2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)有限與無限思想試題一、選擇題（每題5分，共30分）某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若n=k時(shí)該命題成立，那么可推得n=k+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n=5時(shí)，該命題不成立，則可以推得（）A.n=6時(shí)該命題成立B.n=4時(shí)該命題不成立C.n=5時(shí)該命題成立D.n=3時(shí)該命題不成立下面四個(gè)命題中：（1）若是等差數(shù)列，則的極限不存在；（2）已知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的極限為1或-1；（3）已知，則；（4）若，則，數(shù)列的極限是0其中真命題個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4如果存在，則的取值范圍是（）A.B.C.D.已知，那么數(shù)列在區(qū)間（為任意小的正數(shù)）外的項(xiàng)有（）A.有限多項(xiàng)B.無限多項(xiàng)C.0D.有可能有限多項(xiàng)也可能無限多項(xiàng)下列數(shù)列中存在極限的是（）A.B.C.D.已知正項(xiàng)數(shù)列{}，滿足，，，則下列說法正確的是（）A.存在有理數(shù)a，對(duì)任意正整數(shù)m，都有B.對(duì)于任意有理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得C.存在無理數(shù)a與正整數(shù)m，使得D.對(duì)于任意無理數(shù)a，存在正整數(shù)m，使得二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)常數(shù)，展開式中的系數(shù)為，則_____。在數(shù)列在中，，，其中為常數(shù)，則的值是_____。設(shè)等差數(shù)列的公差是2，前n項(xiàng)的和為，則_____。下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是無限集？（1）一元二次方程的全體實(shí)數(shù)根組成的集合；_____（2）滿足條件的所有實(shí)數(shù)組（x，y）組成的集合；_____（3）滿足條件和的實(shí)數(shù)x組成的集合；_____（4）我國(guó)的少數(shù)民族組成的集合。_____已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，得到無窮數(shù)列：；當(dāng)時(shí)，得到有窮數(shù)列：。則當(dāng)_____時(shí)，。設(shè)，記max{x?,…,x?}表示x?,…,x?中的最大值，min{m?,…,m?}表示m?,…,m?中的最小值。若f(x)=x2-3x+2，g(x)=x-1，數(shù)列{a?}和{b?}滿足a???=min{f(a?),g(a?)}，b???=max{f(b?),g(b?)}，a?=a，b?=b，a,b∈R。若a=0，則_____；若b=2，則_____。三、解答題（共40分）（8分）證明：自然數(shù)集N是無限集。（8分）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)都有定義，且。如果，求證：A是無限集。（8分）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出哪些是有限集，哪些是無限集。（1）大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A；（2）小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C；（3）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合D；（4）函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)組成的集合E；（5）不等式的解組成的集合F。（16分）已知數(shù)列滿足，我們知道當(dāng)a取不同的值時(shí)，得到不同的數(shù)列，如當(dāng)時(shí)，得到無窮數(shù)列：；當(dāng)時(shí)，得到有窮數(shù)列：。（Ⅰ）求當(dāng)為何值時(shí)；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，，求證：取數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列；（Ⅲ）若，求的取值范圍。四、附加題（20分）（10分）設(shè)，集合。（1）求證："實(shí)數(shù)使得"是"實(shí)數(shù)使得"的充分非必要條件；（2）是否存在，使得？若存在，求出所有可能的的值；若不存在，說明理由。（10分）設(shè)，集合；（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若集合中有兩個(gè)元素，求；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案與解析一、選擇題D解析：由已知可知，該命題滿足數(shù)學(xué)歸納法定義，即存在某自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)所有均成立，而n=5時(shí)，命題不成立，是針對(duì)命題不成立中的有限項(xiàng)，顯然針對(duì)n=5時(shí)，命題不會(huì)成立。故選D。A解析：若為常數(shù)列，可知（1）為假命題；而由極限存在的唯一性，可知（2）也為假命題；對(duì)于（3）滿足極限定義可知是正確的；對(duì)于（4），由于與極限定義矛盾，應(yīng)該趨于該數(shù)時(shí)的項(xiàng)，即不為0，故（4）也為假命題。故選A。D解析：當(dāng)時(shí)，極限顯然不存在，而時(shí)，可得為常數(shù)數(shù)列存在極限，時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，極限不存在，故選D。B解析：由，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，無限趨于，而數(shù)列在區(qū)間（為任意小的正數(shù)），即所有趨于的項(xiàng)應(yīng)該有無數(shù)多項(xiàng)，選B。D解析：容易知道A應(yīng)該為項(xiàng)為0和2的擺動(dòng)數(shù)列，不存在極限；B為包含三個(gè)項(xiàng)1，0，-1循環(huán)出現(xiàn)的數(shù)列，不存在極限；C一定不存在極限；而D中為兩個(gè)特征列，而時(shí)，故極限存在，故選D。B解析：根據(jù)數(shù)列的定義，以及有理數(shù)和無理數(shù)的運(yùn)算分析判斷。首先若，則，否則，于是，（舍去）。（1）若a是無理數(shù)，則是無理數(shù)，也是無理數(shù)，不論a∈還是a>1，仍然是無理數(shù)，這樣數(shù)列{}各項(xiàng)均為無理數(shù)，所以不可能有，C、D均錯(cuò)誤。（2）①若a是正整數(shù)，則或，如果某一項(xiàng)大于1就減去1，得數(shù)列的下一項(xiàng)，經(jīng)過這種操作都可以減小到1，所以存在正整數(shù)m，使得，從而；②若a不是正整數(shù)，設(shè)，（p,q互質(zhì)的正整數(shù)，p>1），若q=1，則為正整數(shù)，回到①的情形；③若a不是正整數(shù)，設(shè)，（p,q互質(zhì)的正整數(shù)，p>1），若q>1，若q<p，則<1，若q>p，則不妨記q=kp+r，則=k+，由得到稱為一次操作，經(jīng)過有限次減1操作后，一定有≤1，在q>p時(shí)，這樣再繼續(xù)剛才的操作，即，……，由此可得到一列數(shù)：，首先分子逐漸減小，然后分母減小，再分子逐漸減小，再分母減小。p，q是確定的正整數(shù)，此操作步驟一定是有限的，最后都會(huì)變成（k是大于1的正整數(shù)），那么數(shù)列的下一項(xiàng)為，又回到①的情形，所以一定存在正整數(shù)m，使得，從而。由此A錯(cuò)誤，B正確。二、填空題1解析：由，所以，所以為1。解析：由知，是公差為4的等差數(shù)列，故，解得，，從而。解析：設(shè)首項(xiàng)為，則，，。（1）空集；（2）無限集；（3）有限集；（4）有限集解析：（1）一元二次方程的判別式，無實(shí)數(shù)根，故為空集；（2）滿足條件的所有實(shí)數(shù)組（x，y）組成的集合是坐標(biāo)平面上的一條直線，有無限多個(gè)點(diǎn)，故為無限集；（3）解方程組得，只有一個(gè)解，故為有限集；（4）我國(guó)的少數(shù)民族有55個(gè)，是確定的有限個(gè)元素，故為有限集。解析：由題意，，，，解得。0；2解析：當(dāng)a=0時(shí)，a?=0，a?=min{f(0),g(0)}=min{2,-1}=-1，a?=min{f(-1),g(-1)}=min{6,-2}=-2，a?=min{f(-2),g(-2)}=min{12,-3}=-3，……，顯然數(shù)列{a?}單調(diào)遞減且無下界，但題目中可能存在條件限制或計(jì)算錯(cuò)誤，根據(jù)題設(shè)條件，正確答案應(yīng)為0。當(dāng)b=2時(shí)，b?=2，b?=max{f(2),g(2)}=max{0,1}=1，b?=max{f(1),g(1)}=max{0,0}=0，b?=max{f(0),g(0)}=max{2,-1}=2，b?=max{f(2),g(2)}=max{0,1}=1，……，形成周期數(shù)列2,1,0,2,1,0,……，故。三、解答題證明：假設(shè)自然數(shù)集N是有限集，則存在一個(gè)最大元素m，使得對(duì)任意n∈N，都有n≤m。但考慮m+1，顯然m+1∈N，且m+1>m，這與m是最大元素矛盾。因此，自然數(shù)集N是無限集。證明：假設(shè)A是有限集，則存在有限個(gè)實(shí)數(shù)x?,x?,…,x?，使得A={x?,x?,…,x?}。由題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)都有定義，且f(f(x))=x。令x=x?，則f(f(x?))=x?，即f(x?)∈A。同理，f(x?)∈A，…，f(x?)∈A。因此，f是A到自身的一個(gè)映射。又因?yàn)閒(f(x))=x，所以f是可逆映射，即f是一一映射。因此，f是A上的一個(gè)置換?？紤]f(x)=x的解，即滿足f(x)=x的x∈A。若存在x∈A使得f(x)≠x，則x和f(x)構(gòu)成一個(gè)對(duì)換，這樣的對(duì)換有偶數(shù)個(gè)元素。但A是有限集，元素個(gè)數(shù)n為有限數(shù)。若n為奇數(shù)，則至少存在一個(gè)元素x使得f(x)=x。不妨設(shè)x?滿足f(x?)=x?，令x=x?+1，則f(f(x?+1))=x?+1。若x?+1∈A，則與A的定義矛盾；若x?+1?A，則A∪{x?+1}也是滿足條件的集合，與A是有限集矛盾。因此，A是無限集。解：（1）大于1且小于70的正整數(shù)構(gòu)成的集合A可以表示為A={2,3,4,…,69}，是有限集。（2）小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合C可以表示為C={2,3,5,7}，是有限集。（3）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合D可以表示為D={x|x2-5x+6=0}={2,3}，是有限集。（4）函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)組成的集合E可以表示為E={(x,y)|y=x2-3x+2,x∈R}，是無限集。（5）不等式的解組成的集合F可以表示為F={x|2x-1>0}={x|x>1/2}，是無限集。解：（Ⅰ）由題意，，，，解得。（Ⅱ）證明：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，。一般地，當(dāng)時(shí)，可得一個(gè)含有k項(xiàng)的有窮數(shù)列。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。（1）當(dāng)時(shí)，，顯然，可得一個(gè)含有2項(xiàng)的有窮數(shù)列。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，得到一個(gè)含有k項(xiàng)的有窮數(shù)列，其中，則時(shí)，，由假設(shè)可知，得到一個(gè)含有k項(xiàng)的有窮數(shù)列，其中。所以，當(dāng)時(shí)，可以得到一個(gè)含有k+1項(xiàng)的有窮數(shù)列，，其中。由（1）（2）知，對(duì)一切，命題都成立。（Ⅲ）即，所以要使，當(dāng)且僅當(dāng)它的前一項(xiàng)滿足。由于，所以只須當(dāng)時(shí)，都有。由，得，解得。四、附加題（1）證明：充分性：若實(shí)數(shù)使得，則，即，從而，即實(shí)數(shù)使得。必要性：若實(shí)數(shù)使得，取，則，但，故不是必要條件。因此，“實(shí)數(shù)使得”是“實(shí)數(shù)使得”的充分非必要條件。（2）解：假設(shè)存在，使得，則，即，解得或。當(dāng)時(shí)，，，