2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量章節(jié)綜合測(cè)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（）A.若向量$\vec{a}$，$\vec$共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)$\lambda$，使得$\vec{a}=\lambda\vec$B.若向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=|\vec|$，則$\vec{a}=\vec$或$\vec{a}=-\vec$C.若向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，且$x_1y_2=x_2y_1$，則$\vec{a}\parallel\vec$D.零向量的模長(zhǎng)為0，方向任意，且與任意向量都不共線在$\triangleABC$中，$D$為$BC$的中點(diǎn)，若$\vec{AB}=\vec{a}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{AD}=$（）A.$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$B.$\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec$C.$-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$D.$-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec$已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，則$2\vec{a}-3\vec=$（）A.$(1,0)$B.$(7,0)$C.$(1,12)$D.$(7,12)$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$x=$（）A.$-2$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$2$已知向量$\vec{a}$，$\vec$的夾角為$60^\circ$，$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.$3$B.$6$C.$3\sqrt{3}$D.$6\sqrt{3}$已知向量$\vec{a}=(3,4)$，則與$\vec{a}$方向相同的單位向量為（）A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$B.$\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$D.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則$m=$（）A.$2$B.$\frac{1}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-2$已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(1,-2)$，則$|\vec{a}+\vec|=$（）A.$\sqrt{5}$B.$2\sqrt{5}$C.$5$D.$10$已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$120^\circ$，則$|\vec{a}-\vec|=$（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{7}$C.$3$D.$7$在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=\vec{c}$，$\vec{AC}=\vec$，則$\vec{BC}=$（）A.$\vec-\vec{c}$B.$\vec{c}-\vec$C.$\vec+\vec{c}$D.$-\vec-\vec{c}$已知向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是平面內(nèi)的一組基底，若向量$\vec{a}=\lambda\vec{e_1}+\mu\vec{e_2}$，且$\vec{a}=2\vec{e_1}-3\vec{e_2}$，則$\lambda+\mu=$（）A.$-1$B.$1$C.$5$D.$-5$已知向量$\vec{a}=(1,0)$，$\vec=(0,1)$，$\vec{c}=k\vec{a}+\vec$，$\vecikqqdaf=\vec{a}-\vec$，若$\vec{c}\perp\vecpcshiei$，則$k=$（）A.$-1$B.$1$C.$0$D.$2$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量$\vec{a}=(3,-4)$，$\vec=(x,y)$，且$\vec{a}=\vec$，則$x=$，$y=$．已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則向量$\vec{a}$在向量$\vec$方向上的投影為______．已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(x,y)$，若$2\vec{a}=3\vec$，則$x=$，$y=$．已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,3)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則$m$的取值范圍為______．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,1)$，求：（1）$\vec{a}+\vec$；（2）$\vec{a}-\vec$；（3）$2\vec{a}+3\vec$．（12分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,-1)$，求：（1）$\vec{a}\cdot\vec$；（2）$\vec{a}$與$\vec$的夾角的余弦值；（3）$(\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}-\vec)$．（12分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，且$\vec{a}+2\vec$與$2\vec{a}-\vec$平行，求$x$的值．（12分）在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=(2,3)$，$\vec{AC}=(1,k)$，且$\triangleABC$的一個(gè)內(nèi)角為直角，求$k$的值．（12分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，$\vec{c}=(5,6)$，且$\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec$，求$\lambda$，$\mu$的值．（10分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,-1)$，$\vec{c}=(1,\lambda)$，若$(\vec{a}+\vec)\perp\vec{c}$，求$\lambda$的值．四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分．不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，$\vec{c}=(2,1)$，且$\vec{c}=x\vec{a}+y\vec$，求$x$，$y$的值．在$\triangleABC$中，$\vec{AB}=(2,1)$，$\vec{AC}=(1,k)$，若$\triangleABC$是等腰三角形，求$k$的值．參考答案一、選擇題C2.A3.B4.A5.A6.A7.B8.B9.B10.A11.A12.B二、填空題$3$，$-4$14.$\frac{11\sqrt{5}}{25}$15.$\frac{4}{3}$，$2$16.$(-\infty,-6)\cup(-6,\frac{3}{2})$三、解答題（1）$(4,3)$；（2）$(-2,1)$；（3）$(11,7)$（1）$-1$；（2）$-\frac{\sqrt{26}}{26}$；（3）$11$$\frac{1}{2}$$-\frac{2}{3}$或$\frac{11}{3}$或$\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$$\lambda=-1$，$\mu=2$$-3$四、附加題$x=-1$，$y=1$$k=2$或$k=\frac{1}{2}$或$k=1\pm\sqrt{5}$或$k=3$或$k=-3$詳細(xì)解析一、選擇題C解析：對(duì)于A，當(dāng)$\vec=\vec{0}$時(shí)，不成立；對(duì)于B，向量的模相等，方向不一定相同或相反；對(duì)于C，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，若$x_1y_2=x_2y_1$，則$\vec{a}\parallel\vec$，正確；對(duì)于D，零向量與任意向量都共線。A解析：因?yàn)?D$為$BC$的中點(diǎn)，所以$\vec{AD}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$。B解析：$2\vec{a}=(4,6)$，$3\vec=(-3,6)$，所以$2\vec{a}-3\vec=(4-(-3),6-6)=(7,0)$。A解析：因?yàn)?\vec{a}\perp\vec$，所以$\vec{a}\cdot\vec=1\timesx+2\times1=0$，解得$x=-2$。A解析：$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos60^\circ=2\times3\times\frac{1}{2}=3$。A解析：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以與$\vec{a}$方向相同的單位向量為$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。B解析：因?yàn)?\vec{a}\parallel\vec$，所以$1\times1-2\timesm=0$，解得$m=\frac{1}{2}$。B解析：$\vec{a}+\vec=(3,-1)$，所以$|\vec{a}+\vec|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}=2\sqrt{5}$。B解析：$|\vec{a}-\vec|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec+|\vec|^2=1-2\times1\times2\times\cos120^\circ+4=1+2+4=7$，所以$|\vec{a}-\vec|=\sqrt{7}$。A解析：$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec-\vec{c}$。A解析：由平面向量基本定理可知，$\lambda=2$，$\mu=-3$，所以$\lambda+\mu=2+(-3)=-1$。B解析：$\vec{c}=k\vec{a}+\vec=(k,2k)+(0,1)=(k,2k+1)$，$\vecfahexet=\vec{a}-\vec=(1,0)-(0,1)=(1,-1)$，因?yàn)?\vec{c}\perp\veccwatfca$，所以$\vec{c}\cdot\vecvdslpuq=k\times1+(2k+1)\times(-1)=k-2k-1=-k-1=0$，解得$k=-1$。二、填空題$3$，$-4$解析：因?yàn)?\vec{a}=\vec$，所以$x=3$，$y=-4$。$\frac{11\sqrt{5}}{25}$解析：向量$\vec{a}$在向量$\vec$方向上的投影為$\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}=\frac{1\times3+2\times4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{11}{5}=\frac{11\sqrt{5}}{25}$。$\frac{4}{3}$，$2$解析：因?yàn)?2\vec{a}=3\vec$，所以$2(1,2)=3(x,y)$，即$(2,4)=(3x,3y)$，所以$3x=2$，$3y=4$，解得$x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{4}{3}$。$(-\infty,-6)\cup(-6,\frac{3}{2})$解析：因?yàn)?\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，所以$\vec{a}\cdot\vec>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線。$\vec{a}\cdot\vec=1\timesm+2\times3=m+6>0$，解得$m>-6$；若$\vec{a}$與$\vec$共線，則$1\times3-2\timesm=0$，解得$m=\frac{3}{2}$，所以$m\neq\frac{3}{2}$。綜上，$m$的取值范圍為$(-6,\frac{3}{2})\cup(\frac{3}{2},+\infty)$。三、解答題（1）$\vec{a}+\vec=(1+3,2+1)=(4,3)$；（2）$\vec{a}-\vec=(1-3,2-1)=(-2,1)$；（3）$2\vec{a}+3\vec=2(1,2)+3(3,1)=(2,4)+(9,3)=(11,7)$。（1）$\vec{a}\cdot\vec=2\times1+3\times(-1)=2-3=-1$；（2）$|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，$|\vec|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$，所以$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{-1}{\sqrt{13}\times\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$；（3）$(\vec{a}+\vec)\cdot(\vec{a}-\vec)=\vec{a}^2-\vec^2=|\vec{a}|^2-|\vec|^2=13-2=11$。$\vec{a}+2\vec=(1+2x,2+2\times1)=(1+2x,4)$，$2\vec{a}-\vec=(2\times1-x,2\times2-1)=(2-x,3)$，因?yàn)?\vec{a}+2\vec$與$2\vec{a}-\vec$平行，所以$(1+2x)\times3-4\times(2-x)=0$，即$3+6x-8+4x=10x-5=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。若$\angleA=90^\circ$，則$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times1+3\timesk=2+3k=0$，解得$k=-\frac{2}{3}$；若$\angleB=90^\circ$，則$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=(1-2,k-3)=(-1,k-3)$，所以$\vec{AB}\cdot\vec{BC}=2\times(-1)+3\times(k-3)=-2+3k-9=3k-11=0$，解得$k=\frac{11}{3}$；若$\angleC=90^\circ$，則$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=0$，$\vec{BC}=(-1,k-3)$，所以$\vec{AC}\cdot\vec{BC}=1\times(-1)+k\times(k-3)=-1+k^2-3k=k^2-3k-1=0$，解得$k=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。綜上，$k$的值為$-\frac{2}{3}$或$\frac{11}{3}$或$\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。因?yàn)?\vec{c}=\lambda\vec{a}+\mu\vec$，所以$(5,6)=\lambda(1,2)+\mu(3,4)=(\lambda+3\mu,2\lamb