內(nèi)蒙古自治區(qū)小學(xué)五年級下學(xué)期數(shù)學(xué)第八單元測試卷-數(shù)學(xué)廣角（教師用卷）一、知識點(diǎn)講解（一）找次品的基本概念次品定義：在外觀完全相同的物品中，混有一個質(zhì)量不同（通常已知比合格品輕或重）的物品，稱為次品。本單元問題中均默認(rèn)只有一個次品。核心目標(biāo)：通過天平稱重的方法，用最少的次數(shù)保證找出次品，滲透優(yōu)化思想和化歸思想。（二）天平平衡原理與操作規(guī)則天平狀態(tài)分析：平衡：兩端物品質(zhì)量相等，次品在未稱量的物品中。不平衡：次品在較輕（或較重）的一側(cè)，具體方向需根據(jù)題目條件判斷（如題目明確次品較輕，則偏向輕側(cè)）。關(guān)鍵策略：將待測物品盡可能平均分成三組。例如：8個物品分為3、3、2三組，而非4、4分組，因?yàn)槭状畏Q量3vs3可快速縮小次品范圍至3個或2個，比4vs4分組更高效。（三）分組規(guī)則與最少次數(shù)規(guī)律分組原則：能均分則均分：如9個物品分為3、3、3。不能均分時：前兩組數(shù)量相同，第三組相差1。如10個物品分為3、3、4，11個物品分為4、4、3。次數(shù)規(guī)律：2~3個物品：1次（3個物品分1、1、1，稱量1次即可確定）。4~9個物品：2次（如9個分3組，首次稱量后范圍縮小至3個，二次稱量確定）。10~27個物品：3次（27是33，每增加3倍范圍，次數(shù)增加1次）。規(guī)律總結(jié)：若物品數(shù)量為N，最少次數(shù)n滿足3??1<N≤3?。（四）操作步驟分組標(biāo)記：用數(shù)字或符號標(biāo)記各組物品（如A、B、C組），避免混淆。首次稱量：將前兩組放天平兩端，根據(jù)平衡情況確定次品所在組。遞歸縮小范圍：對含次品的組重復(fù)分組稱量，直至剩余1個物品或可直接判斷。二、例題解析例1：基礎(chǔ)操作題（3個物品找次品）題目：有3瓶鈣片，其中1瓶少了3粒（次品較輕），用天平稱至少幾次能保證找出次品？解析：分組：將3瓶分為1、1、1三組，標(biāo)記為A、B、C。首次稱量：將A和B放在天平兩端。若不平衡：輕的一端為次品（如A輕，則A是次品）。若平衡：未稱量的C是次品。結(jié)論：只需1次即可保證找出次品。例2：進(jìn)階應(yīng)用題（8個物品找次品）題目：8個零件中有1個次品（次品較重），至少稱幾次能保證找出次品？解析：分組：按均分三組原則分為3、3、2（避免4、4分組，因4個需2次，而3、3、2最多需2次）。首次稱量：3個（A組）vs3個（B組）。情況1：平衡→次品在剩余2個（C組：C1、C2）。第二次稱量：C1vsC2，重的為次品（共2次）。情況2：不平衡→次品在重的一組（如A組重，含3個：A1、A2、A3）。第二次稱量：A1vsA2，若平衡則A3是次品；若不平衡，重的為次品（共2次）。結(jié)論：至少2次能保證找出次品。例3：綜合提升題（10個物品找次品）題目：10袋糖果中有1袋質(zhì)量不足（次品較輕），至少稱幾次能保證找出次品？解析：分組：10不能均分3組，按“前兩組相同，第三組多1”分為3、3、4。首次稱量：3袋（A組）vs3袋（B組）。情況1：平衡→次品在4袋（C組：C1-C4）。第二次分組：將C組分為1、1、2，稱量1vs1。若不平衡：輕的為次品（共2次）。若平衡：次品在剩余2袋，第三次稱量1vs1（共3次）。情況2：不平衡→次品在輕的3袋（如A組），第二次稱量1vs1，平衡則剩余1袋為次品，不平衡則輕的為次品（共2次）。結(jié)論：因需保證所有情況，取最壞結(jié)果，至少3次能保證找出次品。例4：易錯警示題（次品輕重未明確）題目：有2個零件，其中1個是次品（質(zhì)量不同，但不知輕重），至少稱幾次能保證找出次品？解析：錯誤思路：直接稱量1次，若不平衡則認(rèn)為輕的是次品（忽略次品可能重的情況）。正確方法：需借助已知正品（或標(biāo)記后二次稱量）。第一次稱量：零件1vs零件2，記錄天平傾斜方向（如左低右高）。假設(shè)零件1為正品，與零件2再次稱量（或用標(biāo)準(zhǔn)件對比），若仍傾斜則零件2為次品，并確定輕重；若平衡則零件1為次品。結(jié)論：需2次（若題目未提供標(biāo)準(zhǔn)件，至少2次才能判斷次品及輕重）。三、分層練習(xí)題（一）基礎(chǔ)鞏固題（A層）填空題（1）5個零件中有1個次品（較輕），至少稱（）次能保證找出次品；（2）27瓶水中有1瓶鹽水（較重），至少稱（）次能保證找出鹽水。判斷題（1）8個物品找次品，分成4、4兩組比3、3、2兩組更高效（）；（2）11個物品最少稱3次能保證找出次品（）。操作題有9盒巧克力，其中1盒少了2塊（次品較輕），用天平稱，寫出詳細(xì)步驟。（二）能力提升題（B層）應(yīng)用題（1）某工廠生產(chǎn)的14個零件中有1個次品（較輕），請設(shè)計分組方案并說明至少稱幾次能保證找出次品；（2）媽媽買了10袋洗衣粉，其中1袋重量不足（次品），若天平兩端最多放3袋，至少稱幾次能保證找出次品？策略分析題對比“15個物品分5、5、5三組”與“分4、4、7三組”，哪種方案更優(yōu)？說明理由。（三）拓展挑戰(zhàn)題（C層）復(fù)雜應(yīng)用題有8瓶礦泉水，其中2瓶是次品（均較輕），至少稱幾次能保證找出全部次品？（提示：分階段排除，先找1瓶次品，再找第2瓶）實(shí)際應(yīng)用題學(xué)校食堂有25袋大米，其中1袋受潮（較重），保管員只有一臺天平，且砝碼最多能稱3次，如何用最少步驟找出受潮大米？（四）解題步驟示范（以B層第1題為例）題目：14個零件，次品較輕，設(shè)計分組方案并求次數(shù)。步驟：首次分組：14分為5、5、4（因14=3×4+2，前兩組5個，第三組4個）。第一次稱量：5vs5。若平衡：次品在4個中，二次分組2、1、1，稱量2次（共3次）。若不平衡：次品在輕的5個中，二次分組2、2、1，稱量2次（共3次）。結(jié)論：至少3次能保證找出次品。（五）常見錯誤分析分組錯誤：將10個物品分為2、4、4（未遵循前兩組相同原則），導(dǎo)致次數(shù)增加。次數(shù)計算錯誤：認(rèn)為27個物品需9次（3×3），忽略33=27只需3次。忽略標(biāo)記：稱量后未記錄各組對應(yīng)物品，導(dǎo)致后續(xù)無法追溯次品來源。（六）教學(xué)建議動手操作：用硬幣、積木模擬稱量，記錄每次分組和天平狀態(tài)。規(guī)律總結(jié)：讓學(xué)生列表對比“物品數(shù)-次數(shù)”關(guān)系，自主發(fā)現(xiàn)3?規(guī)律。錯題收集