高一數學上學期期中復習真題精選

（壓軸60題12類題型）

題型歸納

題型1元素與集合的關系題型2集合間的關系中的參數問題

題型3交并補混合運算及其含參問題1題型4集合新定義

題型5利用基本不等式求最值題型6基本不等式的恒成立問題

壓軸題型歸納

題型7—元二次不等式恒成立、有解問題一—題型8函數的單調性及其應用

題型9函數中的恒成立、有解問題題型10抽象函數的性質及應用

題型11函數的性質綜合■題型12函數新定義

題型1元素與集合的關系（共5小題）

1.（24-25高一上?天津東麗?期中）下列關系中，正確的是（）

A.2eNB.neQ

C.OWND.7GZ

【答案】A

【解題思路】根據元素與集合的關系判斷.

【解答過程】A,2是自然數，故A正確：B,TT是無理數，不是有理數，故B錯誤;

C,（）是自然數，故C錯誤；D,?是分數，不是整數，故D錯誤.

4

故選:A.

2.（24-25高一上?河南洛陽,期中）已知集合4=fl,a+9,Q2+研，若6€4,則。二（）

A.-2或3B.-3或2C.2D.-3

【答案】C

【解題思路】分Q+9=6和小+。=6兩種情況討論，注意集合中元素的互異性.

【解答過程】因為A={l,a+9,Q2+Q},6€力，

當a+9=6時，則a=—3,此時F+Q=6,不符題意；

當a2+。=6時，解得a=2或a=—3（舍去），

若a=2,則4={1,11,6},符合題意，

綜二所述，Q=2.

故選：C.

3.(24-25高一上?四川?期中)已知集合4={X|/+QX+6VO},若1￡4則a的取值范圍為()

A.[—7,+8)B.(—7,+8)C.(-a),-7]D.(—8,—7)

【答案】A

【解題思路】依題意可得仔+axl+6>0,解得即可.

【解答過程】由1￡力，可得12+axl+6Z0,解得。之一7,

即實數Q的取值范圍為[-7,+8).

故選:A.

4.(24-25高一上?四川成都?期中)己知集合4={12,a2+4a,a+10},5€4則。=.

【答案】1

【解題思路】根據給定的元素與集合關系列式，再結合集合元素的互異性求解即可.

【解答過程】由集合力={12,次+4Q,Q+10},5G71,得a+10=5或M+4a=5,

當a+10=5時，a=-5,此時02+4。=5,不符合題意；

當a2+4a=5時，顯然aH—5,解得Q=1,

則集合4={12,5,11},符合題意，故a=l.

故答案為：1.

5.(24-25高一上?云南紅河?期中)記關于》的方程+ax+b\=2(a,beR)的解集為M,且M恰有3個元

素.

(1)證明：a2-4b=8：

(2)若以M中的元素為邊長的三角形恰好為直角三角形，求a力的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)。的值為一16力的值為62.

【解題思路】(1)先對原方程進行等價變形；再根據題意、求根公式和兩個方程判別式之間的關系可得出

々=0,進而可證得十一46=8.

(2)先根據a2-4b=8求出方程的三個實數根；再根據題意，利用勾股定理列出關于a方程求解即可.

【解答過程】(1)證明：原方程等價于％2+ax+b=2或必+以+匕=-2,

即/+QX+h-2=0或%2+ax+b+2=0.

因為關于x的方程氏2+ax+b\=2（a,beR）的解集為M,且M恰有3個元素,

所以方程/+ax+b—2=?；?+ax+b+2=0均有實數根，

22

-a-Va-464-8v_—a+Va-4b+8

由求根公式可得:X1=-----2----，肛-------2-----

?_-a-Va2-4b-8?_-a+Va2-4b-8

%3-------2-----，M-------2-----

22

由于A]=a—4b4-8>a—4b—8=A2,

所以當A2=0時，M恰有3個元素，即小一4力=8.

（2）由（1）知，匕=//，原方程等價于/+。無+￡—4=0或%2+以=0,

444

則兩個方程的三個根分別為一>2,/+2,—I

若它們是直角三角形的三邊，

則（-+（-尹2丫=（一>2?且a=0

解得：a=-16,b=62.

故a的值為一16,b的值為62.

集合間的關系中的參數問題（共5小題）

6.（24-25高一上?安徽?期中）已知集合4={-2,2},8={-2,—l,a+3},且AG8,則實數a的值為

（）

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】C

【解題思路】根據集合與集合間的關系列方程求解實數a的值即可.

【解答過程】已知集合4={-2,2},B={-2,-U+3},且4G8,

所以Q+3=2,所以Q=-1.

故選：C.

7.（24-25高一上?浙江?期中）已知集合{1以,胃={0以2"+6},則次。24+川024的值為（）

A.0B.1

C.-1D.1或一1

【答案】B

【解題思路】利用集合相等和集合中元素的互異性，以己知的（U為突破口，分類討論求出a力的值.

【解答過程】集合{1以3}={0以2.+與，兩個集合中元素完全相同，

由aH0,則有g=0,得b=0,有a+b=a,

（1=a2

所以，；=0,由集合中元素的互異性，有QH1,得。=-1力=0,

則有次024+b2024=很

故選:B.

8.（24-25高一上?江蘇揚州期中）己知a為常數，集合4={X|/+%—6=0},集合B={x|ax—2=0},

且BG4則a的所有取值構成的集合元素個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解題思路】先求出集合人由81兒分8=0與BW0討論，分別求解的值即可.

【解答過程】集合力={萬/+工一6=0},化簡求值可得力={-3,2},

當8=0時，BQA,此時集合B無解，即a=0

2

當BH0時，B={—3}時，即一3a-2=0解之得Q=-W，

B={2},即2a—2=0解之可得a=1,

所以根據集合元素的性質可得元素個數為3個.

故選:C.

9.（24-25高一上?海南省直轄縣級單位?期中）若集合P={x￡Z|-lWx<4},Q={a-l,a+2},且

QQP,則實數Q=.

【答案】0或1

【解題思路】根據題設有P={-l,0,l,2,3},結合包含關系及Q-IVQ+2,討論參數求對應參數值，并判

斷a—l,a+2是否同時屬于集合P,即可得答案.

【解答過程】由題設P={-l,0,l,2,3},又。=加-1,。+2},且QGP,

由干a—l<a+2,討論如下：

當=即Q=0時，a+2=2EP,滿足；

當a—1=0,即Q=1時，Q+2=3￡P,滿足；

而a-1=1或2或3時，Q+2CP,不滿足.

所以Q=0或1.

故答案為：0或I.

10.（24-25高一上?四川瀘州,期中）已知集合4=kx+g=5},B={x|（a—l）x24-ax+a-1=0）.

（1）若8中恰有一個元素，用列舉法表示a的值構成的集合；

（2）若8￡4求Q的取值范圍.

【答案】（1）{1,2,|}

（2）（-co,U（2,+co）

【解題思路】（1）分Q—l=0與Q—1H0兩種情況討論，當。一1工0時△=（）,即可求出參數的值；

（2）首先解方程求出集合4再分8=0、1WB、4三種情況討論，分別求出參數Q的范圍（值），即可

得解.

【解答過程】（1）若即Q=L則8={0},符合題意.

若a—1X0,即a,1,則由〃中恰有一個元素，得△=a?—4（a—I）?=0,

解得a=2或Q=|.

綜上所述，a的值構成的集合為{1,2（}.

（2）由％+：=5,解得工=1或%=4,則4=口,4}.

若B=0,符合B5,則

若1WB,則3a—2=0,解得a=,，則8={1},符合BG4

*5

若4WB,則21。-17=0,解得。=算，則3={4g,不符合85.

綜上所述，a的取值范圍為（一8,|]u（2,+8）.

題型3交并補混合運算及其含參問題（共5小題）

II.(24-25高一上?天津寧河期中)已知集合(/={1,2,3,456,7),A={2,3,6,7),B={2,3,4,5},則AC(Cu

B)=()

A.{6,7}B.{1,7}C.{1,6}D.{1,6,7}

【答案】A

【解題思路】根據補集、交集的知識求得正確答案.

【解答過程】依題意，CuB={1,6,7）,

所以An(Q/B)={6,7}.

故選:A.

12.(24-25高一上?重慶期中)已知全集U={-2,-1,0,1,234),集合A={xGZ|x2-x<6),8={-2,0,1,3},

給出下列4種方式表示圖中陰影部分：①］一1,2)②C(4u8)3③4n(QB)④(QM)n(QB)，正確的有幾個？

【答案】C

【解題思路】根據陰影部分對應的集合分別判斷①②③④即叱

【解答過程】由圖可知陰影部分所表示的集合為C(AU3)&4C(CU8)，故②③正確；

因為<={xGZ|-2<x<3]={-1,0,1,2},QjB={-1,2,4)>

所以為八(58)={—1,2},故①正確：

(CM)n(QB)={4},故④錯誤.

所以正確的有3個.

故選：C.

13.(24-25高一上?重慶?期中)已知全集〃=(2,3,456,7,8}/加是U的兩個子集，且4GR（5Mn（Q8）

={2,3,6},則(QM)U8=()

A.[4,7,8}B.{4,5,7,8}C.{2,3,5,6}D.{3,5,6}

【答案】B

【解題思路】根據題意分析可知4={235,6},再結合補集和并集運算求解.

【解答過程】因為4nB=[5],AA(CyB)={2,3,6},可知力={235,6},QM={4,7,8),

且5eB,2e8,3比8,6也B,所以《")U8={4,5,7,8}.

故選：B.

14.(24-25高一上?海南三亞?期中)已知全集U=/uB={xeN|0WxW5},4n(Q8){1,3,5},則

B=.

【答案】{0,2,4}

【解題思路】根據集合的交并補運算性質計算即可.

【解答過程】由題意,U=AuB={xWN|0，xM5}={0,1,234,5},

因為An(QB)={1,3,5},

所以1G4364564,1至8,3CB,5W8,

即8={0,2,4).

故答案為:[0,2,4).

15.(24-25高一上?天津南開期中)已知全集為R,集合4=&比〈一1或x>6},B=

{x\l—m<x<1+m}.

(1)若m=2,求(CR8)U4；

(2)若(CRA)UB=CR4求實數m的取值范圍.

【答案】(1)(CR8)UA={x\xVT或%13)；

(2)(-8,2].

【解題思路】(1)先求出當m=2時的集合。，再根據補集和并集定義即可計算求解.

(2)先由題意求得BcQRA,接著求出CR力，再分8=。和B*0兩種情況討論即可求解.

【解答過程】(1)若m=2,則3={無|1一血工無工l+m}=團一14x43},

所以CRB={x\x<—1或%>3},又集合力={x\x<—1或%>6},

所以(CRB)U4=[x\x<-1或%>3].

(2)因為(CR4)UB=CR4所以BECRA,

因為CRn={x|-1<x<6],B={x\l—m<x<1+m},

所以當8=0時符合題意，此時即m<0：

當BH0時，要使

1—m<1+m

則，1—m>—1,解得0<TH<2,

14-m<6

綜上所述，實數血的取值范圍為(-8,2].

題型4集合新定義(共5小題)0

16.(24-25高一上?重慶?期中)定義集合運算4O8={m|m=%—y,xWA,yW8}.已知非空集合力和8,

且WU8G{1,234,5},若AOBGB,則滿足題意的不同的8的個數為()

A.1B.4C.7D.8

【答案】D

【解題思路】結合集合新定義，討論B中元素個數即可;

【解答過程】由題意力。8={m|m=%—y,xeWB},

又非空集合力和4,且力U81{L2,3,4,5},若AOBGB,

當B中有一個元素時：

B={1},A={2}；B={2},A={4}；

當8中有兩個元素時：

B={1,2}?A=(3)；B={1.3},A={4}；B={1,4},4={5}：B={2.3},A=(5)；

當6中有三個元素時：

B={1,2,3},4={4}；

當B中有四個元素時：

B={1,2,3,4},A={5}：

當B中有五個元素時，集合4不存在，

所以滿足條件的不同的8的個數為8個，

故選：D.

17.(24-25高一上?福建莆田?期中)非空集合力GR,且滿足如下性質：

性質一：若a、則Q+6W4性質二：若QW4則一aw.4則稱集合4為一個“群”.

以下敘述正確的個數為()

①若A為一個“群”，則4必為無限集；

②若力為一個“群”，且服bEA,則

③若4、B都是“群”,則4nB必定是“群”;

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【脩題思路】根據性質，運用特例法逐一判斷即可.

【解答過程】對于①，設集合4={0}，顯然0+0=0,符合性質一，

同時也符合性質二，因此集合力={0}是一個群，但是它是有限集，故本敘述不正確；

對干②，根據群的性質，由匕￡4可得：一匕€4因此可得a—力￡4故本敘述正確；

對于③，設4nB=C,

若c￡C,一定有C",CeB,

因為4、B都是“群"，所以一c64-CEB,

因此一cWC,若d€C,所以d€/4,dGB,c4-dGC?故本敘述正確.

故選：c.

18.(24-25高一上?上海?期中)已知有限集A=…,%｝(于22,nWN),如果《中元素%(i=1,2，…,n)滿

足%+a2+???+冊=%xa?x…xan,就稱A為“完美集”

①集合｛-1一次,一1+b｝不是院美集”，

②若Qi，。2是兩個不同的正數，且｛%,做｝是“完美集“，則?！浚娭辽儆幸粋€大于2；

③有且僅有兩個元素的“完美集''只有有限多個；

④若由€Z+(i=1,2,-,n),則“完美集Z有且只有一個,且"=3

其中正確結論的個數有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解題思路】由“完美集”的定義即可判斷①錯誤；由“完美集”的定義可知與血可以看成一元二次方程為2

-tx+t=。的兩正根，則4>?？傻?gt;4,則可判斷②正確；③錯誤；設<a2<a3,由“完美集”的

定義可知2a3=+。2+a3V3a3，結合QtWZ+，可知a[=1以2=2,a3=3,由此即可判斷④正確.

【解答過程】由題意，

對于①：(-l-V3)+(-l+V3)=-2,(一1一遍)x(-1+6)=-2,

故(-1—V3)+(-1+\/3)—(一1-V3)x(-1+V3)?

所以集合｛一1一百，一1+遍｝是“完美集"，故①錯誤；

對于②:集合｛%?｝是“完美集是設+。2==￡>0，

則。1，。2可以看成一元二次方程/一比+t=0的兩正根，

則4二步一及>0,解得：￡<。(舍)或￡>4,

即因為田以2為正數，若田,。2都小于等于2,則。逆2W4,所以。1，。2至少有一個大于2,故②正

確；

對于③：由B可知，一元二次方程/一5+￡=0當￡取不同值時，

%,。2的值是不同的，因而二元“完美集”有無窮多個，故③錯誤；

對于④：設即<a2<a3<???<an,則以xa2x…xan=ara2+…+an<na?,

所以由x例x…x即_1V九，又/WZ+，

當九24時，aixa2x-x>n,此時“完美集”不存在，

當71=2時，<2,則=1以述2W+。2，不合題意，

當71=3時，aya2<3,所以只能是由=1,。2=2,

由S+。2+。3=。1。2。3，代入解得。3=3,

所以此時“完美集”只有一個，為口,2,3｝,故④正確.

綜上，正確結論的個數有2個.

故選：B.

19.(24-25高一上?北京?期中)給定數集M,若對于任意a、bEM,有a+b€M,月。一/?€例，則稱集合

M為閉集合，則下列所有正確命題的序號是.

①集合M=｛—2,—1,0,1,2｝是閉集合：

②正整數集不是閉集合；

③集合M=｛n\n=3k,k￡Z｝是閉集合；

④若集合力1、%為閉集合，則&U/為閉集合.

【答案】②③

【解題思路】對于①，令。=-2,b=-l,即可判斷；對于②，兩個正整數的差可能是負整數，即可判斷；

對于③，任取小，n2GM,則m=3口，n2=3k2,自，/C2GZ,結合新定義即可判斷；對于④，令4=

(n\n=3k,kGZ),A2=｛n|n=2k,kGZ),結合新定義即可判斷.

【解答過程】對于①，因為一2WM,-1GM,但是一2+(—1)=—3WM,

所以時=｛-2,—1,0,1,2｝不是閉集合，故①錯誤；

對于②，對于正整數集N*,因為1WN*,2WN*,

但是l-2=-lCN*,所以正整數集不是閉集合，故②正確；

e

對于③，任取"1，nz^M,則九1=3的，n2=3/c2?的，^2Z,

則ki+攵2EZ,k[—k?WZ,k?-k\WZ,

所以?11+幾2=3(自+A2)€M,=3(&i—12)€M，九2+=3(/Q—的)6M,

所以M=｛川九=3k,k€Z｝是閉集合，故③正確；

對于④，由③可得4=｛川九=3k,kWZ｝是閉集合，42=｛用幾=2k,k€Z)是閉集合，

所以41142=｛九|n=3k或71=2女/€2｝,則有2,3WA1U42，

但2+3=564042,則&Ua不是閉集合，故④錯誤.

故答案為：②③.

20.(24-25高一上?四川眉山?期中)已知集合A是實數集R的非空子集，若V%y€4%+yE-yE4則

稱集合力為閉集合.

(1)若集合48均是閉集合.求證：力八8是閉集合：

（2）若集合4B均是閉集合.集合力UB一定是閉集合嗎？如果是請證明，如果不是請舉出反例;

（3）若48均是閉集合，且4B都是R的真子集.求證：存在常數CWR,但cW4UB.

【答案】（1）證明見解析

（2）不一定，舉例見解析

（3）證明見解析

【解題思路】（1）根據閉集合定義及集合交集運算即可證明；

（2）根據閉集合定義及集合并集運算即可判斷：

（3）根據閉集合定義、真子集及集合并集運算即可證明.

【解答過程】⑴且48為閉集知：{：?菖，{:成立，

故而蕤m從而命題成立.

（2）取4={x|x=2k,keZ},B={x\x=3k,keZ},

2+3=5C4U8知4UB不?定是閉集合.

（3）若或且48均是R的真子集，命題顯然成立,

故不妨設存在工￡砧滿足{：：3且存在yeR滿足{：Ig,

Wc=x+丫知。=%+yWAU8,否則y=x+y—xE/4

或者%=%+y-yW8而得出矛盾，故命題成立.

題型5利用基本不等式求最值（共5小題）

21.（24-25高一上?福建南平?期中）已知八y6（0,+oo）,且滿足］+/=2,那么％+2y的最小值為（）

A.4B.2C.1+yD.1-日

【答案】B

【解題思路】將代數式％+2y與+相乘，展開后利用基本不等式可求得％+2y的最小值.

【解答過程】因為知不、yG（0,+oo）,且滿足5+/=2,

2y=+2y)&+/)=/2+§+§對(2+2^^)=

所以，x+2,

二二之

2yx（X=1

當且僅當（1+±=1時，即當）時，等號成立,

2y（y-2

1%>0,2y>0

因此，x+2y的最小值為2.

故選:B.

22.(24-25高一上?重慶?期中)已知實數a>0,b>0,滿足a+2b=4,則-7+搭的最小值是()

a+1匕+2

A,42ClD.2

【答案】C

【解題思路】變形得到號+誓2=1,由基本不等式“1”的妙月求出最小值.

【解答過程】實數a>0,b>0,滿足a+2b=4,故a+1+2屹+2)=9,

嗚1+竽=1,

故J-+三.2)3+123+2)]_1+f+2(a+l)2(/)+2)

以a+1+H2-+淑兒丁十一-9十9+93+2)+9(a+l)

2/2(a±l)<2(h±2)=S4=

一9丁飛9(b+2)9(a+l)99

當且僅當貌武=微翳，即a=2/=1時，等號成立，

故的最小值為1.

故選：C.

23.(24-25高一上?四川?期中)已知Q>0,h>0,a+h=l,則下列說法不正確的是()

A.Qb的最大值為3

B.樂的最大值為近

C.。2+爐的最小值為()

D.駕■的最小值為百+1

Zab

【答案】C

【解題思路】利用基本不等式對選項進行分析，從而確定正確答案.

2

【解答過程】A選項，ab<=、當且僅當a-6-點時等號成立，A選項正確.

B選項，Va+VF<2x=應，當且僅當Q=匕=g時等號成立，B選項正確.

C選項，由于a6都是正數，所以C選項錯誤.

c否2a2+1alaa+ba.1,1

D毯項，2oab.=rb+—2ab=b?+T2Tab=工b+2寶b+丁2a

aa+ba+baa11b

=—+——+-----=―++-+|-

b2b2ab2b222a

=他+1?2后+1=8+1,

當且僅當|^=/山=6。=手時等號成立，所以D選項正確.

LbLa2

故選:C.

24.（24-25高一上?浙江杭州?期中）若兩個正實數％,y滿足4x+y=2xy,則％+（的最小值為

【答案】2

【解題思路】依題意可得:+會=1，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.

【解答過程】因為正實數無，y滿足4x+y=2%y,所以：+5=1,

所以"”々+以；+3=1+￡+言“+2廊=2,

當且僅當年=*,即％=1,y=4時取等號.

故答案為：2.

25.（24?25高一上?四川眉山?期中）求最值:

（1）已知％>0,y>0,且滿足xy=4,求9x+y的最小值；

（2）已知不<1,求'=%+三的最大值；

（3）已知x>0,y>0,且滿足2x+y=xy,求x+8y的最小值.

【答案】（1）12

⑵-3

⑶25

【解題思路】（1）利用基本不等式9無+yN2麻；即可；

（2）利用基本不等式求1—工+士的最小值，再求、=一［1一彳+三）+1的最大值即可；

<3）先化簡得5+9=1,再利用1的妙用化簡即可.

JX

【解答過程】（1）因為％>0,y>0,且xy=4,所以9%+yN2同方=6折=12,

當且僅當9%=y,即x=*y=6時取等號，

所以當％=§,y=6時，9x+y有最小值，最小值為12；

（2）因為x<l,則1—x>0,所以1—x+工2=4,

當且僅當1一%=工，即％=—1時取等號,

所以y=x+-^-=%—1+<+1=-[1—x+—]+1<—44-1=-3,

X-1X—1L1—X」

所以當％=—1時，y=%+六有最大值，最大值為一3；

21

（3）因為2x+y=xy,所以三+二=1,

因為％>Q,y>0,所以%+8y=（x4-8y）（：+，=17+y+y>17+2J,=25,

當且僅當§=%即x=2y,即％=52=%寸取等號，

故當％=5,y=5時，x+8y有最小值，最小值為25.

題型64基本不等式的恒成立問題（共有畫

26.（24-25高一上?四川?期中）已知a>。，h>0,若不等式言〈嘴”亙成立,則實數m的最大值為

()

A.64B.25C.13D.12

【答案】B

【解題思路】將不等式變形為mW（曙）（。+切，利用基本不等式即可得出答案.

【解答過程】Q>0,b>0,則Q+b>0,

不等式捻工智恒成立,即加工（誓）伍+匕）恒成立,

（誓）（。+b）=G+*+3=13+與+筌13+2廂=25.

當且僅當華=y,即b=|a時等號成立，

所以mW25,即實數機的最大值為25.

故選：B.

27.（24-25高一上?安徽?期中）已知x>0,y>0,且x+y=5,若士+貴工2m+1恒成立：則實數m的

X十1）*T■乙

取值范圍是（）

A.（―8,得]B.（—co,1]C.（—co,1]D.（—oo,4]

【答案】A

【解題思路】由己知條件得出（丫41）+（y+2）=8,將代數式￡■+‘三與:[（Y+1）+（y+2）]相乘，展開后

利用基本不等式求出5T+康的最小值，根據題意可得出關于m的不等式，解之即可.

【解答過程】因為x>0,y>0,且％+y=5,則無+l+y+2=8,

娜翳>。墨>。，

所％1+康=氏1+素）舊】）+。+2）］=翡+等+氏

，4Q+2)x+l1=

5+29

>dx+1y+zj8

4(y+2)_x+1

當且僅當（％+日；3,周=8時，

^x>0,y>0

即當％=￡,y=:時，所以去+意的最小值為，

O?5Xtl.

因為小++22m+1恒成立，所以2m+l&，解得m4白,

X十JLZ*O1O

所以實數m的取值范圍是（一8,4

故選:A.

28.（24-25高一上?江蘇?期中）若正實數達歹滿足x+y=3,且不等式;+^>|m—1|+4恒成立，則實數

m的取值范圍是（）

A.{m|—3<TH<1}B.{m|mV-3或m>1}

C.{m|-1<m<3}D.{m|mV—1或m>3}

【答案】C

【解題思路】利用代換1法，結合均值不等式求出最小值，再解絕對值不等式即可求出選項.

【解答過程】因為正實數X,），滿足x+y=3,

所聽+；=哭+9（、+/=氐2+8+§+9號（10+2杼1）=6,

當且僅當§=墨即y=2%=2時取等號，

又由不等式|加一1|+4恒成立，

所以6>|血一1|+4,解得：一l<mv3,

故選:C.

29.（24-25高一上?貴州?期中）己知%>\,y>3,且（x-l）（y-3）=2x+3y-ll,若不等式2%+y-m>0

恒成立，則實數m的取值范圍為.

【答案】m<13+473

o2

【解題思路】由已知條件可得：W+/=L因不等式2%+、一m>0恒成立，則需

2。-1)+8-3)>m-5恒成立，則需要m-5V(2(%—1)+。-3))mm，利用力的妙用”,求出

2。-1)+(y—3)的最小值，即可得到m的取值范圍.

【解答過程】將(x-l)(y-3)=2x+3y-11化為：(x-l)(y-3)=2(x-l)+3(y-3),

即：告+備=1,不等式2x+y-m>0化為：2(x-1)4-(y-3)>m-5,

上述不等式要恒成立，則m-5小于2(%—1)+(y—3)的最小值.

因為％>l,y>3,貝ij

2(x—l)+(y—3)=[2(x-l)+(y—3)信+m=8+登+答>8+2.lg)=8+4

后

當且僅當個子=9■子，即％=4+遮且y=5+28時，取“=”，

所以m-5<8+4V^,即mvl3+4VT

故答案為：m<13+4舊.

30.(24-25高一上?廣東深圳?期中)求下列代數式的最值：

(1)已知%>1,求y=%+￡的最小值；

o1

(2)已知x>o,y>0,且滿足2+;;=1.求3+2y的最小值；

(3)當0V%V《時，不等式§+告一mNO恒成立，求實數m的最大值.

【答案】(1)最小值為5

(2)最小值為18

(3)最大值為9.

【解題思路】(1)利用基本不等式求最值；

(2)利用基本不等式“1”的妙用求最小值；

(3)將；+恒成立問題轉化為=+七的最值問題，然后利用基本不等式求最值即可?

X1-QXX1-QX

【解答過程】(1)因為X>1,貝k-1>0,由基本不等式得，

y=(%-1)+小+1N2?一1).占+1=5,

當日僅當“一1=工，即％=3時，等號成立.

故y=X+W的最小值為5.

(2)因為x>0,y>0,

所以x+2y=(%+2y)g+；)=10+-^+^>10+2嚴?|=18,

當且僅當?=：,即a12,y=3時等號成立，

故4+2y的最小值為18.

(3)不等式;+七一mN0恒成立化為血工：+七亙成立，

又因為0cxV；,所以1-4%>0,因此

工+：=田+1_軌)口+，)=5+號+925+24x3=9,

X1-4X'八X1-4〃l-4xx5一4xx

當且僅當言；=W"，即％=*時，等號成立，

所以m<9,

即實數m的最大值為9.

-元二次不等式恒成立、有解問題(共5小題)。

31.(24-25高一上?四川成都?期中)不等式化F+/cx+l工0對一切實數x都成立，則實數A的取值范圍是

()

A.(—on,0]U[4,4-on)B.(—m,0)U(4,+m)

c.[0,4]D.(0,4)

【答案】C

【解題思路】對不等式的二次項系數進行分類討論，結合二次函數的性質進行求解即可.

【解答過程】當k=0時，原不等式變?yōu)?之0,顯然對一切實數都成立；

當AX0時，由L=k紇/W0,解得0<k"，

綜上所述，實數〃的取值范圍是[0,4].

故選：C.

32.(24-25高一上?河北石家莊?期中)若存在％WR,使得不等式告三22成立，則實數加的取值范圍為

()

A.{m\m>2}B.{m\m<0}C.{m\m<2}D.[m\m<2}

【答案】C

【解題思路】把問題轉化成“一機大于或等于2(爐一4%+3)的最小值”，再利用配方法求2(/一4%+3)的最

小值即可.

【解答過程】因為/-2工+3=Q-1尸+2>0,

4“一

22

所以X」2X+322=4x—m>2(^—2x+3)=-m>2(x—4x+3).

問題“存在％eR，使得不等式若鼻>2成立”轉化為“一m大于或等于2(/一4%+3)的最小值”.

因為2(/-4%+3)=2(x-2)2-2>-2,當％=2時取“=

所以一mN—2=>m<2.

故選：C.

33.(24-25高一上?江蘇南通?期中)Vxe(—L+8),x2+(i—kA+i-ZN0恒成立，則實數k的取值范

圍為()

A.(—co,—1]B.(—8,0]C.(—3,1]D.(—8,1]

【答案】D

【解題思路】轉化問題為kW交答■對于無€(—1,+8)恒成立，進而由受等■=%+1+小一1結合基本不

等式求解即可.

【解答過程】由d+(1-k)x+l—kzo,得女工三尸，

則問題轉化為k<%1對于工￡(—1,+8)恒成立，

又—^……2歷正口=1.

當且僅當％+1=《7,即％=0時等號成立，

所以kWl,即實數k的取值范圍為(一8,1].

故選：D.

34.(24-25高一上?重慶?期中)已知關于“的不等式好一依一憶+3>0在區(qū)間[0,2]有解，則實數k的取值范

圍為.

【答案】(一8,3)

【解題思路】分離參數，然后將不等式有解轉化為最值問題即可.

【解答過程】法一：原不等式可億為kV落，因為不等式在[0,2]有解，所以(鑿)max；

令t=%+le[l,3],則k=胃=仁？2+3=￡+力；

?JLvV

4

令/(t)=t+f—2，易知/(￡)在［1,2］單調遞減，在［2同單調遞增，/1(t)max=max{/(l),/(3))=3,所以

k<3.

法二：令f(x)=/-kx-k+3,則f(%)max>0即可;

由二次函數在閉區(qū)間上的最值可知，/(x)max=max{/(0)/(2)},

所以;■(())>0或/(2)>0,解得k<3或所以k<3.

故答案為：(一8,3).

35.(24-25高一上?北京?期中)已知二次函數〃%)的最小值為I,且/'(())=/(2)=3.

(1)求/(%)的解析式；

(2)解關于x的不等式：/(x)+2ax-3>0,其中QW［3a,a+1］；

(3)當時，/。)>2無+2血+1恒成立，試確定實數機的取值范圍.

【答案】(1)/(盼=2/-鈦+3

(2)(-8,0)U(2—Q,+8)

(3)(_8,_1)

【解題思路】(1)根據題意，設/a)=Q(x—l)2+l(QH0),根據/?(OjuB,求得a=2,即可得到函數的

解析式；

(2)原不等式等價于%2+9—2戶>0,進一步確定a的范圍即可得解.

(3)依題意可得不等式相</一3丫+1在區(qū)間［-1,1］上恒成立.令0(%)=/一3、+1,結合二次函數的性

質，即可求解.

【解答過程】(1)由題意,函數f(x)是二次函數,且/(0)=/(2),可得函數/(%)的對稱軸為x=函

又由最小值為1,可設/'(X)=Q(無一1)2+l(a=0),

又"0)=3,即ax(0—1尸+1=3,解得Q=2,

所以函數的解析式為/(無)=20—1)2+1=2x2-4x+3.

(2)/(x)+2ax-3>0=2/+(2a-4)x>0<=>x2+(a-2)x>0,

a>3a

因為Q€［3Q,Q+1］,所以a<a+1=>a<0,

.3a<a+1

所以%2+①—2)x>Oox<0或x>2—a,

所以若QW］3a,Q+1］,則關于x的不等式：f(x)+2a%-3>0的解集為(一8,0)u(2-a,+8).

(3)因為當之€［T1］時,f(x)>2%+2m+l恒成立,

即當%e［-1,1］時，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立,

即當工€［—1,1］時，m</-3x+l恒成立，

設函數g(x)=必-3x+1,xe［-1,1］,

則g(?在區(qū)間［-1,1］上單調遞減,

.??9(無)在區(qū)間［-1,1］上的最小值為9(1)=一1,

?,?TH<—1,

故實數m的取值范圍為：(一8,—1).

題型8函數的單調性及其應用(共5小題)

(<

36.(24-25高一上?江西?期中)已知函數/(%)={%2-2?7+60-3,%>2在R上單調遞增，則實數Q的取值

范圍為()

uG用口.加

【答案】C

【解題思路】先保證每段函數都是增函數，再考慮斷點處函數值的關系，解不等式組即可.

【解答過程】當XV2時，函數y=(2a-1)X單調遞增，則即

二次函數y=X2-2ax+6a-3的圖象開口向上，對稱釉為直線工=a,

Q

當x22時，函數y=/-2數+6a-3單調遞增，則W2,

1

-

2

?>2

由函數/(%)在R上單調遞增，有，a<解得TVa4萬.

(2(2a-l)<4-+6a—3.

故選：C.

37.(24?25高一上,河北邯鄲?期中)已知定義在R上的函數/(x)滿足/(1一%)=/(3+無)，且在(一8,2］上單

調遞增，a=/(K).b=/(V3),c=/(O),則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解題思路】由題意確定對稱軸為％=2,進而確定函數單調性，由單調性即可判斷.

【解答過程】由己知得函數/(乃的圖象關于直線x=2對■稱，

所以〃工)在(一8,2］上單調遞增，在［2,+8)上單調遞減，

所以/'(0)</(遍).又2VUV4,所以f(ir)>f(4)=/(0).

因為爪一2>2—乃，所以/'(IT)</(△).

故/(。)</(2</(逐)，即cVQ<b.

故選:D.

38.(24?25高一上?山西?期中)已知定義域為(0,+8)的增函數/(%)滿足/(%+y)=/(%)+/&),且

=L則不等式"％+3)+/(x2-4)>2的解