2025-2026學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)北師大版期中必刷?？碱}之一元二次函數(shù)

與一元二次不等式

一.選擇題（共6小題）

I.已知拋物線y=o?+〃.r+c開口向上，與x軸有一正一負兩個交點，其頂點坐標為（4,-II）,則

c中符號為正的是（）

A.僅。B.僅力C.僅cD.a,b

2.（2024秋?泰州期末）若函數(shù)/（X）=/+3在區(qū)間（-00,2)上單調(diào)遞減，則實數(shù)機的取值范圍是

)

A.(-00,2]B.[2,+oo)C.(-8,4]D.[4,+oo)

3.（2024秋?和田縣期末）不等式-3/+7/-2V0的解集為（)

11

A.0，2)B.(—8,可)U(2,+co)

C.~|)

D.(2,+oc)

4.（2025?烏蘭察布校級三模）己知/（x）=fbx是定義在［2〃-3,4〃］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（)

11

A.B.-C.D.-

32

5.（2025?曲靖一模）已知集合4={川(A-6)(x-10)<0},8={6,7,8,9,10},則4rB=()

A.{6,7,8,9,10)B.{7,8.9}

C.(6,10)D.(7,9)

6.（2024秋?吉林期末）已知不等式ad+^+cVO的解集為{x|x<-1或x>3},則下列結(jié)論正確的是（)

A.67>0

B.cVO

C.a+b+c<0

D.胃2-兒+〃<0的解集為{丫|一段一<1}

二,多選題（共3小題）

（多選）7.（2025春?個舊市校級月考）若關(guān)于工的不等式ar2-4x+2<0有實數(shù)解，則a的值可能為（)

A.0B.3C.1D.-2

（多選）8.（2025秋?丹江口市校級月考）如圖，二次函數(shù)y=a?+/狀+c（叱0）的圖象與x粕的一個交點

為（-1,0）,對稱軸為直線“=2.則下列說法正確的有（）

A.abc>0

B.a+2c<-b

C.c-3a=0

D.若點、M（xi,y］）,N（X2,）2）是拋物線上的兩點，若xVx2,則yiV”

（多選）9.（2025?陜西學(xué)業(yè)考試）已知關(guān)于x的不等式/+版-。>0的解集為3-3V.Y2},則下列選項

正確的是（）

A.a<0

B.a+b+c>0

C.關(guān)于x的不等式bx+c>0的解集為{X|AV-6}

D.關(guān)于x的不等式c.r+bx+a>0的解集為{x|xV-羨或

三,填空題（共3小題）

10.（2025?楊浦區(qū)校級開學(xué)）已知不等式』-6X+4（6-。）V0的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)”的取值

范圍為.

11.（2025秋?南京月考）（1）若不等式沙對一切實數(shù)X都成立，則實數(shù)m的取值范圍

為.

（2）若1<r<2,不等式，+"ix+〃?K）恒成立，則實數(shù)m的最小值為.

12.（2025?浦東新區(qū)校級模擬）若不等式A-2-ax-+4<0對任意xE［1,3］恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

為.

四.解答題（共3小題）

13.（2024秋?澄江市校級期末）已知二次函數(shù)/（x）=cuc1+bx+c（a>（））的零點為1,2,且函數(shù)g（x）=畢

在（0,+8）取得最小值為4夜一6.

（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；

（2）解關(guān)于x的不等式/（x）<2（A-6）x+4+6入，AGR.

14.（2024秋?六盤水校級期末）己知函數(shù)/（x）=0?+/求+2,&bER.

(1)當(dāng)a=0時，若/(/(x))=4x-2,求實數(shù)〃的值；

(2)若/(2)=4,求/(x)V?2計8的解集.

15.(2024秋?沈河區(qū)校級月考)已知一元二次函數(shù)>，=?+依+。(〃，bER)有兩個相等實根，若關(guān)于x的

不等式x1+ax+b<m的解集為(c,c+273).

(1)求實數(shù)，〃的值；

14

(2)若丫>I.v>0.x+y=m,求----+一的最小值.

'x-1y

A.（-oo,2]B.[2,4-co）C.(?8,4]D.[4,+00)

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用：運算求解.

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程及開口方向，由題意可解得加的范圍.

【解答】解：函數(shù)/（X）=/-3+3開口向卜.對稱軸方程為后夕.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,￡],

m

要使在區(qū)間（-8,2）上單調(diào)遞減，則萬“，解得/佗4.

即〃?的范圍為[4,+00）.

故選：D.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024秋?和田縣期末）不等式-3/+7X-2V0的解集為（）

11

A.（耳，2）B.（-8,w）U（2,+co）

C.（--W）D.（2,+cc）

【考點】解一元二次不等式.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】B

【分析1根據(jù)一-元二次函數(shù)的因式分解和不等式的性質(zhì)求解一元二次不等式的解即可.

【解答】解：由-3X2+7X-2<0可得3）-7x+2>0.

所以x>2或不

所以不等式的解集為（一8,}u（2,4-00）.

故選：B.

【點評】本題主要考杳了二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2025?烏蘭察布校級三模）已知/（x）=/+/u-是定義在[2〃?3,43上的偶函數(shù)，那么a+b的值是（）

11I1

A.-3B.-C.-5D.一

3322

【考點】二次函數(shù)的圖象及其對稱性.

【專題】方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維.

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)區(qū)間的對稱性，可求出4,再根據(jù)偶函數(shù)/(%)=/(?X),求出〃，從而求出什反

【解答】解：因為/(X)=/+班是定義在門〃-?,4〃］上的偶函數(shù)，所以區(qū)間［2。-3,43關(guān)于原點對

稱，

則2a-3+4。=0,解得a=

又/(1)=f<-I)>即u+b=a-b,所以〃=0,

故a+b=2?

故選：。.

【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2025?曲靖一模)已知集合4=3(x-6)(%-10)<0},B={6,7,8,9,10},貝U()

A.{6,7,8,9,10}B.{7,8,9}

C.(6,10)D.(7,9)

【考點】解一元二次不等式；求集合的交集.

【專題】整體思想；綜合法；集合；運算求解.

【答案】B

【分析】先求出集合A,然后結(jié)合集合交集運算即可求解.

【解答］解：A={x\(x-6)(x-10)<0}=(6,10),8={6,7,8,9,10),

則AC8={7,8,9).

故選:B.

【點評】本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2024秋?吉林期末)已知不等式/+以+cV0的解集為{小V-1或x>3},則下列結(jié)論正確的是()

A.。>0

B.c<0

C.a+b+c<0

D.c?-bx+a<0的解集為卜|一當(dāng)VI}

【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用：運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式加+法+c<0的解集得出對應(yīng)方程的解，以及。<0,由此判斷選項中的命題是否正

確.

【解答】解：因為不等式/+云+c<0的解集為｛小<-I或x>3｝,

所以?1和3是方程av2+^v+c=0的解，且a<0,選項A錯誤；

b

「-1+…3=----

所以|「0,解得力=-〃，c=-3a>0,選項8錯誤；

-1x3=7a

所以a+b+c=a-2a-3a=-44>0,選項C正確；

不等式er2-bx+a<（）可化為-Bo^+Zor+aVO,即3』-2x-\<0,

解得一當(dāng)<r〈l，所以不等式的解集為｛x|—1<rVI｝，選項D正確.

*DD

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

二,多選題（共3小題）

（多選）7.（2U25春?個舊巾校級月考）若關(guān)于x的不等式ax1-4x+2<0自實數(shù)解，則a的值可能為（）

A.0B.3C.ID.-2

【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù).

【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】ACD

【分析】分類討論，利用判別式法列式求解即可.

【解答】解：當(dāng)a=0時，不等式-4X+2V0有解，符合題意，

當(dāng)aVO時，得A=16?8o>0,則不等式—?4x+2V0有解，

當(dāng)〃>（）時，由A=l6-8〃>0,解得0V〃V2,

綜上，a的取值范圍為（-8,2）,對照選項，選項AC。中。的值符合題意.

故選：ACD.

【點評】本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）8.（2025秋?丹江口市校級月考）如圖，二次函數(shù)y=ad+加+c（〃加）的圖象與x粕的一個交點

為（?1，0）,對稱軸為直線二=2.則下列說法正確的有（）

A.abc>0

B.a+2c<-b

C.c-3a=0

D.若點、M（xi,y］）,N（X2,）2）是拋物線上的兩點，若xVx2,則yiV”

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】AB

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)對每個選項進行判斷即可.

【解答】解：因為二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為（-1,0）,對稱軸工=2,函數(shù)的圖像過（5,0）,

則/（-1）=a-/?+（?=（）,

由圖象可以看出，。>0,cVO,

因為二次函數(shù)的對稱軸為尸2,所以一名二2,即力=-4〃<0,

人中，可得"。>0,所以A正確：

C中，將6=-4“代入a-/7+c=O中，得c=-5a,所以C錯誤；

B中,因為。+2c+b=2/?+c,b<0,c<0,所以2計cVO.

所以a+2c+bV0,BPa+2c<-b,所以8正確：

。中，當(dāng)M,N均在對稱軸左側(cè)，由于在對稱軸左側(cè)拋物線是單調(diào)遞減的，

所以如果X1VX2,則戶>），2,所以。錯誤.

故選；AI3.

【點評】本題考查由二次函數(shù)的圖像可得它的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）9.（2025?陜西學(xué)業(yè)考試）己知關(guān)于x的不等式af+hLcX）的解集為3-3<rV2},則下列選項

正確的是（）

A.4Vo

B.a+b+c>0

C.關(guān)于x的不等式bx+cX）的解集為{?中V-6}

D.關(guān)于A-的不等式c/+法+。>0的解集為&|xv-裊

OL?

【考點】解一元二次不等式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式oA以+c>0的解集，判斷。V0,且得出對應(yīng)方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得

出。、c與a的關(guān)系，由此求解即可.

【解答】解：因為不等式al+bx+cX)的解集為{M-3VXV2},所以aVO,選項A正確：

因為1W{M-3cx〈2},所以a+〃+c>0,選項B正確；

[-3+2=--/

由題意知，-3和2是方程ar+Z>x+c=0的兩根，則{。，解得b=a,c=-6a；

-3x2=-a

所以不等式bx+c>0可化為6a>0,|tlaVO,得x-6V0,解得xV6,得解集為{x|xV6},選項C

錯誤；

不等式cf+Zzr+a>0可化為-6ax2+ax+a>0,即6x2-x-\>0,解得xV一/或所以解集為{MrV

一裊選項。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

三.填空題(共3小題)

10,(2025?楊浦區(qū)校級開學(xué))已知不等式』-6x+a(6-a)V0的解集中恰有三個整數(shù)，則實數(shù)〃的取值

范圍為[1,2)U(4,5].

【考點】由一元二次不等式的解求參數(shù).

【專題】分類討論；定義法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】[1,2)U(4,5].

【分析】求出不等式的解集，根據(jù)解集中恰有二個整數(shù)，利用分類討論法，求解即可.

【解答】解：不等式f-6x+a(6?a)V0可化為(x-a)(x?6+〃)VO,

當(dāng)a=6-a,即。=3時;不等式的解集為0；

當(dāng)“>6-4，即4>3時'，解不等式得6-aVxVa,

不等式的解集中一定有3,若3個整數(shù)分別為1,2,3,則1°"6一"〈I,無解；

13<a<4

若3個整數(shù)分別是2,3,4,則［I"一。?解得4〈咨；

若3個整數(shù)分別是3,4,5,m［2-6~a<2,無解；

15<a<6

當(dāng)a<6-。，即“V3時，解不等式得〃VxV6-4，

因為6-。>3,所以不等式的解集中一定有3,

若3個整數(shù)分別為1,2,3,,無解；

若3個整數(shù)分別是2,3,4,Rlj（1-a<2,解得1口<2；

14<6-a<5

若3個整數(shù)分別是3,4,5,Wj（2-a<3，無解；

15<6-a<6

綜上，a的取值范圍是［1,2）U（4,51.

故答案為：［1，2）U（4,5］.

【點評】本題考查了不等式的解法與應(yīng)用，是中檔題.

II.（2025秋?南京月考）（1）若不等式nd+nvHX）對一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)次的取值范圍為」0r

4J_.

（2）若1沁2,不等式/+/內(nèi)+〃20恒成立，則實數(shù)〃?的最4、值為.

Z

【考點】一元二次不等式恒成立問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】（1）［0,4］；

（2）-1.

【分析】（1）二次項含參數(shù)〃?，需對〃?是否為。進行討論；

（2）分離參數(shù)即可求解.

【解答】解：（1）若m=0,則不等式為1K）,顯然恒成立；

若〃苗），〃以2+〃WHK）對一切實數(shù)X都成立，

則解得0<心

,4=m2—4xmxl=m（m—4）<0,

綜上所述，機的范圍為［0,4］；

（2）因為1至2,所以x+l>0,則/+加+/佗0,

即皿之一魯，

Y211

令八（"）=_申=_『=_1121（日爛2），

退（花）T

則〃?大于或等于〃（X）的最大值即可,

,113112141

可得3<-<1=>-<（-+-）--<2=,--</i（x）<--，

則m>故實數(shù)m的最小值為一*.

故答案為:（1）［0,4］；（2）-i

【點評】本題考查函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2025?浦東新區(qū)校級模擬）若不等式，-^4<0對任意,vG［L3］恒成立，則實數(shù)”的取值范圍為［5,

+8）.

【考點】一元二次不等式恒成立問題.

【專題】整體思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解.

【答案】［5,+oo）.

【分析】一元二次不等式的恒成立問題可采用參變分離來求解，本題解得/?=%+（在口，3］上的最

大值即可.

【解答】解：因為/-a什4式對任意在［1,3］恒成立，

4

則a>x+反對任意xe［l,3］恒成立,

根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可知，/Q）=x+（在（1,2）上單調(diào)遞戒，在（2,3）上單調(diào)遞增，且/（1）=5,

/⑶=爭13

則f（Y）=Y+/［1.勺上的最大值為/⑴=S,

則a>（x+^）max=5,

故實數(shù)。的取值范圍為［5,-0）.

故答案為：［5,+8）

【點評】本題主要考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.

四,解答題（共3小題）

13.(2024秋?澄江市校級期末)己知二次函數(shù)/(x)=〃/+Zu+c(a>0)的零點為1,2,且函數(shù)g(x)=亨

在(0,+8)取得最小值為4夜一6.

(1)求二次函數(shù)/(x)的解析式；

(2)解關(guān)于工的不等式/(x)<2(A-6)x+4+6入，入6R.

【考點】由一.次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù)；解一元二次不等式.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】(l)/(x)=2A2-6A+4；

(2)當(dāng)人=-3時，不等式的解集為0；

當(dāng)入V-3時，不等式的解集為(入，-3)；

當(dāng)人>?3時，不等式的解集為(?3,入).

【分析】(1)根據(jù)零點列出方程組，再結(jié)合g(x)的最小值即可求解；

(2)將(I)求出的函數(shù)的解析式代入不等式，分類討論即可求出不等式的解.

【解答】解：(1)因為二次函數(shù)/(*=af+bx+c(心0)的零點為1,2,

所以/+°z所以辦=?3小c=2a,/(x)=a(?-3x+2).

又函數(shù)g(x)=6g在(0,+oo)取得最小值為4四一6,

而9(x)==a(x+叁)-3Q,?>0,xE(0,+oc),

由基本不等式可得工+|22夜，

則g(x)>2\[2a-3a=4>j2-6,當(dāng)且僅當(dāng)％=加時取等號，

貝ija=2,f(x)=2?-6x+4.

(2)由(1)可得關(guān)于x的不等式/?(A-3)x-3X<0,所以(x+3)(x-A)<0,

當(dāng)人=-3時，x不存在；

當(dāng)入V-3時，，解得入<xV-3,

當(dāng)人>-3時，解得-3VxV入，

綜上，當(dāng)入=-3時，不等式的解集為0；

當(dāng)入V?3時，不等式的解集為(入，-3)；

當(dāng)人>-3時，不等式的解集為(-3,人).

【點評】本題主要考查了基本不等式求解最值，還考查了二次不等式的求解，體現(xiàn)了分類認.論思想的應(yīng)

用，屬于中檔題.

14.(2024秋?六盤水校級期末)己知函數(shù)/(x)=(vr+bx+2,a,beR.

(1)當(dāng)a=0時，若/(/(%))=4.12,求實數(shù)〃的值；

(2)若/(2)=4,求/(x)V-2x+8的解集.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象.

【專題】分類討論；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解，

【答案】(1)b=-2；

(2)。=0時,不等式的解集WrV2｝：

。>0時，不等式的解集為葉[CV2｝;

Q=T時，不等式的解集為｛中劃；

—,Va<"0時，不等式的解集為｛.小<2或無>—]｝；

3

-不等式的解集為｛也v—或

21x>2).

【分析】(1)。=0,可得/(口的解析式，由/(/(幻)的解析式，由題對應(yīng)項的系數(shù)相等，即求出〃

的值；

(2)由/(2)=4,可得a,b的關(guān)系，分類討論，可得不等式的解集.

【解答】解：(1)a=0,f(x)=bx+2,f(.f(x))=b(bx+2)+2=b2x+2b+2=4x-2,

則圖：：2，

12b4-2=-2

解得力=-2：

(2)/(2)=4a+2b+2=4,則b=\-2a,不等式/(x)<-2x+8為o?+(1-2a)x+2<-2v+8,

即ar+(3-2a)x-6<0,即(x-2)(av+3)<0,

若〃=0,不等式化為x-2V0,解為xV2,

若a>0,不等式化為(％-2)(工+3V0,解得一(V%<2,

若。VO,不等式化為(％-2)。+》〉0,

。=一?時，不等式為(x-2)2>0,解為*2,

TVQ<0時，一搟>2,不等式的解為x<2或

乙L4(X

aV-^時，<2,不等式的解為xV—或x>2,

綜上：。=0時，不等式的解集｛M%<2｝；

。>0時，不等式的解集為葉1v%<2｝;

Q=-,時，不等式的解集為｛中劃；

一3vQ〈0時，不等式的解集為｛.巾<2或%>一1｝；

aV—5時，不等式的解集為｛很<―焉或x>2｝.

【點評】本題考查分類討論求?元二次不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2024秋?沈河區(qū)校級月考）己知一元二次函數(shù)），=/+公+〃（小bER）有兩個相等實根，若關(guān)于x的

不等式x2+ax+b<m的解集為（c,c+2，5）.

（1）求實數(shù)m的值；

14

（2）若x>l,y>0,x+y=nv求---+一的最小值.

x-1y

【考點】解一元二次不等式；運用基本不等式求最值.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)已知可得a,b的關(guān)系，由關(guān)于x的不等式的解集可得/+。無+。一m=0的兩個根，

結(jié)合2d正=c+26—c,即可求解；

（2）根據(jù)2”的代換,利用基本不等式即可求解.

【解答】解：（1）因為），=/+0什人（a,bER）有兩個相等實根，

可得A=/-4b=0,

可得b=9，

因為不等式/（x）V，〃的解集為（c，C+2V3）,

可得/+的解集為（c,c+2，5）且機>0,

“2L

所以/+ax—m=0的兩個根為c,c+2x^3,

乂x=—

可得=c+2\/3—c,

所以772=3；

（2）由題意x>1,y>0,x+y=3,

可得x-l+y=2,

可得E4

+-

y

4

斗告+-)(x-14-y)

=加+吉+中

>1(5+2V4)

=￡,當(dāng)且僅當(dāng)y4g)，即％y=細,等號成立,

4x-1y

149

可得一；+一的最小值為

x+ly2

【點評】本題主要考查了二次不等式的解集端點與二次方程的根的關(guān)系，還考查了利用乘1法配湊基本

不等式的應(yīng)用條件，屬于中檔題.

考點卡片

1.求集合的交集

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AQB.

符號語言:AQB={x\xeA,且xWB}.

八「由實際理解為：人是A且是￡中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集.

運算性質(zhì)：

①AnB=8nA.(2)/100=0.③An4=A.④ACI8GA,AQBQB.

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”與“且”混用；求交

集的力法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)袖、韋恩圖.

【命題方向】

掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

已知集合A={xWZ|rH20},B={x|?-x-6<0},則408=()

解：因為A={x￡Z|"整0}={x€ZLa-1},^={4r-.v-6<0)={x|-2<x<3},

所以ACW={-1,0,1,2}.

故選：D.

2.運用基本不等式求最值

【知識點的認識】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或

等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：若2位(生。以))，變形為。后(?)2或者。+佗2質(zhì).

【解題方法點撥】

在運用均值不等式求最值時，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式.例如，要求代數(shù)式X+1的

最小值，可以利用均值不等式％+】工2從而得出最小值為2,并且在x=\時取到最小值.需要注意

的是，運用不等式時要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進行必要的等號條件驗證.

【命題方向】

均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計等.例如，求解一個代數(shù)

式的最小值，或設(shè)計一個幾何圖形使其面積最大.這類題型要求學(xué)生能夠靈活運用均值不等式進行最值求

解，并能正確代入和計算.

已知正數(shù)小人滿足〃+〃=1,則&Z+1+―/?+1的最大值是.

解：因為正數(shù)4,0滿足。+。=1,

所以a+\+b+\=3,

則仿TT+VFTT<2『+1產(chǎn)1=歷，

當(dāng)且僅當(dāng)。=方=以寸取等號.

故答案為：瓜

3.二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變

量的變化而變化.它的一般表達式;為：y=a^+b.x+c（省0）

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有

可能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學(xué)的拋物

線的焦點、準線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當(dāng)心0（〈0）時，圖象開口向上（向下）；對稱軸后-品

最值為：/（一/）；判別式△=戶?4?,當(dāng)△=（）時，函數(shù)與x軸只有一個交點；a〉。時，與x軸有兩

個交點；當(dāng)AV。時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若△K），且XI、X2為方程產(chǎn)ad+bx+c的兩根，則有X|+X2=XI?X2=泉

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以f=2〃），的焦點為（0,占），準線方程為），=-9含義為拋物線

24

上的點到到焦點的距離等于到準線的距離.

④平移：當(dāng)>=〃（x+Z?）2+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成（x-1+Z?）2+c；

【命題方向】

熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，會畫出摭物線的準確形狀，特別是注意拋物線焦點和準線的關(guān)系，拋物線最值得

取得，這也是一個?？键c.

4.二次函數(shù)的圖象及其對稱性

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量

的變化而變化.它的一般表達式為：y=ax2+hx+c("卻)

【辭題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可

能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學(xué)的拋物線

的焦點、準線和曲線的平移.

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當(dāng)a>O(VO)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸后-2

4a

最值為：/(-白)；判別式△=〃?4ac,當(dāng)△=()時，函數(shù)與1軸只有一個交點；時，與x軸有兩

個交點；當(dāng)AVO時無交點.

②平移：當(dāng)(x+Z?)?+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成(x-1+/?)2+c；

-確定對稱軸x=-黑

?確定頂點坐標(一/，/■(―/))?

-根據(jù)a的正負確定開口方向.

-繪制拋物線，標注對稱軸與頂點.

【命題方向】

考查二次函數(shù)圖象的繪制及其對稱性的判斷與應(yīng)用題.

如圖為二次函數(shù))，=-/+公+。的圖象，則下列說法正確的是()

A.方程歷2-ex-1=0的解集為｛-1,1)

B.不等式Av2-ex-IWO的解集為［一［，1］

C.不等式-/+班+金()解集為［1,4］

81

D.函數(shù)y=c/-x+b的最大值為77

16

解：由圖可知，方程-/+/zr+c=O的解為xi=l,X2=4,

則Z?=5,-c=4,EPb=5,c=-4,

］

對于A,方程b??ex-1=0即為5.r+4x-1=0,解得x=-1或一，

5

所以方程bx2-ex-1=0的解集為｛—1,1),故A正確；

對于B,不等式bx1-ex-1<0即為5/+4x-1W0,

由A選項知，不等式的解集為［—1,故B錯誤；

對于C,不等式-/+飯+吟0即為-/+54-420,解得\<x<4,

所以不等式-，+云+吟0解集為［1,4］,故C正確；

對于。，y=c^?-x+b=-4A-2-x+5,

181

當(dāng)工=-五時，函數(shù)取得最大值77，故。正確.

H16

故選：ACD.

5.由二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式或參數(shù)

【知識點的認識】

二次函數(shù)相對于一次函數(shù)而言，顧名思義就知道它的次數(shù)為二次，且僅有一個自變量，因變量隨著自變量

的變化而變化.它的一般表達式為：y=a.x2+hx+c(〃女))

【解題方法點撥】

二次函數(shù)是一個很重要的知識點，不管在前面的選擇題填空題還是解析幾何里面，或是代數(shù)綜合體都有可

能出題，其性質(zhì)主要有初中學(xué)的開口方向、對稱性、最值、幾個根的判定、韋達定理以及高中學(xué)的拋物線

的焦點、準線和曲線的平移.

這里面略談一下他的一些性質(zhì).

①開口、對稱軸、最值與x軸交點個數(shù)，當(dāng)。>0(<0)時，圖象開口向上(向下)；對稱軸犬二-懸

最值為：/(一與)；判別式△=/-4ac,當(dāng)^=0時，函數(shù)與％軸只有一個交點；△>0時，與工軸有兩

個交點；當(dāng)△<()時無交點.

②根與系數(shù)的關(guān)系.若△之0,且巾、X2為方程y——+力比+。的兩根，則有xi+x2=-%xrx2=:;

③二次函數(shù)其實也就是拋物線，所以7=20，的焦點為（0,9），準線方程為）=-號，含義為拋物線

24

上的點到到焦點的距離等于到準線的距離.

④平移：當(dāng)y=a（x+匕）？+c向右平移一個單位時，函數(shù)變成y=4（x-\+b）2+c；

-根據(jù)題目提供的信息設(shè)定二次函數(shù)的一般形式f（X）=o?+以+c.

一代入已知條件（頂點、對稱軸、開口方向等），建立方程組.

-解方程組，求出小〃，c參數(shù).

【命題方向】

涉及二次函數(shù)解析式或參數(shù)的求解，常見題型包括已知頂點與某點，求解析式或參數(shù).

已知二次函數(shù)/（x）=/-2（〃-I）x+4.

（I）若.f（x）為偶函數(shù)，求/G）在L3,1］上的值域；

（2）當(dāng)工曰1,2］時，/（x）>aL恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)/5）=--2（?-1）x+4,為二次函數(shù)，具對稱軸為x=a-l.

若/（X）為偶函數(shù)，則4-1=0,解可得4=1,

貝Ijf（x）=/+4,又由-3SE1,貝IJ有4g（x）<13,

即函數(shù)f（x）的值域為［4,13］.

（2）由題意知x€［l,2］時，f（x）>以恒成立，即/-（3d-2）.v+4>0：

方法一：所以3a-2V。/恒成立，

因為.隹［1,2］,

工2+44/4A

所以-----=x+->2x--=4,當(dāng)且僅當(dāng)％=7，即x=2時等號成立.

所以%-2V4,解得〃V2,所以〃的取值范圍是（-8,2）.

方法二：令g（x）=AT-（3a-2）x+4,

所以只需g（x）>nin>（）,對稱軸為Y=生色工，

,3a—241._

當(dāng)一^—<1,即Q<4時，g（X）niin=g（1）=7-3。>0,

解得av（,

故QW小

當(dāng)IV殍<2,即（VQ<2時，gQ）min=g（亨）=4—2￡^Z>O,

解得一KV*QV2，

?J

4

故一<a<2,

3

,3a-2

當(dāng)----->2,即色2,g(x)加“=g(2)=12-6。>0,

2

解得〃V2,舍去.

絳上所述，a的取值范圍是(-8,2).

6.解一元二次不等式

【知識點的認識】

含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是aF+版+c>0或

axI+bx+c<0(a不等于0)其中ad+反i+c是實數(shù)域內(nèi)的二次三項式.

特征

當(dāng)A=b2-4ac>0時，

一元二次方程蘇+云+<?=0有兩個實根，那么ad+法+?？蓪懗伞?x-xi)(x-X2)

當(dāng)A=b2-4ac=()時，

一元二次方程ax1+bx+c=0僅有一個實根，那么a?+/?x+c可寫成a(x-x\)2.

當(dāng)A=lr-4tzc<0時.

■—元二次方程ax1+bx+c=0沒有實根，那么a^+bx+c與x軸沒有交點.

【解題方法點撥】

例1：一元二次不等式)<X+6的解集為.

解：原不等式可變形為(x-3)(x+2)<0