專題22.8通過作平行線構(gòu)造A(X)圖型解決問題（分層練習(xí)）一、單選題1．如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．2．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C恰巧落在邊上的點(diǎn)E處．如果，．那么x與y滿足的關(guān)系式是（）

A． B．x-3y=1 C．x-2y=1 D．3．如圖，正方形中，分別在邊上，相交于點(diǎn)，若，則的值是（

）A． B． C． D．4．如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，分別是和的重心，長(zhǎng)為12，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B．2．5 C．3 D．46．如圖，在中，，邊，上的中線，相交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，為邊的中點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A．2 B． C． D．38．如圖，是的中線，E是上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于F，則的值為（

）A． B． C． D．9．如圖，在中，，點(diǎn)M在邊上，線段繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C恰巧落在邊上的點(diǎn)N處．如果．那么n與m滿足的關(guān)系式是（）A． B． C． D．10．如圖，在平行四邊形中E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，與交于點(diǎn)H，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在中，平分，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為．

12．如圖，在中，，，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，連接，若的面積等于10，則的長(zhǎng)為．

13．如圖，是的中線，點(diǎn)E在邊上，交于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)度為cm.

14．在中，點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E在上，，，，，E為中點(diǎn)，則.15．如圖，在直角梯形中，，，，，的平分線分別交，于點(diǎn)，，則的值是．16．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，且，連接，相交于點(diǎn)O，若的面積為4，則面積為．17．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則．18．如圖，在中，，，與相交于點(diǎn)，則.19．如圖，在矩形中，E、F分別為邊的中點(diǎn)，與分別交于點(diǎn)P、Q．已知，，則的長(zhǎng)為．20．如圖，在中，，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，若點(diǎn)F在線段上，且，則的度數(shù)為．三、解答題21．如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，求證：．

22．如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別在，的延長(zhǎng)線上，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）求的度數(shù)；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接交于點(diǎn)H．依題意補(bǔ)全圖形，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，，，，，求的長(zhǎng)．

24．如圖，是的中線，為上任意一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于，連接并延長(zhǎng)，交于，連接求證：．25．如圖，已知菱形中，，E，F(xiàn)分別在邊，上，是等邊三角形，對(duì)角線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在上，且．（1）求證：；（2）若，，求的值．參考答案1．B【分析】過點(diǎn)D作交于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到計(jì)算即可.解：過點(diǎn)D作交于H,

則，，∵,∴,故選:.【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2．C【分析】如圖所示，過點(diǎn)D作于H，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則，再證明，由平行線分線段成比例定理得到，由此即可推出．解：如圖所示，過點(diǎn)D作于H，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，即，∴，∴，即：，∵，∴，即：．故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，三線合一定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】如圖作，交于N，交于M．設(shè)，則，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可；解：如圖，作，交于N，交于M．∵四邊形是正方形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∵，設(shè)，則∵，∴，∴∴∵∴故選：C【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．4．C【分析】過點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，利用平行線分線段成比例定理求出，，進(jìn)而可得答案．解：如圖，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)G．∵，，∴，，∵，∴，，∴，，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查平行線分線段成比例定理，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】連接、，并延長(zhǎng)，分別交于一點(diǎn)，連接、，由題意易得，，，，進(jìn)而可求解．解：連接、，并延長(zhǎng)，分別交于一點(diǎn)，連接、，如圖所示：∵是的重心，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴，，∴，，又∵分別是和的重心，∴，∴，，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】連接，由題意可知為的中位線，即可得到，，，利用勾股定理可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即可獲得答案．解：連接，如下圖，∵，分別為邊，上的中線，，，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，且，，∵，∴，∵，∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形中線、中位線、勾股定理以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．7．B【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可證明，當(dāng)時(shí)，有最小值，再由即可求解．解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，如下圖：由題意可得：，是的中點(diǎn)，∵為等邊三角形，∴∵，，∴，∴，，∴點(diǎn)的軌跡為直線，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，∵是的中點(diǎn)，∴，故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定即性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】作交于，根據(jù)是中點(diǎn)可得,根據(jù)平行線分線段成比例可得,有已知條件可得,進(jìn)而可得．解：作交于，是的中線，，，，，，，，．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】如圖所示，過點(diǎn)M作于H，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，則，再證明，由平行線分線段成比例定理得到，由此即可推出．解：如圖所示，過點(diǎn)M作于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴，即，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，三線合一定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．證明，得出，求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得出，代入求出結(jié)果即可．解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，求出．11．【分析】作交AB于點(diǎn)K，由平行線分線段成比例定理可證，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．解：作交AB于點(diǎn)K，

∴，．∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．12．【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證明，設(shè)，則，，再根據(jù)的面積等于10列方程，及勾股定理即可．解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

，，，在中，，，，，，，，，，解得：在中，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化思想方法是本題的關(guān)鍵．13．1.2【分析】過D點(diǎn)作交于G點(diǎn)，如圖，利用得到，則，所以，再利用得到，然后利用比例的性質(zhì)求．解：過D點(diǎn)作交于G點(diǎn)，如圖，

∵是的中線，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為1.2．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．作為解題的關(guān)鍵．14．/【分析】延長(zhǎng)、交于M，利用即可求出，再由，即可得到，最后證明即可．解：延長(zhǎng)、交于M，連接∵∴，∵，，∴∴，∵E為中點(diǎn)，∴∴∵∴∴∴∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線作出輔助線．15．【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，由，得出，又是的平分線，結(jié)合，得到，即可求解本題．解：作于點(diǎn)G，∵，∴，∴，∵，∴，又是的平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等及等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是直角邊的倍，熟練掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．/【分析】過點(diǎn)D作，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，根據(jù)已知，得，所以得，，即．解：如圖，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．17．7.5【分析】過C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由平行線分線段成比例定理，得到，設(shè)，用勾股定理建立方程求解即可．解：如圖，過C作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，所以，，因?yàn)榈钠椒志€交于點(diǎn)D，且，所以，，所以，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，解得（舍去），所以，故答案為：7.5．【點(diǎn)撥】本題考查平行線分線段成比例定理，勾股定理，角平分線的意義，構(gòu)造平行線利用平行線分線段成比例定理，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先過E作，交于G，再作交于H，由平行線分線段成比例定理的推論，再結(jié)合已知條件，可分別求出和的值，相加即可．解：作交于，作交于，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線分線段成比例定理．19．【分析】延長(zhǎng)交于T，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行得比例線段，求出的長(zhǎng)．解：延長(zhǎng)交于T，如圖，∵四邊形是矩形，，，∴，∵F為中點(diǎn)，∴，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．20．/66度【分析】延長(zhǎng)交于G，先由中點(diǎn)定義，，中位線性質(zhì)得，根據(jù)平行線分線段成比例，得到，又因從而由線段垂直平分線性質(zhì)得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，即可由三角形內(nèi)角和定理求解．解：延長(zhǎng)交于G，∵點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn).∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形中位線定理，平行線分線段成比例，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，延長(zhǎng)延長(zhǎng)交于G，證明是線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．21．見分析【分析】首先證明四邊形平行四邊形，易得，；然后根據(jù)“平行線分線段成比例定理”證明即可．解：證明：過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，

又∵，∴四邊形平行四邊形∴，，∴，∴；由，得，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．22．（1）；（2）補(bǔ)全圖形見分析；；證明見分析【分析】（1）證明得出，再利用三角形外角的性質(zhì)得出；（2）先根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，在上截取，連接，，證明，得出，，再證明，最后利用平行線分線段成比例定理得出．解：（1）∵是等邊三角形，∴，．∴．∵，∴．∴．∵，∴．即．（2）補(bǔ)全圖形，如下圖：猜想，理由如下：在上截取，連接，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴．即．∴．∴．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．3【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)．由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，由等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，由平行線等分線段定理可得，再結(jié)合可得，最后將代入即可解答．解：證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

，；又，，

，

．，

．又，

．．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線等分線段定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行線等分線段定理是解答本題的關(guān)鍵．24．見分析【分析】延長(zhǎng)到，使，連接、，由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形是平行四邊形，于是，即，再根據(jù)平行線分線段成比例定理1的推論得出，同理，等量代換得到，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理2即可證明．解：證明：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接、．是的中線，，，四邊形是平行四邊形，，即，，同理，，．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理：（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）定理2：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）定理3：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．25．（1）見詳解；（2）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定先證明是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得證