專題21.9線段、面積與角度問題——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】已知平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，連接PB，PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點K．記△PBC，△BDK的面積分別為（3）如圖2，連接AC，點E為線段AC的中點，過點E作EF⊥AC交x軸于點F．在拋物線上是否存在點M，使∠MFA【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）求出BC的解析式，設Pm,-m2+2m+3（3）易得FE垂直平分AC，設OF=a，則CF=AF=【解題過程】（1）解：把A-1,0，-1-b+∴y=-（2）解：∵當y=0時，-x2+2x∴B3,0∴設直線BC的解析式為：y=把B3,0代入，得：k∴y=-設Pm,-m2+2PK=-m2+2m∴S1=1∴S1∴當m=158時，S（3）解：∴A-1,0，C0,3，點E∴E-∵FE⊥∴AF=∴∠AFE設OF=a，則在Rt△COF中，由勾股定理，得：∴a=4∴F4,0，CF∵FE⊥AC，∴∠AFE∴∠AFE設FE的解析式為：y=kx+b，4k解得：k=-∴y=-聯(lián)立y=-解得x1=7+∴M7-109取點E關(guān)于x軸的對稱點，連接交拋物線于點M，則：∠MFA=∠EFA=∠OCA，設的解析式為：y=k則：4k解得：k=∴y=聯(lián)立y=-解得x1=5+∴M5+181綜上，點M的坐標為7+1096,17-10918或?qū)W霸必刷學霸必刷1．（2024·山西·二模）如圖，拋物線y=-13x2+43x+4與x軸交于A，B兩點（點（1）求A，B，C三點的坐標，并直接寫出線段BC所在直線的函數(shù)表達式；（2）點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交BC于點N求線段【思路點撥】（1）分別令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）線段BC所在直線的函數(shù)表達式，設點P的坐標為m,-13m2+4【解題過程】（1）解：在y=-令x=0，則y∴點C的坐標為0,4，令y=0，則-即x2解得：x=-2或x∵點A在點B的左側(cè)，∴點A的坐標為-2,0，點B的坐標為6,0設線段BC所在直線的函數(shù)表達式為y=將點B6,0,C0,4代入解得：k=-∴線段BC所在直線的函數(shù)表達式為y=-（2）解：∵點P在拋物線y=-∴設點P的坐標為m,-∵PM⊥x軸交BC于點∴點N的坐標為m,-∵點P在線段BC上方的拋物線上，∴0<m<6且∵-13<0∴當m=3時，PN有最大值，線段PN長的最大值為32．（24-25九年級上·湖北荊門·階段練習）如圖，拋物線y=-12x2+32x+2交x軸于（1）求四邊形ABDC的面積；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PC-PB的值最大，若存在，試求出點【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，求一次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎知識．（1）分別求得拋物線與x軸和y軸的交點，從而得出OA,（2）連接PA，PB，則|PC-PB|=PC【解題過程】（1）解：如圖，連接OD，當x=2時，y∴D由-12x∴OA當x=0時，y∴OC∴S四邊形ABDC==1（2）解：如圖，拋物線的對稱軸為：直線x=連接PB，根據(jù)拋物線對稱性可得：PA=則PC-故當A、P、C三點共線，設直線CP的解析式為：y=∴b∴b∴y當x=32∴P3．（24-25九年級上·廣西南寧·開學考試）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A1,0，B-5,0兩點，與y軸交于點C，P是拋物線上的任意一點（不與點C重合），點（1）求拋物線的解析式；（2）若點P位于線段BC上方，求△PBC（3）若圖象G的最大值與最小值的差為4，求m的取值范圍．【思路點撥】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形，二次函數(shù)幾何綜合，二次函數(shù)的最值，以及二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用．（1）利用待定系數(shù)法求解，即可解題；（2）根據(jù)二次函數(shù)得到點C，設直線BC的解析式為y=kx+5，待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過點P作PD∥y軸，交BC（3）根據(jù)圖象G的最大值與最小值的差為4，分情況討論①當點P在點C上方時，②當點P在點C下方時，結(jié)合二次函數(shù)的最值，以及二次函數(shù)對稱性求解，即可解題．【解題過程】（1）解：∵拋物線y=-x2+bx+c-1+解得b=-4∴拋物線的解析式為y=-（2）解：∵拋物線的解析式為y=-x2-4∴C設直線BC的解析式為y=∴-5k解得k=1∴直線BC的解析式為y=∵點P位于線段BC上方，點P的橫坐標為m，∴P過點P作PD∥y軸，交BC于點∴D∴S△∵-5∴△PBC面積的最大值為125（3）解：∵圖象G的最大值與最小值的差為4，①當點P在點C上方時，∵y=-x2-m解得m=-4或0∴-4≤m②當點P在點C下方時，此時點P在點C左側(cè)，不滿足題意，∴點P在點C右側(cè)，∴5--解得m=-2+22或綜上所述，m的取值范圍是-4≤m≤-24．（23-24九年級上·寧夏石嘴山·期中）如圖，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上找一點E，使EC+ED的值最小，求（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB=∠【思路點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、點的對稱性等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．（1）直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為(3，0)、(0（2）如圖1，作點C關(guān)于x軸的對稱點C'，連接CD'交x軸于點E，則此時（3）分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解．【解題過程】（1）直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，則點B、C的坐標分別為(3將點B、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：-9+3b+故函數(shù)的表達式為：y=-令y=0，則x=-1或3，故點（2）如圖1中，作點C關(guān)于x軸的對稱點C'，連接CD'交x軸于點E，則此時函數(shù)頂點D坐標為(1，4)，點設直線C'D的解析式為y=kx+k+a=4直線C'D的表達式為：當y=0時，x故點E(則EC+ED的最小值為（3）①當點P在x軸上方時，如圖2中，∵OB=OC=3過點B作BH⊥AP于點H，設則PB=由勾股定理得：AB2=AH解得：m2則PB2則yP②當點P在x軸下方時，同理可得yP故點P的坐標為(1，2+225．（24-25九年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A(-1,0)，B(3,0)兩點，直線l：（1）求點C的坐標和直線l的解析式；（2）點P是y軸上的一點，求滿足PB+PC的值為最小的點（3）點Q是直線l下方拋物線上一動點，動點Q運動到什么位置時，△AQC的面積最大?求出此時Q點坐標和△【思路點撥】（1）由C點橫坐標可求得C點坐標，利用待定系數(shù)法可求得直線l的函數(shù)表達式；（2）作點B(3,0)關(guān)于y軸的對稱點B'(-3,0)，連接B'C交y軸于點P（3）過Q作QM∥y軸交AC于M，用m表示出M和Q的坐標，從而可表示出QM的長，表示出△AQC【解題過程】（1）解：把x=2代入拋物線解析式y(tǒng)=x∴C(2,-3)把A、C坐標代入直線l：y=kx+解得k=-1∴直線l解析式為y=-（2）解：作點B(3,0)關(guān)于y軸的對稱點B'(-3,0)，連接B'C交y軸于點P設直線B'C的解析式為把B'(-3,0)、C(2,-3)解得a=-∴直線B'C解析式為令x=0，則y∴點P坐標為0,-9（3）解：過Q作QM∥y軸交AC于設Q(m,∴QM∴==-3∵-3∴當m=12時，△此時Q16．（24-25九年級上·重慶·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-12x2+12x+3與x軸正半軸交于點（1）求△ABC（2）若點P是拋物線對稱軸上一點，且S△ABC=2【思路點撥】（1）先求出點B、C坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進而求出點D坐標，最后利用（2）由y=-12x2+12x+3可得拋物線的對稱軸為直線x=12，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y=-x本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：把y=0代入y=-1解得x1=-2，∴B3,0把x=0代入y=-1∴C0,3設直線AB的解析式為y=kx+b，直線AB與把A-1,2、B3,02=-k解得k=-∴直線AB的解析式為y=-把x=0代入y=-1∴D0,∴CD=3-∴S△（2）解：由y=-12設直線BC的解析式為y=mx+n，把0=3m解得m=-1∴直線BC的解析式為y=-設直線BC與拋物線對稱軸相交于點M，點P坐標為12把x=12代入y∴M1∴PM=∴S△∵S△∴2S∴2×3即52解得p=32∴點P的坐標為12,37．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+3過點A（1）求拋物線的解析式；（2）第一象限內(nèi)的拋物線y=ax2+bx+3圖象上有一動點P，x軸正半軸上有一點D，且OD（3）拋物線y=ax2+bx+3的頂點為Q，直線y=kx與拋物線交于點E，F(xiàn)【思路點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.（1）依據(jù)題意，把點A-10,B(3,0（2）依據(jù)題意，先求出點C和點D的坐標，然后連接OP，設點P的坐標為(m根據(jù)S△PCD=（3）依據(jù)題意可得點Q的坐標是(1，4)，又把y=-x2+2x+3與y=kx聯(lián)立方程組，得x2+【解題過程】（1）由題意,把點.A-1得a-∴a∴拋物線的解析式為y（2）解：當x=0時，y∴點C的坐標為(0,3∵x軸正半軸上有一點D，且OD=2∴點D的坐標為(2,0連接OP，設點P的坐標為(m則S△解得：m1=3∴點P的坐標為(32,（3）解：∵點C的坐標是(0,3∴OC=3又∵y∴點Q的坐標是(1,4把y=-x2+2x+3∴x如圖,連接OQ.S四邊形MCQB=S△OCQ∵3當k=12時，S8．（23-24九年級上·廣東湛江·期中）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對稱軸為直線x=4，圖象過點A、B、（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當點M位于x軸下方的拋物線上時，過點M作x軸的垂線，交BC于點Q，求線段MQ的最大值．（3）在（2）的條件下，當點M位于x軸下方的拋物線上時，求△CBM【思路點撥】（1）根據(jù)拋物線對稱軸，求得b=-8，再將點B6,0代入二次函數(shù)y=（2）先求出點C坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設Ma,a2-8a（3）先求出點A的坐標，令Ma,a2-8a+12，進而得到a的取值范圍，利用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，得到N的坐標，從而得到BN的長，由【解題過程】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2∴-b∴b將點B6,0代入二次函數(shù)y=x解得：c=12∴二次函數(shù)的表達式為y=（2）解：∵二次函數(shù)y=x2-8令x=0，則y∴C設直線BC的解析式為y=則m=126k∴直線BC的解析式為y=-2∵MQ∴設Ma,a∴MQ∴當a=3時，MQ有最大值，最大值為9（3）解：∵二次函數(shù)y=x2-8x+12令y=0，則x解得：x1=2，∴A2,0，如圖，令CM與x軸的交點為N，令Ma∵點M位于x軸下方的拋物線上，∴2<a設直線CM的解析式為y=則m1=12a∴直線BC的解析式為y=令y=0，則a-8∴N∴ON∴BN∵S∴==3×=24=-3=-3a∴當a=3時，S△CBM9．（23-24九年級下·安徽阜陽·期中）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B3,0

（1）求拋物線的解析式；（2）若DE是該拋物線的對稱軸，點D是頂點，點P是第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)拋物線上的一個動點．（?。┤鐖D2，連接BP，若△PCB的面積為3，求點P（ⅱ）如圖3，連接BC，與DE交于點G，連接PC，PG，PD，求2S【思路點撥】（1）由拋物線的對稱軸為直線x=1和點B3,0，得點A-1,0．由點B3,0（2）（?。┯牲cB3,0，C0,3，得直線BC的解析式,過點P作PF∥y軸交BC于點F．設點Pm,-m2+2m+3，則點Fm,-m+3，得關(guān)于m的方程，解出即可；（ⅱ）由拋物線y=-x2+2x+3求出頂點D的坐標為1,4．由（?。┲本€BC的解析式為y=-x【解題過程】（1）解：由拋物線的對稱軸為直線x=1和點B3,0，得點由點B3,0，OB=OC由拋物線經(jīng)過點A，B，得y=把點C0,3代入，得3=解得a=-1∴拋物線的解析式為y=-（2）解：（ⅰ）由點B3,0，C0,3，得直線BC的解析式為如圖1，過點P作PF∥y軸交BC于點設點Pm,-m∴PF由題意，得S△整理，得m2解得m=1（舍去）或m則-m∴點P的坐標為2,3．

（ⅱ）由拋物線y=-x2+2x由（?。┲本€BC的解析式為y=-x+3如圖2，設直線CP交DE于點F，設點Pm由直線PC經(jīng)過點C0,3設直線PC的解析式為y=把點Pm得-m解得m=0（舍去）或m即k=-∴直線PC的解析式為y=當x=1時，y=-∴2=2×==-m即2S△PCG+10．（24-25九年級上·安徽六安·階段練習）如圖1，拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過A-

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設四邊形COBP的面積為S，求S的最大值；（3）如圖2，過點P作PM⊥x軸于點M，連接AC，AP，AP與y軸交于點N．當∠MPA=2∠PAC【思路點撥】（1）將A-1,0，B3,0（2）過點P作PM⊥x軸于點N，P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，設點Pm,m2-2m-3（3）由題意得到∠NAC=∠NCA，則AN=CN，設N(0,n)，由1+n【解題過程】（1）解：將A-1,0，B3,0∴a-∴a=1∴y（2）解：過點P作PN⊥x軸于點

令x=0，則y∴C0,-3∴OC=3∵P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，設點Pm∴PN=-m2∵B(3,0)∴OB=3∴BN=3-∴S===-=-3∵-∴當m=32時，S（3）解：設AP交y軸于點N，如圖，

∵ON⊥x軸，∴ON∥∴∠ANO∵∠MPA∴∠ANO∴∠NAC∴AN設N(0,n)∴1+n∴n∴N設直線AP的解析式為y=kx+b，把b=-∴k=-∴y令-4解得：x1=-1，∴點P的橫坐標為53把x=53代入y∴點P的坐標為5311．（23-24九年級上·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，有一拋物線y=x24，直線y=kx（k≠0（1）當k=2時，求A，B（2）在（1）的條件下，第一象限一點P在拋物線上，當SΔPAB=（3）試探究直線AB是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．【思路點撥】（1）當k=2時，聯(lián)立y=x24和y=2x，可求出A（2）先求出直線AB的解析式為y=12x+12．設P(m,m24)，過P點作PC⊥（3）由x24=kx得A(4k,4k2)，由x24=-【解題過程】（1）解：當k=2聯(lián)立y=得x1=0y∴A聯(lián)立y=得x1=0y∴B（2）解：如圖，過P點作PC⊥x軸，交直線AB于設直線AB的表達式為y=8k+b∴AB：y=設P(m,∴PE=∵==7∴m∴m∴m①當m2解得m1=1+51②當m2解得m3=1+47∴P點的橫坐標為1+51或1+（3）解：由x24=kx，得∴A(4由x24=-3k∴B-設直線AB的解析式為y=4km解得m=k-∴直線AB的解析式為y=∴直線AB經(jīng)過定點0,12．12．（24-25九年級上·江蘇南通·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B（1）則點A坐標為；點B坐標為；（2）若二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a（3）若二次函數(shù)y=ax2+2【思路點撥】（1）在y=ax2+2ax-3a（2）由二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a的圖象經(jīng)過點C-（3）分①當a>0時和②當a本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解一元二次方程，二次函數(shù)圖象與線段的交點，二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是掌握知識點的應用及分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應用．【解題過程】（1）在y=ax2+2ax-3解得x=-3或x∴A-3,故答案為：-3,0（2）∵二次函數(shù)y=ax∴16a+2a∴二次函數(shù)解析式為y=設Pm由（1）得A-3,∴AB=4∵點P是二次函數(shù)圖象上x軸下方一動點，∴△ABP面積為1∵-5∴當m=-1時，△ABP面積有最大值，為（3）∵y=∴拋物線y=ax2+2ax-3a①當a>0時，-3a∴拋物線y=ax2+2ax-如圖：在y=ax2+2∵C-∴5a=5，即a=1由圖可知，當a≥1時，二次函數(shù)y=a②當a<0若頂點在線段CD時，如圖：此時-解得a=-若頂點在直線y=5上方，即-∵二次函數(shù)y=ax2+2ax-∴5a解得a<-此時滿足-4∴a<-綜上所述，二次函數(shù)y=ax2+2ax-3a的圖象與線段CD13．（2024·安徽六安·模擬預測）如圖1，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點A，點B6,0（點（1）求b，（2）連接BC，點P是直線BC下方拋物線上的一點，連接AC，（?。┤鐖D2，AP與BC交于點M，若S△ACM-（ⅱ）如圖3，過點P作PQ∥AC交BC于點Q，連接AQ，求【思路點撥】本題主要考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應用，主要涉及了求二次函數(shù)解析式、利用面積的轉(zhuǎn)化求三角形面積、在坐標系中求線段的長度，解題的關(guān)鍵是正確設出點的坐標，表示出線段長度．（1）由B點坐標和OB=OC可以求出c的值，再將點B6,0（2）（?。┰O點P的坐標為t,12t2-2t-6，再將S△ACM-S△PBM轉(zhuǎn)化為S△ABC-S△ABP即可求出結(jié)果；（ⅱ）連接PC，過點P作【解題過程】（1）解：∵B∴OB∵點C位于原點下方，∴C∴c把點B6,0代入拋物線y得0=1解得b=-2故b，c的值分別為（2）（?。┯桑?）可知拋物線的解析式為y=當y=0時，1解得x1∴A∴AB設點P的坐標為t,12則S△整理，得t2解得t1=-22當t=22+2∴此時點P的坐標為22（ⅱ）如圖，連接PC，過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點∵PQ∴S∴S設直線BC的解析式為y=將點B6,0和點C0=6k∴直線BC的解析式為y=設點P的坐標為m,12∴PE∴S∵-3∴當m=3時，S△PAQ14．（23-24九年級下·山東濟寧·開學考試）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A-4,0，B2,0兩點，直線l與拋物線交于（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若P是拋物線上的點且在直線l的下方，連接PA，PD，當△PAD的面積最大時，求出點P（3）若Q是y軸上的點，且∠ADQ=45°，請直接寫出點【思路點撥】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的結(jié)合、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標與圖形等知識點，求得二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法將點A、點B和點D代入y=（2）利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式為y=x+4，過點P作PH⊥x軸交AD于點H，設點P（3）根據(jù)直線AD的解析式為y=x+4，求得點D0,4，則∠OAC=∠ACO=45°，分類討論①若點Q位于直線【解題過程】（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x∴0=16a-4則二次函數(shù)y=（2）解：設直線AD的解析式為y=則0=-4k+b∴直線AD的解析式為y=過點P作PH⊥x軸交AD于點設點Pn,n∴S=-=-則當n=-12時，點P-1（3）解：①若點Q位于直線AD上面，如圖：過點D作DQ⊥y軸交于點∵∠ADQ∴∠DCQ∴CQ=∵D3,7，∴CQ=∵直線AD的解析式為y=∴點C0,4，即OC∵A-∴OA=4∴AO=根據(jù)題意設點Q0,m，則∴Q0,7②若點Q位于直線AD下面，∵∠ADQ=45°，∴點Q位于與y軸平行的直線上，與題意矛盾，不符合題意．綜上，點Q的坐標Q0,715．（2024·安徽合肥·三模）如圖，已知拋物線y＝-x2+bx+c過點A-（1）求該拋物線的解析式；（2）點M是x軸上的一個動點，當MA+MC的值最小時，求點（3）如圖2，連接AB，在AB上方的拋物線上是否存在一動點D，使△ABD面積取得最大值，若存在，求出D點坐標，并求△【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求得直線A'C的解析式為y=2514x+4，又兩點之間線段最短，得此時MA（3）過點D作DE⊥x軸，交x軸于點E，過點A作AF⊥x軸，交x軸于點F．如圖2所示．先求出直線AB的解析式為y=-12x+12．設點D【解題過程】（1）解：將點A-72,9-解得b∴該拋物線的解析式為y=-（2）解：如圖1，作A關(guān)于x軸對稱點A'-72,-9y=-x2-3∴C0設直線A'C的解析式為把A'-72,4=n解得m=∴直線A'C的解析式為∵兩點之間線段最短，∴此時MA+MC取最小值，最小值為線段令y=0，∴x=-∴點M的坐標為-56（3）解：過點D作DE⊥x軸，交x軸于點E，過點A作AF⊥x軸，交x軸于點設直線AB的解析式為y=mx+∵點A-72∴-72∴直線AB的解析式為y=-∵該拋物線的解析式為y=-∴設點D的坐標為t,-∴點E的坐標為t,0，點F的坐標為-∴S==-=-9∵-9∴當t=-54時，點D的坐標為-5416．（2023·山東東營·二模）如圖，拋物線y=-12x2+bx+c與x軸交于A-（1）求拋物線的解析式．（2）點P是第三象限拋物線上一點，當△BCP的面積為12時，求P（3）拋物線上是否存在點Q使得∠QCB=∠CBO【思路點撥】（1）將A、C兩點的坐標代入y=-12x2（2）先求出B點的坐標為(4,0)，再求出BC的表達式為y=-12x+2．過P點做y軸的平行線交BC的延長線與M點，設P(m,-1（3）根據(jù)題意當點Q在第一象限時，利用二次函數(shù)的對稱性求解；當點Q在第四象限時，設CQ與x軸交于點E，首先根據(jù)勾股定理求出點E的坐標，然后求出CE的解析式，最后聯(lián)立直線CE和拋物線即可求出點Q的坐標．【解題過程】（1）解：將A(-1,0)，C(0,2)代入∴c=2解得b=∴拋物線的解析式y(tǒng)=-（2）解：

由y=-x1=-1，∵A(-1,0)∴B(4,0)設BC的表達式為：y=則b=24k∴BC:過P點做y軸的平行線交BC的延長線與M點，設P(m,-則PM=∵S△∴12得PM=6∴12解得m1=-2，∴P(-2,-3)（3）解：存在，如圖所示，當點Q在第一象限拋物線上時，∵∠QCB∴CQ∥∴點Q和點C關(guān)于對稱軸對稱，∵A-1,0，∴拋物線的對稱軸為x=∵C0,2∴點Q的坐標為3,2；如圖所示，當點Q在第四象限的拋物線上時，設CQ與x軸交于點E．∵∠QCB∴EC=∴設EC=∵C0,2，B∴OC=2，OE∴在Rt△OEC中，即22解得x=∴OE=∴E3∴設直線CE的解析式為y=將C0,2，E32∴解得b1∴y=-∴聯(lián)立直線CE和拋物線得，y=-∴解得x1=0（舍去0），∴將x2=173代入∴點Q的坐標為173綜上所述，點Q的坐標為3,2或17317．（23-24九年級上·全國·開學考試）在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于點A，B（A在y軸右側(cè)，B在y軸左側(cè)），C（1）求拋物線的解析式．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得PO+PC的值最小，若存在，請求出點（3）若y=ax2+bx+c有最低點，點【思路點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，配方法求二次函數(shù)的最大值，利用點Q和點F的坐標求得QF的長，從而得到△ACQ的面積與a（1）由題意可求點A，點B，點C坐標，用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求出點O關(guān)于對稱軸對稱的點M坐標，連接MC，交對稱軸于點P，用待定系數(shù)法可求CM解析式，即可求點P坐標；（3）設點Qa,a2-2a-3【解題過程】（1）（1）∵OC=3，且∴OA=3，OB=1，且A在y軸右側(cè)，B∴點A3,0，點B-1,0，點設拋物線解析式為y=若點C0,-3∴-3=∴a∴拋物線解析式為：y=(若點C0,3∴3=∴a∴拋物線解析式為：y=-1×(（2）∵點A3,0，點B∴拋物線對稱軸為直線x=1∴點O0,0關(guān)于對稱軸x=1的對稱點為連接MC，交直線x=1的交點為P∵點C0,3∴設直線MC解析式為y若C0,3，M2,0解得b則直線MC解析式為：y=-∴當x=1時，∴點P1若點C0,-3同理可得直線EC解析式為：y=∴當x=1時，∴點P1,-（3）如圖，過點Q作QE⊥AB，交AC于點∵若y=∴y∵點A3,0，點C∴直線AC的解析式y(tǒng)=設點Qa,a∴QF∴S∴當a=32時，△ACQ面積的最大值為18．（23-24九年級下·重慶南岸·開學考試）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+6a≠0交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（1）求拋物線的解析式；（2）動點P和動點Q同時出發(fā)，點P從點A以每秒2個單位長度的速度沿AC運動到點C，點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿CO運動到點O，連接PQ，當點P到達點C時，點Q停止運動，求S△CPQ的最大值及此時點（3）將原拋物線沿射線CA方向平移22個單位長度，在平移后的拋物線的對稱軸上存在點G，使得∠ACG=15°【思路點撥】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)的平移等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵（1）利用對稱性求出點A的坐標，利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出OA=OC=6，得到∠CAO=45°，得到P（3）求出平移后的解析式為y=-12x+42=6，得到拋物線的對稱軸為直線x=-4，分兩種情況：當點【解題過程】（1）∵對稱軸為直線x=-2，點B的坐標為2,0∴A將點A和點B的坐標代入y=4解得a∴y（2）當x=0時，∴點C的坐標為0,6，∴CO=6∵A∴OA=∴∠CAO∵點P從點A以每秒2個單位長度的速度沿AC運動到點C，∴AP∴P2∵點Q從點C以每秒1個單位長度的速度沿CO運動到點O，∴CQ∴Q∴S△∴當t=322時，S△CPQ（3）∵原拋物線沿射線CA方向平移22∴拋物線向x軸負方向平移2個單位，向y軸負方向平移2個單位，∴平移后的解析式為y=-∴拋物線的對稱軸為直線x當點G在直線AC下方時，如圖1，設CG與x軸交于點E，∵∠ACE=15°∴∠∴EO∴E-設直線CE的解析式為y∴0=-2∴k∴直線CE的解析式為y當x=-4時，∴G點坐標為-當點G在直線AC上方時，如圖2，設CG與x軸交于點F，∵∠ACF=15°∴∠∴OF∴F-同理可得直線CF為y當x=-4時，∴點G的坐標為-4綜上可知，點G的坐標為-4，19．（24-25九年級上·湖南長沙·開學考試）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)（1）求拋物線的解析式；（2）在點P的運動過程中，是否存在點P，使∠CAP=45°？若存在，求出點（3）當點P在第一象限時，連接BP，設△ACP的面積為S1，△BCP的面積為S【思路點撥】（1）將A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)代