2025年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班數(shù)學(xué)競賽難點(diǎn)突破試題及答案解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______第一題設(shè)\(a,b,c\)是互不相等的正實(shí)數(shù)，且滿足\(a+b+c=1\)。證明：\(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq\frac{1}{abc}\)。第二題在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A\)的坐標(biāo)為\((0,1)\)，點(diǎn)\(B\)的坐標(biāo)為\((1,0)\)。給定一個函數(shù)\(f(x)\)，其圖像關(guān)于點(diǎn)\(A\)成中心對稱。若\(f(x)\)在區(qū)間\([0,1]\)上單調(diào)遞增，且\(f(0)=0\)，求證：\(f(1)\geq1\)。第三題設(shè)\(n\)是一個正整數(shù)，且\(n\geq3\)?？紤]一個由\(n\)個點(diǎn)構(gòu)成的集合\(S\)，這些點(diǎn)位于平面直線上，且任意兩點(diǎn)之間的距離均為整數(shù)。證明：集合\(S\)中至少存在三個點(diǎn)，它們構(gòu)成一個等腰三角形。第四題在一個有限的整數(shù)序列中，既有正整數(shù)，也有負(fù)整數(shù)。求證：該序列中必存在一個連續(xù)的整數(shù)子序列，其所有元素之和為偶數(shù)。第五題給定\(n\)個正實(shí)數(shù)\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，滿足\(a_1+a_2+\cdots+a_n=1\)。定義\(S=\sum_{1\leqi<j\leqn}a_ia_j\)。證明：\(S\leq\frac{n-1}{2(n-2)}\)。試卷答案第一題解析思路：利用倒數(shù)均值不等式，即\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}}{3}\geq\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)。由于\(a+b+c=1\)，結(jié)合調(diào)和均值與算術(shù)均值的關(guān)系，或直接利用倒數(shù)不等式變形\((\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c})(a+b+c)\geq(1+1+1)^2=9\)，從而得到\(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\geq9\)。再結(jié)合\(abc\leq(\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27}\)（由算術(shù)幾何平均不等式），得到\(\frac{1}{abc}\geq27\)。最終結(jié)合這兩式即可證明所需不等式。第二題解析思路：設(shè)\(f(x)\)的圖像上任意一點(diǎn)為\((x,f(x))\)，則其關(guān)于點(diǎn)\(A(0,1)\)的對稱點(diǎn)為\((-x,2-f(x))\)。由于對稱點(diǎn)仍在\(f(x)\)的圖像上，故有\(zhòng)(f(-x)=2-f(x)\)。特別地，當(dāng)\(x=1\)時，有\(zhòng)(f(-1)=2-f(1)\)。又因?yàn)閈(f(x)\)圖像關(guān)于點(diǎn)\(A(0,1)\)對稱，所以\(f(-1)\)關(guān)于\(A\)的對稱點(diǎn)是\(f(1)\)，該點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2-f(1))\)。由于\(f(x)\)在\([0,1]\)上單調(diào)遞增且\(f(0)=0\)，則\(f(-1)\leqf(0)=0\)。因此，\(2-f(1)\leq0\)，即\(f(1)\geq2\)。結(jié)合\(f(1)\geqf(0)=0\)，得\(f(1)\geq1\)。第三題解析思路：對\(n\)進(jìn)行歸納證明。基礎(chǔ)情況\(n=3\)顯然成立。假設(shè)對\(n=k\geq3\)成立。當(dāng)\(n=k+1\)時，考慮\(k+1\)個點(diǎn)的集合\(S\)。其任意兩點(diǎn)距離為整數(shù)。設(shè)點(diǎn)\(P\)是\(S\)中距離最小或最大的點(diǎn)（若存在多個，任取其一）。去掉\(P\)，剩余\(k\)個點(diǎn)構(gòu)成集合\(S'\)，由歸納假設(shè)，\(S'\)中存在三個點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形。分情況討論：1)若\(S'\)中的等腰三角形的頂點(diǎn)之一是\(P\)，則加上\(P\)后，該等腰三角形仍是等腰三角形。2)若\(S'\)中的等腰三角形的頂點(diǎn)都不是\(P\)，則考慮\(P\)與\(S'\)中點(diǎn)的距離。由于\(P\)是最小或最大距離點(diǎn)，\(P\)到\(S'\)中任意兩點(diǎn)的距離不可能都相等（除非所有點(diǎn)都與\(P\)距離相同，但這與\(S\)中點(diǎn)間距為整數(shù)且互不相同矛盾），因此\(P\)必與\(S'\)中的某兩點(diǎn)距離相等，構(gòu)成等腰三角形。故\(n=k+1\)時結(jié)論也成立。由歸納法，結(jié)論對所有\(zhòng)(n\geq3\)成立。第四題解析思路：使用“抽屜原理”?？紤]序列中連續(xù)的整數(shù)子序列的“奇偶和”屬性。設(shè)序列為\(a_1,a_2,\ldots,a_m\)?？紤]子序列\(zhòng)([a_1,a_2,\ldots,a_k]\)的和的奇偶性，記為\(S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k\)?？疾靄(S_0=0\)(和為0視為偶數(shù))、\(S_1,S_2,\ldots,S_m\)這\(m+1\)個數(shù)的奇偶性。若其中有兩個數(shù)的奇偶性相同，設(shè)\(S_i\)和\(S_j\)(\(i<j\))奇偶性相同，則\(S_j-S_i=a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots+a_j\)的奇偶性與\(S_i-S_0=a_1+a_2+\cdots+a_i\)相同，即偶數(shù)。因此，\(a_{i+1},a_{i+2},\ldots,a_j\)這個連續(xù)子序列的和為偶數(shù)。若\(S_0,S_1,\ldots,S_m\)全部奇偶性不同，則它們依次為偶、奇、偶、奇、...，這與\(m+1\)為奇數(shù)矛盾（因?yàn)樾蛄屑扔姓麛?shù)也有負(fù)整數(shù)，奇數(shù)個數(shù)的奇偶性不可能全相同）。因此，必然存在兩個奇偶性相同的\(S_i\)和\(S_j\)，從而存在一個和為偶數(shù)的連續(xù)子序列。第五題解析思路：利用基本不等式（均值不等式或柯西不等式）。方法一：由\(S=\sum_{1\leqi<j\leqn}a_ia_j=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2-(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)]\)。由于\(a_1+a_2+\cdots+a_n=1\)，所以\(S=\frac{1}{2}(1^2-(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2))=\frac{1}{2}(1-\sum_{i=1}^na_i^2)\)。由柯西不等式\((\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^n1^2)\geq(\sum_{i=1}^na_i)^2\)，即\(n(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)\geq1\)，所以\(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq\frac{1}{n}\)。代入\(S\)的表達(dá)式得\(S\leq\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})=\frac{n-1}{2n}\)。方法二：由柯西不等式\((\sum_{i=1}^na_i\cdot1)^2\leq(\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^n1^2)\)，即\(1^2\leqn(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)\)，得\(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq\frac{1}{n}\)。設(shè)\(t=\sum_{i=1}^na_i^2\)，則\(t\geq\frac{1}{n}\)。又\(S=\fr