一(〃?-2〃)]=2〃?4?=8〃?幾

5.計(jì)算下列各題:

（1）101*12-3456992；(2)53.52X4-46.52X4.

解(1)原式=(101+99)(101-99)=200x2=400；

⑵原式二4(53.52-46.52)=4(53.5+46.5)(53.5-46.5)=4x100x7=2800.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（七）歸納總結(jié)

因式分解一平方差公式法

符號(hào)語(yǔ)言a2-b2=(a-b)(a-b).

兩個(gè)數(shù)（式子）的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的電與這

文字語(yǔ)言

兩個(gè)數(shù)（式子）的差的積.

1.看成整體的部分需要添括號(hào)；

注意事項(xiàng)

2.去括號(hào)時(shí)要注意是否需要速生.

（A）感受中考

1.(2023?浙江杭州)分解因式:4a2/=(A)

A.（2a-l）（2〃+l）B.（。-2）Q+2）C.（a-4）（a+l）D.（4t/-l）（tz+l）

2.（2025?山西）因式分解：z/r-16=（"什4）（〃2-4）.

3.（2025?江蘇揚(yáng)州）分解因式：“2.4=Z+2）江⑵.

4.（2025?江蘇連云港）分解因式：/_9=G-3）（x+3）.

5.（2023?河北）若k為任意整數(shù)，貝1」（2什3y-4產(chǎn)的值總能（B）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

解：（2〃+3尸-4好

=（2什3+2攵）（2什3-24）

=3（44+3）,

-3（4A+3）能被3整除,

???（2什3）2-4然的值總能被3整除，

6.（2025?四川內(nèi)江）已知實(shí)數(shù)a,〃滿足a+b=2,則『./AM/產(chǎn)4

解：,:a+b=2，

22

a-b+4b=(<a+b')(a-b')+4b=2(a-b')+4b=2(a+b')=4

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

(七)小結(jié)梳理

特殊舫式1

提公因式法

▼

平方奉公式.相反變形.平方差公式法

(a^h)(a-h)=a1—b1a2—A2=(tf4-A)(fl-A)

設(shè)計(jì)意圖：借助思維導(dǎo)圖，濟(jì)晰呈現(xiàn)整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，以及平方差公式在兩者間的反

向變形聯(lián)系。梳理提公因式法、平方差公式法等因式分解方法，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)框架，理解知識(shí)

間的邏輯關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化對(duì)因式分解與整式乘法體系的整體認(rèn)知。

(八)布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題17.2第1,4(2)題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.2第7題.

五、教學(xué)反思

17.2用公式法分解因式(第2課時(shí))

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了因式分解的平方差公式的基礎(chǔ)上，研究第二個(gè)公式一一完全平方公式，學(xué)習(xí)運(yùn)

用完全平方公式來分解形式為完全平方式的多項(xiàng)式。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課的核心是引導(dǎo)學(xué)生從整式乘法的完全平方公式逆向思考，將完全平方式分解為整式乘積的形式。

這既是對(duì)因式分解方法的補(bǔ)充與完善，也深化了“整式乘法與因式分解互逆”的邏輯關(guān)系，為后續(xù)更復(fù)雜

的代數(shù)式變形、分式運(yùn)算等內(nèi)容提供重要工具，是代數(shù)運(yùn)算體系中逆向思維應(yīng)用的延續(xù)與拓展。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）了解完全平方式及公式法的概念，會(huì)用完全平方公式進(jìn)行因式分解。

（2）體會(huì)逆向思維與轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展代數(shù)推理能力和運(yùn)算素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生需明確完全平方式的特征——由三項(xiàng)組成，其中兩項(xiàng)為平方項(xiàng)（符號(hào)相同），第三項(xiàng)為這兩

項(xiàng)底數(shù)乘積的2倍（符號(hào)可正可負(fù)）；同時(shí)理解完全平方公式因式分解的形式：片±2必+廬=（〃坊）2,理解“完

全平方式”與“完全平方公式''的聯(lián)系與區(qū)別。通過實(shí)例練習(xí)，能準(zhǔn)確識(shí)別多項(xiàng)式是否為完全平方式，熟練運(yùn)

用完全平方公式將其分解為整式平方的形式。

（2）從整式乘法中“和（差）的平方展開為完全平方式”到因式分解中“完全平方式還原為和（差）

的平方”，進(jìn)?步強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算雙向性的理解，感受逆向思維和轉(zhuǎn)化思想。在分析多項(xiàng)式是否為完全平

方式、推導(dǎo)分解的過程中，鍛煉代數(shù)推理能力；通過規(guī)范書寫步驟、檢查符號(hào)與系數(shù)的準(zhǔn)確性，提升運(yùn)算

素養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生可能存在的問題：對(duì)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征把握不清，易忽略”兩項(xiàng)為平方項(xiàng)且符號(hào)相同”“第三項(xiàng)

為兩底數(shù)乘積的2倍”等關(guān)鍵條件；分解時(shí)易混淆符號(hào)（如/_4曲+4〃錯(cuò)解為3+2%）2）。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)

比練習(xí)強(qiáng)化結(jié)構(gòu)辨析，總結(jié)“找平方項(xiàng)―驗(yàn)中間項(xiàng)一定符號(hào)”的判斷流程，結(jié)合整式乘法驗(yàn)證分解結(jié)果的正確

性，通過錯(cuò)題展示引導(dǎo)學(xué)生反思，總結(jié)解題技巧。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練運(yùn)用完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

原題重現(xiàn)用兩種方法表示圖中圖形的面積：

第一種算法：a2+2ab+b2,第二種算法：(a+b)2,JJf1i(a2-^2ab+b2=(a+h)2.

第一種算法：cr-2ab+b2,第二種算法：（CL。）—所以后菖必+從=5-方產(chǎn)

設(shè)計(jì)意圖：借助幾何圖形面積計(jì)算，喚醒學(xué)生對(duì)整式乘法口圖形面積計(jì)算的知識(shí)儲(chǔ)備，以直觀的方式

呈現(xiàn)因式分解的完全平方公式/+2"+〃=m±?2,將代數(shù)公式與幾何意義關(guān)聯(lián)，降低公式的理解難度。

（二）合作探究

a2±2ab^-b2=（a±b）2.

追問1這個(gè)等式的左邊有什么特點(diǎn)？

答等式的左邊是兩項(xiàng)的平方和（序+后）加上（或減去）兩項(xiàng)乘積的二倍（2岫）.

追問2這個(gè)等式的右邊有什么特點(diǎn)？

答等式的右邊是形如（?！牢?的多項(xiàng)式相乘.

追問3你能用文字語(yǔ)言描述這個(gè)規(guī)律嗎？

答兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或差）的

平方.

歸納（因式分解的）完全平方公式

符號(hào)語(yǔ)言a2+2ab+b2=（a+h）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

文字語(yǔ)言兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍,等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或

差）的平方.

概念完全平方式

我們把序+2"+〃和片_2而+/這樣的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式

的多項(xiàng)式分解因式.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從式子左右兩邊的形式特點(diǎn)，逐步抽象出完全平方公式的本質(zhì)規(guī)律，并用文字語(yǔ)

言精準(zhǔn)描述，幫助學(xué)生深度理解公式結(jié)構(gòu)，為后續(xù)運(yùn)用公式分解因式筑牢認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、

分析、歸納的數(shù)學(xué)思維能力。

（三）典例分析

例3分解因式：

（1）—4x14；(2)16A2-24XI9.

解(1)原式=.F+2?X?2+22=(X+2)2；

⑵原式=(4x戶24K3+32=(4L3)2.

例4分解因式：

（1）（。+〃）2-12（4+。）+36；（2）一爐+4冷）4y.

解（1）原式二（。+）尸一2?（。+力）?6+62=（。+〃一6尸.

溫馨提示公式中的〃和人可以是數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

解（2）原式=一，一4盯+4產(chǎn)）=-[/-2*2），+（2），）2]=-（廣2），）2.

溫馨提示添括號(hào)時(shí)要注意是否需要變號(hào).

概念把乘法公式的等號(hào)兩邊互換，就可以得到把某些特殊形式的多項(xiàng)式分解因式的公式.運(yùn)用公式把

多項(xiàng)式分解因式的方法叫作公式法.

設(shè)計(jì)意圖：通過例3讓學(xué)生初步熟悉完全平方公式的應(yīng)用；例4則進(jìn)階到含多項(xiàng)式，需運(yùn)用整體思想

或提取負(fù)號(hào)的情況，拓寬公式的應(yīng)用場(chǎng)景。強(qiáng)調(diào)添括號(hào)的細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生規(guī)范解題步驟，逐步提升運(yùn)用完

全平方公式分解因式的熟練度與靈活度。

（四）鞏固練習(xí)

1.下列多項(xiàng)式是不是完全平方式？為什么？

（1）a1-4a+4；是，原式=（°-2>.

（2）1+4-2；不是，修改：l+4a+4/.

（3）4b2+4b-1：不是，修改：4加+4/？+1.

（4）〃2+岫+/.不是，修改：a2+2ab+b2.

2.如果f-6x+N是一個(gè)完全平方式，那么'是(B)

A.11B.9C.-11D.-9

3.如果X2-AZLV+16是一個(gè)完全平方式，那么m的值為_±8_

4.分解因式：

(1)a2+2a+\；(2).￥2-IZr+36；(3)4A2-4X+1；

222-+

(4)4p+12pq+9q；(5)(x+y)10(x+y)25；(6)-2A)-X2-/.

解(1)原式=?2+231+12=(a+1)2.

(2)原式-2X6+6J(.L6)2.

(3)原式=(2X)2—22Y4+12=(2X-1)2.

(4)原式=(2py+2.(2〃).3q+(3g)2=(2〃+3q)2.

(5)原式二(x+)，)2-2.(x+))5+52=(x+y-5)2.3456

(6)原式=-(./+21尹)2尸-(x+)，)2.

5.利用完全平方公式計(jì)算：

（1）1002-2X100x99+992；（2）342+34x32+l62.

解⑴原式=（100-99）2=1.

⑵原式=342+2x34xl6+16?=（34+16）2=2500.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（九）歸納總結(jié)

因式分解一完全平方公式法

符號(hào)

a*1±2ab+b2=(a±by.

語(yǔ)言

文字兩個(gè)數(shù)（式子）的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)（式子）的積的2倍,

語(yǔ)言等于這兩個(gè)數(shù)（式子）的和（或差）的平方.

完全我們把〃2+2〃/>+力2和岸-2ab+b?這樣的式子叫作完全平方式,

平方式利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項(xiàng)式分解因式.

（十）感受中考

1.（2022?湖南永州）下列因式分解正確的是（)

A.ax+ay=a(x+y1B.3“+3/>=33+〃)

C."+4〃+4=(。+4)2D.a2+b=a(a+b)

2.（2024?江蘇常州）分解因式：》2-4肛+4y2=__（.r-2j,）2

3.（2025?甘肅蘭州）因式分解：2f+4x+2=—2（x+l）2.

4.（2025?四川成都）多項(xiàng)式4占1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)多項(xiàng)式的平方，那么加上的單項(xiàng)式

可以是—4x—（填一個(gè)即可）.

5.（2024?山東淄博）若多項(xiàng)式4戈2加孫+9必能用完全平方公式因式分解，則〃?的值是—±12_.

6.（2024?山東威海）因式分解：（x+2）（x+4）+l=—（x+3）2—.

解：（x+2）（x+4）+1=X2+4.￥+2X+8+1=/+6工+9=（"3）2.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)習(xí)完新知識(shí)后加入中考真題練習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生明確考試方向，熟悉考試題型,

檢險(xiǎn)學(xué)習(xí)成果，提升應(yīng)考能力，迂可以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力。

（七）小結(jié)梳理

相反變腦

■?■的乘法r31因式分解

具體方法

特制形式

口公因式法二

相反變形

乘法公式?*公式法

(a+b)(a-h)=ii2-h2?2-A2=(tf+A)(tf-A)

(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±h)2

設(shè)計(jì)意圖：借助思維導(dǎo)圖，清晰呈現(xiàn)整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，以及平方差公式和完全平方公

式在兩者間的反向變形聯(lián)系。梳理提公因式法、公式法等因式分解方法，幫助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)框架，

理解知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，強(qiáng)化對(duì)因式分解與整式乘法體系的整體認(rèn)知。

（八）布置作業(yè)

1.必做題：習(xí)題17.2第2,4（1）題.

2.探究性作業(yè)：習(xí)題17.2第8題.

五、教學(xué)反思

17.2用公式法分解因式（第3課時(shí)）

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是因式分解的深入學(xué)習(xí)，主要涵蓋多次分解（包括綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公

式法）、分組因式分解以及借助整式乘法化簡(jiǎn)后再進(jìn)行的因式分解，旨在幫助學(xué)生掌握更復(fù)雜的因式分解

技巧，提升對(duì)不同多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的處理能力。

2.內(nèi)容分析

多次分解體現(xiàn)了因式分解方法的綜合與遞進(jìn)，需根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)分步選擇提公因式法或公式法，直至

每一個(gè)因式無法再分解；分組因式分解通過合理拆分組合多項(xiàng)式，將復(fù)雜整體轉(zhuǎn)化為可分別分解的部分；

借助整式乘法化簡(jiǎn)后再分解則是通過先展開、合并同類項(xiàng)等操作，將非標(biāo)準(zhǔn)形式的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)億為便「運(yùn)用

已有方法分解的形式，三類內(nèi)容均是對(duì)基礎(chǔ)因式分解方法的靈活延伸與深化。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：能綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公式法對(duì)多項(xiàng)

式進(jìn)行因式分解。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）能綜合運(yùn)用提公因式法與公式法、多次運(yùn)用公式法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。

（2）在因式分解的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想和整體思想，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生能回憶起提公因式法和公式法的基本操作，能在復(fù)雜多項(xiàng)式中判斷何時(shí)綜合運(yùn)用提公因式法

與公式法、何時(shí)多次運(yùn)用公式法，對(duì)分解方法的適用場(chǎng)景有清晰認(rèn)知，確保分解過程規(guī)范、結(jié)果徹底，形

成對(duì)因式分解完整知識(shí)體系的掌握。

（2）學(xué)生在分解因式的過程中主動(dòng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化、整體等數(shù)學(xué)思想（如將多項(xiàng)式的某一部分視為整體代入

公式），同時(shí)，通過反復(fù)練習(xí)提升運(yùn)算的準(zhǔn)確性和邏輯性，培養(yǎng)從多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)中提煉分解思路的推理能力，

實(shí)現(xiàn)知識(shí)與素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：多次分解時(shí)步驟混亂或分解不徹底；分組因式分解時(shí)不知如何合理拆分組合多

項(xiàng)式；借助整式乘法化簡(jiǎn)時(shí)出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或漏項(xiàng)。應(yīng)對(duì)策略：通過對(duì)比錯(cuò)誤與正確的分解結(jié)果，強(qiáng)化“分解

到每一個(gè)因式不能再分解”的意識(shí)；引導(dǎo)學(xué)生觀察多項(xiàng)式中可組成公式的部分，掌握分組拆分組合的技巧；

結(jié)合典型錯(cuò)誤案例進(jìn)行針對(duì)性練習(xí)，減少整式乘法化簡(jiǎn)的失誤；通過歸類練習(xí)，總結(jié)不同結(jié)枸多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)

的優(yōu)先分解方法，幫助學(xué)生形成清晰的解題思路。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：靈活運(yùn)用提公因式法和公式法分解復(fù)雜多項(xiàng)式。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

問題我們學(xué)習(xí)了哪些分解因式的方法？

答1.提公因式法.

2.公式法：平方差公式和完全平方公式.

對(duì)于一些復(fù)雜的因式分解問題，有時(shí)需要多次運(yùn)用公式法，有時(shí)還需要綜合運(yùn)用提公因式法和公式法.

（二）合作探究

探究1分解因式：

（1）.?-/；（2）a3b-ab.

解（1）原式二（±）2-02）2=廿+）,2）（/一,,2）=（$+）2）（工+）,）口_）,）.

（連續(xù)使用兩次平方差公式）

（2）原式二附征一11）（（7-1）.

(先提取公因式，再使用平方差公式)

溫馨提示L?般情況下，有公因式要先提取公因式.

2.分解因式，要進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.

探究2分解因式：

(1)3加+65+34；(2)-加+2。2k癥

解⑴原式=3a(f+2A：V+)，2)=3mx+v)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

(2)原式=一〃(420￥+。2)=-。(廠〃)2.

(先提取公因式，再使用完全平方公式)

設(shè)計(jì)意圖：因式分解過程中，從觀察多項(xiàng)式特征(是否有公因式、符合哪種公式形式)，到選擇對(duì)應(yīng)

方法(提公因式法、平方差公式按或完全平方公式法)，再到逐步分解驗(yàn)證是否徹底，能俄煉學(xué)生的邏輯

推理和問題解決能力，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)有序分析、分步處理教學(xué)問題。

(三)典例分析

例1分解因式：

(l)fy-4)，；(2)/-2/+〃；(3)加+2/什/；

(4)一/+16；(5)3。-6ax+3加；(6)-4〃/+8/狀廠4〃)2.

解⑴原式=)，(/-4)=><x+2)(.v-2).

(2)原式=4(/-2"+1)=<?(?-1)2.

⑶原式二a(x2+2ax+a2)=a(x+〃)2.

(4)原式=42-(/)2=(4+。2)(4-〃2)=(4+。2)(2+。)(2-a).

(5)原式=3a(l-2x+f)=3?X-1)2.

(6)原式=-4雙f-2X>+)2)-4伙尸)，)2.

例2分解因式：

(1)(a-b)2+4ab；(2)(p-4)(p+1)+3p.

解(1)原式二(/-2"+82)+4，必="+2"+力

(先借助乘法公式化簡(jiǎn)，再分解因式)

⑵原式=(p2+p-4〃-4)+3p=p2_4=(p+2)(/T-2).

設(shè)計(jì)意圖：題目涵蓋多種分解類型，能讓學(xué)生熟練掌握并綜合運(yùn)用各種因式分解的基礎(chǔ)方法，讓學(xué)生

學(xué)會(huì)靈活識(shí)別、處理不同形式的多項(xiàng)式，提升應(yīng)對(duì)復(fù)雜問題時(shí)的分析、轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)拆解難題，

逐步解決。

(四)鞏固練習(xí)

1.把多項(xiàng)式4f廣4町2r3分解因式的結(jié)果是(B)

A.4x><x-y)-?B.-x(x-2y)2

C.^xy^y^-x1)D.一4(一4人7+4爐+小)

2.因式分解：

(1)-342f+24*48/；⑵(4+4)2-16〃.

解(1)原式=-3a2(x2-8.v+16)