第二章有理數的運算

2.1有理數的加法與減法

2.1.1有理數的加法

第1課時有理數的加法

目標

1.了解有理數加法的意義，理解有理數的加法法則的合理性.

2.能運用該法則準確進行有理數的加法運算.

3.經歷探索有理數的加法法則的過程，理解并掌握有理數的加法

法則，體會分類和歸納的思想方法.

重點：有理數的加法法則的理解和運用.

難點：異號兩數相加的法則.

尊E騎過程

福3導入|

在太空行走時需要身穿厚厚的太空服，一個重要的原因就是飛船

艙外溫度太低，只有一ioo℃,而艙內的最低溫度比艙外溫度約高

118c.要想知道艙內的最低溫度，該怎樣計算呢？

新知|

探究點一有理數的加法法則

【例1】計算；

(1)(+15)+(-17)；(2)(-39)+(-21)；

(3)(-3|)+3|.

【解析】運用有理數的加法法則時，一般先觀察兩個數的符號是

同號還是異號，然后確定用哪條法則，最后求出結果.

【解】(1)(+15)+(-17)=-(17-15)=~2.

(2)(-39)+(-21)=一(394-21)=-60.

(3)(-3|)+3|=0.

探究點二有理數加法的應用

類型一有理數加法在實際生活中的應用

【例2】足球循環(huán)賽中，紅隊勝黃隊的比分為4：1,黃隊勝藍隊

的比分為1：(),藍隊勝紅隊的比分為1：(),計算各隊的凈勝球數.

【解】每個隊的進球總數記為正數，失球總數記為負數，這兩數

的和為這隊的凈勝球數.

三場比賽中，紅隊共進4球，失2球，

凈勝球數為(+4)+(-2)=+(4-2)=2.

黃隊共進2球，失4球，

凈勝球數為(+2)+(-4)=-(4-2)=-2.

藍隊共進1球，失1球，

凈勝球數為(+1)+(—1)=0.

類型二和有理數性質相關的計算問題

【例3】已知=52的相反數為4,則。+〃的值為.

【解析】因為=5,所以。=一5或5.因為匕的相反數為4,

所以/?=—4,則a+b=—9或1.

【解】一9或1

簟皙訓練|

1.下列各式中，計算結果為正數的是()

A.(—7)+(—4)B.(+2.7)+(—3.4)

C.(+-D.0+(-i)

354

2.溫度由一4℃上升7c后的溫度為()

A.-3℃B.3℃c.-11℃D.1rc

《疣斗設計I

第1課時有理數的加法

1.有理數的加法法則

2.有理數加法的運算

3.有理數加法的應用

跳招小結|

本節(jié)課我們了解了有理數加法的意義，學習了有理數的加法法

則，并學會運用該法則進行有理數的加法運算.

反思

本節(jié)課利用情境教學、解決問題等方法進行授課，使學生在情境

中提出問題，并尋找解決問題的方法，因此不知不覺地進入學習氛圍,

使學生從被動學習變?yōu)橹鲃犹骄?

課堂訓練

1.C2.B

=40+(-60)

=-20.

探究點二有理數加法運算律的應用

【例2】某出租車司機某天下午營運全是在東西走向的人民大道

上進行的.如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天下午行車里程如下

(單位：km)：+15,+14,-3,-11,+10,-12,+4,-15,

+16,-18.

他將最后一名乘客送到目的地時，該司機距下午出發(fā)點的距離是

多少千米？

【解析】首先把題目的已知數據相加，然后根據結果的正負即可

確定.

【解】+15+(+14)+(-3)+(-11)+(+10)+(-

12)+(+4)+(-15)+(+16)+(-18)=[15+(-15)]

+(14+10+4+16)+[(-3)+(-11)+(-12)+(-18)]

=0(km),

所以將最后一名乘客送到目的地時，該司機仍在下午的出發(fā)點

處.

艇招訓練|

1.計算：

(1)(—；)+(—。.75)+(+().5)+(—3)+1；

(2)18.56+(-5.16)+(-1.44)+(+5.16)+(-18.56).

2.一位新股民上星期五買進某公司股票1000股，每股35元，下

表為本星期內每日段票的漲跌情況(單位：元)：

星期一二三四五

每股漲跌+4+4.5-1-2.5-6

在星期五收盤時，每股的價格是多少？

《疣斗設計I

第2課時有理數的加法運算律

［加法交換律：a+b=b+a.

I加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c).

E猾小結|

本節(jié)課我們進一步掌握了有理數的加法法則，學習了有理數的加

法運算律，并能運用加法運算律簡化運算及體驗了加法在實際生活中

的應用.

反思

本節(jié)課教學以故事引入，在學生已有的知識基礎上建構新知，讓

學生主動探索有理數的加法交換律和結合律，從而激發(fā)他們學習的興

趣，使他們由被動接受學習變成主動探索并獲取知識.課堂中學生通

過自主互動交流，不斷地總結規(guī)律、方法和解題技巧.

答案

課堂訓練

1.解：(1)原式=0.

(2)原式=-1.44.

2.解：根據題意，得35+(+4)+(+4.5)+(—1)+(一

2.5)+(—6)=34(元).

故在星期五收盤時，每股的價格是34元.

2.1.2有理數的減法

第1課時有理數的減法

目標

1.理解、掌握有理數的減法法則，會將有理數的減法運算轉化為

加法運算.

2.通過把有理數的減法運算轉化為加法運算，滲透轉化思想，培

養(yǎng)運算能力.

篇難點

重點：有理數的減法法則.

難點：有理數的減法法則的探究.

過程

福3導入|

在我國，勾股定理的敘述最早見于公元前1120年的《周髀算經》.

在西方，希臘著名數學家畢達哥拉斯大約在公元前580年對勾股定理

有研究敘述.請問：公元前1120年比公元前580年早多少年？

新知|

探究點一有理數的減法法則

【例1】計算：

(1)(2)(-2)-(+10)；

(3)(―1,一巳；(4)0~(—6.3).

【解析】先根據有理數的減法法則，將減法轉化為加法，再根據

有理數的加法法則計算即可.

【解】(1)原式=2+工='+工=±

36666

(2)原式=(—2)+(—10)——12.

(3)原式=(-￡)+(-3=-住

(4)原式=0+6.3=6.3.

【方法總結】減法計算“兩變”“兩不變”：

(I)兩變：①改變運算符號一一減號變加號；②改變減數的性

質符號，正數變負數，負數變正數.

(2)兩不變：①被減數不變；②減數的絕對值不變.

探究點二有理數減法在實際生活中的應用

【例2】世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔高度約為

8848m.我國的吐魯番盆地的海拔高度約為一154m,兩者的海拔高度

大約相差多少米？

【解析】先根據題意列出算式，再運用有理數的減法法則解答.

【解】8848—(-154)=8848+154=9002(m).

答：兩者的海拔高度大約相差9002m.

探究點三應用有理數的減法法則判定正負性

【例3】已知有理數。<0,b<0,且I。I>"I,試判定。一

b的符號.

【解析】判定〃與b差的符號，可能不好理解，不妨先把它轉化

為加法(一8)，再利用加法法則進行判定.

【解】因為b<0,所以一b>0.又因為。<0,a-b=a+(-b),

所以4與一/?是異號兩數相加，那么它們和的符號由絕對值較大的加

數的符號決定.因為I。I>I〃I,即I。I>I一6I,所以取〃的

符號，而QVO,因此Q—/?的符號為負號.

造a訓練I

1.有下列各式：①3.2-(—1.2)=2；②0—(—4)=4；③一

2—2=0；④7.3—11.3=4.其中，正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.若水面以上記為正，水面以下記為負，一艘潛水艇的高度是一

50m,一條鯊魚的高度是一5m,一座燈塔的高度是+2()m,則鯊魚在

潛水艇上面m,燈塔的位置比潛水艇高m.

《康洲設計|

第1課時有理數的減法

1,減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數.

2.減法法則的應用：把減法運算轉化成加法運算.

3.減法運算的應用

*道小結］

本節(jié)課我們學習了有理數的減法法則，學會了應用有理數的減法

法則計算有理數的減法，并把實際問題轉化為有理數的減法進行解

決.

反思

本節(jié)課從實際問題出發(fā)，創(chuàng)設教學情境，有效調動學生的學習興

趣和積極性.通過實例計算，激發(fā)學生的探索精神.通過大量的數學練

習，讓學生親身體驗知識的形成過程，感悟數學的轉化思想.

課堂訓練

1.A2.4570

第2課時有理數的加減混合運算

目標

1.理解加減法統(tǒng)一成加法的意義，能熟練地進行有理數加減法的

混合運算.

2.通過加減法的相互轉化，培養(yǎng)學生的應變能力、計算能力.

3.能根據具體問題，適當運用運算律進行簡化運算.

重點：熟練掌握有理數的加減混合運算.

難點：省略加號與括號的代數和的計算，在運算中靈活地使用運

算律.

過程

福3導入|

一口深3.5m的井，一只青蛙從井底沿井壁往上爬.第一次往上

爬了0.7m又下滑了0.1m,第二次往上爬了0.42m又下滑了0.15m,

第三次往上爬了1.25m又下滑了0.2m,第四次往上爬了0.75m又下

滑了().1m,第五次往上爬了0.65m.青蛙爬出井了嗎？

尊算新知|

探究點一加底混合運算統(tǒng)一成加法運算

【例1】將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法

將它讀出來.

(-13)-(-7)+(-21)-(4-9)+(+32)

【解析】先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號和加號；讀有理式,

式子中第一項的符號要作為這一項的符號演出正負來，式子中的符號

就讀作加或減.

【解】(一13)-(-7)+(-21)-(+9)+(+32)

=(-13)+(+7)+(-21)+(-9)+32

=-13+7-21-9+32.

讀法一：負13、正7、負21、負9、正32的和；

讀法二：負13加7減21減9加32.

【方法總結】把減法運算轉化為加法運算后，把每個加數和它前

面的性質符號看作一個整體，然后省略所有加號(若第一個加數前面

有正號，則這個正號也省略)并同時去掉所有括號，這樣就寫成了省

略算式中的括號和加號的形式.

探究點二有理數的加減混合運算

【例2】計算：

(1)-24+3.2-16-3.5+0.3；

(2)(+0.25).

【解】(1)原式=-24—16+3.2+0.3—3.5

=-40+3.5-3.5

=-40+0

=-40.

⑵原式=。一2弓+(+3；)+(+|)+(-；)

=-2l-+-+3---

3344

=-21+3

=-18.

【方法總結】有理數加減混合運算的一般步驟：(1)將減法轉

化為加法；(2)省略括號和加號；(3)運用加法交換律和結合律進

行計算,使用運算律的原則：正數與負數相結合，小數與分數相結合,

互為相反數的數相結合，和為整數的數相結合，分母相同或易于通分

的分數相結合.注意在使用加法交換律交換加數的位置時，要連同它

前面的符號一同交換；(4)按有理數的加法法則計算.

探究點三利用有理數加減運算解決實際問題

【例3】甲、乙兩商場上半年經營情況如下表(“+”表示盈利,

“一”表示虧損，以百萬元為單位).

月份123456

甲商場+0.8+0.6-0.4-0.1+0.1+0.2

乙商場+1.3+1.5一().6-0.1+0.4-0.1

(1)6月份甲商場比乙商場多盈利多少？

(2)甲、乙兩商場上半年分別盈利(或虧損)多少？

【解】(1)(+0.2)一(一0.1)=0.2+0.1=0.3(百萬元).

故6月份甲商場比乙商場多盈利0.3百萬元.

(2)(+().8)+(+().6)+(—0.4)+(—0.1)+(+0.1)

+(+0.2)=1.2(百萬元)，

(+1.3)+(+1.5)+(—0.6)+(—0.1)+(+0.4)+

(-0.1)=2.4(百萬元).

故甲、乙兩商場上半年分別盈利1.2百萬元和2.4百萬元.

【方法總結】解決實際問題時常用的思路：通過正負數的實際意

義將問題數學化，并列式計算，然后結合計算結果確定實際問題的答

案.

破鎏3訓練|

1.下列各式的結果為-3的是()

A.-2-(-9)+(+3)-(-3)

B.0-1+2-3+4-5

C.4.5—2.3+2.5—3.7+2

D.-2-(—7)+(-6)+0+(+3)

2.-2,-6,4這三個數的和比它們的絕對值的和小()

A.16B.8C.OD.-16

《違引設計|

第2課時有理數的加減混合運算

1.有理數的加減混合運算

(1)將減法轉化為加法，然后去掉括號和加號.

(2)運用加法法則和運算律進行計算.

2.加法運算律

(1)加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結合律：(a+人)+c=a+(/?+<?).

小結|

本節(jié)課我們學習了在進行有理數的加減混合運算時，寫成省略括

號和加號的和的形式，學會了有理數加減法統(tǒng)一成加法，結合運算律

簡化計算.

目區(qū)自反思

通過本節(jié)課的學習，學生知道所有含有有理數的加減混合運算的

式子都可以化為有理數的加法的形式，并能熟練掌握有理數的加減混

合運算及其運算順序.同時讓學生在自主探究的過程中，掌握有理數

的加減混合運算的兩種讀法，真正理解混合運算的含義.

課堂訓練

1.B2.A

2.2有理數的乘法與除法

2.2.1有理數的乘法

第1課時有理數的乘法法則

i.理解并熟練掌握有理數的乘法法則.

2.會利用法則進行有理數的乘法運算并解決實際問題.

聾憶篇難點

重點：有理數乘法法則的理解和運用.

難點：有理數乘法運算中積的符號的確定.

過程

導入|

如圖所示的是兩水庫的水位變化情況，甲水庫的水位每天升高

3cm,乙水庫的水位每天下降3cm.如果用正數表示水位上升的高度,

用負數表示水位下降的高度，那么4天后，甲水庫水位的變化量怎樣

表示？乙水庫水位的變化量又如何表示呢？你能找到更簡潔的表示

方法嗎？

新知?

探究點一有理數的乘法法則

【例1】計算:

(1)(-3)X7；(2)(-8)X(-2)；

(3)|X(-Ii);(4)(-^)X0.

【解】(1)原式=一(3X7)=-21.

(2)原式=+(8X2)=16.

（3）原式=—

（4）原式=0.

【方法總結】計算兩個有理數相乘的一般思路：（1）若有零因

數，則積為零；（2）若有小數或帶分數的因數，一般先化為分數或

假分數；（3）計算時，先確定積的符號，然后求兩個因數絕對值的

積.

探究點二倒數

類型一直接求某一個數的倒數

【例2】求下列各數的倒數：

（1）（2）2-；（3）-1.25；（4）5.

43

【解】（1）一？的倒數是一上

43

（2）2-=-,故2白的倒數是W.

3338

（3）-1.25=--,故一1.25的倒數是一上

45

（4）5的倒數是士

5

【方法總結】求倒數的技巧：（1）求分數的倒數時，只要把這

個分數的分子、分母顛倒位置即可（整數看成是分母為1的分數）；

（2）求帶分數的倒數時，要先將其化成假分數；（3）求小數的倒數

時，要先將其化成分數.

類型二與相反數、倒數、絕對值有關的求值問題

【例3】已知〃與人互為相反數，。與d互為倒數，機的絕對值

為6,求匕心一cd+ImI的值.

m

【解析】根據相反數的概念和倒數的概念，可得。與AC與d

的等量關系，再由力的絕對值為6,可求加的值，把所得的等量關

系整體代入可求出代數式的值.

【解】由題意，得。+/?=0,cd=1,ImI=6,m=±6.

①當機=6時，原式=0—1+6=5；

②當727=—6時，原式=()—1+6=5.

故匕蛆一CY/+ImI的值為5.

m

探究點三有理數的乘法的應用

【例4】某糧食加工廠從生產的糧食中抽出20袋進行質量檢查,

以每袋50kg為標準，將超過的部分記為正數，不足的部分記為負數,

偏差結果記錄如下：

偏差/kg-0.7-0.5-0.20+0.4+0.5+0.7

袋數1345331

這20袋大米共超重或不足多少千克？總質量為多少千克？

【解析】求出偏差的和，依據和的正負即可判斷是超重還是不足.

以每袋50kg為標準，計算出總質量，再加上偏差即可得實際總質量.

【解】-0.7X1—0.5X3—0.2X4+0X5+0.4X3+0.5X3+

0.7X1=0.4(kg),即這20袋大米共超重0.4kg,

這20袋大米的總質量為50X20+0.4=1000.4(kg).

僦前訓練|

1.下列計算中正確的個數是()

①3X(-4)=一12；②(一4)X5=~20；③(-4)X(-6)

=24；④(-5)X0=0.

A.1B.2C.3D.4

2.下列各組數中互為倒數的是()

A.2與一I—2|B.—(+2)與I—(I

C.-(-2)與一|+1|D.-II與+(-2)

殳計|

第1課時有理數的乘法法則

1.兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

2.任何數與0相乘都得0.

e道小結］

本節(jié)課我們主要學習了有理數的乘法法則，并會運用有理數的乘

法法則進行計算，一般計算步驟如下：先確定積的符號，再求兩個因

數絕對值的積.

反思

通過對算式和結果的規(guī)律的觀察、分析和探究，引導學生通過加

法的計算和數字的規(guī)律變化，進而得出兩個負數相乘的結果，得到有

理數的乘法法則,推導的過程揭示了有理數運算中加法與乘法的美

系，讓學生體會轉化的數學思想.

~~馥

課堂訓練

1.D2.D

第2課時有理數的乘法運算律

目標

1.掌握乘法的分配律，并能靈活運用.

2.掌握有理數的乘法運算律，并利用運算律簡化乘法運算.

3.經歷探索有理數的乘法運算律的過程，使學生感受從特殊到一

般、從一般到特殊的認知規(guī)律.

0to難點

重點：使學生理解有理數的乘法依然滿足交換律、結合律、分配

律，并會利用它們進行簡化計算.

難點：利用分配律的逆運算來簡化計算.

過程

31導入I

上節(jié)課我們學習了有理數的乘法，下面我們做幾道題.計算下列

各題，并比較它們的結果:

1.(-7)X8與8X(-7)；

2?(冶八(一總與(一書X(一|).

讓學生先進行計算，然后在組內交流，驗證答案的正確性.

尊算新知I

探究點一利用運算律簡化計算

【例1】計算：

(1)(-3)X(-4)義(一喋)義(-25)X5；

(2)(-+---)X(-24).

\3487

【解】(1)原式=[(—3)x(—高卜[(-4)X(-25)]x

(-3)X5=1X1OOX(-3)X5=-15()0.

(2)原式=：X(—24)+|x(—24)+(—0X(—24)——

16—18+21——13.

【方法總結】運用乘法交換律或結合律時要考慮能約分的、湊整

的、互為倒數的數要盡可能地結合在一起.

探究點二逆用乘法的分配律

【例2】計算：-32義々+(-11)(-21)X-.

3\3/3

【解】原式=一2義(32-11-21)=0.

3

【方法總結】將分配律。Cb+c)="+"等號左右兩邊交換位

置即得公式ab+ac=a(A+c).當計算幾個積的和時可考慮用以上公

式簡化計算，此公式的特點是各個積中含有?個相同的因數.

旗招訓練|

1.計算成義總的最簡便的方法是()

A.(15+-)X—B.(16--)X—

716716

C.—x-D,(10+5-)X-

716716

2.計算：

(1)8X-xf----0.5)；

5\84)

(2)--X1.4-3.2X-+-X(-

555\5/

殳計|

第2課時有理數的乘法運算律

乘法交換律：ab=ba.

乘法結合律：Cab)c=a(be).

乘法分配律：(。+。)c=ac+bc.

便道小結|

本節(jié)課我們學習了有理數的乘法運算律，并學會熟練利用運算律

簡化乘法運算.

反思

通過計算復習乘法法則，部分同學使用了交換律和結合律，為新

課的引入提供了恰當的時機，在此基礎上通過問題引導、結果驗證，

讓學生感受到運算律在有理數范圍內的應用.新課程理念要求把學生

“學”數學放在教師“教”之前，“導學”是教學的重點.因此，本

節(jié)課的教學重點是引導學生從大量的實例中尋找解決問題的方法.

課堂訓練

1.B

2.解：(1)原式=9X(8x|-8x|-8x0.5)

=-X(5-6-4)

5

=-X(—5)=—3.

5

(2)原式=-gx(l.4+3.2+|)

=-4.

第3課時多個有理數相乘的乘法法則

目標-C

1.掌握多個有理數連續(xù)相乘的運算方法.

2.正確理解乘法交換律、結合律和分配律，能用字母表示運算律

的內容.

3.能運用運算律熟練地進行乘法運算.

0to難點

重點：會確定多個因數相乘時積的符號，并會用法則進行多個因

數的乘積運算.

難點：掌握多個有理數相乘的積的符號法則.

過程

幅3導入|

要將一1,-2,-3,4,5,6,7,8,9這9個數填入如圖所示

的九宮格中，使橫線、豎線、斜線上的積都為負數，應如何填？

新知|

探究點一多個因數相乘

【例1】計算：

(1)(-3|)X(-111)X(-1|)X(-0.3)；

(2)>)X—X(-15)XOX(-2020).

\3172019

【解析】(I)是幾個非0的有理數相乘，應先確定積的符號，

然后再把它們的絕對值相乘；(2)的五個因數中有一個是0,所以

積為0.

【解】(1)原式=3工Xl/xi工X0.3

34,3

34310

=15.

(2)原式=0.

【方法總結】幾個非。的有理數相乘，計算的關鍵是確定積的符

號，而積的符號只與負因數的個數有關，與正因數的個數無關.

探究點二多個因數相乘的應用

【例2】在一次團體操排練中，某班45名學生面向老師站成一列橫

隊，老師每次讓6名學生向后轉(不論原來的方向如何).問：若干

次后，能否使全體學生都背向老師站立？如果能，請設計一種方案；

如不能，請說明理由.

【解析】這里涉及向后轉，變成了反方向，因此，可借助數的性

質符號，向后轉一次，就相當于這個數改變了一次符號.

【解】不能.理由如下：

設學生面向老師站立記為“十”,背向老師站立記為“一”,45

名學生面向老師站立，有45個“+1”，乘積為“+1”.每改變6名

學生的方向，即6個“一1”相乘，積仍為“+1”，不改變45個數

的積的符號.而45個“一1”的積為“一1”，所以無論轉多少次，都

不可能使全體學生都背向老師站立.

據3訓練|

1.下列各式中，運算結果為正數的是()

A.2X3X(-4)X5

B.2X(-3)X(-4)X(-5)

C.2X0X(-4)X(-5)

D.(-2)X(-3)X(-4)X(-5)

2.如果三個非零有理數的積為正數，那么下列結論：

①這三個數同號；②若其中一個數是正數，則另外兩個數同號；

③若其中一個數是負數，則另外兩個數同號；④若其中一個數是負數,

則另外兩個數異號.其中必定成立的有（）

A.1個13.2個?.3個口.4個

《康洲設計|

第3課時多個有理數相乘的乘法法則

1.幾個不等于0的有理數相乘，積的符號由負因數的個數決定.

當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正.

2.幾個有理數相乘，有一個因數為0,積就為0.

*道小結］

本節(jié)課我們學習了幾個不是0的有理數相乘，積的符號與負因數

的個數之間的關系，還學習了因數含0時的特殊規(guī)律.

◎反思

通過本節(jié)課的學習，學生知道了計算多個有理數相乘時，先看因

數中有沒有o,當有一個因數為。時，結果就為o；當沒有因數為o

時，先確定積的符號，再算各因數的絕對值的積.實際計算時掌握如

下計算技巧：是小數的先化成分數；是帶分數的先化成假分數；用約

分的方法計算正分數相乘的積.

底

課堂訓練

1.D2.B

2.2.2有理數的除法

第1課時有理數的除法

目標

1.認識有理數的除法，經歷除法的運算過程.

2.理解除法法則，體驗除法與乘法的轉化關系.

3.掌握有理數的除法及乘除混合運算.

0to難點

重點：熟練進行有理數的除法運算.

難點：會根據不同情況來選取方法進行除法運算.

過程

痘E1導入I

前面我們學習了“有理數的乘法”，那么自然會想到有理數有除

法嗎？如何進行有理數的除法運算呢？比如"(-12)+(-3)

=?”,回憶小學里乘法與除法互為逆運算，并提問：被除數、除數、

商之間有何關系？

新知|

探究點一有理數的除法及分數化簡

類型一直接判定商的符號進行除法運算

【例1】計算：

(1)(-15)4-(一3)；(2)124-(-4)；

(3)(-0.75)4-0.25.

【解析】采用有理數的除法：兩數相除，同號得正，異號得負,

并把絕對值相除解答.

【解】(1)原式=+(15+3)=5.

(2)原式=—(124-4)——3.

(3)原式=一(0.754-0.25)=一3.

類型二將除法轉化為乘法進行計算

【例2】計算:⑴

⑵(-6)(Y).

【解析】應用法則除以一個不等于0的有理數，等于乘這個有理

數的倒數.如果被除數或除數中有小數或帶分數，要化小數為分數，

化帶分數為假分數.

【解】(1)原式=(_§x|=_*

(2)原式=(-6)X㈠)x(Y)

=-(6x,x￡)=-L

類型三分數的化簡

【例3】化簡下列分數：

(1)—；(2)4(3)空

—73--

2

【解析】采用有理數的除法：兩數相除，同號得正，異號得負，

并把絕對值相除解答.

【解】(1)原式=(-42)4-(-7)=+(424-7)=6.

⑵原式=(_y+3=(-卜嗎=-*

(3)原式=0.3+(—3=0.3義(-2)=一0.6.

探究點二有理數的乘除混合運算

【例4】計算：

⑴-Z5制X(一》

⑵㈢。)X(Y).

【解析】(1)把小數化成分數，同時把除法變成乘法，再根據

有理數的乘法法則進行計算即可；(2)首先把乘除混合運算統(tǒng)一成

乘法，再確定積的符號，然后把絕對值相乘，進行計算即可.

【解】(1)原式=一|x?X(—l)=|xgx：=L

(2)原式=(--)X(——)X(-=—(-X—X-)=—

732732

4.

諼招訓練|

1,下列運算結果錯誤的是()

A.工彳(-3)=3X(—3)=~9

3

1.

B.-5+(=5X2=10

2

C.8+(-2)=一(84-2)=-4

D.04-(-3)=0

2.下列計算正確的是()

72、

A.-3.5+-X(--)=-3

84

2

B,-24-3X3=--

9

C.(-6)X(-i)4-(+-)=-

454

殳計|

第1課時有理數的除法

1.任何數除以一個不為0的有理數，等于乘這個有理數的倒數,

即a^b=aX-(/?0()).

b

2.兩個有理數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.

3.0除以任何一個不為。的有理數，都得0.

快招小結|

本節(jié)課我們學習了有理數的除法運算，學會根據題目的特點，恰

當地選擇有理數的除法法則進行計算.

◎反思

讓學生深刻理解除法是乘法的逆運算，對學好本節(jié)內容有比較好

的作用.教學設計是可以采用課本的引例作為探究除法法則的導入.

讓學生自己探索并總結除法法則，同時也讓學生對比乘法法則和除法

法則，加深印象.

課堂訓練

1.A2.C

第2課時有理數的加減乘除混合運算

目標

1.能熟練地運用有理數的運算法則進行有理數的加減乘除混合

運算.

2.能運用有理數的運算律簡化運算.

3.能利用有理數的加減乘除混合運算解決簡單的實際問題.

4.會用計算器進行有理數的加減乘除混合運算.

篇難點

重點：熟練進行有理數的除法運算.

難點：有理數的四則混合運算.

過程

福3導入|

明代南海才子倫文敘為蘇東坡《百鳥歸巢圖》題的數學詩：

天生一只又一只，三四五六七八只.

鳳凰何少鳥何多，啄盡人間千萬石！

詩中數字：一只又一只，三四五六七八只.在這些數中加上適當

的運算符號就能得到100.

你能說出小學的四則混合運算的順序是怎樣的嗎？

尊算新知|

探究點一有理數的加減乘除混合運算

【例1】計算：

⑴[(-2|)+(-31)]-(-4)X2;

(2)(-130x|+(-6|)x|+(+1961)4-5-(+76|)4-5.

【解】(1)原式=(一?)x(一

_27

40

(2)原式=［(一*)+(~6|)+196^-76i］Xi

=(-20+120)X-

5

=100x2

5

=20.

【方法總結】有理數的加減乘除四則混合運算應注意以下順序：

(1)先算乘除，再算加減；(2)同一級運算，從左到右依次進行；

(3)如有括號，先算括號里的運算，按照小括號、中括號、大括號

的順序依次進行.

探究點二利用計算器進行有理數的混合運算

【例2】用計算器計算：—25+5—15X(一|).

［解］按鍵順序為八一)25為5—15義(一)2,3=|就可得結果

為5.

探究點三有理數混合運算的應用

［例3］已知海拔每升高1000m,氣溫下降6℃.某人乘熱氣球旅

行，在地面時測得溫度是8℃,當熱氣球升空后，測得高空溫度是一

1℃.求熱氣球的高度.

【解析】分析題意，可先求出地面與高空的溫差，再求出氣溫下

降海拔升高多少米，接下來用地面與高空的溫差乘氣溫下降1℃

海拔升高的高度列式計算即可.

【解】根據題意，得［8—(-1)］X(10004-6)=1500(m).

答：熱氣球的高度為1500m.

艇招訓練|

1.計算12+(-3)-2X(-3)的結果是()

A.18B.1()C.2D.18

2.下列運算正確的是（）

111

A.—9+2X2=—9B.6+（1-1）=-1

232

C.li-l-4--=0D.

446244

《康引設計|

第2課時有理數的加減乘除混合運算

1.有理數的加減乘除混合運算的順序：

先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里面的，同級運算從左

到右依次進行.

2.利用運算律簡化運算

3.利用計算器進行有理數的混合運算

4.有理數混合運算的應用

e貧小結］

本節(jié)課我們學習了在進行有理數的加減乘除混合運算時，應注意

有理數混合運算的運算順序：先乘除，后加減，有括號的先算括號里

的.

/區(qū)目反思

本節(jié)課主要講授了有理數的加減乘除混合運算.“先乘除后加

減”的運算順序學生早已熟練掌握，讓學生學會分析題目中所包含的

運算是本節(jié)課的重難點.在教學時，要注意結合學生平時練習中出現(xiàn)

的問題，及時糾正和指導，培養(yǎng)學生良好的解題習慣.

靛

課堂訓練

1.C2.D

2.3有理數的乘方

2.3.1乘方

第1課時有理數的乘方

1.理解并掌握有理數的乘方、幕、底數、指數的概念及意義.

2.能夠正確進行有理數的乘方運算.

3.能利用數學知識解決實際問題，激發(fā)學生學習的興趣，樹立解

決問題的信心.

難點

重點：理解有理數的乘方的意義，會進行有理數的乘方運算.

難點：有理數的乘方的運算及幕的符號法則，認識并理解〃的

非負性.

過程

與人|

從前，有個“聰明的乞丐”，他要到了一塊面包.他想，天天要

飯?zhí)量?，如果我第一天吃這塊面包的一半，第二天再吃剩余面包的

一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，這樣下去，我就永

遠不用去要飯了！請你們交流討論，他的想法合理嗎？再算一算，如

果把整塊面包看成整體“1”，那第七天，將吃到面包的.

學生合作探究：小組交流、合作探索解決問題的數學方法.

新知|

探究點一乘方的意義

【例1】把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數和指數各是什

么.

(1)(-3.14)X(-3.14)X(-3.14)X(—3.14)X(-

3.14)；

/、222222

(2)-X-X-X-X-X-.

555555

【解析】由乘方的定義可知，〃個相同的因數。相乘，記作

其中。為底數，〃為指數.

【解】(1)原式=(-3.14)5,其中底數是一3.14,指數是5.

(2)原式=06,其中底數是|,指數是6.

探究點二有理數的乘方運算

【例2】計算：

3

(1)53；(2)(-3)4；(3)(一3.

【解析】可根據乘方的意義，先把乘方轉化為乘法，再根據乘法

的運算法則來計算.

【解】(1)原式=5X5X5=125.

(2)原式=(-3)X(-3)X(一3)X(-3)=81.

(3)原式=(一；)x(—9)x(一步，

探究點三乘方在實際生活中的應用

【例3】當把紙對折1次時，就得到2層；當把紙對折2次時，

就得到4層，照這樣折下去.

(1)你能發(fā)現(xiàn)層數和折紙的次數有什么關系嗎？

(2)計算當把紙對折6次時，層數是多少？

(3)如果每張紙的厚度是0.1mm,那么把紙對折10次時，總

的厚度是多少？

【解析】本題是一道乘方的實際應用題，可以看出每折1次，層

數增加一倍，即層數=原層數義2,這樣對折1次得到2層，即21層;

對折2次得到2X2=4（層），即22層；對圻3次得到4X2=8（層）,

即23層;對折4次得到8X2=16（層），即24層;……；于是對折

〃次得到2〃層.對折6次，即〃=6時，得到26層；對折1（）次的厚度

為0.1X21O=O.1X1024=102.4（mm）.

【解】（1）設折紙的次數是〃，則折得的層數為2〃.

（2）當把紙對折6次時，n=6,層數為26=64.

（3）當把紙對折10次時，總厚度為0.1X21°=O.1X1024=102.4

（mm）.

或前訓練|

1.（-3）4的意義是（）

A.-3X4B.4個（一3）相加

C.4個（-3）相乘D.3個（一4）相乘

2.下列等式成立的是（）

A.-3X23=-32X2B.-32=（-3）2

C.-23=（-2）3D.-32=~23

《法包設計|

第1課時有理數的乘方

1.有理數的乘方的意義

2.有理數的乘方運算的符號法則：

（1）負數的奇次幕是負數，負數的偶次幕是正數；（2）正數的

任何次轅都是正數；（3）（）的任何正整數次基都是0.

3.與乘方有關的探求規(guī)律問題

快招小結|

本節(jié)課我們學習了有理數的乘方、寡、底數、指數的概念及意義,

還認識并理解了〃的非負性.

反思-0

本節(jié)課的教學以故事引入，提出問題，引導學生積極思考，并得

出答案，由答案的表現(xiàn)形式向學生提出問題，激發(fā)學生的求知欲望.

在教師的啟發(fā)誘導下自然過渡到新知識的學習，接著層層設問，

引出乘方以及與乘方有關的概念，采用歸納類比的方法把新舊知識聯(lián)

系起來，既有利于復習鞏固舊知識，又有利于新知識的理解和掌握.

課堂訓練

l.C2.C

第2課時有理數的混合運算

1.進一步掌握有理數的運算法則和運算律.

2.熟練地按有理數運算順序進行混合運算.

?難點

重點：有理數的混合運算.

難點：正確而合理地進行有理數的混合運算.

過程

福3導入|

前面我們學習了有理數的加、減、乘、除和乘方運算，對各種運

算的法則、運算律和運算技巧已經比較熟悉.如果遇到有理數的混合

運算，你有信心進行準確地計算嗎？如圖所示的是小玲和小亮的對

話，你同意小亮的說法嗎？

先算?方，薪一徐,最后一加減；0/

心?如果有括號，先算一一里面的.理當

新知I

探究點一有理數的混合運算

［例1］計算：［―3?X(i-i)*2-().2］X4工(一2工).

6224

【解】原式十9x(-92-,X|X(-§

=(-9、DXJ(-

=(-9X(-2)

12

5

【方法總結】有理數的混合運算的三個順序：（1）同級運算，

按照從左到右的順序計算；（2）按照先乘方，再乘除，最后加減的

順序計算；（3）如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、

大括號依次進行.

探究點二數字規(guī)律探索

【例2】為了求1+2+22+23+2，+…+22。24的值，可令5=1+2

+22+23+-+22024,則2s=2+22+23+24+…+22您，因此2S-S

=22025—1,所以1+2+22+23+…+22024=22025—1.仿照以上推理，

那么1+5+5?+…+52026=.

【解析】觀察等式，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據規(guī)律即可進行解答.設S

=1+5+52+53+…+52026,55=5+52+53+54+-+52027,55-5=

(-2027--1

52°27_1,所以S=^——1

4

「2027-1

［解］

4

簟皙訓練|

1.計算（11）乂*的值為（）

A.--B.-C.iD.-

4833

2.定義一種新的運算“十”，規(guī)定它的運算法則：a?b=a2+

2。/?.例如，3?(-2)=32+2X3X(-2)=一3,則(-2)?3

的值為—

第2課時有理數的混合運算

有理數的混合運算順序：

先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面

的.

俄貧小結|

本節(jié)課我們學習了有理數的混合運算的法則，并能進行有理數

加、減、乘、除、乘方的混合運算，學會了在運算過程中合理地使用

運算律簡化運算.

反思

有理數的運算是數學中很多其他運算的基礎，培養(yǎng)學生正確迅速

的運算能力，是數學教學中的一項重要目標.在這個過程中，教師重

點引導學生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤，規(guī)范學生的解答過程，讓學生養(yǎng)成良好

的解題習慣.

答案

課堂訓練

1.A2.-8

2.3.2科學記數法

目標

1.了解科學記數法的意義.

2.會用科學記數法表示較大的數.

3.能將用科學記數法表示的數還原為原數.

卷晅篇難點

重點：正確使用科學記數法表示大于10的數.

難點：探究用科學記數法表示大于1()的數的方法.

過程

唱曷導入I

生活中，我們還常會遇到一些比較大的數.例如：

(1)第七次人口普查數據顯示全國總人口為1443497378人；

(2)光的速度約為300000000m/s；

(3)地球平均半徑約為6371000m；

(4)地球離太陽約有一億五千萬千米；

(5)地球上煤的儲量估計在15萬億噸以上.

像這些較大的數據，書寫和閱讀都有一定的難度，那么有沒有這

樣一種表示方法，使得這些大數易寫、易讀、易于計算呢？

尊算新知|

探究點一用科學記數法表示大數

【例1】為加快推進“十四五”期間“雙一流”建設，全面提升

高等教育內涵發(fā)展水平，江西省下達2023年“雙一流”建設資金

8.82億元，統(tǒng)籌用于“雙一流”建設，推動相關高校加強內涵建設、

提升學校綜合實力、核心競爭力和影響力，不斷提升江西省高等教育

服務的能力和水平.8.82億這個數據用科學記數法表示()

A.8.82X108B.88.2X107

C.0.882X109D.8.82X109

【解析】8.82億=882000000=8.82X108.

【答案】A

【方法總結】對帶“萬”“千萬”“億”等單位的數用科學記數

法表示時，要先化成不帶單位的數，再用科學記數法表示.

探究點二將用科學記數法表示的數轉換為原數

【例2】下列用科學記數法表示的數，原數是什么？

(1)中華民族的母親河黃河，發(fā)源于巴顏喀拉山脈北麓，注入

渤海,流域面積約為7.5X105km2；

(2)一套《辭?！反蠹s有l(wèi).7Xl(r個字.

【解析】將科學記數法10〃表示的數還原成通常表示的數，

就是把〃的小數點向右移動〃位所得到的數.

【解】(1)7.5X105=750000.

(2)1.7X107=17000000.

靠前訓練|

L—26800()用科學記數法表示為()

A.-268X103B.-268X104

C.-26.8X104D.-2.68X105

2.黨的二十大報告中指出，我國全社會研發(fā)經費支出從一萬億元

增加到二萬八千億元，居世界第二位，研發(fā)人員總量居世界首位,將

280()()()()()0()000用科學記數法表示為()

A.0.28X1013B.2.8X10"

C.2.8X1012D.28X10”

3.已知有理數”有8位整數.若M=aX10〃，則n=.

C疣鐘設計|

2.3.2科學記數法

科學記數法：

(1)把大于1()的數表示成QX1()〃的形式；

(2)。的范圍是1WIaI<10,〃是正整數；

(3)n比原數的整數位數少1.

*道小結］

本節(jié)課我們學習的是科學記數法以及理解和掌握把一個數寫成

科學記數法的形式的方法，并能將用科學記數法表示的數轉換為