一元二次不等式及其解法一許多實際問題都可以轉(zhuǎn)化為不等式問題，例如：

問題如今，智慧農(nóng)業(yè)深入民心，通過科學(xué)種植可以大幅提高農(nóng)產(chǎn)品的產(chǎn)量和品質(zhì).實踐證明，果樹栽培過程中，如果栽種密度過大，果樹之間的透氣性就會收到影響，不能保證有足夠的光照，水果的產(chǎn)量和品質(zhì)都會收到影響.通過數(shù)據(jù)分析，在某果園種植面積不變的情況下，如果種植50棵果樹，平均每棵樹可以產(chǎn)蘋果600個.如果種植密度增加，每多種一棵樹，平均每棵樹就會減少產(chǎn)果5個.如果使水果總產(chǎn)量不少于33000個，應(yīng)該如何安排果樹種植數(shù)量？一元二次不等式及其解法一

分析按照目前情況，果園水果產(chǎn)量為50×600=30000（個），所以需要增種果樹才能增產(chǎn).

設(shè)要增種x棵果樹，增種后平均每棵樹產(chǎn)果（600-5x）個，根據(jù)題意得（600-5x）（50+x）≥33000，整理得-5x2+350x-3000≥0，即x2-70x+600≤0.只要求得以上不等式的解集，就得到了問題的答案.一元二次不等式及其解法一我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．怎樣求上面一元二次不等式的解集呢？從2.2節(jié)我們知道，一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)有著密切的聯(lián)系，一元二次方程的根就是對應(yīng)二次函數(shù)的零點．那么，一元二次不等式和相應(yīng)的二次函數(shù)是否也有類似的聯(lián)系呢？一元二次不等式及其解法一解一元二次方程x2－70x+600=0，得兩個實數(shù)根x1=10，x2=60．然后畫出二次函數(shù)y=x2－70x+600的圖象，如圖2.3-1所示.一元二次不等式及其解法一觀察圖象可知，當(dāng)x<10或x>60時，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時y>0，即x2－70x+600>0；當(dāng)10<x<60時，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時y<0，即x2－70x+600<0．所以，一元二次不等式x2－70x+600≤0的解集是｛x|10≤x≤60｝.所以，當(dāng)增種的果樹數(shù)量在10~60棵的范圍內(nèi)時，水果總產(chǎn)量不會少于33000個.一元二次不等式及其解法一其實，上述方法可以推廣到求一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集.我們可由二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的關(guān)系，先求出對應(yīng)一元二次方程的根，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系確定一元二次不等式的解集.由于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象可根據(jù)零點個數(shù)分為Δ>0，Δ=0，Δ<0三種情況，因此，我們可分三種情況來討論對應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c(a>0)與ax2+bx+c<0(a>0)的解集.一元二次不等式及其解法一計算判別式Δ＝b2－4ac.

1.當(dāng)Δ＞0時，先求出方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1和x2(不妨設(shè)x1＜x2)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖2.3-2(1)所示，因此，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)．一元二次不等式及其解法(1)

(2)

(3)圖2.3-2一

一元二次不等式及其解法一

一元二次不等式及其解法借助二次函數(shù)圖象的直觀性，得到求解一元二次不等式的通法，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，亦反映了函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)聯(lián).一一元二次不等式及其解法解不等式2x2－x－3≥0．

解方程2x2－x－3=0有兩個不相等的實數(shù)根

x1=－1，x2=．函數(shù)y=2x2－x－3的圖象如圖2.3-3所示，與x軸有兩個交點(－1，0)，

，由圖象得不等式2x2－x－3≥0的解集為

{x|x≤－1或x≥

}．例1y=2x2－x－3圖2.3-3一一元二次不等式及其解法解不等式4x2－4x＋1＞0.

解方程4x2－4x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根

x1=x2=．函數(shù)y＝4x2－4x＋1的圖象如圖2.3-4所示，與x軸僅有一個交點

，由圖象得不等式4x2－4x＋1＞0的解集為{x|x∈R且x≠}．例2y＝4x2－4x＋1圖2.3-4一一元二次不等式及其解法

例3y＝x2－4x＋5(1)圖2.3-5一一元二次不等式及其解法

y＝－x2＋4x－5(2)圖2.3-5一一元二次不等式及其解法解下列不等式：

(1)x2－x－6＜0；(2)－2x2＋x－5＜0；

(3)3x2＋2x＋＜0；(4)16－24x≤－9x2；

(5)(x＋1)2－6＞0；(6)(x－3)(x+3)>1.練習(xí)一一元二次不等式及其解法由求解一元二次不等式的方法與過程可知，一元二次不等式與相應(yīng)一元二次方程和二次函數(shù)有緊密的聯(lián)系，具體地，我們可用如下一張表格予以說明：一一元二次不等式及其解法續(xù)表一一元二次不等式及其解法不難發(fā)現(xiàn)，一元二次方程和一元二次不等式分別是二次函數(shù)函數(shù)值等于零和不等于零時的“局部”情形，而相應(yīng)一元二次方程和一元二次不等式的解都可由二次函數(shù)的圖象得出.例如，根據(jù)二次函數(shù)y=2x2－x－1的圖象，可得一元二次方程2x2－x－1=0的兩實數(shù)根分別為x1=－，x2=1，則一元二次不等式2x2－x－1>0的解集為{x|x<－

或x>1}，一元二次不等式2x2－x－1≤0的解集為{x|－

≤x≤1}.一一元二次不等式及其解法解不等式.

解原不等式等價于(－2x+5)(x－2)>0，即(2x－5)(x－2)<0，所以2<x<

.故原不等式的解集為.例4一一元二次不等式及其解法若對任意的實數(shù)x，一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

解由題意知，一元二次不等式x2+2(1+k)x+3+k>0的解集為R，于是對應(yīng)二次函數(shù)y=x2+2(1+k)x+3+k的圖象開口向上，且恒在x軸上方，所以Δ=4(1+k)2－4(3+k)<0，即4(k2+k－2)<0，求解該一元二次不等式得－2<k<1.例5一一元二次不等式及其解法已知不等式x2＋ax＋b＜0的解集為(－3，－1)，求實數(shù)a，b的值．

解由一元二次不等式解集的結(jié)構(gòu)知，－3和－1是一元二次方程x2＋ax＋b＝0的兩個實數(shù)根，所以解得例6一一元二次不等式及其解法

1.解不等式：(1)

；

(2)≥2.

2.當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程x2＋2(k－3)x＋4k＝0分別滿足：

(1)無實數(shù)根？