第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù).其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).2.二次函數(shù)的圖像特征：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).3.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)a的符號a＞0a＜0圖像開口方向向上向下對稱軸y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）函數(shù)的增減性x＞0時，y隨x的增大而增大；x＜0時，y隨x的增大而減小.x＞0時，y隨x的增大而減??；x＜0時，y隨x的增大而增大.最值當(dāng)x＝0時，函數(shù)圖像有最低點(diǎn)，有最小值0.當(dāng)x＝0時，函數(shù)圖像有最高點(diǎn)，有最大值0.4.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)a的符號a＞0a＜0k的符號k＞0k＜0k＞0k＜0圖像開口方向向上向下對稱軸y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，k）函數(shù)的增減性當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大.當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小.最值當(dāng)x＝0時，y有最小值k當(dāng)x＝0時，y有最大值k.5.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)a的符號a＞0a＜0h的符號h＞0h＜0h＞0h＜0圖像開口方向向上向下對稱軸x=h頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，0）函數(shù)的增減性當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＞h時，y隨x的增大而增大.當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞h時，y隨x的增大而減小.最值當(dāng)x＝h時，y有最小值0當(dāng)x＝h時，y有最大值06.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)a的符號a＞0a＜0圖像開口方向向上向下對稱軸x=hx=h頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）（h，k）函數(shù)的增減性當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＞h時，y隨x的增大而增大.當(dāng)x＜h時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞h時，y隨x的增大而減小.最值當(dāng)x＝h時，y有最小值k當(dāng)x＝h時，y有最大值k7.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)a的符號a＞0a＜0圖像開口方向向上向下對稱軸x=-x=-頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b2a(-b2a函數(shù)的增減性x＞-b2a時，y隨xx＜-b2a時，y隨xx＞-b2a時，y隨xx＜-b2a時，y隨x最值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=-b2a時，y有最小拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=-b2a時，y有最大8.二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)方程根的情況△＞0兩個兩個不相等的實(shí)數(shù)根△＝0一個兩個相等的實(shí)數(shù)根△＜0沒有交點(diǎn)沒有實(shí)數(shù)根9.二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系 二次函數(shù)與一元二次不等式及之間的關(guān)系如下(）：圖像有兩個交點(diǎn)有1個交點(diǎn)無交點(diǎn)判別式△＞0△＝0△＜0△＞0△＝0△＜0或的全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)無解無解或無實(shí)根或無實(shí)根無解無解或的全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù)10反比例函數(shù)的定義：一般地，形如（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中x是自變量，y是x的函數(shù).11.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式：由于反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)k，因此只需要知道一對對應(yīng)值或圖像上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式.12.反比例函數(shù)的圖像特征：反比例函數(shù)的圖像由兩條曲線組成，我們稱之為雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對稱，永遠(yuǎn)不會與x軸，y軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.14.反比例函數(shù)的性質(zhì)：表達(dá)式圖像k＞0k＜0圖像無限接近坐標(biāo)軸，但不相交圖像無限接近坐標(biāo)軸，但不相交經(jīng)過象限一、三象限（x、y同號）二、四象限（x、y異號）增減性在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大序號易錯點(diǎn)易錯題注意事項(xiàng)1忽略二次項(xiàng)系數(shù)不能為0的隱含條件1．若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為．2.若二次函數(shù)的圖像與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍是．答案：1.2.且當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母時，若字母的取值不明確，不一定是二次函數(shù).2記錯二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)1.拋物線的對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．2.已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)），若該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，則．答案：1.直線2.3二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.如圖所示，二次函數(shù)的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(diǎn)和且與軸交于負(fù)半軸．給出四個結(jié)論：①，②；③；④；其中正確的結(jié)論的序號是．答案：①③④1）根據(jù)拋物線的開口方向判斷a的正負(fù)性；2）根據(jù)拋物線的對稱軸判斷b的正負(fù)性（左同右異中間0）.3）根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，判斷c的正負(fù)性.4）根據(jù)拋物線與x軸有無交點(diǎn)，判斷的正負(fù)性.4二次函數(shù)平移問題1.把拋物線先向左平移1個單位，再向上平移3個單位后所得拋物線為．2.平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位后得到的圖象的關(guān)系式為：答案：1.2.根據(jù)平移規(guī)律，左右平移是給x加減平移單位，上下平移是給常數(shù)項(xiàng)加減平移單位.5二次函數(shù)的最值問題1.已知函數(shù)，當(dāng)時，該函數(shù)的最大值是．2.已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當(dāng)自變量時，函數(shù)有最大值為10，則．答案：1.2.或二次函數(shù)的最值就是根據(jù)二次函數(shù)自變量x的取值范圍，求出y的取值范圍.6反比例函數(shù)定義理解偏差1.已知與成正比例，與成反比例．當(dāng)時，，．求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；答案：反比例函數(shù)解析式的特征：1)等號左邊是函數(shù)y，等號右邊是一個分式；2）k3）分母中含有自變量x，且指數(shù)為17反比例函數(shù)的增減性描述錯誤1.對于反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是（

A

）A．y隨x的增大而減小B．圖象位于一、三象限C．圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)D．圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱反比例函數(shù)的圖像不是連續(xù)的，因此在描述反比例函數(shù)的增減性時，一定要有“在其每個象限內(nèi)”這個前提．重難點(diǎn)01二次函數(shù)的定義1．（24-25九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，將函數(shù)進(jìn)行化簡后，根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：A.是二次函數(shù)，不符合題意；B.是二次函數(shù)，不符合題意；C.是二次函數(shù)，不符合題意；D.不是二次函數(shù)，符合題意；故選：D．2．（24-25九年級上·安徽池州·階段練習(xí)）若函數(shù)是二次函數(shù)，則的值為．【答案】2【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義解答即可．一般地，形如是二次函數(shù)．【詳解】∵是二次函數(shù)，∴，且，解得．故答案為：2．3．（2024·安徽安慶·二模）若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，∴，故選：A．4．（24-25九年級上·安徽·期中）若函數(shù)．(1)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)為二次函數(shù)？(2)該函數(shù)可能為反比例函數(shù)嗎？為什么？【答案】(1)(2)不可能為反比例函數(shù)，理由見解析【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的定義．（1）直接利用二次函數(shù)的定義分析得到且，解方程得出答案；（2）直接利用反比例函數(shù)的定義得到，且，解方程得出答案．【詳解】（1）解：∵函數(shù)，且時，該函數(shù)為二次函數(shù)，解得：，時，該函數(shù)為二次函數(shù)；（2）該函數(shù)不可能為反比例函數(shù)．理由如下：當(dāng)該函數(shù)為反比例函數(shù)，則，且，整理得，此時，方程無實(shí)數(shù)根，故該函數(shù)不可能為反比例函數(shù)．5．（24-25九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)將該函數(shù)表達(dá)式化為二次函數(shù)的一般形式；(2)寫出該二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【答案】(1)(2)二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是4．【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般形式和二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的定義，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．把方程化為二次函數(shù)的一般形式，根據(jù)定義即可得到答案．【詳解】（1）解：該二次函數(shù)的一般形式是；（2）解：由（1）可得，該函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是4．重難點(diǎn)02二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)6．（24-25九年級上·安徽馬鞍山·期中）函數(shù)的圖象經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求反比例函數(shù)的解析式．解題的關(guān)鍵是掌握的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：．先求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積即為值．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴．故選D．7．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）已知二次函數(shù)，下列說法中不正確的是（

）A．該二次函數(shù)的圖象的開口向下B．該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和D．已知，且點(diǎn)和都在這個二次函數(shù)的圖象上，則【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)．根據(jù)，即可判斷選項(xiàng)A；把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式即可判斷B，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷C；拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性即可判斷D．【詳解】解：A.∵，∴二次函數(shù)的圖象的開口向下，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B.∵，∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選項(xiàng)錯誤，符合題意；C.當(dāng)時，，解得，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是和，故選項(xiàng)正確，不符合題意；D.∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，當(dāng)時，，，∴，∴，故選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B8．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)即可判定，解題的關(guān)鍵掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．【詳解】解：由二次函數(shù)，則它的對稱軸為，開口向上，則圖象上的點(diǎn)離對稱軸越遠(yuǎn)則的值越大，∵，，，∴，∴，故選：．9．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）與二次函數(shù)圖象形狀、開口方向都相同的拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)的相等，即二次函數(shù)圖象的形狀、開口方向都相同，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：A、，∵，∴與二次函數(shù)圖象形狀不相同、以及開口方向不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴與二次函數(shù)圖象形狀相同、但開口方向不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，∵，∴與二次函數(shù)圖象形狀、開口方向都相同，故該選項(xiàng)符合題意；D、∵∴與二次函數(shù)圖象形狀不相同、以及開口方向不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C10．（24-25九年級上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線與直線的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則代數(shù)式的值為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】D【分析】本題考查的是二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的含義，求解代數(shù)式的值．先求得，再整體代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：拋物線與直線的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，，，，故選：D．11．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，P是其對稱軸上的動點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，求的最小值（）A． B． C．5 D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，軸對稱求最短距離．充分利用拋物線的對稱性是解題關(guān)鍵．令拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為，即點(diǎn)A關(guān)于對稱的點(diǎn)是C，連接與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，令拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為，即點(diǎn)A關(guān)于對稱的點(diǎn)是C，連接與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．由圖象可知，，∵對稱軸是直線，∴．令，則，∴，∴，∴的最小值為5．故選：C．重難點(diǎn)03待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式12．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)是，求此二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)二次函數(shù)的解析式（），把代入求出，即可得到答案．【詳解】解：圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，設(shè)二次函數(shù)的解析式（），把代入得，解得，二次函數(shù)的解析式為．13．（24-25九年級上·安徽六安·期中）已知拋物線，經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)為何值時，函數(shù)隨的增大而增大？【答案】(1)(2)當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確求得二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）由于已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)交點(diǎn)式，然后把代入求出即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：由于拋物線經(jīng)過，，則可設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，所以拋物線解析式為；（2）解：對稱軸為直線，由于，則二次函數(shù)開口向下，當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大．14．（24-25九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，且，，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】，【分析】根據(jù)題意，得，，，設(shè)拋物線的解析式為,則把代入解答即可．本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴∵，∴，，設(shè)拋物線的解析式為,則把代入得：，解得：,∴-8,∴．重難點(diǎn)04函數(shù)圖像綜合15．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）如圖是拋物線（，，是常數(shù)且）的圖象，則雙曲線和直線在同一坐標(biāo)系中的位置可能為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由拋物線圖象可得，當(dāng)時，，即，即可判斷反比例函數(shù)的圖象；由拋物線圖象可知，則；又拋物線與軸交于負(fù)半軸，則，即可判斷一次函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線圖象可得，當(dāng)時，，即，故雙曲線分別位于第二、四象限；由拋物線圖象可知，，則，∵拋物線與軸交于負(fù)半軸，則，∴直線經(jīng)過第二、三、四象限，故選項(xiàng)A符合題意．故選：A．16．（24-25九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得解．【詳解】解：A、由二次函數(shù)圖象可知，，，則，由反比例函數(shù)圖象可知，，矛盾，本選項(xiàng)不符合題意；B、由二次函數(shù)圖象可知，，，則，由反比例函數(shù)圖象可知，，矛盾，本選項(xiàng)不符合題意；C、由二次函數(shù)圖象可知，，，則，由反比例函數(shù)圖象可知，，矛盾，本選項(xiàng)不符合題意；D、由二次函數(shù)圖象可知，，，則，由反比例函數(shù)圖象可知，，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．17．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象不可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)的圖象為拋物線，可能利用列表、描點(diǎn)、連線畫二次函數(shù)的圖象．也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．對于每個選項(xiàng)，先根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定和的符號，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)看一次函數(shù)圖象的位置是否正確，若正確，說明它們可在同一坐標(biāo)系內(nèi)存在．【詳解】解：聯(lián)立方程組得，解得或，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)為，A、由二次函數(shù)的圖象得，，則一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，且它們的一個交點(diǎn)在軸上，另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，所以A選項(xiàng)正確，不符合題意；B、由二次函數(shù)的圖象得，，則一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，且它們的一個交點(diǎn)在軸上，另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，所以B選項(xiàng)正確，不符合題意；C、由二次函數(shù)的圖象得，，則一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，且它們的一個交點(diǎn)在軸上，另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，所以C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、由二次函數(shù)的圖象得，，則一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限，且它們的一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，但另一個交點(diǎn)不在軸上，所以D選項(xiàng)錯誤，符合題意．故選：D．18．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）二次函數(shù)（a，b，c是常數(shù)）的圖象如圖，則雙曲線和直線的位置可能為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)的圖象可得，，據(jù)此判斷一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：當(dāng)時，，∴雙曲線過二、四象限，排除選項(xiàng)B、C，直線中的，排除選項(xiàng)D，選項(xiàng)A符合以上推理出來的條件．故選：A．重難點(diǎn)05二次函數(shù)圖像與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系19．（24-25九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，拋物線的對稱軸是直線，且拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若，則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若m為任意實(shí)數(shù)，則．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)的圖象可得，，由二次函數(shù)的對稱軸可得，即可判斷①；設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為，則，求出點(diǎn)B坐標(biāo)為，即可判斷②；再由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷③④；采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，∴，∴，①錯誤；如圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)為，則，∵．，∴，即點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴時，，，②錯誤：∵，∴，③正確；當(dāng)時，，④錯誤；∵時，y取最小值，，即，⑤正確．故選：B．20．（22-23九年級上·廣東惠州·期中）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①；②；③；④若t為任意實(shí)數(shù)，則有；⑤當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，方程的兩根為，則，其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．②③④⑤【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線開口方向，與軸的交點(diǎn)位置分別得到，，再利用對稱軸得到，即可判斷①；根據(jù)拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，即可判斷②；當(dāng)時，，得到，再結(jié)合和，即可判斷③；當(dāng)時，有最小值即可判斷④；當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，利用二次函數(shù)的對稱性可得圖象也經(jīng)過點(diǎn)，進(jìn)而得到，，即可判斷⑤．【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，與軸交于負(fù)半軸，，，拋物線對稱軸為直線，，即，，故①錯誤；由圖象可知，拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，故②正確；由圖象可知，當(dāng)時，，，又，，，，故③正確；由圖象可知，當(dāng)時，有最小值，（t為任意實(shí)數(shù)），，故④正確；拋物線對稱軸為直線，當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時，由二次函數(shù)對稱性得，圖象也經(jīng)過點(diǎn)，的圖象與直線的交點(diǎn)為和，即方程的兩根為和，又方程的兩根為，，，，故⑤錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論②③④．故選：C．21．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交點(diǎn)為，，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④若圖象上有兩點(diǎn)，，當(dāng)時，總有，則的取值范圍為．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等內(nèi)容，根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征逐一判斷即可．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，又拋物線對稱軸在軸左側(cè)，∴，∴，故結(jié)論①正確；對稱軸為直線，∵，∴，∴，解得，故結(jié)論②錯誤；∵二次函數(shù)經(jīng)過，∴，∴，∵，∴，∴，故結(jié)論③正確；∵開口向下，當(dāng)時，總有，∴兩點(diǎn)均在對稱軸左側(cè)，由②知，，∴，故結(jié)論④錯誤，綜上，①③正確，共有2個；故選：B．22．（24-25九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖示，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；⑥（為任意實(shí)數(shù)），其中正確的是；（填寫序號）

【答案】②③④【分析】此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)確定．由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：①由圖象可知，，∴，故①錯誤，由圖象可知：，故②正確，∴，故⑤錯誤；③當(dāng)時，，故，故③正確；由圖象可知：，，∴，∴，故④正確；當(dāng)時，此時，，不是最大值，而當(dāng)時，，所以不一定成立，故不一定成立，即不一定成立，故⑥錯誤．故②③④正確．故答案為：②③④．重難點(diǎn)06二次函數(shù)平移問題23．（24-25九年級上·安徽淮南·期中）將拋物線向右平移a個單位，再向上平移個單位得到解析式，則a、b的值是（

）A．1， B．1，2 C．1，3 D．，【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是：將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式(a，b，c為常數(shù)，)，“左加右減括號內(nèi)，上加下減括號外”，熟練掌握這一規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．直接根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)則判斷即可．【詳解】解：∵，∴將拋物線向右平移1個單位，再向上平移個單位得到解析式，∴，，故選：A．24．（24-25九年級上·安徽安慶·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)平移變換后得到拋物線，則這個平移變換可以是（

）A．向左平移2個單位 B．向右平移2個單位C．向左平移8個單位 D．向右平移8個單位【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何變換，正確得出變化前后的對稱軸是解題關(guān)鍵．利用拋物線解析式得出變化前后對稱軸，由對稱軸的變化來進(jìn)行求解．【詳解】解：∵拋物線，∴其對稱軸為：直線．∵拋物線，∴其對稱軸為：直線，∴拋物線經(jīng)平移變換后得到拋物線，則這個變換可以是向左平移個單位長度．故選：C．25．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）將拋物線向右平移后，所得新拋物線的頂點(diǎn)是B，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)A（如圖所示），連接、，如果是等邊三角形，則的長為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；根據(jù)題意得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．由題意設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解出的值即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)A在拋物線上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，過A作軸于C，如圖，是等邊三角形，∴，，或（舍），，故答案為：．26．（24-25九年級上·安徽淮南·期中）已知拋物線的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)將拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，求得到的新拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)經(jīng)過點(diǎn)【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)圖象的平移：（1）拋物線的對稱軸為直線，由此可解；（2）先根據(jù)拋物線的平移方式確定新拋物線的解析式，進(jìn)而判斷是否經(jīng)過點(diǎn)．【詳解】（1）解：對稱軸為直線，解得，的值為；（2）解：由（1）可知，，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，可得，將代入，解得，得到的新拋物線經(jīng)過點(diǎn)．重難點(diǎn)07二次函數(shù)最值問題27．（24-25九年級上·安徽淮南·期中）已知二次函數(shù)（其中是自變量），當(dāng)時，隨的增大而減小，且時，的最大值為，則的值為（

）A． B．2 C．或2 D．或【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)（）的對稱軸直線，圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)時，拋物線（）的開口向上，時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)時，拋物線（）的開口向下，時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性得出拋物線開口向下，然后由時，的最大值為，可得時，，即可求出．【詳解】解：∵二次函數(shù)（其中是自變量），∴對稱軸是直線，∵當(dāng)時，隨的增大而減小，∴，∵時，的最大值為，∴時，，∴，∴，或（不合題意舍去）．故選：A．28．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，可得．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，∵當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，∴，故選：D．29．（24-25九年級上·安徽宣城·期末）當(dāng)，函數(shù)的最小值為2，則m的值為．【答案】或【分析】本題考查二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)解析式得到二次函數(shù)開口向上，在時取得最小值，再結(jié)合二次函數(shù)最值情況進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】解：，，二次函數(shù)開口向上，在時取得最小值，當(dāng)，函數(shù)的最小值為2，當(dāng)時，，解得或（不合題意，舍去），當(dāng)時，，解得或（不合題意，舍去），綜上所述，m的值為或．30．（20-21九年級上·四川南充·期末）若二次函數(shù)在時的最大值為3，那么的值是．【答案】或【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸是，由于對稱軸是變化的，我們分：①時；②當(dāng)上時；③當(dāng)時，三種情況結(jié)合增減性討論即可．【詳解】解：二次函數(shù)的對稱軸是，，二次函數(shù)開口向下，①當(dāng)對稱軸，即，即，∴當(dāng)時，圖象位于對稱軸右側(cè)，隨的增大而減小，即當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值為，解得；②當(dāng)時，即，∴當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值為，解得或，由于，故；③當(dāng)時，，即，當(dāng)時，圖象位于對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，即當(dāng)時，二次函數(shù)有最大值為，解得；∵，故此種情況無解；綜上①②③所述，得，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)最值求參數(shù)值，屬于典型題型“動軸定范圍最值問題”，根據(jù)自變量范圍分三種情況討論是解決問題的關(guān)鍵．31．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函數(shù)（1）若則函數(shù)的最大值為．（2）若當(dāng)時，的最大值為5，則的值為．【答案】41或【分析】本題考查二次函數(shù)的最值問題．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由題意可知此時二次函數(shù)為，再將其變?yōu)轫旤c(diǎn)式即得出答案；（2）將該拋物線一般式改為頂點(diǎn)式，即得出該拋物線對稱軸為直線，再分類討論當(dāng)時和當(dāng)時，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)時，該二次函數(shù)為，∵，∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為．故答案為：；（2）∵，∴該二次函數(shù)的對稱軸為直線．當(dāng)時，拋物線開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，當(dāng)時，y隨x的增大而增大．∵x軸上到的距離比到的距離大，∴當(dāng)時，y有最大值，∴，解得：；當(dāng)時，拋物線開口向下，∴當(dāng)時，y有最大值，最大值為，∴，解得：．綜上可知a的值為或．故答案為：1或．重難點(diǎn)08二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題32．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列圖中、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程兩根的有幾個？（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．根據(jù)直線與二次函數(shù)的關(guān)系式得出方程，再整理并進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由題意得：，整理得：，則、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程兩根，故圖（1）符合題意；B．由題意令得：，則、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程兩根，故圖（2）符合題意；C．由題意得：，整理得：，則、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程兩根，故圖（3）符合題意；D．由題意得：，整理得：，則、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)是方程兩根，故圖（4）符合題意；故選：D33．（24-25九年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，先分情況討論確定是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，再求解即可．【詳解】解：當(dāng)即時，是一次函數(shù)，與軸有交點(diǎn)；當(dāng)即時，是二次函數(shù)，∵的圖象與軸有交點(diǎn)，∴一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，此時且，綜上所述，，故答案為：．34．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)若該函數(shù)圖象與軸有兩個不同交點(diǎn)，求范圍．(2)若，求當(dāng)時，該函數(shù)的范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，與與軸的交點(diǎn)問題，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)與軸有兩個不同交點(diǎn)，則，代入數(shù)值計算，即可作答．（2）先由得，分析函數(shù)的圖象性質(zhì)得開口向上，在對稱軸處，有最小值，即，再結(jié)合，即可作答．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與軸有兩個不同交點(diǎn)，∴，解得；（2）解：依題意，把代入，得，∴對稱軸為直線，∵，∴開口向上，在對稱軸處，有最小值，即，把代入，把代入，∴當(dāng)時，該函數(shù)的范圍為．35．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）已知關(guān)于的二次函數(shù)（為常數(shù)），求證：無論為何值時，函數(shù)圖象與軸總有兩個不同交點(diǎn)．【答案】見解析【分析】本題主要考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題．根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及根的判別式進(jìn)行證明即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，，即，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個不同交點(diǎn)．重難點(diǎn)09二次函數(shù)與不等式36．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖，已知拋物線，（，均不為0）與雙曲線的圖象相交于，，三點(diǎn)．則滿足不等式的解為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意并結(jié)合圖象可直接寫出不等式的解集．【詳解】解：根據(jù)圖象并結(jié)合已知條件可知不等式的解集為：或或．故選：D．37．（24-25九年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，則能使成立的x的取值范圍是．【答案】【分析】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式．利用一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方時，，據(jù)此可得的取值范圍．【詳解】解：∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，∴一次函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方時，，即，故答案為：．38．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，與x軸交于、，根據(jù)圖象回答下列問題：(1)寫出方程的根；(2)寫出不等式的解集；(3)若方程有實(shí)數(shù)根，寫出實(shí)數(shù)k的取值范圍．(4)當(dāng)時，求y的取值范圍．【答案】(1)，(2)或(3)(4)【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和對應(yīng)的方程，以及不等式的求解，（1）根據(jù)二次函數(shù)與x的交點(diǎn)即可求得方程的解：（2）結(jié)合二次函數(shù)的開口和x軸的交點(diǎn)即可求得不等式的解集；（3）結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)和開口方向即可判定方程有實(shí)數(shù)根對應(yīng)的取值范圍；（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和與x軸的交點(diǎn)即可求得y的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于、，∴的根為，；（2）解：∵，且二次函數(shù)的圖象與x軸交于、，∴不等式的解集為或；（3）解：∵，且二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴方程有實(shí)數(shù)根，則；（4）解：∵，且二次函數(shù)的圖象與x軸交于、，∴當(dāng)時，則重難點(diǎn)10二次函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用39．（24-25九年級上·安徽淮南·期中）一個水杯豎直放置時的縱向截面如圖所示，其左右輪廓線，都是同一條拋物線的一部分，，都與水面桌面平行，已知水杯底部寬為，水杯高度為，當(dāng)水面高度為時，水面寬度為．(1)在如圖所示坐標(biāo)系中，求、所在拋物線解析式．(2)求出杯口口徑的長．(3)如圖2先把水杯盛滿水，再將水杯繞點(diǎn)傾斜倒出部分水，如圖，當(dāng)傾斜角時，杯中水面平行水平桌面，則此時水面的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）利用待定系數(shù)法法求解即可；（2）先求出、的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得解；（3）理解題意求出直線的解析式，即可得到答案．【詳解】（1）解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為的軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得，設(shè)拋物線的解析式為，將代入，得，解得，;（2）解：當(dāng)時，，解得，，∴;（3）解：根據(jù)題意知，，設(shè)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交于點(diǎn)，在中，，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，故線的解析式為，令，解得或，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，，．40．（24-25九年級上·安徽淮南·期中）如圖，用一段長為的籬笆圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，且花圃的一邊可借用一段墻體（墻體的最大可用長度）．設(shè)的長是．長方形花圃的面積為．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)求出長方形花圃的最大面積．【答案】(1)(2)長方形花圃的最大面積為【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，列出方程．（1）設(shè)花圃的寬為，則，即可得，根據(jù)進(jìn)行計算即可得；（2）將y與x之間的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：如圖所示，設(shè)花圃的寬為，則，，∵，∴，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）解：∵，且，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，長方形花圃的面積最大，最大面積為．41．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）世界羽毛球團(tuán)體錦標(biāo)賽成都2024“湯尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公開亮相．某商場銷售該吉祥物，如果以單價32元銷售，那么每天可以銷售280套．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，銷售單價每提高1元，銷售量相應(yīng)減少10套．已知每套吉祥物的進(jìn)價為20元．設(shè)每套吉祥物的售價為元．(1)若商家想要每天獲取3640元的利潤，且盡快清空庫存，的值應(yīng)定為多少？(2)若物價局規(guī)定該商品的利潤不超過進(jìn)價的80%，求此商場每天銷售該吉祥物的最大利潤，并指出相應(yīng)的值．【答案】(1)的值應(yīng)定為(2)此商場每天銷售該吉祥物的最大利潤為元，相應(yīng)的值為【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到，解得，即可得到答案．（2）由題意得，得到，設(shè)總利潤為元，得到，得出當(dāng)時元．【詳解】（1）解：由題意得，整理得：，解得，要盡快清空庫存，，答：的值應(yīng)定為；（2）解：由題意得，解得：，，設(shè)總利潤為元，由題意得，，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時元，答：此商場每天銷售該吉祥物的最大利潤為元，相應(yīng)的值為．42．（24-25九年級上·安徽安慶·期末）某超市在春節(jié)前夕，購進(jìn)一批大米，每袋進(jìn)價30元，超市規(guī)定每袋售價不得少于40元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價為每袋40元時，每天可以賣出500袋，每袋售價每提高1元，每天要少賣出20袋．(1)試求出每天的銷售量y袋與每袋售價x元之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每袋售價定為多少元時，每天銷售的利潤T元最大？最大利潤是多少？(3)如果這種大米的每袋售價不高于46元，超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售大米多少袋？【答案】(1)；(2)定價為47.5，T有最大利潤為6125元；(3)380袋．【分析】本題考查了二次函數(shù)的銷售盈利，一次函數(shù)的解析式以及圖象性質(zhì)，不等式組的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)當(dāng)售價為每袋40元時，每天可以賣出500袋，每袋售價每提高1元，每天要少賣出20袋，則，再化簡，即可作答．（2）根據(jù)每袋進(jìn)價30元，且，則，即可作答．（3）根據(jù)每袋售價不高于46元，每天獲得不低于6000元的利潤，得，再結(jié)合一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：依題意，當(dāng)每袋售價x元時，則，依題意，（元）即；（2）解：依題意，，當(dāng)時，T有最大利潤為6125元；（3）解：∵每袋售價不高于46元，超市想要每天獲得不低于6000元的利潤∴，且，解得，∴，∵中的隨的增大而減小，∴當(dāng)時，，即．答：超市每天至少銷售大米380袋．43．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）如圖是一座拱橋的簡易示意圖，其形狀是拋物線型，拱高6m，跨度10m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)拱橋下地平面是雙向行車道，正中間有一條寬度為1m的綠化帶，問：一輛寬度為2m，高度為3m的貨車能否通行？【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并利用函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題．（1）先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與軸交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線表達(dá)式，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出表達(dá)式；（2）根據(jù)貨車通行情況確定的值，代入表達(dá)式求出對應(yīng)的值，與貨車高度比較判斷能否通行．【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，把代入得：，即，解得．所以這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）因?yàn)檎虚g有1m寬的綠化帶，貨車寬2m，那么貨車在一側(cè)車道行駛時，離對稱軸的距離最遠(yuǎn)為，所以當(dāng)或時，代入得：因?yàn)?，所以一輛寬度為，高度為的貨車能通行．重難點(diǎn)11反比例函數(shù)的定義44．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函數(shù)的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的判斷，根據(jù)形如或或，這樣的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意，，，能表示是的反比例函數(shù)，共3個；故選B．45．（21-22九年級上·黑龍江綏化·期末）如果函數(shù)是反比例函數(shù)，那么m的值是（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的定義，一般地，形如（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．根據(jù)次數(shù)等于1且系數(shù)不等于0列式求解即可．【詳解】解：∵函數(shù)是反比例函數(shù)，∴且，解得．故選B．46．（23-24九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知函數(shù)為反比例函數(shù)．(1)求k的值；(2)求出時，y的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的定義及反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求出的值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)反比例函數(shù)的定義得出關(guān)于的方程和不等式，求出的值即可；（2）根據(jù)（1）中的值得出反比例函數(shù)的解析式，再求出和時的值即可．【詳解】（1）解：函數(shù)為反比例函數(shù)且，；（2）解：由（1）知，，反比例函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，時，．重難點(diǎn)12反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)47．（24-25九年級上·安徽六安·期中）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則這個函數(shù)的圖象位于（

）A．第一、三象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第二、四象限【答案】D【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，進(jìn)行解答．熟練掌握該性質(zhì)是關(guān)鍵．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，此函數(shù)的圖象位于第二、四象限，故選：D．48．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）函數(shù)的圖像（

）A．過原點(diǎn)的一條直線 B．位于一、三象限的兩支曲線C．位于二、四象限的兩支曲線 D．過點(diǎn)和點(diǎn)的一條直線【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，可確定該函數(shù)圖像是雙曲線可判斷A、D選項(xiàng)，再根據(jù)的正負(fù)確定雙曲線所在象限可判斷B、C選項(xiàng)．【詳解】解：A、是反比例函數(shù)，反比例函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且為雙曲線，故該選項(xiàng)錯誤；B、因?yàn)?，所以圖像是位于二、四象限的雙曲線，故該選項(xiàng)錯誤；C、因?yàn)?，所以圖像是位于二、四象限的雙曲線，故該選項(xiàng)正確；D、的圖像是雙曲線，不是直線，故該選項(xiàng)錯誤；故選：C．49．（18-19九年級上·陜西寶雞·期末）如果反比例函數(shù)的圖象在所在的每個象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，那么m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．結(jié)合題意，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)y都是隨著x的增大而減小，，解得：．故選：B．50．（20-21八年級下·浙江杭州·期末）反比例函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)的最大值和最小值之差為，則．【答案】或【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性質(zhì)列解一元一次方程解答即可．此題考查反比例函數(shù)的增減性：當(dāng)>時，在每個象限內(nèi)隨的增大而減小，當(dāng)時，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，以及正確解一元一次方程．【詳解】解：當(dāng)>時，在每個象限內(nèi)隨的增大而減小，∴設(shè)時，則當(dāng)時，，∴，解得，∴；當(dāng)時，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大，∴設(shè)時，則當(dāng)時，，∴，解得，∴；∴或，故答案為：或．重難點(diǎn)13反比例系數(shù)k的幾何意義51．（24-25九年級上·安徽宿州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)；的頂點(diǎn)在軸上，軸，點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)和的圖象上．若的面積為5，且，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，連接，設(shè)交x軸于點(diǎn)D，利用平行線間的距離相等，即可求得，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義得出，然后結(jié)合，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交x軸于點(diǎn)D，∵軸，∴軸，∴，∵的面積為5，∴，∵點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)和的圖象上，∴，∴，即，∵，∴．故答案為：52．（20-21九年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，連接，則的面積等于．【答案】4【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握過反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)所連的線段所圍成的直角三角形的面積為是解題的關(guān)鍵．由正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)可得，從而得到，由反比例函數(shù)的幾何意義可得，由此即可得到答案．【詳解】解：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，，，，，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，，，，故答案為：4．53．（24-25九年級上·湖南衡陽·開學(xué)考試）反比例函數(shù)的圖象如圖所示．若軸，且的面積為3，則的值為．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義．連接，推出，再根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵軸，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，∴，故答案為：．54．（24-25九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)與的一個交點(diǎn)，圖中陰影部分的面積為，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式．

【答案】【分析】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，求解反比例函數(shù)的解析式，先求解，結(jié)合，再進(jìn)一步求解可得答案．【詳解】解：連接，

則，由陰影部分的面積是圓面積的，，∴，，；55．（24-25九年級上·安徽馬鞍山·期末）如圖，是反比例函數(shù)和在第一象限的圖象，直線軸，并分別交兩條雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若，則的值是（

）A．9 B．6 C．3 D．12【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，解答時注意觀察圖中三角形面積關(guān)系以構(gòu)造方程．應(yīng)用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，表示、的面積，利用構(gòu)造方程即可．【詳解】解：由反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知，，，∵，∴，∴；故選：B．56．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）如圖，兩個反比例函數(shù)和(其中)在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)P在上，軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查了反比例函數(shù)主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，四邊形的面積為矩形的面積減去三角形與三角形的面積，根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，其面積為．【詳解】解：根據(jù)題意可得四邊形的面積，由反比例函數(shù)中的幾何意義，可知其面積為．故選：A．57．（24-25九年級上·安徽亳州·期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)，若與的面積之差為5．則的值為．【答案】10【分析】本題考查已知面積求值，根據(jù)和都是等腰直角三角形可得出，設(shè)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，設(shè)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵與的面積之差為5，∴，即：，∵反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴；故答案為：10．58．（24-25九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若，且的面積為20，則的值是．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征．延長交于點(diǎn)E，得到，，再根據(jù)題意得到，計算即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)E，∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，，∴，，∵的面積為20，∴，解得，（舍去）．故答案為：．59．（2023·安徽·一模）已知，反比例函數(shù)和反比例函數(shù)如圖所示．(1)點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)A作y軸的垂線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P在x軸上，連接，求的面積；(2)直線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，若，求n的值．【答案】(1)5(2)【分析】（1）如圖，連接，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)與面積的關(guān)系，可得，，根據(jù)求的值，根據(jù)可得的值；（2）當(dāng)時，，，，，可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，根據(jù)，，可得，計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵軸，∴，，∴，∵軸，∴；（2）解：當(dāng)時，，，，，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，∴，∵，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)與面積的關(guān)系，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．重難點(diǎn)14反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合60．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)連接、，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查一次函數(shù)以反比例函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，幾何圖形面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）如圖所示，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，根據(jù)幾何圖形面積的計算方法，圖形結(jié)合即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在的圖象上，代入得：，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵點(diǎn)在的圖象上，∴，，將，代入中，得：，解得：，∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：把代入得：，∴，如圖所示，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，∴．61．（24-25九年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)根據(jù)圖象，求出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的的取值范圍；(3)點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）先用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后再求出點(diǎn)坐標(biāo)，最遠(yuǎn)求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，找出反比例函數(shù)圖象位于一次圖象上方時的范圍即可；（3）先求出，得出，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，得出，求出c即可得出答案．【詳解】（1）解：一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式是；在一次函數(shù)的圖象上，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，，，反比例函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：解方程組，得或，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由圖象可知，當(dāng)或時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值；（3）解：點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為或．62．（24-25九年級上·安徽安慶·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，已知A為線段的中點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是反比例函數(shù)的圖象上一個動點(diǎn)，軸于點(diǎn)．設(shè)四邊形的面積為S，當(dāng)時，S的最小值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）由一次函數(shù)解析式求出、的坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入即可求得的值．（2）設(shè)，則，由于的值在時，隨的增大而增大，隨的值的增大而增大，即可得出隨的增大而增大．再由點(diǎn)，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，S值最小，把代入計算即可求解．【詳解】（1）解：一次函數(shù)的圖象分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，，．為線段的中點(diǎn)，∴，，反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，∴，（2）解：點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上一個動點(diǎn)，設(shè)，，設(shè)，則，隨的增大而增大，在中，，時，隨的增大而增大，隨的增大而增大．由（1）知，，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，S值最小，最小值為．即當(dāng)時，S最小值為3．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．63．（24-25九年級上·安徽宣城·階段練習(xí)）如圖，直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱．

(1)若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，求的值．(2)若線段被反比例函數(shù)的圖像分成兩部分，且這兩部分長度的比為，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）利用點(diǎn)在函數(shù)圖像上的特點(diǎn)求出，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可解答；（2）利用點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，線段被反比例函數(shù)的圖像分成兩部分，并且這兩部分長度的比為，設(shè)反比例函數(shù)的圖像與線段交點(diǎn)為，分兩種情況或計算即可．【詳解】（1）解：在直線的圖象上，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱,，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，，；（2），，線段被反比例函數(shù)的圖像分成兩部分，并且這兩部分長度的比為，設(shè)反比例函數(shù)的圖像與線段交點(diǎn)為，①當(dāng)時，即：，

，，，②當(dāng)時，即：，

，，．故的值為或．64．（24-25九年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）【問題背景】在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)分別為，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形．【構(gòu)建聯(lián)系】若點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖2，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；【深入探究】（3）如圖3，將直線：向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，求的值．．【答案】（1）；（2）9；（3）【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，代入即可求反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再把點(diǎn)D代入反比例函數(shù)解析式求得，即可求解；（3）由一次函數(shù)平移規(guī)律可得直線，聯(lián)立方程組得，設(shè)、，即，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與x、y軸的交點(diǎn)、，利用勾股定理求得，可得，過點(diǎn)O作，由平行線間距離處處相等可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，∴，把代入，得，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，即，∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，把代入，得，解得，∴，∴；（3）解：∵將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)，∴聯(lián)立方程組得，，即，設(shè)、，∴，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，把代入，得，∴，∴，把代入，得；把代入，得，解得，∴直線與x、y軸交于點(diǎn)、，∴，，∴，∴，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．重難點(diǎn)15反比例函數(shù)與實(shí)際問題65．（24-25九年級上·安徽安慶·期中）某學(xué)校教室飲水機(jī)4分鐘就可以將的飲用水加熱到．此后停止加熱，水溫開始下降．如圖所示，已知整個下降過程中水溫與通電時間成反比例關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)學(xué)生飲用水時必須在水從加熱到，然后降溫到方可使用．求從飲水機(jī)加熱開始，到可以飲用需要等待多長時間？【答案】(1)(2)從飲水機(jī)加熱開始，到可以使用需要等待【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）分兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，利用待定系數(shù)法即可求出與的函數(shù)解析式；（2）令（1）中求得的函數(shù)解析式，求出的值即為需要等待的時間．【詳解】（1）解：①當(dāng)時根據(jù)圖象設(shè)，其圖象過點(diǎn)，則

解得：∴，②當(dāng)時∵整個下降過程中y與通電時間x成反比例關(guān)系，∴可設(shè)整個下降過程中水溫，其圖象過點(diǎn)，∴，解得，∴；綜上，y與x的函數(shù)解析式為：．（2）解：依題意，令，得，解得，答：從飲水機(jī)加熱開始，到可以使用需要等待10min．66．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）杠桿原理也稱為“杠桿平衡條件”，要使杠桿平衡，作用在杠桿上兩個力矩（力與力臂的乘積）大小必須相等，即：阻力阻力臂動力動力臂，用代數(shù)式表示為．如圖，已知石頭重量（阻力）為，阻力臂長，小華想用一根撬棍撬起這塊石頭，但他只有的力量，那么他該選擇動力臂為多少米的撬棍才能撬動這塊大石頭？【答案】小華該選擇動力臂為的撬棍才能撬動這塊大石頭【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，求出反比例函數(shù)式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)阻力阻力臂動力動力臂，可得出F與l的函數(shù)關(guān)系式；將代入可求出l即可．【詳解】解：依題意，得，∴．當(dāng)時，，解得．答：小華該選擇動力臂為的撬棍才能撬動這塊大石頭67．（24-25九年級上·安徽六安·期中）已知汽車勻速從A市行駛到B市，設(shè)汽車行駛的時間為t小時，速度為v千米/時，且A市到B市汽車的行駛里程為480千米．(1)求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫自變量t的取值范圍）；(2)若汽車從上午從A市出發(fā)，如果汽車在當(dāng)天到之間（包含端點(diǎn)時間）到達(dá)B市，求汽車行駛速度v的范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．．（1）由速度乘以時間等于路程，變形即可得速度等于路程比時間，從而得解；（2）分別算出至?xí)r間長為小時，至?xí)r間長為6小時，再代入，且結(jié)合反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，得出汽車行駛速度v的范圍為．即可作答．【詳解】（1）解：依題意，得，∴．（2）解：依題意，（小時），（小時）∴至?xí)r間長為小時，至?xí)r間長為6小時，則將代入得；將代入得．∴汽車行駛速度v的范圍為．68．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)數(shù)隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生興趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)和時，圖象是線段：當(dāng)時，圖象是雙曲線的一部分，根據(jù)函數(shù)圖象回答下列問題：(1)求注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知為了讓學(xué)生在聽數(shù)學(xué)綜合題講解時能完全理解和接受，注意力指標(biāo)不低于30，而張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要8分鐘，則這節(jié)課張老師至多能講解幾道數(shù)學(xué)綜合題能讓學(xué)生完全理解和接受．【答案】(1)(2)這節(jié)課張老師至多能講解道數(shù)學(xué)綜合題能讓學(xué)生完全理解和接受．【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，運(yùn)用待定系數(shù)法求解出相關(guān)函數(shù)表達(dá)式以及正確的理解圖象是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，根據(jù)圖象可知，注意力指標(biāo)不低于的時間為分鐘，再根據(jù)講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要8分鐘即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，圖象是雙曲線的一部分，圖象經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)，則，解得，∴；當(dāng)時，，∴，∴，當(dāng)時，圖象是線段，則該段函數(shù)是一次函數(shù)，點(diǎn)，設(shè)，則，解得，∴；當(dāng)時，，∴注意力指標(biāo)數(shù)y隨時間x（分鐘）的函數(shù)表達(dá)式為（2）解：當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，，解得，，根據(jù)圖象可知，注意力指標(biāo)不低于的時間為（分鐘），∵，∴這節(jié)課張老師至多能講解道數(shù)學(xué)綜合題能讓學(xué)生完全理解和接受．重難點(diǎn)16反比例函數(shù)與幾何綜合69．（24-25九年級上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，是直角三角形，的兩邊分別與函數(shù)的圖象交于B、A兩點(diǎn)，求的值．【答案】【分析】過點(diǎn)A，B作軸，軸，垂足分別為C，D.根據(jù)條件得到.根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得出利用相似三角形面積比等于相似比的平方即可解題．【詳解】解：過點(diǎn)A，B作軸，軸，垂足分別為C，D，，，，，，，，．70．（24-25九年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）【問題背景】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在第一象限，四邊形是平行四邊形．【構(gòu)建聯(lián)系】若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形的面積；【深入探究】(3)如圖3，將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的值．

【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，代入即可求反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，再把點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式求得，即可求解；（3）由一次函數(shù)平移規(guī)律可得直線，聯(lián)立方程組得，設(shè)，即，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與、軸的交點(diǎn)，利用勾股定理求得，可得，過點(diǎn)作，由平行線定理可得，利用銳角三角函數(shù)求得，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，反比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：設(shè)，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，即，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，，．（3）解：將直線向上平移6個單位得到直線，聯(lián)立，即，設(shè)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，把代入，得，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，把代入，得；把代入，得，解得，直線與軸交于點(diǎn)，，，．，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題、銳角三角函數(shù)、平行線定理、一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．71．（24-25九年級上·安徽蚌埠·期中）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定．（1）先由點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k值，即可得反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）先根據(jù)題意得出Q的坐標(biāo)，再得各線段長，進(jìn)而得，再由即可證．【詳解】（1）解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，P是的中點(diǎn)，，反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）證明：當(dāng)時，，解得：，，∵，，，，，，，又，．72．（24-25九年級上·上海普陀·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3．軸，垂足為E．(1)寫出點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，并求反比例函數(shù)的解析式：(2)M是反比例函數(shù)圖像上的一個動點(diǎn)且在點(diǎn)D右側(cè)，過點(diǎn)M作軸，垂足為F、是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，反比例函數(shù)的解析式為；(2)或【分析】（1）由一次函數(shù)的，，，分別求解對應(yīng)的，，從而可得點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)，再代入D的坐標(biāo)可得反比例函數(shù)解析式；（2）如圖，于，證明，由在的右側(cè)，分兩種情況：當(dāng)時，設(shè)，當(dāng)時，再利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可．【詳解】（1）解：一次函數(shù)，當(dāng)，則，當(dāng)，則，∴，，當(dāng)時，，∴，在反比例函數(shù)上，，，反比例函數(shù)的解析式為；（2）解：如圖，于，∴，∵點(diǎn)M、E、F為頂點(diǎn)的三角形與相似，在的右側(cè)，當(dāng)時，∴，設(shè)，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴，當(dāng)時，∴，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴，∴．綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．73．（2024·安徽安慶·二模）如圖，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)圖象上，直線交x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作垂足為D．已知，，求k值．【答案】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形相似進(jìn)行求解．設(shè)，則，作軸于點(diǎn)，證明，通過三角形相似，得到的長度，利用反比例函數(shù)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過減去表示出的長度，最后根據(jù)表示出，再結(jié)合題目中，計算出．【詳解】設(shè)，則，作軸于點(diǎn)，軸，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，．重難點(diǎn)17二次函數(shù)與幾何綜合74．（24-25九年級上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)是這個二次函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與線段交于點(diǎn)，求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，求直線解析式，函數(shù)最值問題，將線段列出函數(shù)關(guān)系式利用最值確定線段的最大值的解題思路是關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出解析式；（2）先求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，列出線段的關(guān)系式配方即可得到的最大值．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）∵二次函數(shù)的解析式為，∴時，，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得，所以直線的解析式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．則點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在點(diǎn)的右邊，所以．因?yàn)辄c(diǎn)是這個二次函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以，所以當(dāng)時，線段的長度有最大值，最大值為．75．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖1，拋物線與直線的兩個交點(diǎn)，都在坐標(biāo)軸上，與軸另一交點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上的一個動點(diǎn)．①連接，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)坐標(biāo)．②如圖2，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線另一點(diǎn)于點(diǎn)，已知點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，連接．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，求的值．【答案】(1)；(2)①點(diǎn)的坐標(biāo)為；②【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)，求出直線的解析式，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）①如圖①，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)，列式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②如圖②，由題意，根據(jù)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，確定，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線，得出點(diǎn)在直線的右側(cè)，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，即可確定，，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，，即直線的解析式為，將代入，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將代入拋物線中，得，解得，拋物線的解析式為；（2）解：①如圖①，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∵，∴當(dāng)時，有最大值，此時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②如圖②，由題意得，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，，拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線，，點(diǎn)在直線的右側(cè)，軸，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，，，點(diǎn)在拋物線上，，，．【點(diǎn)睛】該題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式求解，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．二次函數(shù)與三角形面積綜合，解直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．76．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線解析式；(2)若點(diǎn)為拋物線部分上一動點(diǎn)（可與，兩點(diǎn)重合），過