2025年下學期高一數(shù)學基礎(chǔ)鞏固與提高試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，則實數(shù)a的值為（）A.2B.3C.2或3D.1或2或3函數(shù)f(x)=√(x-1)+log?(3-x)的定義域是（）A.[1,3)B.(1,3]C.[1,3]D.(1,3)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x+1D.f(x)=lnx已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，則cosα的值為（）A.4/5B.-4/5C.3/5D.-3/5函數(shù)f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知直線l?:ax+2y+6=0與直線l?:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2圓x2+y2-4x+6y-12=0的圓心坐標和半徑分別是（）A.(2,-3),5B.(-2,3),5C.(2,-3),√13D.(-2,3),√13已知等比數(shù)列{a?}中，a?=1，a?=8，則該數(shù)列的前5項和S?=（）A.15B.31C.32D.63已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則函數(shù)f(x)的極大值為（）A.3B.1C.-1D.-3已知直線l過點P(1,2)，且與圓x2+y2=5相切，則直線l的方程是（）A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+2y-5=0或2x+y-4=0D.x-2y+3=0或2x-y=0已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，x∈[0,3]，則函數(shù)f(x)的值域是（）A.[2,6]B.[3,6]C.[2,3]D.[1,6]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)f(x)=2x+1，g(x)=x2-1，則f(g(2))=______。已知tanα=2，則sin2α=______。已知等差數(shù)列{a?}中，a?=5，a?=9，則該數(shù)列的前n項和S?=______。已知點A(1,2)，B(3,4)，則線段AB的垂直平分線方程是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，求A∩B和A∪B。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，（1）求函數(shù)f(x)的對稱軸方程和頂點坐標；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，（1）求向量a與b的夾角；（2）若向量c=2a-b，求|c|。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知直線l過點P(2,1)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，O為坐標原點，（1）求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；（2）求|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程。（本小題滿分12分）已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?，且滿足S?=2a?-1，（1）求數(shù)列{a?}的通項公式；（2）設(shè)b?=n·a?，求數(shù)列{b?}的前n項和T?。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題都做，按第一題計分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x，（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍。已知圓C:x2+y2-2x-4y+4=0，直線l:y=kx+1，（1）求證：直線l與圓C總有兩個不同的交點；（2）若直線l與圓C交于A、B兩點，且|AB|=2√2，求k的值。參考答案與解析一、選擇題C解析：A={1,2}，B={x|(x-1)(x-(a-1))=0}，因為A∪B=A，所以B?A，所以a-1=1或a-1=2，即a=2或a=3。A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且3-x>0，解得1≤x<3，所以定義域為[1,3)。A解析：f(x)=x3是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增；f(x)=sinx是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；f(x)=x+1是非奇非偶函數(shù)；f(x)=lnx的定義域不關(guān)于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)。A解析：因為a⊥b，所以a·b=1×m+2×1=m+2=0，解得m=-2。B解析：因為α∈(π/2,π)，所以cosα<0，又sin2α+cos2α=1，所以cosα=-√(1-sin2α)=-4/5。B解析：T=2π/2=π。A解析：由題意得a(a-1)-2×1=0，解得a=-1或a=2。當a=2時，兩直線重合，所以a=-1。A解析：將圓的方程化為標準方程：(x-2)2+(y+3)2=25，所以圓心坐標為(2,-3)，半徑為5。B解析：設(shè)公比為q，則a?=a?q3=q3=8，解得q=2，所以S?=1×(1-2?)/(1-2)=31。A解析：f'(x)=3x2-3，令f'(x)=0，得x=±1。當x<-1時，f'(x)>0；當-1<x<1時，f'(x)<0；當x>1時，f'(x)>0。所以函數(shù)在x=-1處取得極大值，f(-1)=(-1)3-3×(-1)+1=3。C解析：當直線l的斜率不存在時，直線方程為x=1，此時圓心到直線的距離為1，不等于半徑√5，所以不相切；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y-2=k(x-1)，即kx-y+2-k=0，由圓心到直線的距離等于半徑得|k×0-0+2-k|/√(k2+1)=√5，解得k=-1/2或k=2，所以直線方程為x+2y-5=0或2x-y=0。A解析：函數(shù)f(x)=x2-2x+3的對稱軸為x=1，在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(1)=2，最大值為f(3)=6，所以值域為[2,6]。二、填空題7解析：g(2)=22-1=3，f(g(2))=f(3)=2×3+1=7。4/5解析：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan2α)=4/5。n2解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a?-a?=2d=4，解得d=2，所以a?=a?-2d=5-4=1，所以S?=n×1+n(n-1)/2×2=n2。x+y-5=0解析：線段AB的中點坐標為(2,3)，斜率為(4-2)/(3-1)=1，所以垂直平分線的斜率為-1，方程為y-3=-(x-2)，即x+y-5=0。三、解答題解：A={x|1<x<3}，B={x|x>3/2}，所以A∩B={x|3/2<x<3}，A∪B={x|x>1}。解：（1）f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以對稱軸方程為x=1，頂點坐標為(1,2)。（2）因為函數(shù)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，所以最小值為f(1)=2，最大值為f(3)=6。解：（1）a·b=1×3+2×4=11，|a|=√(12+22)=√5，|b|=√(32+42)=5，所以cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=11√5/25，所以向量a與b的夾角為arccos(11√5/25)。（2）c=2a-b=2(1,2)-(3,4)=(-1,0)，所以|c|=√((-1)2+02)=1。解：（1）f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)，所以最小正周期T=2π。（2）因為x∈[0,π/2]，所以x+π/4∈[π/4,3π/4]，所以sin(x+π/4)∈[√2/2,1]，所以f(x)∈[1,√2]，即最大值為√2，最小值為1。解：（1）設(shè)直線l的方程為x/a+y/b=1(a>0,b>0)，因為直線l過點P(2,1)，所以2/a+1/b=1，所以S=1/2ab=1/2ab(2/a+1/b)=1/2(2b+a)≥1/2×2√(2ab)=√(2ab)，當且僅當2b=a時取等號，此時2/a+1/b=2/(2b)+1/b=2/b=1，解得b=2，a=4，所以S的最小值為4，此時直線l的方程為x/4+y/2=1，即x+2y-4=0。（2）設(shè)直線l的斜率為k(k<0)，則直線l的方程為y-1=k(x-2)，令y=0，得x=2-1/k，所以A(2-1/k,0)，令x=0，得y=1-2k，所以B(0,1-2k)，所以|PA|=√[(1/k)2+1]，|PB|=√[4+(2k)2]，所以|PA|·|PB|=√[(1/k2+1)(4+4k2)]=√[4(1/k2+1)(1+k2)]=2√[(1/k2+1)(1+k2)]=2√(2+k2+1/k2)≥2√(2+2)=4，當且僅當k2=1/k2，即k=-1時取等號，此時直線l的方程為y-1=-(x-2)，即x+y-3=0。解：（1）當n=1時，S?=2a?-1，解得a?=1；當n≥2時，S?-1=2a?-1-1，所以a?=S?-S?-1=2a?-2a?-1，即a?=2a?-1，所以數(shù)列{a?}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以a?=2??1。（2）b?=n·2??1，所以T?=1×2?+2×21+3×22+...+n×2??1，2T?=1×21+2×22+...+(n-1)×2??1+n×2?，兩式相減得-T?=1+21+22+...+2??1-n×2?=2?-1-n×2?，所以T?=(n-1)2?+1。四、附加題解：（1）函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，f'(x)=1/x-2ax+(2-a)=(-2ax2+(2-a)x+1)/x=-(2ax+1)(x-1)/x。當a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當a>0時，令f'(x)=0，得x=1，當0<x<1時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當x>1時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（2）由（1）知，當a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)至多有一個零點；當a>0時，函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值f(1)=ln1-a×12+(2-a)×1=1-a，要使函數(shù)f(x)有兩個零點，需滿足f(1)=1-a>0，即a<1，又當x→0+時，f(x)→-∞，當x→+∞時，f(x)→-∞，所以當0<a<1時，函數(shù)f(x)有兩個零點。解：（1）圓C的標準方程為(x-1)2+(y-2)2=1，圓心坐標為(1,2)，半徑為1，圓心到直線l的距離d=|k-2+1|/√(k2+1)=|k-1|/√(k2+1)，因為d=|k-1|/√(