高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中復(fù)習(xí)真題精選

（壓軸60題12類題型）

題型歸納

題型1元素與集合的關(guān)系題型2集合間的關(guān)系中的參數(shù)問題

題型3交并補(bǔ)混合運(yùn)算及其含參問題1題型4集合新定義

題型5利用基本不等式求最值題型6基本不等式的恒成立問題

壓軸題型歸納

題型7—元二次不等式恒成立、有解問題一—題型8函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

題型9函數(shù)中的恒成立、有解問題題型10抽象函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

題型11函數(shù)的性質(zhì)綜合■題型12函數(shù)新定義

題型1元素與集合的關(guān)系（共5小題）

1.（24-25高一上?天津東麗?期中）下列關(guān)系中，正確的是（）

A.2eNB.neQ

C.OWND.7GZ

【答案】A

【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

【解答過程】A,2是自然數(shù)，故A正確：B,TT是無理數(shù)，不是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤;

C,（）是自然數(shù)，故C錯(cuò)誤；D,?是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故D錯(cuò)誤.

4

故選:A.

2.（24-25高一上?河南洛陽,期中）已知集合4=fl,a+9,Q2+研，若6€4,則。二（）

A.-2或3B.-3或2C.2D.-3

【答案】C

【解題思路】分Q+9=6和小+。=6兩種情況討論，注意集合中元素的互異性.

【解答過程】因?yàn)锳={l,a+9,Q2+Q},6€力，

當(dāng)a+9=6時(shí)，則a=—3,此時(shí)F+Q=6,不符題意；

當(dāng)a2+。=6時(shí)，解得a=2或a=—3（舍去），

若a=2,則4={1,11,6},符合題意，

綜二所述，Q=2.

故選：C.

3.(24-25高一上?四川?期中)已知集合4={X|/+QX+6VO},若1￡4則a的取值范圍為()

A.[—7,+8)B.(—7,+8)C.(-a),-7]D.(—8,—7)

【答案】A

【解題思路】依題意可得仔+axl+6>0,解得即可.

【解答過程】由1￡力，可得12+axl+6Z0,解得。之一7,

即實(shí)數(shù)Q的取值范圍為[-7,+8).

故選:A.

4.(24-25高一上?四川成都?期中)己知集合4={12,a2+4a,a+10},5€4則。=.

【答案】1

【解題思路】根據(jù)給定的元素與集合關(guān)系列式，再結(jié)合集合元素的互異性求解即可.

【解答過程】由集合力={12,次+4Q,Q+10},5G71,得a+10=5或M+4a=5,

當(dāng)a+10=5時(shí)，a=-5,此時(shí)02+4。=5,不符合題意；

當(dāng)a2+4a=5時(shí)，顯然aH—5,解得Q=1,

則集合4={12,5,11},符合題意，故a=l.

故答案為：1.

5.(24-25高一上?云南紅河?期中)記關(guān)于》的方程+ax+b\=2(a,beR)的解集為M,且M恰有3個(gè)元

素.

(1)證明：a2-4b=8：

(2)若以M中的元素為邊長(zhǎng)的三角形恰好為直角三角形，求a力的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)。的值為一16力的值為62.

【解題思路】(1)先對(duì)原方程進(jìn)行等價(jià)變形；再根據(jù)題意、求根公式和兩個(gè)方程判別式之間的關(guān)系可得出

々=0,進(jìn)而可證得十一46=8.

(2)先根據(jù)a2-4b=8求出方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根；再根據(jù)題意，利用勾股定理列出關(guān)于a方程求解即可.

【解答過程】(1)證明：原方程等價(jià)于％2+ax+b=2或必+以+匕=-2,

即/+QX+h-2=0或%2+ax+b+2=0.

因?yàn)殛P(guān)于x的方程氏2+ax+b\=2（a,beR）的解集為M,且M恰有3個(gè)元素,

所以方程/+ax+b—2=。或/+ax+b+2=0均有實(shí)數(shù)根，

22

-a-Va-464-8v_—a+Va-4b+8

由求根公式可得:X1=-----2----，肛-------2-----

?_-a-Va2-4b-8?_-a+Va2-4b-8

%3-------2-----，M-------2-----

22

由于A]=a—4b4-8>a—4b—8=A2,

所以當(dāng)A2=0時(shí)，M恰有3個(gè)元素，即小一4力=8.

（2）由（1）知，匕=//，原方程等價(jià)于/+。無+￡—4=0或%2+以=0,

444

則兩個(gè)方程的三個(gè)根分別為一>2,/+2,—I

若它們是直角三角形的三邊，

則（-+（-尹2丫=（一>2?且a=0

解得：a=-16,b=62.

故a的值為一16,b的值為62.

集合間的關(guān)系中的參數(shù)問題（共5小題）

6.（24-25高一上?安徽?期中）已知集合4={-2,2},8={-2,—l,a+3},且AG8,則實(shí)數(shù)a的值為

（）

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】C

【解題思路】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系列方程求解實(shí)數(shù)a的值即可.

【解答過程】已知集合4={-2,2},B={-2,-U+3},且4G8,

所以Q+3=2,所以Q=-1.

故選：C.

7.（24-25高一上?浙江?期中）已知集合{1以,胃={0以2"+6},則次。24+川024的值為（）

A.0B.1

C.-1D.1或一1

【答案】B

【解題思路】利用集合相等和集合中元素的互異性，以己知的（U為突破口，分類討論求出a力的值.

【解答過程】集合{1以3}={0以2.+與，兩個(gè)集合中元素完全相同，

由aH0,則有g(shù)=0,得b=0,有a+b=a,

（1=a2

所以，；=0,由集合中元素的互異性，有QH1,得。=-1力=0,

則有次024+b2024=很

故選:B.

8.（24-25高一上?江蘇揚(yáng)州期中）己知a為常數(shù)，集合4={X|/+%—6=0},集合B={x|ax—2=0},

且BG4則a的所有取值構(gòu)成的集合元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解題思路】先求出集合人由81兒分8=0與BW0討論，分別求解的值即可.

【解答過程】集合力={萬/+工一6=0},化簡(jiǎn)求值可得力={-3,2},

當(dāng)8=0時(shí)，BQA,此時(shí)集合B無解，即a=0

2

當(dāng)BH0時(shí)，B={—3}時(shí)，即一3a-2=0解之得Q=-W，

B={2},即2a—2=0解之可得a=1,

所以根據(jù)集合元素的性質(zhì)可得元素個(gè)數(shù)為3個(gè).

故選:C.

9.（24-25高一上?海南省直轄縣級(jí)單位?期中）若集合P={x￡Z|-lWx<4},Q={a-l,a+2},且

QQP,則實(shí)數(shù)Q=.

【答案】0或1

【解題思路】根據(jù)題設(shè)有P={-l,0,l,2,3},結(jié)合包含關(guān)系及Q-IVQ+2,討論參數(shù)求對(duì)應(yīng)參數(shù)值，并判

斷a—l,a+2是否同時(shí)屬于集合P,即可得答案.

【解答過程】由題設(shè)P={-l,0,l,2,3},又。=加-1,。+2},且QGP,

由干a—l<a+2,討論如下：

當(dāng)=即Q=0時(shí)，a+2=2EP,滿足；

當(dāng)a—1=0,即Q=1時(shí)，Q+2=3￡P(guān),滿足；

而a-1=1或2或3時(shí)，Q+2CP,不滿足.

所以Q=0或1.

故答案為：0或I.

10.（24-25高一上?四川瀘州,期中）已知集合4=kx+g=5},B={x|（a—l）x24-ax+a-1=0）.

（1）若8中恰有一個(gè)元素，用列舉法表示a的值構(gòu)成的集合；

（2）若8￡4求Q的取值范圍.

【答案】（1）{1,2,|}

（2）（-co,U（2,+co）

【解題思路】（1）分Q—l=0與Q—1H0兩種情況討論，當(dāng)。一1工0時(shí)△=（）,即可求出參數(shù)的值；

（2）首先解方程求出集合4再分8=0、1WB、4三種情況討論，分別求出參數(shù)Q的范圍（值），即可

得解.

【解答過程】（1）若即Q=L則8={0},符合題意.

若a—1X0,即a,1,則由〃中恰有一個(gè)元素，得△=a?—4（a—I）?=0,

解得a=2或Q=|.

綜上所述，a的值構(gòu)成的集合為{1,2（}.

（2）由％+：=5,解得工=1或%=4,則4=口,4}.

若B=0,符合B5,則

若1WB,則3a—2=0,解得a=,，則8={1},符合BG4

*5

若4WB,則21。-17=0,解得。=算，則3={4g,不符合85.

綜上所述，a的取值范圍為（一8,|]u（2,+8）.

題型3交并補(bǔ)混合運(yùn)算及其含參問題（共5小題）

II.(24-25高一上?天津?qū)幒悠谥?已知集合(/={1,2,3,456,7),A={2,3,6,7),B={2,3,4,5},則AC(Cu

B)=()

A.{6,7}B.{1,7}C.{1,6}D.{1,6,7}

【答案】A

【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.

【解答過程】依題意，CuB={1,6,7）,

所以An(Q/B)={6,7}.

故選:A.

12.(24-25高一上?重慶期中)已知全集U={-2,-1,0,1,234),集合A={xGZ|x2-x<6),8={-2,0,1,3},

給出下列4種方式表示圖中陰影部分：①］一1,2)②C(4u8)3③4n(QB)④(QM)n(QB)，正確的有幾個(gè)？

【答案】C

【解題思路】根據(jù)陰影部分對(duì)應(yīng)的集合分別判斷①②③④即叱

【解答過程】由圖可知陰影部分所表示的集合為C(AU3)&4C(CU8)，故②③正確；

因?yàn)?lt;={xGZ|-2<x<3]={-1,0,1,2},QjB={-1,2,4)>

所以為八(58)={—1,2},故①正確：

(CM)n(QB)={4},故④錯(cuò)誤.

所以正確的有3個(gè).

故選：C.

13.(24-25高一上?重慶?期中)已知全集〃=(2,3,456,7,8}/加是U的兩個(gè)子集，且4GR（5Mn（Q8）

={2,3,6},則(QM)U8=()

A.[4,7,8}B.{4,5,7,8}C.{2,3,5,6}D.{3,5,6}

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題意分析可知4={235,6},再結(jié)合補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解.

【解答過程】因?yàn)?nB=[5],AA(CyB)={2,3,6},可知力={235,6},QM={4,7,8),

且5eB,2e8,3比8,6也B,所以《")U8={4,5,7,8}.

故選：B.

14.(24-25高一上?海南三亞?期中)已知全集U=/uB={xeN|0WxW5},4n(Q8){1,3,5},則

B=.

【答案】{0,2,4}

【解題思路】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答過程】由題意,U=AuB={xWN|0，xM5}={0,1,234,5},

因?yàn)锳n(QB)={1,3,5},

所以1G4364564,1至8,3CB,5W8,

即8={0,2,4).

故答案為:[0,2,4).

15.(24-25高一上?天津南開期中)已知全集為R,集合4=&比〈一1或x>6},B=

{x\l—m<x<1+m}.

(1)若m=2,求(CR8)U4；

(2)若(CRA)UB=CR4求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)(CR8)UA={x\xVT或%13)；

(2)(-8,2].

【解題思路】(1)先求出當(dāng)m=2時(shí)的集合。，再根據(jù)補(bǔ)集和并集定義即可計(jì)算求解.

(2)先由題意求得BcQRA,接著求出CR力，再分8=。和B*0兩種情況討論即可求解.

【解答過程】(1)若m=2,則3={無|1一血工無工l+m}=團(tuán)一14x43},

所以CRB={x\x<—1或%>3},又集合力={x\x<—1或%>6},

所以(CRB)U4=[x\x<-1或%>3].

(2)因?yàn)?CR4)UB=CR4所以BECRA,

因?yàn)镃Rn={x|-1<x<6],B={x\l—m<x<1+m},

所以當(dāng)8=0時(shí)符合題意，此時(shí)即m<0：

當(dāng)BH0時(shí)，要使

1—m<1+m

則，1—m>—1,解得0<TH<2,

14-m<6

綜上所述，實(shí)數(shù)血的取值范圍為(-8,2].

題型4集合新定義(共5小題)0

16.(24-25高一上?重慶?期中)定義集合運(yùn)算4O8={m|m=%—y,xWA,yW8}.已知非空集合力和8,

且WU8G{1,234,5},若AOBGB,則滿足題意的不同的8的個(gè)數(shù)為()

A.1B.4C.7D.8

【答案】D

【解題思路】結(jié)合集合新定義，討論B中元素個(gè)數(shù)即可;

【解答過程】由題意力。8={m|m=%—y,xeWB},

又非空集合力和4,且力U81{L2,3,4,5},若AOBGB,

當(dāng)B中有一個(gè)元素時(shí)：

B={1},A={2}；B={2},A={4}；

當(dāng)8中有兩個(gè)元素時(shí)：

B={1,2}?A=(3)；B={1.3},A={4}；B={1,4},4={5}：B={2.3},A=(5)；

當(dāng)6中有三個(gè)元素時(shí)：

B={1,2,3},4={4}；

當(dāng)B中有四個(gè)元素時(shí)：

B={1,2,3,4},A={5}：

當(dāng)B中有五個(gè)元素時(shí)，集合4不存在，

所以滿足條件的不同的8的個(gè)數(shù)為8個(gè)，

故選：D.

17.(24-25高一上?福建莆田?期中)非空集合力GR,且滿足如下性質(zhì)：

性質(zhì)一：若a、則Q+6W4性質(zhì)二：若QW4則一aw.4則稱集合4為一個(gè)“群”.

以下敘述正確的個(gè)數(shù)為()

①若A為一個(gè)“群”，則4必為無限集；

②若力為一個(gè)“群”，且服bEA,則

③若4、B都是“群”,則4nB必定是“群”;

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【脩題思路】根據(jù)性質(zhì)，運(yùn)用特例法逐一判斷即可.

【解答過程】對(duì)于①，設(shè)集合4={0}，顯然0+0=0,符合性質(zhì)一，

同時(shí)也符合性質(zhì)二，因此集合力={0}是一個(gè)群，但是它是有限集，故本敘述不正確；

對(duì)干②，根據(jù)群的性質(zhì)，由匕￡4可得：一匕€4因此可得a—力￡4故本敘述正確；

對(duì)于③，設(shè)4nB=C,

若c￡C,一定有C",CeB,

因?yàn)?、B都是“群"，所以一c64-CEB,

因此一cWC,若d€C,所以d€/4,dGB,c4-dGC?故本敘述正確.

故選：c.

18.(24-25高一上?上海?期中)已知有限集A=…,%｝(于22,nWN),如果《中元素%(i=1,2，…,n)滿

足%+a2+???+冊(cè)=%xa?x…xan,就稱A為“完美集”

①集合｛-1一次,一1+b｝不是院美集”，

②若Qi，。2是兩個(gè)不同的正數(shù)，且｛%,做｝是“完美集“，則?！?，見至少有一個(gè)大于2；

③有且僅有兩個(gè)元素的“完美集''只有有限多個(gè)；

④若由€Z+(i=1,2,-,n),則“完美集Z有且只有一個(gè),且"=3

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解題思路】由“完美集”的定義即可判斷①錯(cuò)誤；由“完美集”的定義可知與血可以看成一元二次方程為2

-tx+t=。的兩正根，則4>?？傻?gt;4,則可判斷②正確；③錯(cuò)誤；設(shè)<a2<a3,由“完美集”的

定義可知2a3=+。2+a3V3a3，結(jié)合QtWZ+，可知a[=1以2=2,a3=3,由此即可判斷④正確.

【解答過程】由題意，

對(duì)于①：(-l-V3)+(-l+V3)=-2,(一1一遍)x(-1+6)=-2,

故(-1—V3)+(-1+\/3)—(一1-V3)x(-1+V3)?

所以集合｛一1一百，一1+遍｝是“完美集"，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②:集合｛%?｝是“完美集是設(shè)+。2==￡>0，

則。1，。2可以看成一元二次方程/一比+t=0的兩正根，

則4二步一及>0,解得：￡<。(舍)或￡>4,

即因?yàn)樘镆?為正數(shù)，若田,。2都小于等于2,則。逆2W4,所以。1，。2至少有一個(gè)大于2,故②正

確；

對(duì)于③：由B可知，一元二次方程/一5+￡=0當(dāng)￡取不同值時(shí)，

%,。2的值是不同的，因而二元“完美集”有無窮多個(gè)，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：設(shè)即<a2<a3<???<an,則以xa2x…xan=ara2+…+an<na?,

所以由x例x…x即_1V九，又/WZ+，

當(dāng)九24時(shí)，aixa2x-x>n,此時(shí)“完美集”不存在，

當(dāng)71=2時(shí)，<2,則=1以述2W+。2，不合題意，

當(dāng)71=3時(shí)，aya2<3,所以只能是由=1,。2=2,

由S+。2+。3=。1。2。3，代入解得。3=3,

所以此時(shí)“完美集”只有一個(gè)，為口,2,3｝,故④正確.

綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有2個(gè).

故選：B.

19.(24-25高一上?北京?期中)給定數(shù)集M,若對(duì)于任意a、bEM,有a+b€M,月。一/?€例，則稱集合

M為閉集合，則下列所有正確命題的序號(hào)是.

①集合M=｛—2,—1,0,1,2｝是閉集合：

②正整數(shù)集不是閉集合；

③集合M=｛n\n=3k,k￡Z｝是閉集合；

④若集合力1、%為閉集合，則&U/為閉集合.

【答案】②③

【解題思路】對(duì)于①，令。=-2,b=-l,即可判斷；對(duì)于②，兩個(gè)正整數(shù)的差可能是負(fù)整數(shù)，即可判斷；

對(duì)于③，任取小，n2GM,則m=3口，n2=3k2,自，/C2GZ,結(jié)合新定義即可判斷；對(duì)于④，令4=

(n\n=3k,kGZ),A2=｛n|n=2k,kGZ),結(jié)合新定義即可判斷.

【解答過程】對(duì)于①，因?yàn)橐?WM,-1GM,但是一2+(—1)=—3WM,

所以時(shí)=｛-2,—1,0,1,2｝不是閉集合，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，對(duì)于正整數(shù)集N*,因?yàn)?WN*,2WN*,

但是l-2=-lCN*,所以正整數(shù)集不是閉集合，故②正確；

e

對(duì)于③，任取"1，nz^M,則九1=3的，n2=3/c2?的，^2Z,

則ki+攵2EZ,k[—k?WZ,k?-k\WZ,

所以?11+幾2=3(自+A2)€M,=3(&i—12)€M，九2+=3(/Q—的)6M,

所以M=｛川九=3k,k€Z｝是閉集合，故③正確；

對(duì)于④，由③可得4=｛川九=3k,kWZ｝是閉集合，42=｛用幾=2k,k€Z)是閉集合，

所以41142=｛九|n=3k或71=2女/€2｝,則有2,3WA1U42，

但2+3=564042,則&Ua不是閉集合，故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

20.(24-25高一上?四川眉山?期中)已知集合A是實(shí)數(shù)集R的非空子集，若V%y€4%+yE-yE4則

稱集合力為閉集合.

(1)若集合48均是閉集合.求證：力八8是閉集合：

（2）若集合4B均是閉集合.集合力UB一定是閉集合嗎？如果是請(qǐng)證明，如果不是請(qǐng)舉出反例;

（3）若48均是閉集合，且4B都是R的真子集.求證：存在常數(shù)CWR,但cW4UB.

【答案】（1）證明見解析

（2）不一定，舉例見解析

（3）證明見解析

【解題思路】（1）根據(jù)閉集合定義及集合交集運(yùn)算即可證明；

（2）根據(jù)閉集合定義及集合并集運(yùn)算即可判斷：

（3）根據(jù)閉集合定義、真子集及集合并集運(yùn)算即可證明.

【解答過程】⑴且48為閉集知：{：?菖，{:成立，

故而蕤m從而命題成立.

（2）取4={x|x=2k,keZ},B={x\x=3k,keZ},

2+3=5C4U8知4UB不?定是閉集合.

（3）若或且48均是R的真子集，命題顯然成立,

故不妨設(shè)存在工￡砧滿足{：：3且存在yeR滿足{：Ig,

Wc=x+丫知。=%+yWAU8,否則y=x+y—xE/4

或者%=%+y-yW8而得出矛盾，故命題成立.

題型5利用基本不等式求最值（共5小題）

21.（24-25高一上?福建南平?期中）已知八y6（0,+oo）,且滿足］+/=2,那么％+2y的最小值為（）

A.4B.2C.1+yD.1-日

【答案】B

【解題思路】將代數(shù)式％+2y與+相乘，展開后利用基本不等式可求得％+2y的最小值.

【解答過程】因?yàn)橹?、yG（0,+oo）,且滿足5+/=2,

2y=+2y)&+/)=/2+§+§對(duì)(2+2^^)=

所以，x+2,

二二之

2yx（X=1

當(dāng)且僅當(dāng)（1+±=1時(shí)，即當(dāng)）時(shí)，等號(hào)成立,

2y（y-2

1%>0,2y>0

因此，x+2y的最小值為2.

故選:B.

22.(24-25高一上?重慶?期中)已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,滿足a+2b=4,則-7+搭的最小值是()

a+1匕+2

A,42ClD.2

【答案】C

【解題思路】變形得到號(hào)+誓2=1,由基本不等式“1”的妙月求出最小值.

【解答過程】實(shí)數(shù)a>0,b>0,滿足a+2b=4,故a+1+2屹+2)=9,

嗚1+竽=1,

故J-+三.2)3+123+2)]_1+f+2(a+l)2(/)+2)

以a+1+H2-+淑兒丁十一-9十9+93+2)+9(a+l)

2/2(a±l)<2(h±2)=S4=

一9丁飛9(b+2)9(a+l)99

當(dāng)且僅當(dāng)貌武=微翳，即a=2/=1時(shí)，等號(hào)成立，

故的最小值為1.

故選：C.

23.(24-25高一上?四川?期中)已知Q>0,h>0,a+h=l,則下列說法不正確的是()

A.Qb的最大值為3

B.樂的最大值為近

C.。2+爐的最小值為()

D.駕■的最小值為百+1

Zab

【答案】C

【解題思路】利用基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

2

【解答過程】A選項(xiàng)，ab<=、當(dāng)且僅當(dāng)a-6-點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，Va+VF<2x=應(yīng)，當(dāng)且僅當(dāng)Q=匕=g時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，由于a6都是正數(shù)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

c否2a2+1alaa+ba.1,1

D毯項(xiàng)，2oab.=rb+—2ab=b?+T2Tab=工b+2寶b+丁2a

aa+ba+baa11b

=—+——+-----=―++-+|-

b2b2ab2b222a

=他+1?2后+1=8+1,

當(dāng)且僅當(dāng)|^=/山=6。=手時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.

LbLa2

故選:C.

24.（24-25高一上?浙江杭州?期中）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)％,y滿足4x+y=2xy,則％+（的最小值為

【答案】2

【解題思路】依題意可得:+會(huì)=1，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.

【解答過程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)無，y滿足4x+y=2%y,所以：+5=1,

所以"”々+以；+3=1+￡+言“+2廊=2,

當(dāng)且僅當(dāng)年=*,即％=1,y=4時(shí)取等號(hào).

故答案為：2.

25.（24?25高一上?四川眉山?期中）求最值:

（1）已知％>0,y>0,且滿足xy=4,求9x+y的最小值；

（2）已知不<1,求'=%+三的最大值；

（3）已知x>0,y>0,且滿足2x+y=xy,求x+8y的最小值.

【答案】（1）12

⑵-3

⑶25

【解題思路】（1）利用基本不等式9無+yN2麻；即可；

（2）利用基本不等式求1—工+士的最小值，再求、=一［1一彳+三）+1的最大值即可；

<3）先化簡(jiǎn)得5+9=1,再利用1的妙用化簡(jiǎn)即可.

JX

【解答過程】（1）因?yàn)椋?gt;0,y>0,且xy=4,所以9%+yN2同方=6折=12,

當(dāng)且僅當(dāng)9%=y,即x=*y=6時(shí)取等號(hào)，

所以當(dāng)％=§,y=6時(shí)，9x+y有最小值，最小值為12；

（2）因?yàn)閤<l,則1—x>0,所以1—x+工2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)1一%=工，即％=—1時(shí)取等號(hào),

所以y=x+-^-=%—1+<+1=-[1—x+—]+1<—44-1=-3,

X-1X—1L1—X」

所以當(dāng)％=—1時(shí)，y=%+六有最大值，最大值為一3；

21

（3）因?yàn)?x+y=xy,所以三+二=1,

因?yàn)椋?gt;Q,y>0,所以%+8y=（x4-8y）（：+，=17+y+y>17+2J,=25,

當(dāng)且僅當(dāng)§=%即x=2y,即％=52=%寸取等號(hào)，

故當(dāng)％=5,y=5時(shí)，x+8y有最小值，最小值為25.

題型64基本不等式的恒成立問題（共有畫

26.（24-25高一上?四川?期中）已知a>。，h>0,若不等式言〈嘴”亙成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為

()

A.64B.25C.13D.12

【答案】B

【解題思路】將不等式變形為mW（曙）（。+切，利用基本不等式即可得出答案.

【解答過程】Q>0,b>0,則Q+b>0,

不等式捻工智恒成立,即加工（誓）伍+匕）恒成立,

（誓）（。+b）=G+*+3=13+與+筌13+2廂=25.

當(dāng)且僅當(dāng)華=y,即b=|a時(shí)等號(hào)成立，

所以mW25,即實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為25.

故選：B.

27.（24-25高一上?安徽?期中）已知x>0,y>0,且x+y=5,若士+貴工2m+1恒成立：則實(shí)數(shù)m的

X十1）*T■乙

取值范圍是（）

A.（―8,得]B.（—co,1]C.（—co,1]D.（—oo,4]

【答案】A

【解題思路】由己知條件得出（丫41）+（y+2）=8,將代數(shù)式￡■+‘三與:[（Y+1）+（y+2）]相乘，展開后

利用基本不等式求出5T+康的最小值，根據(jù)題意可得出關(guān)于m的不等式，解之即可.

【解答過程】因?yàn)閤>0,y>0,且％+y=5,則無+l+y+2=8,

娜翳>。墨>。，

所％1+康=氏1+素）舊】）+。+2）］=翡+等+氏

，4Q+2)x+l1=

5+29

>dx+1y+zj8

4(y+2)_x+1

當(dāng)且僅當(dāng)（％+日；3,周=8時(shí)，

^x>0,y>0

即當(dāng)％=￡,y=:時(shí)，所以去+意的最小值為，

O?5Xtl.

因?yàn)樾?+22m+1恒成立，所以2m+l&，解得m4白,

X十JLZ*O1O

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（一8,4

故選:A.

28.（24-25高一上?江蘇?期中）若正實(shí)數(shù)達(dá)歹滿足x+y=3,且不等式;+^>|m—1|+4恒成立，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是（）

A.{m|—3<TH<1}B.{m|mV-3或m>1}

C.{m|-1<m<3}D.{m|mV—1或m>3}

【答案】C

【解題思路】利用代換1法，結(jié)合均值不等式求出最小值，再解絕對(duì)值不等式即可求出選項(xiàng).

【解答過程】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X,），滿足x+y=3,

所聽+；=哭+9（、+/=氐2+8+§+9號(hào)（10+2杼1）=6,

當(dāng)且僅當(dāng)§=墨即y=2%=2時(shí)取等號(hào)，

又由不等式|加一1|+4恒成立，

所以6>|血一1|+4,解得：一l<mv3,

故選:C.

29.（24-25高一上?貴州?期中）己知%>\,y>3,且（x-l）（y-3）=2x+3y-ll,若不等式2%+y-m>0

恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】m<13+473

o2

【解題思路】由已知條件可得：W+/=L因不等式2%+、一m>0恒成立，則需

2。-1)+8-3)>m-5恒成立，則需要m-5V(2(%—1)+。-3))mm，利用力的妙用”,求出

2。-1)+(y—3)的最小值，即可得到m的取值范圍.

【解答過程】將(x-l)(y-3)=2x+3y-11化為：(x-l)(y-3)=2(x-l)+3(y-3),

即：告+備=1,不等式2x+y-m>0化為：2(x-1)4-(y-3)>m-5,

上述不等式要恒成立，則m-5小于2(%—1)+(y—3)的最小值.

因?yàn)椋?gt;l,y>3,貝ij

2(x—l)+(y—3)=[2(x-l)+(y—3)信+m=8+登+答>8+2.lg)=8+4

后

當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)子=9■子，即％=4+遮且y=5+28時(shí)，取“=”，

所以m-5<8+4V^,即mvl3+4VT

故答案為：m<13+4舊.

30.(24-25高一上?廣東深圳?期中)求下列代數(shù)式的最值：

(1)已知%>1,求y=%+￡的最小值；

o1

(2)已知x>o,y>0,且滿足2+;;=1.求3+2y的最小值；

(3)當(dāng)0V%V《時(shí)，不等式§+告一mNO恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.

【答案】(1)最小值為5

(2)最小值為18

(3)最大值為9.

【解題思路】(1)利用基本不等式求最值；

(2)利用基本不等式“1”的妙用求最小值；

(3)將；+恒成立問題轉(zhuǎn)化為=+七的最值問題，然后利用基本不等式求最值即可?

X1-QXX1-QX

【解答過程】(1)因?yàn)閄>1,貝k-1>0,由基本不等式得，

y=(%-1)+小+1N2?一1).占+1=5,

當(dāng)日僅當(dāng)“一1=工，即％=3時(shí)，等號(hào)成立.

故y=X+W的最小值為5.

(2)因?yàn)閤>0,y>0,

所以x+2y=(%+2y)g+；)=10+-^+^>10+2嚴(yán)?|=18,

當(dāng)且僅當(dāng)?=：,即a12,y=3時(shí)等號(hào)成立，

故4+2y的最小值為18.

(3)不等式;+七一mN0恒成立化為血工：+七亙成立，

又因?yàn)?cxV；,所以1-4%>0,因此

工+：=田+1_軌)口+，)=5+號(hào)+925+24x3=9,

X1-4X'八X1-4〃l-4xx5一4xx

當(dāng)且僅當(dāng)言；=W"，即％=*時(shí)，等號(hào)成立，

所以m<9,

即實(shí)數(shù)m的最大值為9.

-元二次不等式恒成立、有解問題(共5小題)。

31.(24-25高一上?四川成都?期中)不等式化F+/cx+l工0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是

()

A.(—on,0]U[4,4-on)B.(—m,0)U(4,+m)

c.[0,4]D.(0,4)

【答案】C

【解題思路】對(duì)不等式的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【解答過程】當(dāng)k=0時(shí)，原不等式變?yōu)?之0,顯然對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；

當(dāng)AX0時(shí)，由L=k紇/W0,解得0<k"，

綜上所述，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[0,4].

故選：C.

32.(24-25高一上?河北石家莊?期中)若存在％WR,使得不等式告三22成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

()

A.{m\m>2}B.{m\m<0}C.{m\m<2}D.[m\m<2}

【答案】C

【解題思路】把問題轉(zhuǎn)化成“一機(jī)大于或等于2(爐一4%+3)的最小值”，再利用配方法求2(/一4%+3)的最

小值即可.

【解答過程】因?yàn)?-2工+3=Q-1尸+2>0,

4“一

22

所以X」2X+322=4x—m>2(^—2x+3)=-m>2(x—4x+3).

問題“存在％eR，使得不等式若鼻>2成立”轉(zhuǎn)化為“一m大于或等于2(/一4%+3)的最小值”.

因?yàn)?(/-4%+3)=2(x-2)2-2>-2,當(dāng)％=2時(shí)取“=

所以一mN—2=>m<2.

故選：C.

33.(24-25高一上?江蘇南通?期中)Vxe(—L+8),x2+(i—kA+i-ZN0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范

圍為()

A.(—co,—1]B.(—8,0]C.(—3,1]D.(—8,1]

【答案】D

【解題思路】轉(zhuǎn)化問題為kW交答■對(duì)于無€(—1,+8)恒成立，進(jìn)而由受等■=%+1+小一1結(jié)合基本不

等式求解即可.

【解答過程】由d+(1-k)x+l—kzo,得女工三尸，

則問題轉(zhuǎn)化為k<%1對(duì)于工￡(—1,+8)恒成立，

又—^……2歷正口=1.

當(dāng)且僅當(dāng)％+1=《7,即％=0時(shí)等號(hào)成立，

所以kWl,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為(一8,1].

故選：D.

34.(24-25高一上?重慶?期中)已知關(guān)于“的不等式好一依一憶+3>0在區(qū)間[0,2]有解，則實(shí)數(shù)k的取值范

圍為.

【答案】(一8,3)

【解題思路】分離參數(shù)，然后將不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題即可.

【解答過程】法一：原不等式可億為kV落，因?yàn)椴坏仁皆赱0,2]有解，所以(鑿)max；

令t=%+le[l,3],則k=胃=仁？2+3=￡+力；

?JLvV

4

令/(t)=t+f—2，易知/(￡)在［1,2］單調(diào)遞減，在［2同單調(diào)遞增，/1(t)max=max{/(l),/(3))=3,所以

k<3.

法二：令f(x)=/-kx-k+3,則f(%)max>0即可;

由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可知，/(x)max=max{/(0)/(2)},

所以;■(())>0或/(2)>0,解得k<3或所以k<3.

故答案為：(一8,3).

35.(24-25高一上?北京?期中)已知二次函數(shù)〃%)的最小值為I,且/'(())=/(2)=3.

(1)求/(%)的解析式；

(2)解關(guān)于x的不等式：/(x)+2ax-3>0,其中QW［3a,a+1］；

(3)當(dāng)時(shí)，/。)>2無+2血+1恒成立，試確定實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)/(盼=2/-鈦+3

(2)(-8,0)U(2—Q,+8)

(3)(_8,_1)

【解題思路】(1)根據(jù)題意，設(shè)/a)=Q(x—l)2+l(QH0),根據(jù)/?(OjuB,求得a=2,即可得到函數(shù)的

解析式；

(2)原不等式等價(jià)于%2+9—2戶>0,進(jìn)一步確定a的范圍即可得解.

(3)依題意可得不等式相</一3丫+1在區(qū)間［-1,1］上恒成立.令0(%)=/一3、+1,結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)，即可求解.

【解答過程】(1)由題意,函數(shù)f(x)是二次函數(shù),且/(0)=/(2),可得函數(shù)/(%)的對(duì)稱軸為x=函

又由最小值為1,可設(shè)/'(X)=Q(無一1)2+l(a=0),

又"0)=3,即ax(0—1尸+1=3,解得Q=2,

所以函數(shù)的解析式為/(無)=20—1)2+1=2x2-4x+3.

(2)/(x)+2ax-3>0=2/+(2a-4)x>0<=>x2+(a-2)x>0,

a>3a

因?yàn)镼€［3Q,Q+1］,所以a<a+1=>a<0,

.3a<a+1

所以%2+①—2)x>Oox<0或x>2—a,

所以若QW］3a,Q+1］,則關(guān)于x的不等式：f(x)+2a%-3>0的解集為(一8,0)u(2-a,+8).

(3)因?yàn)楫?dāng)之€［T1］時(shí),f(x)>2%+2m+l恒成立,

即當(dāng)%e［-1,1］時(shí)，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立,

即當(dāng)工€［—1,1］時(shí)，m</-3x+l恒成立，

設(shè)函數(shù)g(x)=必-3x+1,xe［-1,1］,

則g(?在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減,

.??9(無)在區(qū)間［-1,1］上的最小值為9(1)=一1,

?,?TH<—1,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：(一8,—1).

題型8函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用(共5小題)

(<

36.(24-25高一上?江西?期中)已知函數(shù)/(%)={%2-2?7+60-3,%>2在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)Q的取值

范圍為()

uG用口.加

【答案】C

【解題思路】先保證每段函數(shù)都是增函數(shù)，再考慮斷點(diǎn)處函數(shù)值的關(guān)系，解不等式組即可.

【解答過程】當(dāng)XV2時(shí)，函數(shù)y=(2a-1)X單調(diào)遞增，則即

二次函數(shù)y=X2-2ax+6a-3的圖象開口向上，對(duì)稱釉為直線工=a,

Q

當(dāng)x22時(shí)，函數(shù)y=/-2數(shù)+6a-3單調(diào)遞增，則W2,

1

-

2

?>2

由函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，有，a<解得TVa4萬.

(2(2a-l)<4-+6a—3.

故選：C.

37.(24?25高一上,河北邯鄲?期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(1一%)=/(3+無)，且在(一8,2］上單

調(diào)遞增，a=/(K).b=/(V3),c=/(O),則()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解題思路】由題意確定對(duì)稱軸為％=2,進(jìn)而確定函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可判斷.

【解答過程】由己知得函數(shù)/(乃的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)■稱，

所以〃工)在(一8,2］上單調(diào)遞增，在［2,+8)上單調(diào)遞減，

所以/'(0)</(遍).又2VUV4,所以f(ir)>f(4)=/(0).

因?yàn)樽σ?>2—乃，所以/'(IT)</(△).

故/(。)</(2</(逐)，即cVQ<b.

故選:D.

38.(24?25高一上?山西?期中)已知定義域?yàn)?0,+8)的增函數(shù)/(%)滿足/(%+y)=/(%)+/&),且

=L則不等式"％+3)+/(x2-4)>2的解