-2-空間向量與立體幾何一輪復(fù)習(xí)解答題專練1．（25-26高二上·天津·月考）如圖，在直三棱柱中，，為中點，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的大??；(3)點在線段上，且，求到平面的距離.2．（2025·甘肅武威·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面，且，，，，.(1)證明：平面；(2)若，四棱錐的各個頂點均在球的表面上，求球的表面積；(3)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.3．（25-26高二上·廣東茂名·期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，，.(1)求平面與平面夾角的余弦值；(2)在線段上是否存在點，使得點到平面的距離是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4．（25-26高二上·山東淄博·期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD．是等腰三角形，且．在梯形ABCD中，，，，，．(1)求證：平面PCD；(2)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值；(3)棱BC上是否存在點Q到平面PBA的距離為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．5．（25-26高二上·福建福州·期中）如圖，已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面都是菱形，，.(1)證明：；(2)求的長；(3)線段上是否存在一點，使得二面角的正弦值為，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.參考答案1．解：（1）由直三棱柱性質(zhì)可得平面，又、平面，則，，又，故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則、、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，令，則，，，即、，則，故，故平面平面；（2），平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，故，即直線與平面所成角的大小為；（3）由，則，則，又平面的法向量為，則到平面的距離.2.解：（1）延長，交于點，連接，因為平面，，平面，所以，，即，.因為為等邊三角形，所以，因為，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面，即平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，故以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）易得，又，所以，所以，，，，.設(shè)，球的半徑為，則，，，，，聯(lián)立解得，，則球的表面積為.（3）由（2）可知，設(shè)，則易得，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可取，設(shè)平面的法向量為，則，故可取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，令，則，所以，則，故平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為.3．解：（1）因為，，，所以，即，在直三棱柱中，平面，以為坐標原點，直線、、分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，易知平面的法向量為，則，設(shè)平面與平面的夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.（2）假設(shè)線段上存在點，使得點到平面的距離是，由（1）知，，設(shè)，，所以，則，由（1）知平面的法向量為，，所以點到平面的距離為，解得，

所以當(dāng)時，存在點滿足題意.4．解：（1）因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）取BC中點E，連接PE，因為，E為BC中點，所以，因為平面PBC⊥平面ABCD，且平面平面，平面，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以，過C作，交AB于F，則，所以，則，則，在中，.以D為原點，DA、DC及平面ABCD過點D的垂線分別為x，y，z軸正方向建系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面APB的法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面PBC的法向量，則，即，令，則，所以，由圖象可得平面APB與平面PBC夾角為銳二面角，所以，所以平面APB與平面PBC夾角的余弦值為.（3）假設(shè)BC上存在點Q到平面PBA的距離為，設(shè)，，所以，由（2）得，平面PBA的法向量，所以點Q到平面PBA的距離，解得或（舍），所以棱BC上存在點Q到平面PBA的距離為，且5．解：（1）易知，因為，所以，所以，故.（2）由（1）知，因為，所以，所以.（3）如圖，取的中點，連結(jié)，則，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則由得解得，