2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化背景試題（二）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.《九章算術(shù)》中的粟米之法《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)典籍，其中“粟米”章記載了糧食兌換的比例問(wèn)題：“粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七……”若現(xiàn)有粟米150斗，按照“粟米:粺米=50:27”的比例兌換，可得到粺米（）A.81斗B.90斗C.100斗D.135斗解析：根據(jù)題意，粟米與粺米的兌換比例為50:27，設(shè)150斗粟米可兌換粺米x斗，則有50/27=150/x，解得x=（150×27）/50=81。故選A。2.祖沖之的圓周率貢獻(xiàn)我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率π精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，即3.1415926~3.1415927。若某圓的半徑為10cm，用祖沖之的“密率”（π≈22/7）計(jì)算該圓的周長(zhǎng)，其結(jié)果與精確值的誤差最接近（）A.0.01cmB.0.03cmC.0.05cmD.0.07cm解析：圓的周長(zhǎng)公式為C=2πr。精確值取π≈3.1415926，周長(zhǎng)C?≈2×3.1415926×10≈62.831852cm；用密率計(jì)算C?=2×(22/7)×10≈62.857143cm。誤差Δ=C?-C?≈0.025291cm，最接近0.03cm。故選B。3.楊輝三角的規(guī)律探索南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中記載了“開(kāi)方作法本源圖”（即楊輝三角），其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：111121133114641……根據(jù)規(guī)律，第8行從左向右第3個(gè)數(shù)是（）A.21B.28C.36D.56解析：楊輝三角第n行（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）的第k個(gè)數(shù)（從0開(kāi)始計(jì)數(shù)）為組合數(shù)C(n,k)。第8行對(duì)應(yīng)n=7，第3個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)k=2，故C(7,2)=21。故選A。4.《幾何原本》中的邏輯推理古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出“五條公設(shè)”，奠定了平面幾何的邏輯基礎(chǔ)。下列命題中，與《幾何原本》中“平行公設(shè)”等價(jià)的是（）A.兩點(diǎn)之間線段最短B.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行D.三角形內(nèi)角和等于180°解析：“平行公設(shè)”即“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”，其等價(jià)命題包括“三角形內(nèi)角和等于180°”等。但選項(xiàng)中直接對(duì)應(yīng)的是B。故選B。5.秦九韶算法的應(yīng)用北宋數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)明的“秦九韶算法”是多項(xiàng)式求值的高效算法，其原理是通過(guò)反復(fù)應(yīng)用乘法和加法將n次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的疊加。例如，對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=2x?+3x3+4x2+5x+6，用秦九韶算法計(jì)算f(2)時(shí)，需要進(jìn)行的乘法次數(shù)為（）A.4B.5C.6D.7解析：秦九韶算法將多項(xiàng)式改寫(xiě)為f(x)=((2x+3)x+4)x+5)x+6，計(jì)算f(2)時(shí)需進(jìn)行4次乘法（依次計(jì)算2×2+3，結(jié)果×2+4，結(jié)果×2+5，結(jié)果×2+6）。故選A。6.劉徽的割圓術(shù)思想魏晉數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！逼浜诵乃枷肱c現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的（）一致。A.微積分中的極限概念B.幾何學(xué)中的相似三角形性質(zhì)C.代數(shù)學(xué)中的方程求解D.概率論中的隨機(jī)模擬方法解析：割圓術(shù)通過(guò)不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，逼近圓的面積，體現(xiàn)了“無(wú)限逼近”的極限思想，與微積分中的極限概念一致。故選A。7.斐波那契數(shù)列的文化意義意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《算盤(pán)全書(shū)》中提出“兔子問(wèn)題”，衍生出斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21……若記該數(shù)列為{F?}（n∈N*），則下列結(jié)論正確的是（）A.F??=55B.F??是偶數(shù)C.F???=F???+F?D.數(shù)列{F?}的前n項(xiàng)和S?=F???-1解析：斐波那契數(shù)列的定義為F?=1，F(xiàn)?=1，F(xiàn)???=F???+F?（n≥1），故C正確；F??=55（1,1,2,3,5,8,13,21,34,55），A正確；F??=6765（奇數(shù)），B錯(cuò)誤；前n項(xiàng)和S?=F?+F?+…+F?=F???-1（如S?=1+1+2=4=F?-1=5-1=4），D正確。本題為單選題，最全面的正確選項(xiàng)是C。8.現(xiàn)代密碼學(xué)中的數(shù)學(xué)原理RSA加密算法是基于大數(shù)分解難題設(shè)計(jì)的，其安全性依賴于“將大整數(shù)分解為素因數(shù)的乘積在計(jì)算上不可行”。若某加密密鑰中的素?cái)?shù)p=7，q=13，則該算法生成的公鑰n=pq與私鑰中φ(n)（歐拉函數(shù)，φ(n)=(p-1)(q-1)）的值分別為（）A.n=91，φ(n)=72B.n=91，φ(n)=84C.n=21，φ(n)=12D.n=21，φ(n)=20解析：n=pq=7×13=91，φ(n)=(7-1)(13-1)=6×12=72。故選A。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）9.《周髀算經(jīng)》中的勾股定理《周髀算經(jīng)》記載：“勾廣三，股修四，徑隅五?！比裟持苯侨切蔚摹肮伞遍L(zhǎng)為12，斜邊（徑隅）長(zhǎng)為13，則其“勾”長(zhǎng)為_(kāi)_____。解析：根據(jù)勾股定理a2+b2=c2，設(shè)勾長(zhǎng)為a，股長(zhǎng)b=12，斜邊c=13，則a2=132-122=25，解得a=5。答案：510.朱世杰的“垛積術(shù)”元代數(shù)學(xué)家朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中研究了“三角垛”：“三角垛，下廣一面十二個(gè)，上尖，問(wèn)計(jì)幾何？”其本質(zhì)是求等差數(shù)列1，3，6，10，…（第n項(xiàng)為n(n+1)/2）的前n項(xiàng)和。若“下廣一面十二個(gè)”，即n=12，則該三角垛的總數(shù)為_(kāi)_____。解析：三角垛總數(shù)公式為S?=1+3+6+…+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/6。當(dāng)n=12時(shí)，S??=12×13×14/6=364。答案：36411.笛卡爾坐標(biāo)系的創(chuàng)立法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的平面直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。若點(diǎn)A（-1，2）與點(diǎn)B（3，m）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則m=______。解析：關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)互換，故點(diǎn)B（3，m）的對(duì)稱點(diǎn)為（m，3），即點(diǎn)A（-1，2），因此m=-1。答案：-112.華羅庚的優(yōu)選法我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚推廣的“優(yōu)選法”（黃金分割法）在生產(chǎn)實(shí)踐中廣泛應(yīng)用。若某試驗(yàn)區(qū)間為[1，5]，利用0.618法選取試點(diǎn)，則第一個(gè)試點(diǎn)的位置為_(kāi)_____（精確到0.01）。解析：黃金分割法中，第一個(gè)試點(diǎn)x?=a+0.618(b-a)，其中區(qū)間[a,b]=[1,5]，則x?=1+0.618×(5-1)=1+2.472=3.472≈3.47。答案：3.47三、解答題（本大題共3小題，共40分）13.《海島算經(jīng)》中的測(cè)量問(wèn)題（12分）劉徽在《海島算經(jīng)》中提出“望海島”問(wèn)題：“今有望海島，立兩表齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合。從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合。問(wèn)島高及去表各幾何？”（注：1步=6尺，1丈=10尺，結(jié)果用“丈”表示）參考解法：設(shè)島高為H（丈），前表到島的距離為d（步），表高h(yuǎn)=3丈=30尺=5步（1步=6尺）。根據(jù)相似三角形性質(zhì)：從前表觀測(cè)：H/(d+123)=h/123從后表觀測(cè)：H/(d+1000+127)=h/127聯(lián)立方程解得H=1255步=1255×6尺=7530尺=753丈，d=30750步。答案：島高753丈，去表30750步（換算為丈：30750×6尺=184500尺=18450丈）。14.數(shù)學(xué)史上的“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”（14分）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，即一切量都可表示為整數(shù)或整數(shù)之比。但該學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線長(zhǎng)度√2無(wú)法表示為兩個(gè)整數(shù)之比，引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。（1）證明√2是無(wú)理數(shù)；（7分）（2）若將√2精確到小數(shù)點(diǎn)后三位，其近似值為1.414，求√2-1.414的絕對(duì)值（誤差），并說(shuō)明該誤差是否小于10?3。（7分）解析：（1）反證法：假設(shè)√2是有理數(shù)，設(shè)√2=p/q（p、q為互質(zhì)整數(shù)，q>0），則p2=2q2，故p為偶數(shù)，設(shè)p=2k，代入得q2=2k2，q也為偶數(shù)，與p、q互質(zhì)矛盾，故√2是無(wú)理數(shù)。（2）|√2-1.414|≈|1.41421356-1.414|=0.00021356<0.001=10?3，誤差小于10?3。15.斐波那契數(shù)列與黃金分割（14分）斐波那契數(shù)列{F?}滿足F?=1，F(xiàn)?=1，F(xiàn)???=F???+F?，其相鄰兩項(xiàng)的比值F???/F?逐漸逼近黃金分割率φ=(√5-1)/2≈0.618。（1）計(jì)算F??/F?的值，并與φ比較，求其絕對(duì)誤差；（7分）（2）若某矩形的長(zhǎng)和寬之比為φ，且寬為10cm，求該矩形的面積（精確到0.1cm2）。（7分）解析：（1）F?=34，F(xiàn)??=55，F(xiàn)??/F?=55/34≈1.6176，φ≈0.618（注意題目中φ定義為F???/F?的極限，實(shí)際黃金分割率通常指(√5-1)/2≈0.618，此處可能為題目表述誤差，按F?/F??=34/55≈0.6182，與φ≈0.618的誤差為0.6182-0.618=0.0002）。（2）設(shè)長(zhǎng)為a，寬b=10cm，a/b=φ?1=(√5+1)/2≈1.618，故a≈10×1.618=16.18cm，面積S=16.18×10≈161.8cm2。四、開(kāi)放題（本大題共1小題，10分）16.數(shù)學(xué)文化的傳承與創(chuàng)新結(jié)合本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，談?wù)勚袊?guó)古代數(shù)學(xué)成就對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的啟示，并舉例說(shuō)明如何在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中融入數(shù)學(xué)文化元素。參考答案要點(diǎn)：?jiǎn)⑹荆鹤⒅貙?shí)際應(yīng)用（如《九章算術(shù)》的問(wèn)題解決導(dǎo)向）、強(qiáng)調(diào)邏輯推理（如劉徽的割圓術(shù)）、培養(yǎng)算法思想（如秦九韶算法）。舉例：在函數(shù)教學(xué)中引入斐波那契數(shù)列的