2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)模型構(gòu)建能力試題一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.人口增長(zhǎng)模型某地區(qū)2025年初人口為100萬(wàn)，若人口年增長(zhǎng)率為2%，且人口增長(zhǎng)符合指數(shù)模型(N(t)=N_0(1+r)^t)（其中(N_0)為初始人口，(r)為增長(zhǎng)率，(t)為時(shí)間（年）），則2030年初該地區(qū)人口約為（）A.110.4萬(wàn)B.110.6萬(wàn)C.112.6萬(wàn)D.120.4萬(wàn)題型解析：本題考查指數(shù)增長(zhǎng)模型的直接應(yīng)用。關(guān)鍵在于明確時(shí)間間隔(t=2030-2025=5)年，代入公式計(jì)算即可。解題步驟：已知(N_0=100)萬(wàn)，(r=2%=0.02)，(t=5)，代入公式(N(5)=100\times(1+0.02)^5\approx100\times1.10408=110.408)萬(wàn)，四舍五入后約為110.4萬(wàn)，故選A。2.函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題匹配某物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度(v)與時(shí)間(t)的關(guān)系模型為(v(t)=at)（(a)為加速度，常數(shù)），則其位移(s(t))（初始位移為0）與時(shí)間(t)的函數(shù)圖像可能是（）A.過(guò)原點(diǎn)的直線B.開口向上的拋物線C.開口向下的拋物線D.反比例函數(shù)圖像題型解析：本題需結(jié)合物理運(yùn)動(dòng)模型推導(dǎo)位移公式。勻加速直線運(yùn)動(dòng)中，位移(s(t)=\intv(t)dt=\intat,dt=\frac{1}{2}at^2)，為二次函數(shù)。解題步驟：由(v(t)=at)可知，位移(s(t)=\frac{1}{2}at^2)（(a>0)），二次項(xiàng)系數(shù)(\frac{1}{2}a>0)，故圖像為開口向上的拋物線，且過(guò)原點(diǎn)，故選B。3.線性回歸模型某商店統(tǒng)計(jì)了過(guò)去6個(gè)月的廣告費(fèi)用(x)（萬(wàn)元）與銷售額(y)（萬(wàn)元），數(shù)據(jù)如下表：|廣告費(fèi)用(x)|1|2|3|4|5|6||------------------|---|---|---|---|---|---||銷售額(y)|10|15|20|25|30|35|若銷售額與廣告費(fèi)用滿足線性回歸模型(\hat{y}=\hatx+\hat{a})，則回歸系數(shù)(\hat)為（）A.5B.10C.15D.20題型解析：線性回歸中，若數(shù)據(jù)呈嚴(yán)格線性關(guān)系，則回歸直線即為該直線。本題中(y)與(x)滿足(y=5x+5)（如(x=1)時(shí)(y=10)，(x=2)時(shí)(y=15)），斜率(\hat=5)。解題步驟：觀察數(shù)據(jù)，(x)每增加1，(y)增加5，故斜率(\hat=5)，選A。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）4.成本-利潤(rùn)模型某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為2000元，每生產(chǎn)1件產(chǎn)品需增加成本50元，若該產(chǎn)品售價(jià)為100元/件，則生產(chǎn)______件產(chǎn)品時(shí)，工廠可實(shí)現(xiàn)盈利（盈利=收入-成本）。題型解析：構(gòu)建成本函數(shù)與收入函數(shù)，令盈利(>0)求解。解題步驟：設(shè)生產(chǎn)(x)件產(chǎn)品，成本(C(x)=2000+50x)，收入(R(x)=100x)，盈利(P(x)=R(x)-C(x)=100x-(2000+50x)=50x-2000)，令(P(x)>0)，即(50x>2000\Rightarrowx>40)，故至少生產(chǎn)41件。答案：41三、解答題（共3題，共70分）6.二次函數(shù)模型的優(yōu)化問(wèn)題（20分）某農(nóng)場(chǎng)要圍一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，現(xiàn)有籬笆長(zhǎng)100米，養(yǎng)雞場(chǎng)一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另三面用籬笆圍成。設(shè)矩形的長(zhǎng)為(x)米（與墻平行的邊），寬為(y)米，面積為(S)平方米。（1）寫出(S)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)(x)為何值時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大？最大面積是多少？題型解析：本題為二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，需結(jié)合幾何關(guān)系構(gòu)建面積函數(shù)，再通過(guò)配方或求導(dǎo)求最值。解題步驟：（1）由題意，籬笆長(zhǎng)度為(x+2y=100\Rightarrowy=\frac{100-x}{2})，面積(S=x\cdoty=x\cdot\frac{100-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+50x)，定義域：(x>0)且(y>0\Rightarrow100-x>0\Rightarrow0<x<100)。（2）方法一（配方）：(S=-\frac{1}{2}(x^2-100x)=-\frac{1}{2}(x-50)^2+1250)，當(dāng)(x=50)時(shí)，(S_{\text{max}}=1250)平方米。方法二（求導(dǎo)）：(S'(x)=-x+50)，令(S'(x)=0\Rightarrowx=50)，當(dāng)(x<50)時(shí)(S'(x)>0)，(x>50)時(shí)(S'(x)<0)，故(x=50)為極大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)，最大面積1250平方米。7.分段函數(shù)模型（25分）某市居民用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：月用水量不超過(guò)10噸（含10噸），每噸2元；超過(guò)10噸但不超過(guò)20噸（含20噸）的部分，每噸3元；超過(guò)20噸的部分，每噸5元。（1）設(shè)月用水量為(x)噸，水費(fèi)為(f(x))元，寫出(f(x))的分段函數(shù)解析式；（2）若某用戶10月水費(fèi)為80元，求該用戶當(dāng)月用水量。題型解析：分段函數(shù)需根據(jù)不同區(qū)間的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別構(gòu)建表達(dá)式，求解時(shí)需判斷自變量所在區(qū)間。解題步驟：（1）分段討論：當(dāng)(0\leqx\leq10)時(shí)，(f(x)=2x)；當(dāng)(10<x\leq20)時(shí)，(f(x)=2\times10+3(x-10)=3x-10)；當(dāng)(x>20)時(shí)，(f(x)=2\times10+3\times10+5(x-20)=5x-50)。綜上，(f(x)=\begin{cases}2x&(0\leqx\leq10),\3x-10&(10<x\leq20),\5x-50&(x>20).\end{cases})（2）判斷水費(fèi)80元所在區(qū)間：當(dāng)(x=20)時(shí)，(f(20)=3\times20-10=50)元<80元，故(x>20)，令(5x-50=80\Rightarrow5x=130\Rightarrowx=26)噸。8.三角函數(shù)模型的應(yīng)用（25分）某港口的水深(y)（米）與時(shí)間(t)（小時(shí)，(0\leqt\leq24)）的關(guān)系可近似用函數(shù)(y=5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+10)描述，其中(t=0)表示0時(shí)。（1）求該港口的最大水深和最小水深；（2）若某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，為保證航行安全，船底與海底的距離至少為2米，求該船在一天內(nèi)（0時(shí)至24時(shí)）可以進(jìn)出港口的時(shí)間段（精確到0.1小時(shí)）。題型解析：三角函數(shù)模型在周期性現(xiàn)象中的應(yīng)用，需結(jié)合正弦函數(shù)的最值和不等式求解。解題步驟：（1）正弦函數(shù)(\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right))的值域?yàn)?[-1,1])，最大水深：(y_{\text{max}}=5\times1+10=15)米，最小水深：(y_{\text{min}}=5\times(-1)+10=5)米。（2）船安全航行時(shí)，水深需滿足(y\geq7+2=9)米，即(5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+10\geq9\Rightarrow\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\geq-\frac{1}{5})，令(\theta=\frac{\pi}{6}t)，則(\theta\in[0,4\pi])，解不等式(\sin\theta\geq-\frac{1}{5})，由(\sin\theta=-\frac{1}{5})，得(\theta_1=\pi+\arcsin\frac{1}{5}\approx3.14+0.201=3.341)，(\theta_2=2\pi-\arcsin\frac{1}{5}\approx6.28-0.201=6.079)，以及周期后(\theta_3=3\pi+\arcsin\frac{1}{5}\approx9.42+0.201=9.621)，(\theta_4=4\pi-\arcsin\frac{1}{5}\approx12.56-0.201=12.359)，故(\theta\in[0,3.341]\cup[6.079,9.621]\cup[12.359,4\pi])，轉(zhuǎn)換為(t=\frac{6\theta}{\pi})：([0,3.341\times\frac{6}{\pi}]\approx[0,6.4])，([6.079\times\frac{6}{\pi},9.621\times\frac{6}{\pi}]\approx[11.6,18.4])，([12.359\times\frac{6}{\pi},24]\approx[23.6,24])，綜上，可進(jìn)出港口的時(shí)間段為0時(shí)至6.4時(shí)、11.6時(shí)至18.4時(shí)、23.6時(shí)至24時(shí)。四、附加題（共20分）9.概率模型與統(tǒng)計(jì)某學(xué)校高一有1000名學(xué)生，其中男生600人，女生400人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，若從抽取的學(xué)生中隨機(jī)選1人，求該學(xué)生為女生的概率。題型解析：分層抽樣中，各層抽取比例相同，先求女生抽取人數(shù)，再計(jì)算概率。解題步驟：抽樣比(k=