九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（華東師大版）

全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：華東師大版九年級上冊第21章-第23章。

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。）

1.小東同學(xué)對教材第16章《二次根式》的概念進(jìn)行了整理，請你幫助他選出錯(cuò)誤的一項(xiàng)（）

A.二次根式：形如右、0）的式子叫做二次根式

B.代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接

起來的式子

C.最簡二次根式的條件：①被開方數(shù)不含字母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

D.二次根式的加減：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的最簡二次根式進(jìn)行合并

【答案】C

【詳解】解：A.二次根式定義為形如人（。20）的式子，表述正確，不符合題意；

B.代數(shù)式是用基本運(yùn)算符號（包括加、減、乘、除、乘方、開方）連接數(shù)或字母的式子，開方屬于基本運(yùn)

算，表述正確，不符合題意；

C.最簡二次根式的條件應(yīng)為：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.選項(xiàng)C

中“被開方數(shù)不含字母”錯(cuò)誤，例如技（x>0且不含平方因子）是最簡二次根式，但含字母，故該選項(xiàng)表

述錯(cuò)誤，符合題意；

D.二次根式加減需先化簡為最簡形式，再合并被開方數(shù)相同的項(xiàng)，，表述正確，不符合題意.

綜上，錯(cuò)誤選項(xiàng)為C.故選C.

2.阿基米德曾說過“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能橇動整個(gè)地球.”這句話生動體現(xiàn)了杠桿原理一通過調(diào)整支點(diǎn)位置

和力臂長度，用較小的力就能撬動重物.這一原理在生活中隨處可見，比如用撬棍搬石頭、用剪刀剪

紙，甚至開瓶器開啤酒，都是杠桿的巧妙運(yùn)用.如題圖①，這是杠桿撬動石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠

桿時(shí)，另一端會翹起，石頭就撬動了.如題圖②所示，的距離為5cm,動力臂Q4=18cm,阻力臂

OB=6cm,則/C的長度為（）cm.

圖①

A.15B.12

【答案】A

AQA(~)

【詳解】解：，BD1AB,:.AC//BD,...4AOCS4BOD,---=—

BDOB

2。的距離為5cm,動力臂。4=18cm,阻力臂05=6cm,

半T，AC=15,的長為15cm.故選：A.

56

3.【新考向】對一元二次方程/+6x=9,某學(xué)習(xí)小組給出了下列結(jié)論:

甲：這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；乙：設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根分別為不，%,則有玉+%=-6,

XjX2=9,

丙：這個(gè)方程利用因式分解法最簡單，其根為x=-3；T：這個(gè)方程的解為占=-3+3加,

X,=-3-3A/2

老師看后說只有兩個(gè)同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則這兩位同學(xué)是（）

A.甲和乙B.甲和丁C.乙和丙D.丙和丁

【答案】C

22

【詳解】,?,X+6X=9,.'-X+6X-9=0,

2

A=6—4x1x（—9）=36+36=72>0,+x2=—6,xrx2=—9,故乙錯(cuò)誤；

??.這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故甲正確；

_.x=-6±V72=-6±6V|；...X=-3+3A/2,x2=-3-372,故丁正確，丙錯(cuò)誤；故選：C.

2x12

4.下列計(jì)算正確的是（）

c加=亍

【答案】c

【詳解】解：A、Q無意義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、77=|a|,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、噤=g=孚，故本選項(xiàng)符合題意；D、（&+1）2=3+2血，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C.

5.我國古代數(shù)學(xué)家研究過一元二次方程的正數(shù)解的幾何解法.以方程/+2》-35=0,即x（x+2）=35為例

加以說明，三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽（公元3?4世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：

構(gòu)造如圖中大正方形的面積是（x+x+2『，同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即

4x35+22,據(jù)此易得尤=5.小剛用此方法解關(guān)于x的方程=0時(shí)，構(gòu)造出同樣的圖形，已知

大正方形的面積為81,小正方形的面積為25,則關(guān)于x的方程x?+加x-”=0的正數(shù)解為（）

【答案】D

【詳解】解：如圖，由題意得：加2=25,4n=81-25=56,解得：m=5,〃=14.

(x+x+m)2=(x+x+5)2=81,x=2,x=-7(舍去)故選：D.

6.小明在學(xué)習(xí)電路圖時(shí)，通過實(shí)驗(yàn)探究得到并聯(lián)電路的電阻公式：!+!=!，這讓他聯(lián)想起數(shù)學(xué)課堂上

曾經(jīng)證明過的一個(gè)結(jié)論和這一公式有驚人的相似：若4B工BC、DC1BC（AB<CD）,連接/C和AD

1112

相交于E,過￡作印」5。于尸，WJ—+—=—.若EF）,且以45、為寬和長的矩形的面

ABCDEF3

積等于2,則以45、。。的長度為根的一元二次方程為（）

A.%2—3x+2=0B.%2—3x—2=0C.x2—2x+3=0D.x2+2x-3=0

【答案】A

113AB+CD3

【詳解】解：由題意可知，—+—=4,

AnCD2ABCD-5

??,以45、CO為寬和長的矩形的面積等于2,.?.初?。0=2,.?./3+CQ=3,

??.以CD的長度為根的一元二次方程為3工+2=0,故選：A.

7.【閱讀材料】學(xué)習(xí)了《二次根式》后，小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn):

當(dāng)°>0,6>0時(shí)：-^y/a>0,■'-a-2y[ab+b>0.

?-a+b>24ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號，即當(dāng)。=6時(shí)，6有最小值為2，^.

【學(xué)以致用】根據(jù)上面材料回答下列問題：

小明同學(xué)要做一個(gè)面積為1250cm,對角線互相垂直的四邊形風(fēng)箏（如圖所示），則用來做對角線

（/C,3。）的竹條至少要多長？

A.50cmB.50V2cmC.100cmD.105cm

【答案】C

2

【詳解】解：四邊形N3CD的面積ngxBDx/O+gxBDxCO=|xJBr）x（y4O+CO）=1x3Ox^C=1250（cm）；

■■ACxBD^2500cm2,根據(jù)題意可得：^C+5Z）>2A/IC^BD=272500=2x50=100（cm）,

???用來做對角線的竹條至少要100cm長.故選：C.

8.如圖，在矩形中，AB=2,AD=4,點(diǎn)E,廠分別在線段8c和線段DC的延長線上.若

3E=；,NE4F=45。，則CR的長為（）

【答案】B

【詳解】解：如圖，在48上截取BG=BE=；,在4D上截取=且NB=4D=90。，

3F)

ABGE=ZBEG=45°,ZDHF=ZDFH=45°,AG=AB-BG=-,GE=42BE=—,HF=^2HD,

22

?/ZEAF=45°,ABAD=90°,/.ZBAE+ZDAF=45°9>ZBAE+ZAEG=ZBGE=45°,

ZDAF+ZAFH=ZDHF=45°,/.ZBAE=ZAFH,ZDAF=/AEG,:AAGES^FHA,

3V2

.AGGE12I?172

?*-2=2-'-HD=—,DF=—>：.CF=DF-CD=--2=-,故選：B

?HF~^H42HD~4-HD、

9.有兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程：M:ax2+bx+c=0,N:cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下列結(jié)論中，

①如果a+6+c=0,那么方程M和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1；

②方程M和方程N(yùn)的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；

③如果2是方程M的一個(gè)根，那么!一定是方程N(yùn)的一個(gè)根；

④如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必定是x=l.其中錯(cuò)誤的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】B

【詳解】解：；a+b+c=0,.：方程V的一個(gè)根為1,方程N(yùn)有一個(gè)根為1,

.：如果。+6+c=0,那么方程Af和方程N(yùn)有一個(gè)公共根為1,結(jié)論①正確；

?"+c=0,：.。=-c,.：5=-1,.：￡=-1,方程M和方程N(yùn)的兩根之積必相等，結(jié)論②正確;

,；2是方程Af的一■個(gè)才艮，4a+2b+c=0,即aH—bH—C=0,

24

?：g是方程N(yùn)的一個(gè)根，結(jié)論③正確;

I〃//22+bin+c=

設(shè)相同的根為加，貝27八ZSX，①一②得：（a-c）加2+c—a=O,「.（a—c）加2="C.

cm+bm+a=。②

?「awO,cwO,Q+C=O,:.a-c^O,：.m2=\,/.m=±\.

即有相同的根±1,結(jié)論④錯(cuò)誤.故選：B.

10.如圖，中，/PMQ=90。，PM=MQ,將RI/繞著點(diǎn)尸按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到尸4,連接

MN

皿交招于"點(diǎn),則右的值是（）

.372-763

A.------------B.

68

【答案】A

【詳解】解：如圖，過A作于C,則/尸河。=44cA/=90。,

■.■PM=MQ,將尸河繞著點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到為，

：.PM=MQ=PA,//PM=60。，.??△/PM為等邊三角形，,?.PC=CM=gpW,PM=MQ=PA=AM,

T^PM^MQ^PA=AM^2x,貝I]PC=CM==x,：.AC=ylAM2-CM2=V3x>

ZPMQ=ZACM=90°,ZANC=ZMNQ,

.-.AANC^AQNM,,：.&二X-MN,解得河=（4_2百k，.9'=。1/-"^=（2石-3卜,

QMMN2xMN'）'）

22222

AN=y/AC+CN=J[V3X）+（2V3-3）X=）（24-126卜?=可一回尤2=@五-月x,

MN（4-20卜（4一2@卜0+網(wǎng)3V2-V6

”而一（30—后卜一（3丘一時(shí)（3五+瓜丫-6-'故選：A-

二、填空題（本題共8小題，每小題4分，共32分.）

11.二次根式內(nèi)化成最簡二次根式是

【答案】2底

【詳解】解：V24=A/4X6=2^6?故答案為：2a.

12.若一元二次方程/+2（。+1卜+/+4°-5=（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則。的正整數(shù)解為.

【答案】1，2

【詳解】解：???方程工2+2（°+1卜+/+4-5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

”[2（0+1）7-4（/+4”5）>0,解得：“<3..,.符合條件的正整數(shù)為：1,2；故答案為：1,2

13.達(dá)?芬奇的著名畫作《蒙娜麗莎》被譽(yù)為藝術(shù)史上的經(jīng)典，這幅畫的構(gòu)圖巧妙地運(yùn)用了黃金分割的比

例.圖畫中頭頂?shù)绞值拈L度為90cm,下巴的位置點(diǎn)E是頭頂點(diǎn)A到手部點(diǎn)3的黃金分割點(diǎn)，則蒙

娜麗莎的頭頂?shù)较掳偷拈L度/￡為cm（結(jié)果保留根號，黃金比為好二1）.

2

【答案】（135-456）

【詳解】解：由題知，??,點(diǎn)E是線段的黃金分割點(diǎn)，；.些=吏二1.

AB2

AB=90cm,,BE=（45石-45km,

AE=AB-BE=90-（45V5-45）=（135-4575）cm故答案為：（135-45石）.

14.有7個(gè)大小完全相同的小正方形，恰好按如圖方式放置在△/BC中，點(diǎn)。，￡在/C上，點(diǎn)廠在48上,

點(diǎn)G,〃在3C上.若每個(gè)小正方形的邊長為1,則a/BC的周長為.

【答案】y+yVlO

【詳解】解：過點(diǎn)E作EM,3c于點(diǎn)河,

由題意得：BM=5,EM=2,DH=3,HV!=3,EM//DH//AB,

EM_MCEM_AB

:AEMCSADHCS4ABe,

DH~CH1AC~^C

23

CM=x,貝ljCH=CM+HVf=3+x,—=------,x=6,

x3+x

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，:.CM=6,BC=BM+CM=5+6=n,

二養(yǎng)，.,./8=?,/.AC=ylAB2+BC2=y"|+ll2=yV10,

1111I—4411/—4411/—

.?.△45C的周長=45+5C+/C=—+11+—麗=—+—W,故答案為：—+—V10.

333333

22

15.已知a-5a=-2,b+2=5b,且awbwO,化簡：b

[答案]21V|

2

【詳解】解：.??〃2—5。=—2,b2+2=5b,BPa2-5a+2=0,〃一5b+2=5b,且

a.6可看做方程*一5%+2=0的兩不相等的實(shí)數(shù)根，則。+6=5,ab=2./.a>O,b>O

^ayfab_b2y[ab+a1y/~aby[ab^a+b^2—2ab~^0x（254）_2]0故答實(shí)力2]亞

abab~222

16.已知，如圖，點(diǎn)/(-8,12),B和。為x軸上兩點(diǎn)，其中點(diǎn)8在點(diǎn)。的左側(cè)，連接若/。平分

-.......L的值為

/BAC,則

OBOC

【答案】］

【詳解】解：作CD〃48交/O延長線于點(diǎn)。，則NO48=NO￡>C,ZABO=ZDCO,

BOAB

?*.AABOS^DCO,-----------,

CODC

???a平分/A4C,NOAB=NOAC,■,ZODC=ZOAC,CA=CD,

吟=怨，作軸，???/（-8,12）,（一8,0）,AH=12,

CO/c

設(shè)3(私0),-8<m<0,C(",0),n>0,則28=加+8,CH=n+S,BO=-m,OC=n,

AB=^122+(m+8)2=J〃/+16加+208,AC=^122+(n+8)2=A/H2+16?+208,

—mdm1+16加+2081“、八111

----=-/,m/i+13(加+〃)=。，—I—=-------,

nV?2+16n+208mn13

1111MH111位1

:方_不==_—+--故答案為：—?

OBOC-mnn)OBOC1313

17.閱讀：求方程x2+2x-8=0的正整數(shù)解.小張?jiān)诮鉀Q此問題時(shí)從多個(gè)角度進(jìn)行了思考，得到了多種解

法，其中一種解法是：將方程化為d=-2x+8(*),可知x為偶數(shù)，令x=2y(V為正整數(shù))，代入(*)

得/=_了+2,即y(y+l)=2,由了為正整數(shù)可知了=1,所以，原方程的正整數(shù)解為x=2.

請你在下列兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答.

問題①：方程/+4尤2-96x+256=0的正整數(shù)解是問題②：方程3f+5/=288的正整數(shù)解是

玉—6jx?—9

【答案】x=4

.必=6'[y2=3

【詳解】解：/+4x2-96x+256=0,貝ijx?一4f+8f-96x+256=0,

x?(x-4)+8(x~-12x+32)=0,4)+8(x-4)(x-8)=0,(x-4)(x?+8x—64)=0,

???/+8>64=0時(shí)，A=8?-4xlx(-64)=320>0,.?./+8>64=0沒有正整數(shù)根，

(x—4)+趺-64)=0的正整數(shù)根是x=4,貝I]方程無3+4/一96x+256=0的正整數(shù)解是x=4；

??-3X2+5/=288,.-.5/=288-3X2,.-.5/=3(96-x2),

96

由x,y是正整數(shù)，貝”是3的倍數(shù)，.??設(shè)y=3后"為正整數(shù))，，1542=96-4三，

???左為正整數(shù)，.?.0＜左42,且為正整數(shù),

當(dāng)無=1時(shí)，得15=96--,得—=81,得x=9（負(fù)值舍），貝1Jy=3；

當(dāng)左=2時(shí)，得60=96-工2,得，=36,得x=6（負(fù)值舍），則歹二6；

，方程3/+5^=288的正整數(shù)解是［/=；,故答案為：工=4；\X'=1,

bi=61外=3〔弘=61%=3

18.如圖，在菱形/BCD中，ZBAD=60°,對角線NC,AD相交于點(diǎn)O,直線/分別與邊交于點(diǎn)

E,尸，將AAEF沿EF翻折得&GEF,AE的對應(yīng)邊EG恰好經(jīng)過點(diǎn)O,FG與OD交于點(diǎn)〃，已知OG=8,

BE5

~~z=77，則AOGH與ADFH的面積之比為____.

AE11

25

【答案】酉

【詳解】解：???四邊形N3CD是菱形，

AB=AD,ABAC=ADAC=-ABAD=30°,AC1BD,：.AAOB=90°,

2

/BAD=60°,AABD是等邊三角形，/ABD=ABAD=/ADB=60°,

BE5-,

---=——,:'佼,nBE=5x,AE=llx,貝U48=+=16x,

AE11

在Rt^4BO中，NA4c=30。，.?.8O=；43=8x,如圖，過O作O￡_L4B于點(diǎn)￡,

ZBLO=90°,ZBOL=30°,BL^-BO^4x,EL=BE-BL=5x-4x=x,

2

在Rt?BOL中，OL=y）BO2-Bl}=^（8x）2-（4x）2=4岳，

在RtAEOL中，OE=J"+El3=J（4瓜J一X?=7x,由折疊性質(zhì)可知：AE=EG=OE+OG,

.-.7x+8=llx,解得：x=2,-.BE=10,OB=16,O￡=14,

由折疊性質(zhì)可知：NG=/BAD=60°,：.NG=ZABD=60°,

OHGHOG8\

???/GOH=/BOE???AGOHSABOE

~OE~^E~~OB~16~2

：.OH=—OE=7,GH=—BE—5,：.DH=OD—OH=16—7=9,

22

VZG=ZADB=60°,NGHO=NDHF,：.^GHO^^DHF,

相似比為黑=3,與S加勺面積之比為圖=||,故答案為：II.

三、解答題(本題共8小題，共78分.其中：19-20題9分，21-22題8分，23-24題每題10分，25-26題

每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.解方程：

(1)2X2+X-15=0(求根公式法)；(2)2X2-7X+3=0;(3)(2x+l)2=3(2x+l).

【答案】⑴西=一3戶2="|(2)再=3,%=3⑶%=-5工2=1

【詳解】⑴解:2/+%-15=0,

a=2,b=l,c=-15,

△=〃_4QC=12_4X2X(-15)=⑵，(1分)

-b±yjb2-4ac-1±7121-1±11

x=-------------------=-------------=---------

2a2x24

???再=-3,X2=-|;（3分）

（2）解：2X2-7X+3=0,

因式分解得（2X」）（X-3）=0,（4分）

故21=0或x-3=0,（5分）

解得西=：62=3.（6分）

（3）解：（2x+iy=3（2x+l）,

整理得（2x+丁-3（2x+1）=0

因式分解得（2x+l）（2x-2）=0,。分）

故2x+l=0或2x-2=0,（8分）

解得%=-；,%=1.（9分）

20.計(jì)算

⑴（6-2）+V12；（2）V-8-++（314_兀）°；⑶（6+1）義（6_]

【答案】（1）7-46（2）2挺（3）2+20

【詳解】（1）解：（6-2『+/一6^

=3-473+4+273-273（2分）

=7-4百；（3分）

（2）解：-V-8+A/54-^V3+（3.14-7T）°

V2-1

-2-+Vfs+1（4分）

1

_2-.^-+3V2+l（5分）

2-1

--2-V2+1+3V2+1

=2a.（6分）

=（V3）2-l+3-（2-2V2+lj（7分）

=3-1+3-3+2收（8分）

=2+2&.（9分）

21.如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△/3C的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

⑴以點(diǎn)/為位似中心，在點(diǎn)/的另一側(cè)畫出△/8C的位似△4801，使它與△N3C的相似比為1：2；

（2）將△/巴G繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△43G，畫出△4片。2.

【答案】（1）作圖見解析⑵作圖見解析

【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（4分）

（2）如圖所示，△4302即為所求（8分）

22.已知關(guān)于x的方程——（機(jī)+l）x+（加一a）=0.

（1）求證：方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)相取0＜加＜5的整數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)有理數(shù)根，求加的值和這兩個(gè)有理數(shù)根.

【答案】（1）方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；（2）加的值為1,這兩個(gè)有理數(shù)根為;和：.

222

【詳解】（1）證明：△=[-（加+1）]-4xlx^m--=m+2m+l-4m+l=m-2m+2=（m-l）+l.（2^）

?■?（m-l）2＞0,即A＞0,??.方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；（4分）

（2）解：?.?當(dāng)加取0（機(jī)＜5的整數(shù)時(shí)，存在兩個(gè)有理數(shù)根，且A=（m-1）2+1,.5=1,（5分）

??.原方程為X2_2X+：=0,且△=：1,.?.此時(shí)原方程的解為》=土生1,（7分）

42

二加的值為1,這兩個(gè)有理數(shù)根為;和1.（8分）

22

23.綜合與實(shí)踐

【主題】懸掛法確定勻質(zhì)薄板的重心

【素材】厚度均勻的硬紙板（三角形、矩形、正方形、不規(guī)則形狀）、釘子、螺釘、線、筆、刻度尺、

量角器等.

【實(shí)踐操作】

步驟1：用細(xì)棉線系住小孔A將硬紙板懸掛起來，當(dāng)硬紙板靜止時(shí)，用筆和刻度尺在硬紙板上畫出與細(xì)

棉線相反方向豎直向下的重力的作用線;

步驟2：用細(xì)棉線系住另一個(gè)小孔C將硬紙板懸掛起來，利用同樣的方法再畫出另一重力作用線CD；

作用線N5與作用線C。的交點(diǎn)。即為硬紙板的重心.

【實(shí)踐探索】（1）根據(jù)實(shí)踐操作步驟，畫出題圖2中不規(guī)則形狀硬紙板的重心。；

（2）我們在八年級學(xué)習(xí)過三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，通過懸掛法實(shí)驗(yàn)再次驗(yàn)證這一事實(shí)，

如圖3,在△48C中，AF、BE、CD分別是△NBC的三條中線，點(diǎn)G是△48C的重心;

①若△/BC的面積是6,則AMG的面積是.；②通過測量，發(fā)現(xiàn)三角形重心到頂點(diǎn)的距

離是重心到對邊中點(diǎn)距離的2倍,請用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行證明.

【答案】（1）見解析（2）①2；②見解析

BF=CF,CE=AE,AD=BD,

BF=CF,S^ABF=S&ACF，S^BGF=，ACG/^^ABF—S^BGF=^^ACF~'ACGF,

SABG=S"CG，同理可得，S"BG=S&CBG'***S&ABG=S/CG=Sc5G'

■?■^c=1^c=|x6=2；故答案為：2;（4分）

②證明：如圖，連接?！????6月、C。是△Z5C的中線，

；.AE=CE,4。=瓦9,???。石是△45C的中位線，（7分）

DE1DGEGDE1FG

DE//BC,ADEGS^CBG,~CG~BG~BC同理可得，—

22A（J2

??.三角形重心到頂點(diǎn)的距離是重心到對邊中點(diǎn)距離的2倍.（10分）

24.2024年第33屆夏季奧運(yùn)會在法國巴黎舉行，中國運(yùn)動健兒們?nèi)〉昧?0金27銀24銅的好成績，向全

世界展現(xiàn)了中國拼搏向上的民族精神.除此之外還值得我們驕傲的是“中國制造”在巴黎奧運(yùn)會大放異彩,

其中80%的奧運(yùn)相關(guān)設(shè)備、器材、紀(jì)念品、吉祥物都是由中國企業(yè)生產(chǎn)，并授權(quán)奧運(yùn)會的吉祥物“弗里

熱”從6月份開始在中國銷售.某商店以每個(gè)35元的價(jià)格購進(jìn)一款“弗里熱”鑰匙扣，以每個(gè)58元的價(jià)

格出售.經(jīng)統(tǒng)計(jì)：6月份的銷售量為256個(gè)，8月份的銷售量為400個(gè).

反鼾2A承

（1）求該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長率；

（2）從9月份起，商場決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，試銷了一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物的月銷

售量y（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示.

力個(gè)

若商店希望每月銷售這款鑰匙扣所獲得的利潤是8400元.則每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)多少元？

【答案】（1）該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長率為25%（2）每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)8元

【詳解】（1）解：設(shè)該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長率為根，由題意得：

256（l+m）2=400,解得：叼=0.25,加？=-2.25（不符合題意，舍去），（3分）

答：該款鑰匙扣從6月份到8月份銷售量的月平均增長率為25%.（4分）

（2）解：設(shè)月銷售量V（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為了=履+6,由表格得:

???月銷售量V（個(gè)）與每個(gè)鑰匙扣降價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20x+400,（6分）

（58-35-x）（20^+400）=8400,解得：西=8,%=一5（不符合題意，舍去）；（9分）

答：每個(gè)鑰匙扣應(yīng)降價(jià)8元.（10分）

25.如圖，已知：在A43c中，AB=AC=10,BC=16,P是8c上一點(diǎn)，作ZAPD=NB,AD//BC,

AD,尸。相交于點(diǎn)。，尸。與/C相交于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)CD.

⑴求證：AP-=BPAD-,

（2）如果CZ）〃4P,求AP的長；

（3）如果是以尸E為腰的等腰三角形，求的長.

8B

【答案】⑴見解析⑵8+?或8-加（3）6或彳.

【詳解】（1）證明：--ADZ/BC,■.ZAPB=ZDAP,（1分）

APBP

；/APD=/B,；."BPSADPA,??.—=—,BPAP2=BP-AD;（3分）

ADAP

（2）I?：-AD//BC,CO〃力尸，，四邊形4PCD是平行四邊形，.?.EC=；/C=5,（4分）

/ZAPD=ZB,ZAPC=ZB+ZBAP,ZCPE=ZBAP,

vAB=AC,/ABC=ZACB,^ABP^^PEC,（5分）

ABBP10x

設(shè)BP=x,貝ljPC=16—.?.

~PC~~CE16-x~~5

解得X]=8+Ji4,z=8-W,（經(jīng)檢驗(yàn)X”馬都是原方程的解，且都符合題意）,

??.8尸的長為8+舊或8-加（7分）

（3）如果尸E=■-AB=AC=10,NABC=NACB,（8分）

vZBAP=ZCPE,PA=PEE,:"BP為PCE,：.AB=PC=10,BP=BC-PC=6

如果尸E=4E,ZAPD=ZPAE,vZAPD=ZB,ZB=ZPAE,（10分）

QpCACP10

Z.ACP=Z.ACB,；.AACPSABCA,—=—,即----=—,

CACB1016

253939

...W=?，；.BP=（,...BP的長為6或7.（12分）

444

26.【初步嘗試】（1）如圖1,在ZUBC中，4B=AC,點(diǎn)、E,尸分別在邊48,上，且斯〃NC,則BE

與跖的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2,將圖1中的aBE尸繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)&（夕為銳角），連接NE,CF.求證:

/\ABEsACBF.

【特例研討】（3）如