專題22.6圖形的位似變換典例分析典例分析【典例1】如圖，在坐標系中，陰影所示的兩個正方形是位似形，則位似中心的坐標為【思路點撥】本題考查了位似圖形，以及求位似中心，連接對應(yīng)點，存在兩種情況，第一：位似中心在兩個圖形的中間，第二：位似中心在第二象限，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，相似比等于對應(yīng)點到位似中心的距離比，即可作答．【解題過程】解：如圖：位似中心在兩個圖形的中間，連接對應(yīng)點，相交于點H，HE⊥∵兩個正方形是位似形，∴ABDC∵AB⊥x軸，∴△ABD則BD=4-1=3∴BE=1故OE=2∴BDOD即32則HO=此時位似中心為2，如圖：位似中心在兩個圖形的中間，連接對應(yīng)點，相交于點H，∵兩個正方形是位似形，∴ABDC∵AB⊥x軸，∴△ABH∴HBHC故HB=4由于點H在x軸的負半軸上，此時位似中心為-4綜上：位似中心為-4，0故答案為：-4，0學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，OC:CF=1:2，若S

A．6 B．3 C．4 D．8【思路點撥】本題考查的是位似變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥【解題過程】解：∵OC:∴OCOF∵△ABC與△DEF是以點∴△ABC∽△∴△OBC∴BCEF∴S△∵S△∴S△故選：C．2．（23-24九年級下·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，A,B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是-1,0，以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A'B'C，使得△A'BA．3,-1 B．4,-1 C．5,-2 D．6,-1【思路點撥】本題考查了位似變換、相似三角形的判定及性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．作BD⊥x軸于D，B'D'⊥x軸于D【解題過程】解：作BD⊥x軸于D，B'∵點C的坐標是(-1,0),點B的坐標是-3,∴CD=3-1=2，BD=∵△ABC的位似圖形為△A'B'C，由題意得：△ABC∽△A'B'C∴BCB∵BD⊥x軸于D，B'∴∠BDC=∠∵∠BCD=∠∴△BCD∽△∴BD∴CD'=2×2=4∴點B'的坐標為3,-1故選：A．3．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標系的x、y軸的正半軸上，正方形A'B'C'D'與正方形ABCD是以AC的中點O'為中心的位似圖形，已知AC=32，若點

A．16 B．13 C．12【思路點撥】延長A'B'交BC【解題過程】解：延長A'B'交BC

∵在正方形ABCD中，AC=3∴BC=∵點A'的坐標為1,2∴OE=1,∴CE:∵A'∴△A∴CA∵正方形A'B'C'D'∴AA∴AA∴A'∴正方形A'B'C'故選：B．4．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，BC,EF都與x軸平行，點A，D與位似中心點P都在x軸上，點C，E在y軸上．若點B的坐標是2,3，點A．(-2,0) B．(0,-2) C．(-1.5,0) D．(0,-1.5)【思路點撥】本題考查了相似圖形，位數(shù)圖形的判定和性質(zhì)，掌握位似比等于相似比是解題的關(guān)鍵．如圖作BM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，根據(jù)點坐標可得BM=OC=3【解題過程】解：如圖所示，過點B作BM⊥x軸于點M，過點F作FN⊥∵B2,3，F(xiàn)的橫坐標為-1，∴BC=2∵△ABC與△∴EFBC∴點F是PC的中點，∵OC⊥x軸，∴FN∥OC，且∴△PFN∴PFPC=FNOC=∴PNPN∴PN=1，則PO∴P-故選：A．5．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，等邊△OAB的頂點O0,0，B1,0，已知△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且△OA

A．12,32 BC．4,43 D．2,23【思路點撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或-k【解題過程】解：∵等邊△OAB的頂點O0,0，∴OA=過A作AC⊥x軸于

∵△AOB∴OC=∴AC=∴A1∵△OA'B'與△OAB位似，位似中心是原點O，且∴△OA'B'∴點A的對應(yīng)點A'的坐標是12×4，32×4故選：D．6．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEC是以點C為位似中心的位似圖形，若點A坐標為(5,4)，點C的坐標為(3,0)，且AB=2DE，則點A．(2,2) B．(2,-2) C．(1,2) D．(1,-2)【思路點撥】本題考查位似變換，坐標與圖形．正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．過點A作AM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N．利用相似三角形的性質(zhì)求出【解題過程】解：過點A作AM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥∵△ABC與△DEC是以點∴△ABC∴ACDC∵A5,4，C∴OM=5，OC=3，∴CM=∵AM⊥x軸，∴AM∥∴△AMC∴AMDN∴CN=1，DN∴ON=∴D2,-2故選：B．7．（24-25九年級上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點F的坐標為-1,-1，點A的坐標為3,2，則這兩個正方形位似中心的坐標是（

）A．1,0 B．-C．1,0或-5,-1 D．1,0或【思路點撥】根據(jù)位似變換中對應(yīng)點的坐標的變化規(guī)律．因而本題應(yīng)分兩種情況討論，一種是當E和C是對應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點；另一種是A和E是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點．本題考查位似變換，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)解決交點問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．【解題過程】解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和點F的坐標分別為(3,2)，(-1,-1)，∴E(-1,0)、G(0,-1)（1）當E和C是對應(yīng)頂點，G和A是對應(yīng)頂點時，位似中心就是EC與AG的交點，設(shè)AG所在直線的解析式為y=3k解得：k=1∴此函數(shù)的解析式為y=當y=0時，則x與EC的交點坐標是(1,0)；（2）當A和E是對應(yīng)頂點，C和G是對應(yīng)頂點時，位似中心就是AE與CG的交點，設(shè)AE所在直線的解析式為y=3k解得k'故此一次函數(shù)的解析式為y=1同理，設(shè)CG所在直線的解析式為y=5m解得：m=故此直線的解析式為y=1聯(lián)立①②得y=解得x=-5故AE與CG的交點坐標是(-5,-2)．綜上所述：位似中心的坐標是：(1,0)或(-5,-2)．故選：D．8．（23-24九年級上·湖南長沙·期末）如圖，點O是等邊三角形PQR的中心，P'，Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點，則△P'【思路點撥】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的判定、位似圖形與位似中心，熟記位似圖形與位似中心的定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形中位線定理可得P'Q'∥PQ，P'R【解題過程】解：∵P'，Q'，R'∴P'Q'∥PQ，P∴△P又∵P'，Q'，R'∴點P'與點P，點Q'與點Q，點R'與點R∴△P'Q'R∵P'∴△P'Q'R故答案為：1:2．9．（23-24九年級上·江西吉安·期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為1:2，點A，B，E在x軸上，若OA=2，則點G的坐標為【思路點撥】本題考查的是位似變換、坐標與圖形性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，掌握位似變換的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△OAD∽△OBG，且【解題過程】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，∴△OAD∽∵相似比為1∶2，OA=2∴OAOB∴OB=4∴AB=∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點O為位似中心的位似圖形，∴△OBC∽△∴OBOE∴OBOB解得：BE=4∴點G的坐標為4,4．故答案為：4,4．10．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，以C為位似中心，作平行四邊形ABCD的位似平行四邊形PECF，且與原圖形的位似比為2:3，連接BP，DP，若平行四邊形ABCD的面積為20，則△PBE與△PDF【思路點撥】本題考查了位似的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明△CPF∽△CAD是解題關(guān)鍵．連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)先求出S△ACD，由PF【解題過程】解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，面積為20，∴S△∵?ABCD和?ECFP是以B為位似中心的位似圖形，且與原圖形的位似比為∴點A、P、C在同一條直線上，∴△CPF∽△CAD∴S△∴S△同理S△∴△PBE與△PDF的面積之和為故答案為：40911．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖，△AOC中三個頂點的坐標分別為4,0、0,0、4,3，AP為△AOC的一條中線，以O(shè)為位似中心，把△AOP每條邊擴大到原來的2倍，得到△A'【思路點撥】根據(jù)勾股定理求出OC，然后根據(jù)三角形中線求出OP，進而分△A【解題過程】解：∵△AOC中三個頂點的坐標分別為4,0、0,0、4,3∴OA=4∴由勾股定理可得OC=∵AP為△AOC∴OP=當以O(shè)為位似中心，把△AOP每條邊擴大到原來的2倍，得到△①當△A∴OP∴PP②當△A∴OP∴PP綜上所述：PP'=故答案為：52或1512．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，三個頂點均在坐標軸上，B的坐標為1,0，將△ABC位似縮小到原來的12，得到△A'B'C【思路點撥】本題考查了位似變換，坐標與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，由B的坐標為1,0，得到OB=1，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理得到BC=2，求得B'C'=12BC=22【解題過程】解：∵B的坐標為1,0，∴OB=1∵AC=BC，∴OA=OC∴BC=∵將△ABC位似縮小到原來的1∴B'C'過C'作C'H⊥y∴∠HC'∴B'∴B'∵B'0,3，則∴OH=∴點C的對應(yīng)點C'的坐標為1故答案為：1213．（23-24九年級上·四川成都·期中）已知正方形ABCD的邊長為4，點P是該正方形邊上一點，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12，則點A1與點B的最大距離為；連接【思路點撥】本題考查了位似，正確作出位似圖形，理解位似相似性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，①根據(jù)對角線最長，當位似中心P與點C重合時，點A1最遠，此時與點B②根據(jù)正方形ABCD的邊長為4，點P是該正方形邊上一點，以P為位似中心，作正方形A1B1C1D1∽正方形ABCD，相似比為12，得到正方形A1B【解題過程】解：如圖，位似中心P與點C重合時，點A1最遠，此時與點B∵正方形ABCD的邊長為4，點P是該正方形邊上一點，以P為位似中心，作正方形A1B1C1∴正方形A1B1∴BB∴A1故答案為：210∵正方形ABCD的邊長為4，點P是該正方形邊上一點，以P為位似中心，作正方形A1B1C1∴正方形A1B1∴A1設(shè)PA1=∵△PA1∴PA∴x+∴2-x解得x=∴△PA1故答案為：1214．（24-25九年級上·吉林長春·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，點D是AB的中點，連接CD，AE⊥CD分別交CD①AB=2②△ECF③△ACF和△EDF是以點④S四邊形上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是．

【思路點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，位似圖形的性質(zhì)．由斜邊中線的性質(zhì)，可判斷①；由斜邊中線的性質(zhì)，求得BD=CD，得到∠B=∠BCD，證明△ECF∽△ABC，可判斷②；利用勾股定理求得斜邊的長，證明△CAF∽△ABC和△【解題過程】解：∵∠ACB=90°，點D是∴AB=2CD，故∵∠ACB=90°，點D是∴BD=∴∠B∵AE⊥∴∠CFE∴△ECF∽△ABC∵∠ACB=90°，∴∠CAE∵AC=2，BC∴AB=22∵∠CAF∴△CAF∴ACAB=AF∴AF=61313，∵△ECF∴CEAB=CF∴EF=∴DF=∴DFEF∴DFEF∴△ACF和△EDF不是以點F為位似中心的位似圖形，故∵AE=∴S四邊形∵S△∴S四邊形ACED≠綜上，正確的有①②．故答案為：①②．15．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，正方形ABCD與正方形EFGH是位似圖形，已知A0,5，D0,3，E0,1，【思路點撥】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確分類討論是解題的關(guān)鍵；當B與F是對應(yīng)點時，利用待定系數(shù)法求出直線BF的解析式，再求得直線BF與y軸的交點，即可求出位似中心的坐標；當C與E是對應(yīng)點時，分別利用待定系數(shù)法求出直線CE和DF的解析式，再將兩個解析式組成方程組，求得x和y的值即可得出位似中心的坐標．【解題過程】解：①若B和F是對應(yīng)點，點A與點E是對應(yīng)點，則位似中心在y軸上，由題意可得，F(xiàn)3,1設(shè)直線BF的解析式為：y=則5=-2k解得：k=-故直線BF的解析式為：y=-當x=0時，y即位似中心是：0,17②若點C和E是對應(yīng)點，點D和F是對應(yīng)點，由題意可得C設(shè)直線CE的解析式為：y=則3=-2a解得：a=-1故直線CE的解析式為：y=-設(shè)直線DF的解析式為：y=則1=3d解得：d=-故直線DF的解析式為：y=-則y=-解得：x=-6即位似中心是：-6,7綜上所述：所述位似中心為：0,175或16．（24-25九年級上·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC（1）將△ABC向下平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得到△A1（2）以O(shè)為位似中心，畫出△A1B1C（3）點P是x軸上一動點，則PB+PC的最小值是【思路點撥】本題主要考查了坐標與圖形變化—平移和位似，勾股定理和軸對稱最短路徑問題：（1）根據(jù)平移方式得到A、B、C對應(yīng)點A1、B1、（2）把A1、B1、C1三點的橫縱坐標都乘以負2得到A（3）作點B關(guān)于x軸對稱的點G，連接CG交x軸于點P，則此時PB+PC有最小值，最小值為【解題過程】（1）解：如圖所示，△A（2）解：如圖所示，△A（3）解：如圖所示，作點B關(guān)于x軸對稱的點G，連接CG交x軸于點P，則此時PB+PC有最小值，最小值為∵B-∴G∵C-∴CG=∴PB+PC的最小值為17．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△（2）以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)出畫出△A2B2C2，使得△A1B1C1（3）在（1）、（2）的條件下，設(shè)△ABC內(nèi)一點P的坐標為(a，b)，則△A2B【思路點撥】本題主要考查平面直角坐標系中圖形的變換，掌握軸對稱圖形的定義和作圖，位似圖形的定義及作圖，位似比的性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對稱圖形的定義和性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)位似圖形的定義作圖即可作圖，再根據(jù)位似比的平方等于面積比即可求解；（3）根據(jù)位似比的性質(zhì)即可求解．【解題過程】（1）解：△ABC關(guān)于y軸的軸對稱圖形△∴△A（2）解：以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)出畫出△A2B2C2，使得∴△A∵△A1B1C∴S△∵△ABC與△A1∴S△∴S△故答案為：1:9；（3）解：根據(jù)題意，△ABC與△A2∵△ABC內(nèi)一點P的坐標為(∴a<0，b∵△A∴P2故答案為：-318．（23-24九年級上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在10×10的正方形方格中，每個小正方形的邊長為1，頂點都在網(wǎng)格線交點處的三角形叫作格點三角形，如圖建立平面直角坐標系，已知△ABC三個頂點的坐標分別是（1）經(jīng)過A，B，C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；（2）在圖中，以點O為位似中心畫△A1B1C（3）若有一個格點三角形與△ABC相似，且它與△ABC有一條公共邊和一個公共角∠ABC，請直接寫出滿足上述條件的三角形未知頂點的坐標【思路點撥】本題考查了圖形與坐標、垂直平分線的性質(zhì)，位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可作答．（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，分別畫出點A1（3）進行分類討論，當格點三角形與△ABC的一條公共邊為AB時，通過兩邊成比例相等證明相似；當格點三角形與△ABC的一條公共邊為BC時，同理證明【解題過程】（1）解：分別作線段AB，BC的垂直平分線，交于點則點M為經(jīng)過A，B，C三點的圓弧所在圓的圓心，∴點M的坐標為0故答案為：0（2）解：如圖，△A1B1C1和△A'1B'1C'1均滿足題意．（3）解：當格點三角形與△ABC的一條公共邊為AB在線段BC上取格點D，使BD=2此時BDAB=AB則△DBA∴點D4當格點三角形與△ABC的一條公共邊為BC在線段BA的延長線上取格點E，使BE=4此時BEBC=BC則△CBE∴點E0綜上所述，滿足上述條件的三角形未知頂點的坐標為D4，-故答案為：4，-19．（23-24九年級下·山東德州·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，△AOB的頂點坐標分別為A2,1、O0,0

（1）畫出將△AOB向左平移3個單位，再向上平移1個單位后的△（2）以原點O為位似中心，位似比為1:2，在y軸的左側(cè)，畫出將△A1O（3）判斷△AOB與△A2O2【思路點撥】（1）根據(jù)平移規(guī)律，畫圖即可．（2）根據(jù)位似的性質(zhì)，確定坐標，后畫圖即可．（3）根據(jù)位似的性質(zhì)，確定坐標，解答即可．本題考查了平移作圖，位似作圖，待定系數(shù)法，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的