專題22.3相似三角形的判定與性質(zhì)綜合典例分析典例分析【典例1】如圖，（1）如圖1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)E．求證：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°,AD=4,BC=9,CD=7．E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥ED，交（3）如圖3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，將△ABD沿BD翻折得到△CBD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB,AD上，連接CF,DE．若∠AED【思路點(diǎn)撥】（1）證明△CED∽△BDC（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，首先證明四邊形ABCH為矩形，易得AB=CH，BC=AH，再證明△DEA（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H，作HM⊥CD于點(diǎn)M，證明CG∥AB，易得∠ABD=∠GHD，再證明△AED∽△GFC，由相似三角形的性質(zhì)可得CFDE=CGAD=35【解題過(guò)程】（1）解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC∵CE⊥∴∠DBC∴∠DBC∴△CED∴CEBD（2）CFDE如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠A∴四邊形ABCH為矩形，∴AB=CH，∵∠GFD=∠HFC又∵∠GFD∴∠ADE∵∠A∴△DEA∴CFDE∵BC=9，CD=7，∴DH=∴CH=∴CFDE∴CFDE為定值6（3）如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H，作HM⊥∴∠CGF∴CG∥∴∠ABD∵∠AED=∠AFC∴△AED∴CFDE∵將△ABD沿BD翻折得到△∴AD=CD，設(shè)GC=3x，則∴DG=∵HG⊥AD，HM⊥∴HG=∵S△即12∴HG=∵CG∥∴△DGH∴DG∴ADAB學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=6，BC=5，點(diǎn)D，B分別在BC、AC上，CD=2BD，CE=2AE，BEA．2 B．3 C．4 D．5【思路點(diǎn)撥】連接DE，得到DE∥AB，推出△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，得到S△ABF=35S△ADB，S△AFE=23S△ABF，當(dāng)【解題過(guò)程】解：連接DE，∵CD=2BD，∴CEAC又∵∠C∴△CDE∴∠CDE=∠CBA∴DE∥∴△DEF∴AFDF∴S△AFB:∴S△ABF=當(dāng)S△ADB最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于∴當(dāng)DG最大時(shí)，S△∵BD≥∴當(dāng)AB⊥BC時(shí)，DG故選：A．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，ACBC=43，D為AB上一點(diǎn)，H為AC上一點(diǎn)，若A．35 B．720 C．33【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，證明△ABC≌△EDCASA推出【解題過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交DH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥∴∠DCE∵∠ABC=∠HDC∴△ABC∴∠A=∠E∵∠AHD∴△ADH∴DH設(shè)AC=∵ACBC=∴BC=3x∵△ABC∴BC∴BF∵CB∴DF∴AD∴DH故選：B．3．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4，點(diǎn)E,F分別在線段BC和線段DC的延長(zhǎng)線上．若BEA．12 B．25 C．23【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．如圖，在AB上截取BG=BE=12，在AD上截取HD=DF，且∠B=∠D=90°，可得∠BGE=∠BEG=45°【解題過(guò)程】解：如圖，在AB上截取BG=BE=12，在AD∴∠BGE=∠BEG=45°，∠DHF=∠DFH∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，且∴∠BAE=∠AFH∴△AGE∴AGHF∴3∴HD∴DF∴CF故選：B4．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，連接DF，A．92 B．132 C．4 D【思路點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在BC上取點(diǎn)G，使BG=32，連接FG，DG，證明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，則DF+12【解題過(guò)程】解：如圖，在BC上取點(diǎn)G，使BG=32，連接FG∵△ABE沿BE邊翻折到△∴BF又∵BC∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG∴△FBG∴GFCF∴FG∴DF當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，DF+在Rt△CDG中，CG=BC-∴DG即DF+12故選：D．5．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB為邊向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于點(diǎn)F，交對(duì)角線AD于點(diǎn)G，連接A．AC的長(zhǎng) B．BC的長(zhǎng) C．BF的長(zhǎng) D．FG的長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】設(shè)EF與AB相交于H，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，利用正方形的軸對(duì)稱形得出BG=EG，則可得出△BFG的周長(zhǎng)為EF+BF，證明△AEH∽△CBA，求出【解題過(guò)程】解∶設(shè)EF與AB相交于H，設(shè)AB=c，AC=∵∠ACB∴c2∵四邊形ABDE是正方形，∴B、E關(guān)于直線AD對(duì)稱，AE=AB=∴BG=∴△BFG的周長(zhǎng)為BG∵EF⊥BC，∴EF∥∴∠AHE∴△BHF又∠EAH∴△AEH∴EHAB=AE解得EH=c2∴BH=∵△BHF∴HFAC=BH解得HF=ab-∴EF=====2=2BC即△BFG的周長(zhǎng)為2故選：B．6．（24-25九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，BE平分∠ABC，過(guò)C點(diǎn)作CF⊥BE，連接AF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)M．則下列結(jié)論：①∠AME=45°；②AD?EF=DG?BF；③若AF=4，A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【思路點(diǎn)撥】由矩形的性質(zhì)及角平分線定義得∠BCF=∠CBE=45°，由勾股定理得BE=2AB，BC=2BF，由相似三角形判定方法得△BAF∽△BEC，由相似三角形的性質(zhì)得∠BAF=∠BEC，設(shè)∠EAF=x，由∠EMF=180°-∠EAF-∠AEB-∠BEC即可求解，可判斷①；由相似三角形判定方法得△CEF∽△AGD，由相似三角形的性質(zhì)得EFGD=【解題過(guò)程】解：①∵四邊形ABCD是矩形，∠ABC=∠BAC∵BE平分∠∴∠ABE∴∠ABE∵CF∴∠BCF∴BE=2∴BE∴△BAF∴∠BAF設(shè)∠EAF∠BEC∴∠=180°-=45°；故①正確；②∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∴∠AGD∵∠BAF∴∠BEC即：∠CEF∵∠CFE∴△CEF∴EF∴AD?∵∠∴CF∴AD故②正確；③如圖，延長(zhǎng)CF交AD于H，由①②得：∠EHF=∠FEH∴HF∴HF即：CH=∵∠AEM∴△AEM∴AM∵AF=4，F(xiàn)M∴AM由①得：△BAF∴AF∴4解得：CE=4∴7∴7解得：AB=2∵四邊形ABCD是矩形，∴CD故③錯(cuò)誤；④由上過(guò)程得：BE=∵BC=∴BC∴∠BEC由③得：△AEM∴∠EAM∴90°-x解得：x=22.5°∴∠EAM∵∠EMF∴22.5°+∠CFM解得：∠CFM∴∠∴FM同理可證：FM=∴CM∴EC=2故④正確；故選：B．7．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，∠ADC=3∠BAD，【思路點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理和一元二次方程等知識(shí)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出相似三角形．本題先構(gòu)造一個(gè)等腰三角形，利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似得出△ABD∽△EAD，進(jìn)一步得出A【解題過(guò)程】解：如圖，延長(zhǎng)CB至E，使BE=∴∠AEB設(shè)∠BAD則∠ADC∴∠ABD∴∠AEB∵∠∴△ABD∴ADDE∴AD設(shè)BE=∴A在Rt△ADC在Rt△ABC中，∴a2解得：a1=20，∴AC∴AB=故答案為：20．8．（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E，使DE=13CD，BE，CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造相似三角形成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意以及勾股定理可得CD=3、BD=2；設(shè)AD=x，則AC=AB=AD+BD=x+2，在Rt△ADC中運(yùn)用勾股定理列方程可得x+22=32+x2【解題過(guò)程】解：∵DE=13∴CD=3∵BE=5，∴BD=設(shè)AD=x，則在Rt△ADC中，AC2=∴AD=54如圖：過(guò)E作EG∥AB交AF于G，即∴△ADC∴ADGE=CDCE=∵EG∥∴△ABF∴EFBF∴EFBE+EF=20故答案為：2059．（24-25九年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BCA=90°，AB=2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=3，PB【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和勾股定理及逆定理等知識(shí)點(diǎn)，首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ【解題過(guò)程】解：如圖，作△ABQ，使得：∠QAB=∠∴△ABQ∵AB＝∴△ABQ與△ACP相似比為∴AQ=2AP=23∵∠ACB=90°，∴∠ABC∴∠BAC∴∠QAP∵AQAP∴△ACB∴∠APQ=90°，∴PQ=∴BP∴∠BQP∴∠APC作AM⊥BQ于由∠BQA∴∠AQM∴∠AQM∴QM=∴AM=∴AB∵AB=2AC，∴BC=∴S△故答案為：6+7310．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BA:BC=BD:DC=2:1，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，比例關(guān)系，求出BC,BD,CD的長(zhǎng)，勾股定理求出AD的長(zhǎng)，等積法求出BE的長(zhǎng)，勾股定理求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)，證明△BED∽△BGC，列出比例式求出BG,CG【解題過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AD，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵AB=6，BA∴BC=3∵BD:∴BD=2,∵∠ABC∴AD=∵BE⊥∴12∴BE=∴AE=∴DE=∵CG∥∴△BED∴BEBG∴BG=32∴EG=∵CG∥∴△AFE∴EFFG∴EF=∴BF=故答案為：61011．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A<90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)BCAB=k【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC=12k【解題過(guò)程】解：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB=∵AD=∴AD=∵AD=∴∠A∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠BDE又∵∠BDE∴∠FDE∴DE∥∴∠C=∠DEB∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠DEB∴∠C∵AB=∴∠C在△ABC和△∠B∴△ABC∽△∵在△ABC中，DE∴∠BDE=∠A∴△BDE∴BEBC∴EC=∵BCAB∴BC=k?∵△ABC∽△∴ABEC∴AB1解得CF=∴CFFA故答案為：k212．（23-24九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，連接CA'

【思路點(diǎn)撥】本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)與判定、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)A'作A'H⊥BC交BC于H，交AD于G，由一線三垂直模型得到△BA'H∽△A'EG，即可得到A'HEG=BHG【解題過(guò)程】解：如圖，過(guò)A'作A'H⊥BC交BC于H

∵矩形ABCD中，AB=3，BC∴∠A=∠ABC=∠BCD∵A'∴∠BCD∴四邊形GHCD是矩形，∴CH=GD，CD=∵點(diǎn)E為AD邊的中點(diǎn)，∴AE=∵將△ABE沿BE翻折，得到△∴AE=A'E=2∴∠B∴△B∴A'設(shè)EG=2x，則A'在Rt△EGA∴3-3x整理得13x解得x1∵GA∴x=∴CH=DG=2-2∵∠FCB∵△CDF∴DFCH∴DF16∴DF故答案為：16513．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E為AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，且AD=BF，連接BE交AD于G，若∠【思路點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BK于點(diǎn)K，交FE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明四邊形KBFH是正方形，進(jìn)而得出△KBA≌△FBL，△ABE≌△LBE，求出【解題過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥BC，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BK于點(diǎn)K，交∴∠K∴四邊形KBFH是矩形，同理，四邊形ADFH是矩形，∴AD∵AD∴BK∴四邊形KBFH是正方形，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)L，使FL=∵∠K∴△KBA∴AB∵∠KBC∴∠ABK∴∠LBF∵BE∴△ABE∴AE∴AE∵AD∴∠BEF∴∠AGE∴AE∵FL∴EF∵∠BDG∴△BDG∴DG設(shè)DF=a，則∴DG∴a解得：a=3∴BF∴EH∵∠H∴△AEH∴CEAE=∴CE故答案為：5214．（23-24九年級(jí)上·福建漳州·自主招生）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，DE⊥求證：（1）AE?（2）AEBF【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解；本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解題過(guò)程】（1）證明：∵CD⊥AB，DE⊥∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ECD=90°，∠A+∠ADE∴∠A=∠CDE∴△ABC∽△CBD，△ACD∽△∴ACCD=ABCB，CDBD∴AC·BC=AB·CD，∴CD22∴CD∵AC·∴CD∴AE?（2）證明：同理可證：△ABC∽△ACD，△ABC∽△∴ACAD=ABAC，BCAB∴AC2=AD·AB，∴AD=AC2AB，BD∴AE===∴AEBF15．（23-24九年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=2BC=8，點(diǎn)D，E分別在邊BC,（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)α=0°時(shí)，AE:BD=________；②當(dāng)α（2）拓展研究：試判斷，當(dāng)0°≤α≤360°時(shí)，AE:（3）問(wèn)題解決：當(dāng)CE=BC,△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，【思路點(diǎn)撥】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，證明△CDE∽△CBA，得到AEBD=ACBC（2）如圖2所示，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AC、BC、CE、CD長(zhǎng)度不變，故：△ACE∽△BCD，（3）當(dāng)△CED旋轉(zhuǎn)BC右側(cè)，AB=AE=82+42=45，由AEBD=2【解題過(guò)程】（1）解：①當(dāng)α=0°∵DE∥∴△CDE∴AC∴ACAC-∵∴AEBD=AC②當(dāng)α=180°則A,∴D∴△C∴AC∵C∴ACAC-∴AEBD=AC（2）解：如圖2所示，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AC、BC、CE、CD長(zhǎng)度不變，即：ACBC=CE∴△ACE∴AEBD故：當(dāng)0°≤α<360°時(shí)，（3）解：當(dāng)△CED旋轉(zhuǎn)到如圖位置A，D，C三點(diǎn)共線時(shí)(由題意得：AB=由AEBD=2，得：由勾股定理得：CD∴AD當(dāng)△CED旋轉(zhuǎn)到如圖位置A，D，C三點(diǎn)共線時(shí)(此時(shí)，BC=CE=CE∴DE由勾股定理得：CD∴AD故線段AD的長(zhǎng)為10或6．16．（24-25九年級(jí)上·四川眉山·期中）如圖（1），先把一張矩形紙片ABCD上下對(duì)折，設(shè)折痕為MN；如圖（2），再把點(diǎn)B疊在折痕線上，得到△ABE．過(guò)點(diǎn)B向右折紙片，使D、Q、A三點(diǎn)仍保持在一條直線上，得折痕PQ，其中AB=4，（1）求證：△PBE（2）你認(rèn)為△PBE和△（3）如圖（3），沿AG折疊，使點(diǎn)E落在AD上為點(diǎn)H，連結(jié)HG交BN于F，求BF（已知：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半）【思路點(diǎn)撥】（1）利用折疊中重合的角相等以及直角三角形兩銳角互余轉(zhuǎn)化角的關(guān)系得出∠ABQ（2）利用上一個(gè)問(wèn)題中的結(jié)論得出BEAB=PE（3）先構(gòu)造AB的中點(diǎn)，證明△BOQ是等邊三角形，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出AB，得到AH，最后利用相似三角形得出BF【解題過(guò)程】（1）證明：過(guò)點(diǎn)B向右折紙片，使D、Q、A三點(diǎn)仍保持在一條直線上，∴PQ⊥∵矩形對(duì)邊平行，∴PQ∴∠PBE∵∠PBE∴∠ABQ在△PBE和△∵∠ABQ=∠PEB∴△PBE（2）解：△PBE和△證明：∵△PBE∴BEAB∵矩形紙片ABCD上下對(duì)折，折痕為MN，∴BQ=∴BEAB=PE又∵∠EPB∴△PBE（3）解：取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OQ，∵OQ=∵PQ=∴OB=∴OQ=∴△BOQ∴∠ABQ在Rt△BOQ中，∵∴∠BAQ∵△PBE∽△BAE∴∠PBE可得∠在Rt△ABE中，由勾股定理可得：∴AE∴2BE∴BE=∴AE=∴AH=∵PG//∴PBBQ∴BGAG∵BF//∴△CBF∴BFAH∴BF8BF=17．（24-25九年級(jí)上·重慶九龍坡·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D在AB邊上，E在AC邊上，連接EB、CD，點(diǎn)G為BE（1）如圖1，若BE平分∠ABC，BC=10，AG=35（2）如圖2，若BD=CE，取CD中點(diǎn)為F，連接FG，求證：（3）如圖3，在（1）的條件下，點(diǎn)F為直線AC上一點(diǎn)，連接BF，若CF=2BD，則CD+【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)GA=GB，得到∠1=∠2，由等角的余角相等推出∠4=∠3，進(jìn)而得到GA=GB=GE=352，設(shè)AE=y，AB=x，在（2）如圖，倍長(zhǎng)CG至點(diǎn)Q，連接DQ，由（1）得GB=GE，證明△BQG≌△ECGSAS，推出EC∥QB，進(jìn)而得到∠QBD=∠BAC（3）過(guò)點(diǎn)B作PB⊥BC，使得PB=12BC，連接CP,PD，CP交AB于點(diǎn)Q，連接QG，證明△PBD∽△BCF，得到PD=12BF，當(dāng)P,D,C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，CD+PD有最小值，即【解題過(guò)程】（1）證明：如圖，∵∴∠1=∠2∵∠∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°∴∠4=∠3∴設(shè)AE=y，在Rt△ABE中，∴3在Rt△ABC中，∴10∴x=3，y=6即AC∴S（2）解：CE=如圖，倍長(zhǎng)CG至點(diǎn)Q，連接DQ，由（1）得GB=∵∠BGQ∴△BQG∴QB=EC∴EC∴∠QBD∵BD∴BD∴△BQD∴QD∵CD中點(diǎn)為F，點(diǎn)G為CQ∴FG為△∴QD∴2∴CE（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作PB⊥BC，使得PB=12BC，連接CP,PD，∵PB=1∴BD∵∠PBD∴∠PBD∴△PBD∴PDBF=如圖，當(dāng)P,D,C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)Q重合，∵△PBD∴∠PDB∵∠PDB∴∠ADC∵∠BAC∴∠BAF∴△ADC∴AD由（1）知AC=8，AB∴AD∴AD∵PD∴34CD∵CP∴CD+PD∴PD∴CD∴AD∵S∴S∵AD∴S18．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)B，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF，求（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD=8，AB=6，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長(zhǎng)EF交BC邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH=（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的一點(diǎn)且DE=13DC，∠D=60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF與CD交于H且FH【思路點(diǎn)撥】（1）證明△AED≌△DFC（2）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證BG=EG,由勾股定理可求CH的長(zhǎng)，通過(guò)證明△BFG（3）通過(guò)證明△EFH∽△ECP，可求CP的長(zhǎng)，由勾股定理可求PN，CN【解題過(guò)程】解：（1）設(shè)DE與CF交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A∵DE⊥∴∠DGF∴∠ADE+∠CFD∴∠CFD在△AED和△∠A∴△AED∴DE=即DECF解：（2）∵將△AEB沿BE翻折到△∴AB=BF=6,∵AD∥∴∠AEB∴∠CBE∴BG=∴BC∴64+CH∴CH∴BH∵∠CBH∴△BFG∴BG∴BG∴FG∴EF∴AE故答案為：92解：（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥DC于∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=∴∠D∵DE∴DE=2,∵△ADE沿AE翻折得到△∴DE=∴∠AFE又∵∠FEH∴△EFH∽△ECP∴2∴PC∵PN∴∠CPN∴CN∴EN∴PE19．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）問(wèn)題提出（1）如圖①，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，連接問(wèn)題探究（2）如圖②，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)P是BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為斜邊在AP邊的右側(cè)作等腰Rt△APQ，∠AQP=90°，連接DQ、CQ．當(dāng)DQ問(wèn)題解決：（3）隨著社會(huì)的發(fā)展，農(nóng)業(yè)觀光園走進(jìn)我們的生活．某農(nóng)業(yè)觀光園的平面示意圖如圖③所示的四邊形ABCD，其中BC=20km，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD．為了能夠讓廣大游客更近距離觀光，徜徉在大自然的海洋，設(shè)計(jì)師計(jì)劃在BD【思路點(diǎn)撥】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠DCE=45°，由勾股定理得到（2）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OQ，證明∠BAP∽∠OAQ，得出∠AOQ=∠ABP=45°，進(jìn)而可得OQ∥CD（3）作∠DCE=∠ACB，交射線DA于點(diǎn)E，取CE中點(diǎn)F，連接AC，BE，DF，BF，由題意可證△ABC∽△DEC，可得BCAC=CECD，且∠BCE=∠ACD，可證△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的長(zhǎng)，由三角形三邊關(guān)系可求【解題過(guò)程】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，且∴∠ACB∴∠ACB∴∠BCE由勾股定理可得BC=AB∴BCAC∴△ACD（2）如圖所示，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OQ，由正方形的性質(zhì)可得∠ABO=45°，∴△AOB同理可得AB=∵△APQ是等腰直角三角形，∠∴∠PAQ=45°，∴∠BAP∴∠BAP又∵ABAO∴∠BAP∴∠AOQ∴∠AOQ∴OQ∥∴當(dāng)DQ⊥OQ時(shí)，∵AD∥∴此時(shí)點(diǎn)Q在AD上，∵OQ∥∴△AOQ∴AQAD∴DQ=∴當(dāng)DQ最小時(shí)，△CDQ的面積為1（3）如圖，作∠DCE=∠ACB，交射線DA于點(diǎn)E，取CE中點(diǎn)F，連接AC，BE，DF∵∠ADC=90°，∴∠CAD∴∠BAC∴∠BAC又∵∠DCE∴△ABC∴BCCE∴BCAC∵∠DCE∴∠DCE∴∠BCE∴△BCE∴∠BEC∴CE∵點(diǎn)F是EC中點(diǎn)，∴CF∴BF∴BD∴當(dāng)B,F,D三點(diǎn)共線時(shí)，BD取得最大值，此時(shí)如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作∵∠EGB∴△EBG∴EGBE∴EG=∵F是EC的中點(diǎn)，∴S△∴△BCD的面積===1020．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】在平行四邊形ABCD中，E是CD邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F使得CF=CE，連接DF