2025年線性代數(shù)翻轉(zhuǎn)課堂測試試題一、選擇題（每題3分，共15分）設(shè)四階行列式D的第三行元素分別為1，-2，0，3，對應的余子式依次為5，-3，2，4，則行列式D的值為（）A.-10B.14C.-14D.10設(shè)A為3階方陣，且|A|=2，則|-2A|=（）A.-16B.-4C.4D.16向量組α?=(1,2,3)，α?=(2,4,6)，α?=(3,6,t)線性相關(guān)的充要條件是（）A.t=9B.t≠9C.t=0D.t≠0設(shè)矩陣A與B相似，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B有相同的特征向量B.A與B有相同的特征值C.A與B都可對角化D.A與B的行列式不同二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?的矩陣為（）A.$\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&4&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&2&0\2&0&0\0&0&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$二、填空題（每題3分，共15分）行列式$\begin{vmatrix}0&1&0\1&0&0\0&0&1\end{vmatrix}$的值為________。設(shè)A=$\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，則A?1=________。線性方程組$\begin{cases}x?+x?=1\2x?+2x?=2\end{cases}$的通解為________。向量空間R3中，向量α=(1,2,3)在基ε?=(1,0,0)，ε?=(0,1,0)，ε?=(0,0,1)下的坐標為________。矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2\2&4\end{pmatrix}$的非零特征值為________。三、計算題（共40分）（8分）計算n階行列式：D?=$\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$（10分）設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&2\3&2&1\end{pmatrix}$，B=$\begin{pmatrix}2&1\5&3\end{pmatrix}$，C=$\begin{pmatrix}1&3\2&0\3&1\end{pmatrix}$，解矩陣方程AXC=B。（12分）設(shè)向量組α?=(1,1,1,3)?，α?=(1,3,-5,1)?，α?=(3,1,7,9)?，α?=(1,-1,9,7)?，求：（1）向量組的秩；（2）一個極大線性無關(guān)組；（3）將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。（10分）用正交變換化二次型f(x?,x?,x?)=2x?2+3x?2+3x?2+4x?x?為標準形，并寫出所用的正交變換矩陣。四、解答題（共30分）（10分）已知線性方程組$\begin{cases}x?+x?+x?=1\x?+2x?+ax?=2\x?+4x?+a2x?=4\end{cases}$討論a為何值時，方程組無解、有唯一解、有無窮多解？在有無窮多解時求其通解。（10分）設(shè)矩陣A=$\begin{pmatrix}2&0&0\0&0&1\0&1&x\end{pmatrix}$與B=$\begin{pmatrix}2&0&0\0&y&0\0&0&-1\end{pmatrix}$相似，求x,y的值，并求可逆矩陣P使得P?1AP=B。（10分）設(shè)A為n階正定矩陣，證明：（1）A?1為正定矩陣；（2）對任意正整數(shù)k，A?為正定矩陣。五、應用題（共20分）（10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品消耗A、B、C三種原料的數(shù)量如下表所示：|原料|甲|乙|丙|原料總量||---|---|---|---|---||A|2|1|3|150||B|3|2|1|120||C|1|2|2|100|假設(shè)三種產(chǎn)品的單位利潤分別為5元、4元、6元，試建立線性方程組模型求最大利潤時的產(chǎn)量（只需列出方程組，無需求解）。（10分）設(shè)某城市的人口流動模型為：每年有20%的農(nóng)村人口流入城市，10%的城市人口流入農(nóng)村。若2025年初城鄉(xiāng)人口分別為200萬和800萬，試用矩陣乘法預測2027年初的城鄉(xiāng)人口數(shù)量。六、證明題（共10分）設(shè)A為m×n矩陣，證明：r(A?A)=r(A)。參考答案及評分標準（僅教師用）一、選擇題B2.A3.A4.B5.A二、填空題-12.$\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$3.x=(1,0)?+k(-1,1)?（k∈R）4.(1,2,3)?5.5三、計算題提示：將各列加到第一列后提取公因式，答案：(a+(n-1)b)(a-b)??1提示：先求A?1和C?1，X=A?1BC?1=$\begin{pmatrix}-2&1\10&-4\-10&4\end{pmatrix}$（1）秩為2；（2）α?,α?為極大無關(guān)組；（3）α?=2α?-α?，α?=4α?-3α?標準形：2y?2+5y?2+y?2，正交矩陣Q=$\begin{pmatrix}0&1&0\\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\-\frac{1}{\sqrt{2}}&0&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$四、解答題a=1時無窮多解，通解x=(1,0,0)?+k(0,1,-1)?；a=2時無解；a≠1且a≠2時唯一解x=0,y=1，P=$\begin{pmatrix}0&1&0\1&0&1\-1&0&1\end{pmatrix}$提示：利用正定矩陣的特征值全為正數(shù)五、應用題設(shè)產(chǎn)量為x?,x?,x?，目標函數(shù)max=5x?+4x?+6x?，約束條件：$\begin{cases}2x?+x?+3x?≤150\3x?+2x?+x?≤120\x?+2x?+2x?≤100\x?,x?,x?≥0\end{cases}$人口轉(zhuǎn)移矩陣P=$\begin{pmatrix}0.8&0.1\0.2&0.9\end{pmatrix}$，2027年初人口為$\begi