2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)寫作表達(dá)試題一、數(shù)學(xué)概念闡釋題（本題共2小題，每題20分，共40分）1.函數(shù)概念的形成與應(yīng)用請(qǐng)結(jié)合具體實(shí)例，闡釋函數(shù)概念中“兩個(gè)非空數(shù)集間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”這一核心要素，并分析以下問題：（1）在初中學(xué)習(xí)的“一次函數(shù)”與高中階段的“函數(shù)”定義有何聯(lián)系與區(qū)別？（2）若某電商平臺(tái)的商品銷量(y)（件）與單價(jià)(x)（元）滿足關(guān)系(y=-0.5x+100)（(0<x<200)），請(qǐng)用函數(shù)語言描述銷量隨單價(jià)變化的規(guī)律，并說明該函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性。（3）結(jié)合生活實(shí)例，說明為什么函數(shù)的定義域需要根據(jù)實(shí)際問題確定，而非僅由表達(dá)式本身決定。2.向量運(yùn)算的幾何意義與代數(shù)表達(dá)向量作為“既有大小又有方向的量”，其運(yùn)算規(guī)則同時(shí)具備幾何直觀與代數(shù)嚴(yán)謹(jǐn)性。請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）用圖形語言描述向量加法的“三角形法則”和“平行四邊形法則”，并證明兩者在非零不共線向量運(yùn)算中的等價(jià)性。（2）已知向量(\vec{a}=(3,4))，(\vec=(1,-2))，計(jì)算(2\vec{a}-3\vec)的坐標(biāo)，并解釋其幾何意義。（3）在物理學(xué)中，力、速度等物理量常用向量表示。請(qǐng)舉例說明向量數(shù)量積(\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta)在解決力學(xué)問題中的應(yīng)用（需包含公式中各量的物理意義說明）。二、數(shù)學(xué)推理與證明題（本題共2小題，每題25分，共50分）3.數(shù)列求和的邏輯構(gòu)建等差數(shù)列與等比數(shù)列是刻畫均勻變化規(guī)律的重要模型。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，且(a_{n+1}-a_n=2n)（(n\in\mathbb{N}^*)）：（1）寫出數(shù)列的前4項(xiàng)，并猜想通項(xiàng)公式(a_n)；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想；（3）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)，并說明該求和過程運(yùn)用的“裂項(xiàng)相消法”的核心思想。4.立體幾何中的空間想象與證明如圖，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，棱長為2，(E)為(BC)中點(diǎn)，(F)為(A_1D_1)中點(diǎn)。（1）畫出直線(A_1E)與平面(B_1C_1F)的交點(diǎn)(P)，并說明作圖依據(jù)；（2）求證：平面(A_1BE\perp)平面(B_1C_1F)；（3）求三棱錐(P-B_1C_1F)的體積，并闡述“等體積法”在求不規(guī)則幾何體體積中的優(yōu)勢(shì)。三、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析題（本題共1小題，50分）5.校園垃圾分類效率優(yōu)化模型為提升校園垃圾分類效率，某學(xué)校計(jì)劃在教學(xué)樓設(shè)置分類垃圾桶?，F(xiàn)收集到以下數(shù)據(jù)：教學(xué)樓每層有學(xué)生300人，課間10分鐘內(nèi)平均每人產(chǎn)生1件垃圾；每個(gè)垃圾桶的服務(wù)半徑為5米（即學(xué)生步行距離不超過5米愿意使用），超過則傾向于隨意丟棄；垃圾桶單價(jià)為150元/個(gè)，每日維護(hù)成本5元/個(gè)，學(xué)校計(jì)劃投入預(yù)算不超過2000元。請(qǐng)完成以下建模任務(wù)：（1）若每層樓走廊長40米（直線型），為使所有學(xué)生都在服務(wù)范圍內(nèi)，至少需設(shè)置多少個(gè)垃圾桶？請(qǐng)建立“垃圾桶數(shù)量-服務(wù)范圍”的函數(shù)關(guān)系并求解。（2）假設(shè)每個(gè)垃圾桶每日可減少10%的垃圾丟棄量，若初始丟棄率為20%，寫出“垃圾桶數(shù)量(n)”與“每日減少丟棄垃圾件數(shù)(y)”的函數(shù)表達(dá)式（丟棄率=丟棄垃圾數(shù)/總垃圾數(shù)）。（3）綜合成本預(yù)算與垃圾減量效果，為學(xué)校提供最優(yōu)的垃圾桶設(shè)置方案，并說明建模過程中用到的數(shù)學(xué)思想（如優(yōu)化思想、函數(shù)建模思想等）。四、數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新題（本題共1小題，30分）6.數(shù)學(xué)史中的思想傳承中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”（即直角三角形內(nèi)切圓直徑問題）。（1）用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言表述該問題，并推導(dǎo)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式(r=\frac{a+b-c}{2})（其中(a,b)為直角邊，(c)為斜邊）。（2）類比上述問題，若在棱長為3的正方體中“容球”（即內(nèi)切球），求球的體積與正方體體積之比；若“容半球”（半球底面與正方體底面重合，球面與正方體頂面相切），體積之比又為多少？（3）從《九章算術(shù)》的“問題解決”到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“公理化體系”，談?wù)勀銓?duì)數(shù)學(xué)發(fā)展中“實(shí)用需求”與“邏輯嚴(yán)謹(jǐn)”關(guān)系的理解。五、開放探究題（本題共1小題，30分）7.函數(shù)性質(zhì)的拓展探究我們學(xué)過的基本函數(shù)中，一次函數(shù)(f(x)=kx+b)具有“線性可加性”（即(f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2))當(dāng)且僅當(dāng)(b=0)）。請(qǐng)自主選擇一個(gè)你感興趣的函數(shù)性質(zhì)（如奇偶性、周期性、凹凸性等），完成以下探究：（1）給出該性質(zhì)的嚴(yán)格定義，并舉例說明滿足與不滿足該性質(zhì)的函數(shù)；（2）構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足“奇函數(shù)”和“周期為(\pi)”的函數(shù)，并用代數(shù)推理與圖像法驗(yàn)證其性質(zhì)；（3）查閱資料，說明該性質(zhì)在高等數(shù)學(xué)或?qū)嶋H領(lǐng)域（如信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)分析等）的應(yīng)用，要求引用具體案例并解釋原理。注意事項(xiàng)：所有題目需寫