全國(guó)初中數(shù)學(xué)八年級(jí)競(jìng)賽模擬卷（一）

一、單選題（共6小題，滿分30分，每小題5分）

1.若分式當(dāng)?shù)闹凳秦?fù)數(shù)，貝卜的取值范圍是（）

X-1

A.1<x<2B.%>1或％<—2

C.1VxV2或％<-2D.-2cxe2且zH1

【答案】C

【分析】本題主要考查分式的值及?元?次不等式組的解法，熟練掌握分式的值及?元?次不等式組的解

法是解題的關(guān)鍵：由題意易得｛?二或｛I?1]2；：,然后進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由分式耳的值是負(fù)數(shù)，可分：

X-1

當(dāng)0?二;;2時(shí)，解得：xv一2；

當(dāng)Fl二;::時(shí)，解得：1。<2；

綜上所述，滿足條件x的取值范圍為：1VxV2或4〈一2

故選C.

2.設(shè)a=（2+百+，2-百，則的整數(shù)部分為（）

a

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式，算式平方根的估算，根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，先求出小，進(jìn)而求出”的

值，再把〃的值代入所求代數(shù)式，根據(jù)算式平方根的估算求解即可.

【詳解】解：Va2=（V2+V3+V2-V3）2=2+V3+2-V3+2J（2+V3）x（2-V3）=2+V3+2-

V3+2J（2+V3）x（2-V3）=4+2J22-（V3）2=4+2=6,a=52+75+42-百>0.

???a=y/6,

???a+-=V6+-J==-^=+-7==-7==戶，

QV6V6V6V676

???4<竺<9,

6

AV4<第V?

—J?"

.,.2<a+!<3'

???a+2的整數(shù)部分為2,

a

故選：B.

3.如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為4,M點(diǎn)為CD邊上的中點(diǎn)，若M點(diǎn)是4點(diǎn)關(guān)于線段Er的對(duì)稱點(diǎn)，則詈等

ED

于（）

A空B-1C.2D品

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線.連接EM,

由軸對(duì)稱性質(zhì)可知區(qū)4=EM,設(shè)=則ED=4-x,EM=x,由勾股定理得：（4一%尸+2?=/解方

程求出x的值即可.

【詳解】解：連接EM,

（3M、A關(guān)于E尸對(duì)稱，

=EM,

設(shè)HE=x,則EZ）=4-x,EM=x,

13M點(diǎn)為CD邊上的中點(diǎn)，

（3CM=MD=-CD=2x4=2,

22

在直角△DEM中，由勾股定理得（4一x）2+22=/,

解得“支

04-x=-,

2

造富

ED3

故選：A.

4.已知％+y=1,/+y2=2,那么好+丫5的值是（）

A..—9_B.—19_C?7—_D.—5

2422

【答案】B

【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用.解答本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式的變形，將％+/秒、/+y2

作為整體代入.首先根據(jù)完全平方公式a+y)2=/+y2+2為y,把無+y,/+y2的值整體代入求出功的

值.計(jì)算出/+y3=(%2+y2)(x+y)-xy(x+y)=￡同理將/+必變形為(/+y2)(x3+y3)-

22

xy(x+y)r代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得到結(jié)果?

【詳解】解：0x+y=1,

Hx2+y2+2xy=1,

又取2+y2=2,

回2xy=-1?

團(tuán)盯=一支

取2y2=￡

0x3+y3=(x24-y2)(x+y)-x2y-xy2=(%24-y2)(x+y)-xy(x4-y)=2x1-(-0x1=

以5+y5=(2_|_y2)(%3+y3)-23-32=(%2+y2)(43+3)_22(y)=2x---Xl=—=

xxyxyy%y%+244

19

4°

故選：B.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC,D為BC上的一點(diǎn),/.BAD=28°,在AD的右側(cè)作△ADE,使得=

ZD/1E=^BAC,連接CE、DE,DE交AC于點(diǎn)。，若CE||48,則匕0OC的度數(shù)為()

A.124°B.102°C.92。D.88°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意由SAS可證△力BD三△4EC,得至l"4BD="CE,結(jié)合兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等

邊對(duì)等角可推出4力8。=LBCA=/.ACE=^x180°=60°,從而得到448c是等邊三角形，進(jìn)而推出仆ADE

是等邊三角形，川知"4DE=60。，結(jié)合4OAD=乙BAC-4BAD=32°,由三角形外角的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：0ZD/1F=^BAC,

^DAE-Z.DAC=Z-BAC-"AC,即乙￡:4C=乙DAB,

團(tuán)力B=AC,AE=AD,

回△力8。三△力￡C(SAS),

(3ZJ8O=Z.ACE,

^CEWAB,

b=-^—+1.5=3.5,

100-60

點(diǎn)(c,a)可知，休息30分鐘,

0c=3.5+0.5=4,a=80—60x0.5=50；

點(diǎn)3,0)可知，甲乙再次相遇，d=4+-^-=4+^-=4^

1UU+6U1616

A.甲車的速度是100km/h,故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B.由以上分析己知甲出發(fā)3.5h后到達(dá)8地，且甲速度為100km/h,所以A,8兩地為100x3.5=350(km),

故B錯(cuò)誤，不符合題意；

C.甲車3.5h到達(dá)8地，乙車比甲車早出發(fā)lh,所以乙車出發(fā)4.5h時(shí)甲車到達(dá)8地，故C正確，符合題意；

D.從上中(1.5,0)和(d,0)可知，甲出發(fā)1.5h和4搭h與乙車相遇，故D錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

二、填空題(共6小題，滿分30分，每小題5分)

7.直線y=3%+Z+2與直線y=-％+2k的交點(diǎn)在第二象限，且Z是正整數(shù)，則k的值是；交點(diǎn)

的坐標(biāo)是.

【答案】1(T3

【分析】本題考查了一次函數(shù)，關(guān)鍵是將題目中兩個(gè)一次函數(shù)解析式聯(lián)立，得到求解二

元一次方程組，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合交點(diǎn)在第二象限，且k是正整數(shù)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?由題意可知，聯(lián)立兩個(gè)直線方程可得，

y=3x+k+2...①

y=-x+2k...②

將①一②可得，

4%-k+2=0,

解得：不二?，代入②式得，

2+7k

y=-

二交點(diǎn)坐標(biāo)為((,罕)，

?.?交點(diǎn)在第二象限，

—<0

二可得，2+7k>，

、4

解得：±<k<2.

???A是正整數(shù)，

：?k=l,代入坐標(biāo)可得，交點(diǎn)坐標(biāo)為(一：,》.

8.已知〃為正整數(shù)，若嗯一是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)的值等于_____.

n2+6n-16-----

【答案】搞

【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，先對(duì)分子分母因式分解，得到分子分母有公因式6-2）,則71-2=L

得到n=3,代入求值即可.

【詳解】解：n2+3n-10=(n-2)(n+5),n2+6n-16=(n-2)(幾+8),

分子分母有公因式5-2）,

_n2f3n-10

13-z-----------是一個(gè)既約分?jǐn)?shù),

n24-6n-16

0n-2=1,

即?i=3,

_^n24-3n-10_(n-2)(n+5)_n+5_3-5_8

0*?2+6?1-16—(n-2)(n+8)-n+8-8-3-11

故答案：總

9.如圖，四邊形力8CD是菱形，4?=8,且乙18c=60。，例為對(duì)角線8。上任意一點(diǎn)，則24M+8M的最小

值為.

【答案】8V3

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)：對(duì)角線平分內(nèi)角、各邊相等）、直角三角形的性質(zhì)（30。角所對(duì)的直角邊

等「斜邊的一半、勾股定理），解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造將待求式2AM+BM轉(zhuǎn)化為2Q4M+MH）,

再利用點(diǎn)M位于4T邊上時(shí)取等號(hào)確定AM+MH的最小值，進(jìn)而求出24M+BM的最小值.

由菱形性質(zhì)得N08C=：乙18C=30。；過M作MH1BC,在RtABHM中，由30。角性質(zhì)得MH=故

2AM+BM=204M+MH）；過A作4T1BC,在Rt△48T中，由乙4BC=60°得4847=30°,故BT=\AB=

4,再用勾股定理算得47=山13-BT2=4百:又4M+MH工47（點(diǎn)M位于AT邊上時(shí)取等號(hào)），因此

2（ZM+MH）>8V3,即24M+3M的最小值為845.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作4718C于T,過點(diǎn)M作MH1BC于

團(tuán)四邊形力是菱形，/.ABC=60°,

^/.DBC=-2^ABC=30°,

（3M41BC,

回4BHM=90°,

團(tuán)M”=：BM,

1

AM+-BM=AMMH,

乙

團(tuán)471BC,

^LATB=90°,又由乙4BC=60。知=30°,

^\BT=-AB=-x8=4,

22

團(tuán)47='AB2-BT2=V82-42=4百，

vAM+MH>AT（點(diǎn)M位于47邊上時(shí)取等號(hào)）

AM+MH>48，

.?.4M+：BMN4V5,

/.2AM+BM>8百

團(tuán)24M+8M的最小值為86，

故答案為86.

10.河水是流動(dòng)的，在B點(diǎn)流入?個(gè)靜止的湖中.游泳健將朱泳在河中順流從A到B,再穿過湖游到C,共用

1小時(shí)；而由C到8再到4共用2小時(shí).如果湖水是流動(dòng)的，從B流向C,速度與河水速度相同，那么朱泳

從<到B再到C,共用50分鐘.這時(shí)，他從C到B再到人共用一小時(shí)二

【答案】2.54

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、解決本題的關(guān)鍵是首先假設(shè)全程為1,并以全部順?biāo)型晷枰?0分鐘

作為突破口，并做好合理的假設(shè).

首先假設(shè)全程為1，那么從A到B到C全部順?biāo)?，根?jù)朱泳從A到8再到C,共用50分鐘以及速度時(shí)間關(guān)

系求得順?biāo)械乃俣葹?，假設(shè)朱冰在最初1小時(shí)全部順?biāo)?，就?huì)比全程多行1=：,也就是說該種

情況說明行8c段同樣的時(shí)間，順?biāo)褥o水多行全程的士同理行段同樣的時(shí)間，逆水比靜水少行全程的;，

因此逆水行2小時(shí)，只能行全程的1-[=故設(shè)游泳健將朱泳在從。到8再到A逆水行進(jìn)中共用x小時(shí)，

由2=：,解得/即為所求.

【詳解】解：設(shè)全程為1，設(shè)游泳健將朱泳在從C到&再到A逆水行進(jìn)中共用X小時(shí)，

由題意可得，——

解得％=2.5,

經(jīng)檢驗(yàn)，無=2.5是原方程的解，

團(tuán)他從。到B再到人,共用2.5小時(shí).

故答案為：2.5.

]1.已知盆=苧,那么算式篇+濡的值為

【答案1—6或6

【分析】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，由蕓=乎可得。=（2或+3）24

再運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則億簡(jiǎn)原式可得淺，然后將Q=（2a+3）2》代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可.

7ab'J

【詳解】解：嗡=苧,

曲=吟5='弋3)廠、b=(2V2+3大

3-2V2(3-2V2)(2V2+3)k7

y[ao+ba-4ab

------1=+~F=——

ayjabyjab-b

(\[ab+b)(\/ab—6)(a4-y[ab)[a—y[ab)

(a+\[ab)[y[ab-b)(a+y[ab)[4ab-b)

ah-b2+a2-ab

(a-b)y/ab

a2-b2

(a—b)\[ab

(a+b)(a-b)

(a-b)\[ab

G+b

\[ab

(2a+3pb+b

J（2企+3）為2

[12V2+3）24-l|d

J（2&3為2

當(dāng)心|（2后3）2+>.[（20+3）2+小。四+31+1_18+12小_6(3+28)

=6；

向小一彘,3）2V2+3272+3

當(dāng)時(shí)'繇^嘿翳=嗤*霽=符…

綜上，該代數(shù)式的值為-6或6.

故答案為：—6或6.

12.已知仁y為整數(shù)，且滿足G+》（<+打=一家.一力求％+y的值

【答案】?；颉?

【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，因式分解的應(yīng)用.

根據(jù)平方差公式和約分法則把原式化簡(jiǎn)，根據(jù)取整法則解答即匕.

【詳解】解：,??C+；）（9+夕=_|（2一/）,

鴻=一沿一/

&+；)+沿-6=。，

(-+-)+1(-+-)(i--)=0,

、xy，3'xy/4y，

(冷)l-)」=。，

???工+工=0或1+；(工一工)=0,

xy3xy

???%+y=0①或；：

**y，

由②得：2y—2x=-3xy,

2x-3xy=2y,

(2-3y)x=2y,

2y2

2-3廠2

??,x,y為整數(shù)，

肥-3是2的約數(shù)，

y

回y=1或2,

???當(dāng)y=l時(shí)，x=-2；當(dāng)y=2時(shí)，x=-1,

.??%+丫的值為0或±1,

故答案為：。或±1.

三、解答題（共6小題，滿分60分）

13.（本題10分）先化簡(jiǎn)，再求值：（1一號(hào)字）+T~,其中x、y滿足F"+y=3V1+l

【答案】2xyf2

【分析】本題考查解二元一次方程組，分式的混合運(yùn)算及求值，二次根式的運(yùn)算.先解二元一次方程組求

出工和y的值，再利用分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，最后將x和y代入求值即可.

2x+y=372+1①

【詳解】解:

%-y=2②

①+②得：3x=3V2+3,

解得％=V2+1,

將%=V2+1代入②得：V24-1-y=2,

解得y=a-l.

x2-2xy+y1

x2—y2x2+xy

(無-y)21

=1------------4--------

(x+y)(x-y)Jx(x+y\

x+y-(x-y)

=-------------------x[x+y)

x+y

2y(,、

=——?x(x+y)

x+y

=2xy,

將《=企+1,y=V2-l代入，得:

原式=2(&+1)(a_1)

=2x(2-1)

=2.

14.（本題10分）如圖，在△ABC中，和乙4cB的平分線相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作EFIIBC交于E,交

力C于尸，ODJLAC于。.設(shè)8E+BC+CF=m,OD=n.試求梯形8C/E的面積.

【分析】過。作0H18C于“，可得?！?。。，Z-EBO=/-OBC,乙FCO=^BCO,可證aOBE和aOCr為

等腰三角形，則BE=OE,CF=0F,再用梯形面積公式即可解題.

【詳解】解：過。作OH1BC于”，

回/A8C和4力C8的平分線相交于點(diǎn)0,0D1AC^-D

□OH=0D=n,乙EBO=乙OBC,Z.FCO=Z-BCO

^EF||BC

^OBC=乙EOB=乙EBO,乙FOC=乙OCB=乙FCO

0AOCF為等腰三角形，

團(tuán)=OE,CF=OF

即BE+CF=0E+OF=EF

叫形8"E="EF+80。”

1

=-(BE+CF+BQOH

乙

1

=-mn

2

IS.(木題10分)如圖，已知在中，4艮4c為直角，AB=AC,。為力C上一點(diǎn)，CE±BDTE.

C

BA

（1）若平求證：CE=^RD-

⑵若。為AC上一動(dòng)點(diǎn)，4力￡7）如何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說明理由.

【答案】（1）見解析；

（2）不變，45°,理由見解析.

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

（1）利用等角的余角相等判斷出乙480=乙4CF,證明△480=A/1CF,判斷出BO=CF,再證明CE=EF,

進(jìn)而判斷出Cr=2BD,即可得出結(jié)論；

（2）作出輔助線，利用全等三角形的面枳相等，進(jìn)血判斷出=即可得出AE是48EF的角平分線.

【詳解】（1）證明：連接力E,延長(zhǎng)CE,交84的延長(zhǎng)線于F

C

???Z.CDE+乙DCE=90°,LABD+^ADB=90°,

Z.ADB=Z.CDE,

???Z.ABD=Z.ACF,

在A力8D和△AC尸中，

(￡BAD=乙CAF=90°

AB=AC,

(Z.ABD=Z.ACF

空△ACF(ASA),

BD=CF,

vBD1CE,

團(tuán)BEC=乙BEF,

團(tuán)BD平分4ABC,

團(tuán)乙CBE=LFBE,

團(tuán)BE=BE,

0ABCE=△BFE,

CE=EF,

二CE=-CF=-BD,

22

(2)乙4ED不變化,

理由：如圖，過點(diǎn)4作4Gle尸于G,作4H1BD于〃,

是直角，CELBD,

:.Z.BAC=乙CAF=乙BEC=90。，

LC,DE+乙DCE=90°,乙ABD+Z.ADB=90°,

Z.ADB=Z.CDE,

:.Z.ABD=Z.ACF,

在A480和△4C尸中，

(/.BAD=Z.CAF=90°

AB=AC,

(4ABD=乙ACF

??.△ABD三△ACF(ASA),

,0,S&BAD=S&CAF‘BD=CF,

BD-AH=CF-AG,而BD=CF,

；?AH=AG,

vAH1EB,AG1EG,

EA平分NBEF,

???ZBE4=〃BEG=45。，

2

即:4AED不變化.

16.(本題10分)對(duì)于一個(gè)正整數(shù)〃，若N能寫成：N=a2+b2-b為正整數(shù))，且a=3k+1,b=3k-1

(其中k為自然數(shù))，則稱N為“幸運(yùn)整數(shù)”.例如：當(dāng)k=l時(shí)，a=4*=2,則N=12,所以12是“幸運(yùn)

數(shù)〃.

⑴求三位數(shù)中最大的“幸運(yùn)整數(shù)〃；

⑵如果兩個(gè)"幸運(yùn)整數(shù)"的差是72,求這兩個(gè)“幸運(yùn)整數(shù)

【答案】⑴903；

(2)84和12.

【分析】本題考查的是整式乘法、因式分解的應(yīng)用，熟練掌握其應(yīng)用方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，先求得N=(3k+I)2+(3k-I)2-(3k+l)(3k-1)=9k2+3,計(jì)算知當(dāng)k=10時(shí)，N=

9X102+3=903,當(dāng)k=ll時(shí)，/V=9Xll2+3=1092,即可得出結(jié)果；

(2)由(D知：“幸運(yùn)整數(shù)可表示為9k2+3(k為自然數(shù))，則當(dāng)k=m,n時(shí)得到兩個(gè)“幸運(yùn)整數(shù)”為9m2+

3,9n24-3,由題意可知：(9m2+3)-(9n24-3)=72,即(m+n)(m-九)=8,根據(jù)機(jī)，”為自然數(shù)，可

得加=3,九=1,將其代入計(jì)算即可.

(詳解］(1)解：:N=M十〃2-必，u=3k+1,b=3k—1,

AN=(3k+I)2+(3k-l)2-(3k+l)(3k-1)=9k2+3.

???k為自然數(shù)，

:?當(dāng)k=10時(shí)，N=9x100+3=903,

當(dāng)A=11時(shí)，N=9x121+3=1092,

二三位數(shù)中最大的"幸運(yùn)整數(shù)"是9C3；

(2)解.：由(1)知：“幸運(yùn)整數(shù)"N可表示為9k2+3(k為自然數(shù))，

則A=m,n時(shí)得到兩個(gè)"幸運(yùn)整數(shù)"為:9m2+3,9n2+3,

由題意:(9m2+3)—(9n2+3)=72.

9m2-9n2-72,

???m2-n2=8?

???(m+n)(m—n)=8.

???為自然數(shù)，m+n>m-n

團(tuán)產(chǎn)或產(chǎn)

—n=2—n=1

解方程組得：［巾=^或］根一?(舍去)，

(九=1卜=(

m=3,n=1.

:.9m2+3=84,9n2+3=12.

???這兩個(gè)“幸運(yùn)整數(shù)”分別為84和12.

17.(本題10分)仔細(xì)觀察圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題:

OAI=(VT)+1=2,S]=學(xué)

2

OAj=(V2)+1=3,S2=

⑴請(qǐng)用含有九5是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；

（2）推算出。40的值；

⑶求出S：+Sf+sj+-+S，o的值.

【答案】⑴（閩）2+l=n+l,Sn=?（九是正整數(shù)）；

（2）\<w；

（3嚀.

【分析】此題考查了勾股定理、算術(shù)平方根，數(shù)字規(guī)律，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）此題要利用直角三角形的面積公式，觀察上述結(jié)論，會(huì)發(fā)現(xiàn)，第九個(gè)圖形的一直角邊就是正，然后利

用面積公式可得；

（2）由上述。/2=魚，。43=百，根據(jù)規(guī)律可知。/10=

（3）S：+S?+5抖…+的值就是把面積的平方相加就可.

2

OAl=(V2)+1=3,S2=

0"=(V3)2+1=4,S3=圣

????

團(tuán)(、向2+1=71+1,sn=Y("是正整數(shù))；

(2)解；^OAl=1,

OAj=(Vl)2+1=2,

OAl=(V2)2+1