2025-2026學(xué)年廣東省佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)高二上學(xué)期10月月

考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

3

1.已知集合4=[x\-5<x<5]fB={-3,—1,0,2,3},則4nB=()

A.{-1,0)B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知向量Q=(%,2,-1),匕=(2,4,-2),若五〃另，則％=()

A.-1B.1C.-5D.5

3.若4B為互斥事件，3(A)=04,3Q1UB)=0.7,則P(B)=()

A.0.1B.0.3C.0.4D.0.7

4.從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放I可隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的

倍數(shù)的概率為()

A1n1廠22

A.-B.-C.—nD.-

5.已知向量五=(0,3,3),b=(-1,1,0),則五與板的夾角為()

AA-—6R0-6c213n”—3

6.已知空間四邊形2BCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是8C、力。的中點，則荏?萬的值

為()

A.a2B.4Q2C.D.1Q2

244

7.兩個實習(xí)生每人加工一個零件.加工為一等品的概率分別為弼，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)

立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()

A-2R—12C-4D5-6

8.在如圖的正方體ABCD-AB'C'D'中，48=3,點M是側(cè)面8CC'e內(nèi)的動點，滿足AM1B。，設(shè)力M與平

面BCC'B'所成角為。，則tan。的最大值為()

D'C

￡43

C--

A.2B./234

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知某廠的產(chǎn)品合格率為08,現(xiàn)抽出10件產(chǎn)品檢查，則下列說法不正確的是（）

A.合格產(chǎn)品一定少于8件B.合格產(chǎn)品一定多于8件

C.合格產(chǎn)品一定正好是8件D.合格產(chǎn)品可能是8件

10.（多選）在正方體力BCD-4中，。是底面的中心，M,N分別是棱。劣，的中點，則直

線。陽）

A.和力。垂直B.和力力1垂直

C.和MN垂直D.與AC,MN都不垂直

11.在樓長為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.異面直線AC與8Q所成的角為g

?J

B.西是平面48GD］的一個法向量

C.直線必當(dāng)?shù)狡矫媪?。也的距離為伊

D.平面481c與平面4GD1間的距離為噂

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量G=（2,b—（-4,2,x）,若d_L則％=.

13.在空間直角坐標(biāo)系中，4（—123）,若|4B|=，TTU,則m的值為.

14.已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場勞動，選中兩人都是男生的概率是上選中兩人都是女生的概率是

4，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為.

JLO

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

如圖,在棱長為2的正方體A8CD-4181c中,E,F,G分別是BD,的中點,

(1)求證：EF1CF

⑵求我與CG所成角的余弦值.

16.(本小題15分)

某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都

“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為0506在面試中

“通過”的概率依次為040.3,筆試和面試是否“通過”是獨(dú)立的，那么

(1)甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？

(2)甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.

17.(本小題15分)

已知三棱柱4BC-4B1G的側(cè)棱垂直于底面，484c=90。，AB=AC=AAX=1,E、/分別是棱

(1)求證：平面4EF：

(2)求點&到直線&E的距離.

18.(本小題17分)

甲、乙是兩名射擊運(yùn)動員，根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10、9、8環(huán)的概率分別為看看乙一

030

次射擊命中10、9環(huán)的概率分別為：、*一輪射擊中，甲、乙各射擊一次.甲、乙射擊相互獨(dú)立，每次射擊

OO

也互不影響.

(1)在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率;

(2)記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為X,求X的值，和X對應(yīng)的概率；

19.(本小題17分)

如圖，已知四棱錐P-48C。中，底面4BCD為矩形，24J■平面4BCD,P4=48=2.

(1)求證:當(dāng)=2時，平面P8D，平面24。;

(2)當(dāng)4)時，

①求二面角8-PD-C的大小；

②求PB與平面PDC成角的正弦值.

參考答案

\.A

2.B

3.B

4.C

5￡

6.C

7B

8.8

9.ABC

104C

1l.ARD

13.-7或13

1娛

15.【詳解】(1)依題意，建立以。為原點，以。A,DC,CD1分別為％,y,z軸的空直角坐標(biāo)系，如圖,

則E(O,O,1),F(l,l,0),C(0,2,0),(7(2,2,1),

則方而=(1,-1,0),

所以前?麗=1-1+0=0,故前1京，HPEF1CF.

(2)由(1)得而=(2,0,1),則前?嬴=2-1=1,|秒|二門』"|=追

_715

所以cos(前，笈)=喬麗_[

|EF||C5|一/3x-/5一年

所以“與CG所成角的余弦值為關(guān).

.1J

16.【詳解】(1)記“甲通過筆試”為事件“甲通過面試”為事件力2，”甲獲得錄取”為事件4“乙

通過筆試”為事件為,“乙通過面試”為事件當(dāng)，“乙獲得錄取”為事件8,則

P(4)=PQ4I)PQ42)=0.5x0.4=0.2,P(8)=P(Bi)P(%)=06x0.3=0.18,即P(4)>P(B),

所以甲獲得錄取的可能性大.

(2)記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C,則尸(。)=P(AB)+P(AB}=P(A)P(B)+P(A)P(B}=

0.2x0.82+0.8x0.18=0.308.

17.【詳解】⑴???三棱柱力BC-481cl的側(cè)棱垂直于底面，48/0=90。,

???以力為坐標(biāo)原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

-AB=AC=AAi=l,E、尸分別是棱C]C、8c的中點,

4(0,0,0),81(1,0,1),E(0,l^),F|j,1,0),

庭=(一另,一1),而=(0,閭,而=(另,0),

???用?荏=0,帝?都=0,???帝1荏，存1萬，

-AEQAF=A,力七(=平面/1￡尸，力Fu平面力EF,二尸1平面。E尸.

(2)；&(0,0,1),.??福=(1,0,0),庠二(一1,1,一習(xí)，

cos(48i,81?)=2???sin(a瓦，瓦局=絡(luò)

0+1+；

故點4到直線&E的距離為d=|瓦瓦|?sin<耳瓦，庠>=￥,

18.【詳解】(1)設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為G乙命中的環(huán)數(shù)為〃，

則甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)為

P(U)=P(f=8)+P(f=9)+P(S=10)Pe=10)=1"25+2"t1=2《；

(2)題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有17、18、19、20,

P(X=17)=|x|=l,P(X=18)=|xl+|x|=ll,

P(X=19)=|xl+|x|=|,P(X=20)=|x|=i

19.【詳解】(1)因為24_L平面力BCO,且8Du平48c。，所以_LB0,

又因為底面N8CD為矩形，AB=AD=2,所以底面48CD為正方形，即AC_L8。,

又因為4cnPA=A,AC,PAu平面P4C,所以8。1平面PAC,

又因為80u平面P80,所以平面PBO_L平面P4C;

①如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由AD=/lP力=48=2,

可得：P(2,0,0),5(0,2,0),D(0,0,/2),

則而=(-2,0,/2),DC=AB=(0,2,0),麗=(-2,2,0),

設(shè)平面P8。的法向量為4=(%,力,21),

則歸,叱(孫為*1)?(-2,0,英)=0

I石?同=(ayi，分)?(-2,2,0)=0