3.1勾股定理的探究（2）

題型一、勾股定理的證明方法

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型二、證明勾股定理

題型三、有關(guān)弦圖的計(jì)算問題

題型四、構(gòu)造勾股定理解決問題

勾股定理的題型一、勾股定理與展開圖最短路徑問題

能力提升題型二、勾股定理與三免形動(dòng)點(diǎn)問題

探究（2）

題型三、構(gòu)造直角三角形解決最值問題

拓展培優(yōu)

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一、勾股定理的證明方法

1.（24-25八年級(jí)上?河北保定?階段練習(xí)）利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如下圖所示的"趙爽弦圖"，在

用“趙爽弦圖”的面積驗(yàn)證勾股定理時(shí)，用到的相等關(guān)系是（）

1,7

B.3ab=(a-b)C.-2ab+(Q—byD.ab=，—(a—

2.（24-25八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能證明

勾股定理的是（）

3.（24-25八年級(jí)上?河南關(guān)B州?階段練習(xí)）利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形

可以驗(yàn)證公式（）

1/50

c

A.(a+Z?)(a-Z?)=?2-b2B.(a+by=a2+lab+b~

C.a2=c2-b2D.(a-6y-a~-2ab+b~

4.（24-25八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下列四幅圖中，不能驗(yàn)證

勾股定理的是（）

5.（23-24八年級(jí)?全國(guó)?單元測(cè)試）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對(duì)于甲、

乙兩種方案，下列判斷正確的是（）

甲乙

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

題型二、證明勾股定理

6.（24-25八年級(jí)上?上海,期末）本學(xué)期,我們學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的

周朝，當(dāng)時(shí)商高提出了"勾三股四弦五"的特例.中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且

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很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽.趙爽

創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.目前已知的勾股定理的證明

方法約有500多種.

⑴請(qǐng)寫出勾股定理的內(nèi)容.

（2）請(qǐng)寫出一種勾股定理的證明方法.

7.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）用圖1中四個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答

下列問題：

（2）利用（1）的關(guān)系式解答：如果大正方形的面積是25,且（0+=49,求小正方形的面積.

8.（24-25八年級(jí)上?山西運(yùn)城?期中）如圖①的網(wǎng)格中有一個(gè)正方形和四個(gè)全等的直角三角形.

圖①圖②

⑴請(qǐng)?jiān)趫D②中用圖①的正方形和四個(gè)三角形拼接成一個(gè)更大的正方形N3C。；

（2）如果圖①中的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為,斜邊長(zhǎng)為c,請(qǐng)你利用圖②拼成的圖形證明勾股定

理.

9.（24-25八年級(jí)上?福建三明?期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明了勾股定

理，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，圖1所示的“趙爽弦圖"是四個(gè)全等的直角三角形（兩

直角邊長(zhǎng)分別為。,b,且a>b,斜邊長(zhǎng)為C）和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.

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⑴請(qǐng)用兩種不同方法表示圖1中陰影部分面積H.（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）

方法1:5=;方法2：耳=；根據(jù)以上信息，可以得到等式

（2）將圖1中的2個(gè)直角三角形位置改變得到圖2,若。=10,6=5,求圖2中陰影部分的面積邑.

⑶圖3,將這四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接形成風(fēng)車狀圖案，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24,且6=3,

求該風(fēng)車狀圖案的總面積.

題型三、有關(guān)弦圖的計(jì)算問題

10.（24-25八年級(jí)上?遼寧遼陽?階段練習(xí)）有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，排列形式如圖1,把它們分割后拼

A.ab=2B.a~+b2=5

C.大正方形的邊長(zhǎng)是右D.大正方形的邊長(zhǎng)是百

11.（24-25八年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）如圖，是我因古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的

直角三角形拼接而成.若4B=17,4H=8,則正方形EFG8的邊長(zhǎng)是（）

12.（24-25八年級(jí)上?陜西咸陽?期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了"趙爽弦圖"，如圖

所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是29,每個(gè)

直角三角形的較短直角邊均為2,則中間小正方形（陰影部分）的周長(zhǎng)為（）

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B.14.5C.14D.12

13.（24-25八年級(jí)?天津河北,期中）如圖所示的"趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方

形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊是12,大正方形的面積是169,則小正方形的面積

14.（24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末）如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH,連結(jié)。尸并延長(zhǎng)，交3C于點(diǎn)若“方9BCD=5,E為N廠中點(diǎn)，則。尸的長(zhǎng)

15.（24-25八年級(jí)上?河南鄭州?期末）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)

正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為。，b（a<b）,斜邊長(zhǎng)為c.

G

圖①圖②

⑴請(qǐng)利用圖①證明:a2+b2=c\

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⑵如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形/BCDEFG",若該圖形的

周長(zhǎng)為80,OB=5,求該圖形的面積.

題型四、構(gòu)造勾股定理解決問題

16.（24-25八年級(jí)上?河南平頂山?階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題："問

沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知為田幾何？"問題

大意：如圖，在VA8C中，A8=13里，8c=14里，/C=15里，求VN8C的面積.請(qǐng)你解決該問題.

17.（24-25八年級(jí)?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a、b,

斜邊長(zhǎng)為c,則/+/=02.

（1）圖1為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法"，請(qǐng)你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式.利用以上所得的直

角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；

⑵如圖2,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)/、B,其中=由于某種

原因，由。到/的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)XG4、H、3在一條

直線上），并新修一條路CH,且測(cè)得S=6千米，/田=4千米，求新路C”比原路C/少多少

千米？

⑶在第（2）問中若4BW/C時(shí)，CH工AB,AC=8,BC=IO,AB=\2,設(shè)=求x的值.

能力提升題

題型一、勾股定理與展開圖最短路徑問題

18.（23-24八年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè)）已知某植物繞著樹干向上生長(zhǎng).

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A

（1）如果樹干的周長(zhǎng)（即圖中圓柱的底面周長(zhǎng)）為30cm,繞行一圈升高（即圓柱的高）40cm,則它繞行一

圈的長(zhǎng)度是多少？

⑵如果樹干的周長(zhǎng)為80cm,繞行一圈的長(zhǎng)度是100cm,繞10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少？

19.（23-24九年級(jí)下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm,寬為10cm,高為15cm,點(diǎn)B與點(diǎn)C

之間的距離為5cm,一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖.

正面

⑴求點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離;

（2）螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是多少？

20.（23-24八年級(jí)?江西贛州?期中）如圖①，圓柱的底面直徑為6cm,高12cm,螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，探

究螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路徑長(zhǎng)多少厘米:

CB

A

圖①圖②

⑴圖②是將圓柱側(cè)面沿/C裁剪后展開形成的四邊形44'C'C,點(diǎn)3在線段上，求CC的長(zhǎng)（兀取3）；

（2）在側(cè)面展開圖形中畫出螞蟻爬行的最短路徑，并求出最短路徑的長(zhǎng)度.

21.（23-24八年級(jí)?河北滄州,期中）【閱讀材料】

如圖1,有一個(gè)圓柱，它的高為12cm,底面圓的周長(zhǎng)為18cm,在圓柱下底面的點(diǎn)/處有一只螞蟻，它想吃

到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？

7/50

B

圖1

【方法探究】

對(duì)于立體圖形中求最短路程問題，應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形，再確定/,8兩點(diǎn)的位置，依據(jù)"兩點(diǎn)之

間線段最短"，結(jié)合勾股定理，解決相應(yīng)的問題.如圖2,在圓柱的側(cè)面展開圖中，點(diǎn)4,3對(duì)應(yīng)的位置如圖

所示，利用勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程線段N5的長(zhǎng).

圖2

【方法應(yīng)用】

(1)如圖3,圓柱形玻璃容器的高為18cm,底面周長(zhǎng)為60cm,在外側(cè)距下底1cm的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與

蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點(diǎn)尸處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走

的最短路線的長(zhǎng)度.

圖3

(2)如圖4,長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)48=2C=6cm,AA,=14cm,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)G開始以Icm/s的速度

在盒子的內(nèi)部沿棱CC向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲

乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？

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Di無蓋C

圖4

22.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題:

詩中將軍在觀望烽火之后從山腳的/點(diǎn)出發(fā)，奔向小河旁邊的尸點(diǎn)飲馬，飲馬后再到2點(diǎn)宿營(yíng)，若/,B

到水平直線/（/表示小河）的距離分別是2,1,N8兩點(diǎn)之間水平距離是4.

⑴請(qǐng)作出使4P+P5和最小的點(diǎn)P.

（2）請(qǐng)求出/尸+P8最小值.

題型二、勾股定理與三角形動(dòng)點(diǎn)問題

23.（23-24八年級(jí)上?湖南衡陽?階段練習(xí)）如圖，V/BC中，ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動(dòng)點(diǎn)尸

從點(diǎn)C開始，按Cf/f的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1c加，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為/秒.

（1）出發(fā)2秒后，求A/BP的周長(zhǎng).

（2）問/滿足什么條件時(shí)，ABCP為直角三角形？

⑶另有一點(diǎn)。，從點(diǎn)C開始，按N-C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2CTW,若P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),

當(dāng)尸、。中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng),為何值時(shí)，直線尸。把V/8C的周長(zhǎng)分成相等的兩

部分？

題型三、構(gòu)造直角三角形解決最值問題

24.（23-24九年級(jí)上?江西南昌?開學(xué)考試）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難

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入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分

密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

某校數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)完勾股定理和實(shí)數(shù)后，進(jìn)行了如下的問題探索與分析：

（1）【提出問題】已知0<x<l,求Jl+Y+Jl+（1-的最小值

（2）【分析問題】由勾股定理，可以通過構(gòu)造直角三角形的方法，來分別表示長(zhǎng)度為"亨和Jl+（l-x）2的

線段，將代數(shù)求和轉(zhuǎn)化為線段求和問題.

【解決問題】

①如圖，我們可以構(gòu)造邊長(zhǎng)為1的正方形/BCD,P為8C邊上的動(dòng)點(diǎn).沒BP=x,則尸C=l-x.則

V177+7i+（i-x）2=線段+線段;

②在（1）的條件下，已知0<x<l,求Jl+x，+Jl+（l-x）2的最小值;

（3）【應(yīng)用拓展】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，求值7?-J（X_6）2+1的最大值.

25.（22-23八年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.

【知識(shí)運(yùn)用】

D

C

AB

（1）如圖，鐵路上48兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、。為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD1AB,

BCLAB,垂足分別為/、B,/。=25千米，5C=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為一米.

⑵在（1）的背景下，若42=40千米，/。=24千米，BC=16千米，現(xiàn)要在48上建造一個(gè)供應(yīng)站尸，使得

PC=PD,請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖中作出尸點(diǎn)的位置并求出4尸的距離.

⑶【知識(shí)遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，則代數(shù)式心+25+?9-x）2+49（其中0<x<9）最小

值為一

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c拓展培優(yōu)題

26.（24-25八年級(jí)上?安徽宿州?期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)"后，在它的左右肩上"生長(zhǎng)"

出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次"生長(zhǎng)"后，變成了如圖所示的

形狀圖，如果繼續(xù)"生長(zhǎng)”下去，它將變得"枝繁葉茂"，"生長(zhǎng)"了2024次后形成的圖形中所有的正方形的面

積和是（）

A.1012B.2023C.2024D.2025

27.（24-25八年級(jí)上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，在底面周長(zhǎng)為3米的華表上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從

/點(diǎn)到2點(diǎn)）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高為12米，則石柱上的雕龍有（）米.

A.3V17B.20C.15D.9亞

28.（24-25八年級(jí)上?湖南永州?階段練習(xí)）代數(shù)式+招二￥喜最小值為（）

A.4B.5C.1+2^5D.2+75

29.（24-25八年級(jí)上?河南焦作?期中）如圖，三級(jí)臺(tái)階每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是5cm,3cm和1cm,/和8是

這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)N上有一只螞蟻，想到點(diǎn)3去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)8

的最短路程長(zhǎng)為cm.

30.（24-25八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)

形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，朱入與朱出

的三角形全等，朱方與青方是兩個(gè)正方形.為便于敘述，將其繪成圖2,若記朱方對(duì)應(yīng)正方形GD出的邊長(zhǎng)

為。，青方對(duì)應(yīng)正方形/2CZ）的邊長(zhǎng)為6,已知6-。=3,a2+b?=29,則圖2中的陰影部分面積為.

3L（24-25八年級(jí)上?福建泉州?期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且對(duì)勾股定理

進(jìn)行理論證明.三國(guó)時(shí)期，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖"，用形數(shù)結(jié)合的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行詳細(xì)證明，這

幅."勾股圓方圖”就是著名的“趙爽弦圖如圖，小明利用正方形紙張畫出內(nèi)接的"趙爽弦圖"，正方

形EFGH的各頂點(diǎn)均在正方形/8CA的邊上.記正方形/8C。、正方形EFGH、正方形尸的面積分別

為邑,若正方形EFG8的邊長(zhǎng)為正，貝!]5+邑+$3=—.

32.（24-25八年級(jí)上?福建漳州?期中）【背景介紹】如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼

成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于1，另一種是等于四個(gè)直角

11

三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，-abx4+（b-a）92,從而得到等式，2=506x4+（6-°）7一,化簡(jiǎn)便得結(jié)論

a2+b2=c2.這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.

圖1圖2圖3

請(qǐng)你用“雙求法"解決下面兩個(gè)問題:

⑴如圖2,在RtA/3C中，4c3=90。，CO是48邊上的高，AC=3,BC=4,求CD的長(zhǎng)度；

（2汝口圖3,在A4BC中，是2C邊上的高，AB=15,AC=13,BC=14,設(shè)B0=x,求尤的值；

33.（24-25八年級(jí)上?甘肅張掖?期末）【教材變式】

【閱讀】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形

拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于邊長(zhǎng)的平方，另一種是

等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和.這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的

方法，我們稱之為“雙求法”.現(xiàn)在，請(qǐng)你用"雙求法"解決下面問題：

【操作】愛動(dòng)腦筋的小新把這四個(gè)相同的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形（如圖2）,模仿上述過程也

能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小新完成驗(yàn)證的過程；

【應(yīng)用】如圖3,在V/BC中，4D是8c邊上的高，AB=4,ZC=5,BC=6,設(shè)30=x,求x的值；

【拓展】如圖4,將圖1中的這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為

24,OC=3,直接寫出該飛鏢狀圖案的面積.

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3.1勾股定理的探究（2）

題型一、勾股定理的證明方法

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題型二、證明勾股定理

題型三、有關(guān)弦圖的計(jì)算問題

,題型四、構(gòu)造勾股定理解決問題

勾股定理的題型一、勾股定理與展開圖最短路徑問題

能力提升題型二、勾股定理與三角形動(dòng)點(diǎn)問題

探究（2）

題型三、構(gòu)造直角三角形解決最值問題

拓展培優(yōu)

A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)題

題型一、勾股定理的證明方法

1.（24-25八年級(jí)上?河北保定?階段練習(xí)）利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如下圖所示的“趙爽弦圖"，在

用“趙爽弦圖”的面積驗(yàn)證勾股定理時(shí)，用到的相等關(guān)系是（）

A.c2=(a-b)2B.~^ab=(a-b)2C.c2=lab+(a-Z))2D.ab—c2—(a—b)2

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理的證明，根據(jù)面積關(guān)系證明勾股定理是解題的關(guān)鍵；根據(jù)大正方形的面積等

于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和證明即可.

【詳解】解：由題意知：大正方形的面積為，，小正方形的面積為伍—6）2,直角三角形的面積為:仍,

則c2=4x^ab+（a-b）2,

/.c2=2ab+（a-b?,

故選：C.

14/50

2.（24-25八年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下面四幅圖中，不能證明

勾股定理的是（）

A.

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵.先表示出

圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可.

【詳解】解：A、?.，+5c2+6）（。+6）,

，整理得：/+/=。2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、4x—ah+0?=（Q+b）2,

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

1,

C、4x—cib+（Z?-a）=c9,

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

3.（24-25八年級(jí)上?河南鄭州?階段練習(xí)）利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示圖形，通過該圖形

可以驗(yàn)證公式（）

A.(a+-b)=/-力B.+Z?)2=a2+lab+b2

C.a2=c2-b2D.(a-b)=a?—2ab+b?

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，大正方形是邊長(zhǎng)為。的正方形，則其面積為。2,大正方形面積

15/50

等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，貝IJ大正方形的面積為4xgM+伍-。區(qū)二力+/，根

據(jù)兩種表示方法表示的面積相等即可得到結(jié)論.

【詳解】解：大正方形是邊長(zhǎng)為C的正方形，則其面積為°2,

中間的小正方形是邊長(zhǎng)為的正方形，則其面積為（b-a）2,

大正方形面積等于四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積，則大正方形的面積為

4x—ab+(b-a)=4?+6?,

a2+b1=c1，BPa2=c2-b29

故選：C.

4.（24-25八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一.下列四幅圖中，不能驗(yàn)證

勾股定理的是（）

B.

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等面積法證明

即可.

【詳解】解：A、這個(gè)圖無法證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意;

I2

B、伍-〃)=c2

??.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

12

C、4x—ab+c2=+,

??.整理得：a2+b2=c2

即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

16/50

D、?—ab+~+—cib=—（a+b）（a+b）,

??.整理得：a2+b2=c2,

即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

5.（23-24八年級(jí)?全國(guó)?單元測(cè)試）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)給出如圖所示兩種方案，對(duì)于甲、

乙兩種方案，下列判斷正確的是（）

甲乙

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確

C.甲、乙都正確D.甲、乙都不正確

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理的證明，分別用不同的方法表示出大正方形的面積，即可得解，采用數(shù)形結(jié)

合的思想是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：甲方案中：大正方形的面積可以表示為（。+6『=/+2成+/，還可以表示為

—a/?x4+c2=2ab+c2,

2

a2+2ab+b2^2ab+c2,即/+〃=02,可以證明勾股定理，故甲正確；

乙方案中：大正方形的面積可以表示為=/+2仍+〃,還可以表示為/+/?+gabx4=a2+b2+2ab,

：.（a+b）2=a2+b2+2ab,不可以證明勾股定理，故乙錯(cuò)誤；

故選:A.

題型二、證明勾股定理

6.（24-25八年級(jí)上?上海,期末）本學(xué)期，我們學(xué)習(xí)了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的

周朝，當(dāng)時(shí)商高提出了"勾三股四弦五”的特例.中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且

很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明.最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽.趙爽

創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明.目前已知的勾股定理的證明

方法約有500多種.

⑴請(qǐng)寫出勾股定理的內(nèi)容.

（2）請(qǐng)寫出一種勾股定理的證明方法.

【答案】⑴一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

⑵見解析

【分析】本題考查勾股定理及其證明：

（1）直接寫出勾股定理即可；

（2）利用趙爽弦圖進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）解：勾股定理內(nèi)容為：一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；

（2）如圖，大正方形由4個(gè)全等的直角三角形（直角邊為。,6伍＞。），斜邊為，）和一個(gè)小正方形組成，貝?。荩?/p>

大正方形的面積的等于4個(gè)直角三角形的面積加上小正方形的面積，

?*.c2=cr+b2■

7.（24-25八年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）用圖1中四個(gè)完全一樣的直角三角形可以拼成圖2的大正方形，解答

下列問題：

⑵利用（1）的關(guān)系式解答：如果大正方形的面積是25,且g+=49,求小正方形的面積.

【答案】（1）見解析；

⑵小正方形的面積等于1.

【分析】本題考查了對(duì)勾股定理的證明，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵.

18/50

（1）方法1、根據(jù)圖2是由4個(gè)完全一樣的直角三角形和1個(gè)小正方形構(gòu)成的，所以其面積=1個(gè)正方形的

面積+4個(gè)三角形的面積；方法2、觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖2是一個(gè)正方形，所以其面積=邊長(zhǎng)2；寫出。、b、c之

間的等量關(guān)系；

（2）直接用（1）的結(jié)論求出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：大正方形=4s三角形+S小正方形，

（Q-ZJ）2+4x~，

??〃-2ab+〃+4x—ctb=c2,

2

:.a2+/=c2;

（2）解：，,大正方形的面積是25,

c2=25=tz2+b2，

v（a+b）2=49,

/.Q?+2ab+b?=49，

lab=49-（a2+b2）,

2^=49-25=24.

由（1）得（0-6）2+4x；曲=/,

.1（aW-2ab=25-24=1,

二小正方形的面積等于L

8.（24-25八年級(jí)上?山西運(yùn)城?期中）如圖①的網(wǎng)格中有一個(gè)正方形和四個(gè)全等的直角三角形.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D②中用圖①的正方形和四個(gè)三角形拼接成一個(gè)更大的正方形/3C。；

⑵如果圖①中的直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為6,斜邊長(zhǎng)為。，請(qǐng)你利用圖②拼成的圖形證明勾股定

理.

【答案】⑴見解析

19/50

⑵見解析

【分析】題目主要考查勾股定理與圖形面積計(jì)算，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形即可；

（2）根據(jù)（1）中圖形，分別表示出面積即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖所示正方形/BCD即為所求；

、21

(2)證明：S正方形/Be。=("+辦)，S正方%80=4x,a6+c9,

(a+6)2=4xgab+c2,

:.a2+b2=c2?

9.（24-25八年級(jí)上?福建三明?期中）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明了勾股定

理，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，圖1所示的“趙爽弦圖"是四個(gè)全等的直角三角形（兩

直角邊長(zhǎng)分別為6,且。＞b,斜邊長(zhǎng)為c）和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.

（1）請(qǐng)用兩種不同方法表示圖1中陰影部分面積H.（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）

方法1：耳=;方法2：5=；根據(jù)以上信息，可以得到等式

⑵將圖1中的2個(gè)直角三角形位置改變得到圖2,若a=10,6=5,求圖2中陰影部分的面積S2.

⑶圖3,將這四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接形成風(fēng)車狀圖案，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24,且6=3,

求該風(fēng)車狀圖案的總面積.

2222

【答案】⑴/十〃；c；a+b=c;

20/50

(2)75；

⑶24

【分析】本題考查了勾股定理的證明與運(yùn)用，靈活掌握等面積法證明勾股定理是解題的關(guān)鍵.

（1）運(yùn)用等面積法計(jì)算即可；

（2）先表示出陰影部分面積，再代入計(jì)算即可；

（3）將風(fēng)車周長(zhǎng)表示出來，其中b=3,c=9-“，再結(jié)合勾股定理求解出最后計(jì)算面積即可.

【詳解】（1）解：方法1：={a+b）2—4x.—ab=a2+b2,

2

方法2：S1=c,

:.a2-^-b2=（?,

故答案為：a2+b2;c2;a2+b2=c2;

（2）解：S=a2+b2-2x—ab=a2+b2-ab,

?2

22

當(dāng)。=10,6=5時(shí)，52=10+5-10X5=75；

（3）解：??，b=3,外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24,

4c+4（Q-b）=4（Q-b+c）=24,

「?a+c=9,c=9—a,

a2+b2=c2

：.a2+9=（9-a）2,

解得：a=4,

S」abx4=2ab=2x4x3=24.

2

題型三、有關(guān)弦圖的計(jì)算問題

10.（24-25八年級(jí)上?遼寧遼陽?階段練習(xí)）有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，排列形式如圖1,把它們分割后拼

A.ab=2B.a2+b2=5

C.大正方形的邊長(zhǎng)是右D.大正方形的邊長(zhǎng)是百

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理，分析分割法及熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意在圖中進(jìn)行分割，然后再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：按如圖所示分割后可拼成一個(gè)大正方形，

a=1,b=2,

A、ab=2,選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、cr+b2=5，選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、大正方形的邊長(zhǎng)為：彳萬=石，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、大正方形的邊長(zhǎng)是石，選項(xiàng)不正確，符合題意.

故選：D.

11.（24-25八年級(jí)上?重慶沙坪壩?期末）如圖，是我因古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的

直角三角形拼接而成.若4B=17,AH=8,則正方形EFGH的邊長(zhǎng)是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查勾股弦圖、全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的知識(shí)點(diǎn)，掌握勾股弦圖的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)

鍵.

根據(jù)三角形全等性質(zhì)得出==AG=BF=CE=BH,再根據(jù)勾股定理求出4G,然后

線段的和差即可解答.

【詳解】解：：正方形/3CD為四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，

AH=BG=CF=DE=8,AG=BF=CE=BH,

在Rta/BG中，由勾股定理=_8G2=J172-8z=15,

HG=AG-AH=15-^=7,即正方形EFGH的邊長(zhǎng)是7.

故選C.

22/50

12.（24-25八年級(jí)上?陜西咸陽?期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出了"趙爽弦圖"，如圖

所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積是29,每個(gè)

直角三角形的較短直角邊均為2,則中間小正方形（陰影部分）的周長(zhǎng)為（）

A.29B.14.5C.14D.12

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x,小三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為（x+2）,根據(jù)勾股定理

列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x,小三角形的長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為卜+2）,

根據(jù)題意得2?+（x+2>=29,

解得尤=3或x=-3（舍去），

小正方形的周長(zhǎng)為3x4=12,

故選：D.

13.（24-25八年級(jí)?天津河北?期中）如圖所示的"趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方

形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長(zhǎng)直角邊是12,大正方形的面積是169,則小正方形的面積

是.

【答案】49

【分析】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以

計(jì)算出小正方形的邊長(zhǎng)，即可得到小正方形的面積.

【詳解】解：由題意可得：大正方形的邊長(zhǎng)為阿=13,

小正方形的邊長(zhǎng)=12-,13?-12?=7，

23/50

二小正方形的面積為7x7=49,

故答案為：49

14.(24-25八年級(jí)上?浙江杭州?期末)如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”，得到正方形

ABCD與正方形EFGH,連結(jié)。尸并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)M.若S正方孫B0=5,E為/尸中點(diǎn)，則。尸的長(zhǎng)

【答案】V5以

4

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，先證明A/切也△尸E4SAS),由全等三角

形的性質(zhì)得到，DF=AD,進(jìn)而證明即/=月W，根據(jù)勾股定理得。1〃=52+°2,建立方程解方程，

即可求解.

【詳解】解：?.一為4F中點(diǎn)，

:.EF=-AF=AE,

2

又-.■ZAED=ZFED=90°,DE=DE,

:."ED也AFED(SAS),

DF=AD,

??v—5

,Q正方形45C。一，

DF=AD=5

DE//BG,

ZEDF=ZDFG,

?/ZFBM=ZEDF,ZDFG=ZBFM,

ZFBM=ZBFM,

BM=FM，

DM2=CM2+CD2,

：.(DF+BM)?=CD2+{BC-BM)?,

24/50

(V5+W)2=(V5)2+(V5-W)2,

BM=—,

4

故答案為：加，見.

4

15.(24-25八年級(jí)上?河南鄭州?期末)用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)

正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為。，b(a<b),斜邊長(zhǎng)為c.

G

C

圖①圖②

(1)請(qǐng)利用圖①證明：a2+b2=c2;

⑵如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形/BCDMG/Z,若該圖形的

周長(zhǎng)為80,OB=5,求該圖形的面積.

【答案】⑴見解析

(2)120

【分析】本題考查了幾何法證明勾股定理及不規(guī)則圖形面積求解，利用數(shù)形結(jié)合的思想，準(zhǔn)確找出圖中各

個(gè)線段長(zhǎng)度及面積關(guān)系是解題關(guān)鍵.

(1)由圖形可知，中間小正方形面積=大正方形面積等于一四個(gè)完全相同的直角三角形的面積，列出等式

化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)周長(zhǎng)得到+設(shè)=則/3=20-x,結(jié)合勾股定理求出x,利用三角形面積公式，進(jìn)

而求出該圖形的面積.

【詳解】(1)證明：由圖可知5小正方形=僅一。)2=尸一2仍+/,

S小正方形=c2-4x；"Z)=c2-22b,

,?b~-2ab+a~=c2-2ab?

a2+b2=c2;

（2）解：由題意得，/B+/”=80+4=20,

25/50

設(shè)N〃=x,則A8=20-x,OH=OB=5,

在尺加0/8中403=90。，由勾股定理，得02?+0/2=/爐，

即52+（x+5）2=（20-x）\

解得x=7,

所以，該圖形的面積是gx5x（5+7）x4=120.

題型四、構(gòu)造勾股定理解決問題

16.（24-25八年級(jí)上?河南平頂山?階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中有一道問題："問

沙田一段，有三斜，其小斜一十二里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步，欲知為田幾何？"問題

大意：如圖，在V/8C中，48=13里，BC=14里，4C=15里，求V/BC的面積.請(qǐng)你解決該問題.

【答案】黑甌=84平方里

【分析】本題考查了三角形面積，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵在于利用兩個(gè)直角三角形的公共邊找到突破

點(diǎn)，主要利用了勾股定理進(jìn)行解答.過點(diǎn)A作4。18c于。，設(shè)5Q=x里，則CD=（14-x）里，利用勾股

定理求出AD的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式求出V/2C的面積即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AD工3C于。，

設(shè)8O=x里，貝1］。=8。-8。=(14-”里，

在RtaZAD中，AD2=AB2-BD2,即4。2=132-％2,

在RtA/CD中，AD2=AC2-CD2,BP^Z)2=152-(14-X)2,

132-X2=152-(14-X)2,

解得：x=5,

26/50

在RM/皿中，AD=yJ132-x2=7132-52=12,

=

??△7A12R>VC—2BC*AD=—2xl4xl2=84（平方里）.

17.（24-25八年級(jí)?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中）直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a、b,

斜邊長(zhǎng)為c,則/+/=。2.

⑴圖1為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的"總統(tǒng)證法"，請(qǐng)你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式.利用以上所得的直

角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；

（2）如圖2,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)/、B,其中/B=/C,由于某種

原因，由C到/的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)”H、B在一條

直線上），并新修一條路C”,且測(cè)得CH=6千米，，汨=4千米，求新路C4比原路C4少多少

千米？

⑶在第（2）問中若48W/C時(shí)，CHLAB,AC=8,BC=10,AB=12,,設(shè)/"=無，求x的值.

【答案】（1）見解析

⑵新路C"比原路C4少0.5千米

⑶T

【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用；

（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列

出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；

（2）設(shè)。=x千米，則/〃=（x-4）千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)果；

（3）在RMZC〃和RtA8Cff中，由勾股定理得求出列出方程求解即可得到結(jié)

果.

【詳解】（1）M：■：ABVAD,BCLAB,DELCE,

，梯形48cZ）的面積為:（。+6）（。+6）或;/+ab,

27/50

.?.5(4+6)(〃+/?)=502+ab,

ab+—c2=—a2+ab+—b2

222

即/+/2

(2)解：設(shè)。=x千米，則/〃=(x-4)千米，

在Rt"C"中，CA2=CH2+AH1,

即/=6°+(x—4)2,解得：x—6.5,BPCA=6.5,

CA-CH=6.5-6=0.5(千米)，

答：新路CH比原路G4少0.5千米，

(3)解：由題得，BH=12—x,

在RtdCH中，CH2=CA2-AH2,

在RtASCff中，CH2=CB2-BH2,

:.CA2-AH2=CB2-BH2,

,9

BP82-X2=102-(12-X),解得：x=~.

能力提升題

題型一、勾股定理與展開圖最短路徑問題

18.(23-24八年級(jí)?全國(guó)?課后作業(yè))已知某植物繞著樹干向上生長(zhǎng).

A/

(1)如果樹干的周長(zhǎng)(即圖中圓柱的底面周長(zhǎng))為30cm,繞行一圈升高(即圓柱的高)40cm,則它繞行一

圈的長(zhǎng)度是多少？

⑵如果樹干的周長(zhǎng)為80cm,繞行一圈的長(zhǎng)度是100cm,繞10圈到達(dá)樹頂，則樹干高多少？

【答案】⑴50厘米

(2)6米

【分析】本題考查平面展開圖問題，解題的關(guān)鍵是正確理解圓柱的側(cè)面展開圖，本題屬于基礎(chǔ)題型.

(1)將圓柱側(cè)面展開后，利用勾股定理即可求出一圈的路程；

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（2）求出該側(cè)面圖的寬，即/C的長(zhǎng)度，由題意可知3C的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可求出樹干高.

【詳解】（1）如答圖，將圓柱的側(cè)面展開后，該側(cè)面是長(zhǎng)方形.

由題意可得/C=30cm,NB=40cm,

所以BC?=AC2+AB2=302+402=2500，

所以8C=50cm.

答：植物繞行一圈的長(zhǎng)度為50厘米.

（2）樹干周長(zhǎng)為80cm,即2c=80cm,

繞行一圈的長(zhǎng)度是100cm,則8C=100cm.

^AB2=BC2-AC2=1002-802=3600,

所以48=60cm,

所以樹干高為60x10=600（cm）=6（m）.

答：樹干高為6米.

19.（23-24九年級(jí)下?山東聊城?階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm,寬為10cm,高為15cm,點(diǎn)B與點(diǎn)C

之間的距離為5cm,一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖.

正面

⑴求點(diǎn)A到點(diǎn)3的距離；

（2）螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)5的最短路程是多少？

【答案】（1）點(diǎn)A到點(diǎn)8的距離為5vsem

⑵15行011

【分析】考查平面展開-最短路徑問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，畫出示意圖.

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