第1章三角形一、選擇題(每小題6分,共42分)1.(2025江蘇南京玄武期中)如圖所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足

分別是E,F,若BE=CF,則圖中全等三角形有

()

A.1對(duì)B.2對(duì)

C.3對(duì)D.4對(duì)

C

解析①∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠CFB=∠BEC=90°.∵BC=BC,BE=CF,∴Rt△BCF≌Rt△CBE(HL).②∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠AFC=∠AEB=90°.∵BE=CF,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACF(AAS).③設(shè)BE與CF相交于點(diǎn)O(圖略),∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠OFB=∠OEC=90°.由①知△BCF≌△CBE,∴BF=CE,又∵∠BOF=∠COE,∴△BOF≌△COE(AAS).故有3對(duì).2.(2025江蘇鎮(zhèn)江丹陽(yáng)期中)下列條件不能判定兩個(gè)直角三角

形全等的是

()A.一個(gè)銳角和一條邊對(duì)應(yīng)相等B.一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等C.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等D.一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等

A

解析

A.一個(gè)銳角和一條邊對(duì)應(yīng)相等,不能判定兩個(gè)直角三

角形全等,故符合題意;B.一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等,能判定全

等,符合AAS,故不符合題意;C.兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等,能判定全

等,符合SAS,故不符合題意;D.一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等,能

判定全等,符合HL,故不符合題意.3.(2025江蘇泰州期中)已知等腰三角形一腰上的高線與另一

腰的夾角為60°,那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于

()A.15°或75°

B.30°C.150°

D.150°或30°

D

解析根據(jù)題意,設(shè)在三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠A為

頂角,如圖(1),∠ABD=60°,則∠A=30°;如圖(2),∠ABD=60°,所以∠BAD=30°,所以∠BAC=180°-30°=150°.4.(2025江蘇連云港月考)四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示,對(duì)角

線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)△ABC為等腰三

角形時(shí),對(duì)角線AC的長(zhǎng)為

()A.2B.3C.4D.5

B

解析

已知AB=3,BC=4,所以當(dāng)三角形ABC是等腰三角形時(shí),AC=AB=3或AC=BC=4.因?yàn)樵谌切蜛DC中,AC<AD+CD,即AC<4,所以AC的長(zhǎng)為3.5.如圖,∠EAC=∠BAF,EA=BA,添加下面的條件,不能得到△ABC≌△AEF的是

()A.EF=BC

B.AF=ACC.∠E=∠B

D.∠C=∠F

A

解析∵∠EAC=∠BAF,∴∠EAC+∠CAF=∠BAF+∠CAF,即∠EAF=∠BAC,A.EA=BA,EF=BC,∠EAF=∠BAC,不能推出△ABC≌△AEF,

故本選項(xiàng)符合題意;B.EA=BA,∠EAF=∠BAC,AF=AC,利用全等三角形的判定定

理SAS,能推出△ABC≌△AEF,故本選項(xiàng)不符合題意;C.∠E=∠B,EA=BA,∠EAF=∠BAC,利用全等三角形的判定定

理ASA,能推出△ABC≌△AEF,故本選項(xiàng)不符合題意;D.∠F=∠C,∠EAF=∠BAC,EA=BA,利用全等三角形的判定定

理AAS,能推出△ABC≌△AEF,故本選項(xiàng)不符合題意.6.(2025江蘇鹽城月考)學(xué)校一角的形狀如圖所示,其中AB,BC,

CD表示圍墻,若在折線右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一座朗

讀亭,使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等,則點(diǎn)P是

()A.線段AC,BD的交點(diǎn)B.線段AB,BC垂直平分線的交點(diǎn)C.線段BC,CD垂直平分線的交點(diǎn)D.∠ABC,∠BCD的平分線的交點(diǎn)

D

解析點(diǎn)P是∠ABC,∠BCD的平分線的交點(diǎn),理由:過點(diǎn)P作

PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PH⊥CD于H,如圖所示,∵點(diǎn)P是∠ABC,∠BCD的平分線的交點(diǎn),∴PE=PF,PH=PF,∴PE=PF=

PH,即點(diǎn)P到AB,BC,CD的距離相等.

7.(2025江蘇鎮(zhèn)江期中)如圖,延長(zhǎng)△ABC的邊BA、BC,作∠ACF,∠EAC的平分線CP,AP交于點(diǎn)P,PM⊥BE,PN⊥BF,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是

()①BP平分∠ABC;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠CAB=2∠CPB;④C△ABC=2BM(C△ABC表示△ABC的周長(zhǎng)).A.1B.2C.3D.4

D

解析過P點(diǎn)作PH⊥AC于H點(diǎn),如圖,∵∠ACF,∠EAC的平分線CP,AP交于點(diǎn)P,PM⊥BE,PN⊥BF,PH⊥AC,∴PN=PH,PM=PH,∴PM=PN,∴BP平分∠ABC,∴①正確;∵∠PMA=∠PNB=90°,∴∠ABC+∠MPN=180°,∵∠PAM=∠PAC,∠PCN=∠PCA,∴∠APM=∠APH,∠CPN=∠CPH,∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,∴②正確;∵∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠PCN=∠PBC+∠CPB,∠ACF=2∠PCN,∠ABC=2∠PBC,∴2∠PCN=2∠PBC+∠BAC,∴∠BAC=2∠CPB,∴③正確;在

Rt△PBM和Rt△PBN中,BP=BP,PM=PN,∴△PBM≌△PBN

(HL),∴BM=BN,同理可得Rt△PAH≌Rt△PAM,Rt△PCH≌Rt△PCN,∴AH=AM,CH=CN,∴C△ABC=BA+BC+AC=BA+BC+AH+CH=BA+BC+AM+CN=BM+BN=2BM,∴④正確.二、填空題(每小題6分,共24分)8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,線段AB的垂直平分線分別交AC,AB于點(diǎn)D,E,連接BD.若CD=1,則AD的長(zhǎng)為_____.2

解析∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.9.(2025江蘇宿遷期中)如圖,在△ABC中,BC=6,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作BC的平行線分別交AB,AC于

點(diǎn)M,N,△AMN的周長(zhǎng)是13,則△ABC的周長(zhǎng)是_______.

19

解析∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O,∴∠MBO=∠CBO,∠NCO=∠BCO,∵M(jìn)N∥BC,∴∠MOB=∠CBO,∠NOC=∠BCO,∴∠MBO=∠MOB,∠NCO=∠NOC,∴MB=MO,NC=NO,∵△AMN的周長(zhǎng)是13,∴AM+MO+NO+AN=13,∴AM+MB+NC+AN=13,即AB+AC=13,又∵BC=6,∴△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=13+6=19.10.【新考向·尺規(guī)作圖】如圖,在△ABC中,AB=5,AC=8,BC=9,

以A為圓心,適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧,交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N.分

別以M,N為圓心,大于

MN的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點(diǎn)G,作射線AG,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在AC邊上,AF=

AB,連接DF,則△CDF的周長(zhǎng)為__________.

12

解析

∵AB=5,AC=8,AF=AB,∴FC=AC-AF=8-5=3.由作圖方法可得AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.在△ABD和△AFD中,

∴△ABD≌△AFD(SAS),∴BD=DF,∴△CDF的周長(zhǎng)為DF+FC+DC=BD+DC+FC=BC+FC=9+3=12.11.(2025江蘇蘇州吳中月考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為邊

BC上的中線,E為邊AC上一點(diǎn),連接BE交AD于點(diǎn)F,連接CF.(1)圖中的全等三角形共有_________對(duì).(2)若CE=3AE,且△CEF的面積為3,則△ABC的面積為______.

20

3

解析

(1)∵AB=AC,AD為邊BC上的中線,∴BD=CD,AD⊥BC,∴BF=CF,在△ABF和△ACF中,

∴△ABF≌△ACF(SSS),同理△BDF≌△CDF,△ABD≌△ACD,∴題圖中的全等三角形共有3對(duì).(2)∵CE=3AE,且△CEF的面積為3,∴△AEF的面積為1,∴△ACF的面積為4,∵△ABF≌△ACF,∴△ABF的面積為4,∴△ABE的面積為5,∵CE=3AE,∴△CBE的面積為15,∴△ABC的面積=5+15=20.三、解答題(共34分)12.(2025江蘇宿遷期中)(8分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥

BC,點(diǎn)E為BD上一點(diǎn),∠A=∠BEC,且AD=BE.求證:AB=EC.證明∵AD∥BC,∴∠ADB=∠EBC,在△ABD和△ECB中,

∴△ABD≌△ECB(ASA),∴AB=EC.13.(2025江蘇泰州期中)(12分)如圖,在△ABC中,AD是邊BC上

的高,CF是邊AB上的中線,DC=BF,DE⊥CF,垂足為E.(1)求證:E是CF的中點(diǎn);(2)求證:∠B=2∠BCF.證明

(1)連接DF,如圖.∵AD是邊BC上的高,∴∠ADB=90°,∵CF是邊AB上的中線,∴點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),∴DF=

AB=BF,∵DC=BF,∴DC=DF,∵DE⊥CF,∴E是CF的中點(diǎn).(2)由(1)可知DF=BF,DC=DF,∴∠FDB=∠B,∠BCF=∠DFC,∵∠FDB=∠BCF+∠DFC=2∠BCF,∴∠B=2∠BCF.14.(2025江蘇蘇州期中)(14分)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形,如

果具有公共的頂角頂點(diǎn),并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來,那么

就會(huì)形成一組全等的三角形,把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為

“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,若△ABC和△ADE是頂角相等的等腰三

角形,BC,DE分別是底邊,求證:BD=CE.(2)解決問題:如圖2,若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,

∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)A,D,E在同一條直線上,CM為△D