第2章分式2.5可化為一元一次方程的分式方程第1課時(shí)分式方程及其解法1.(2025湖南郴州月考)下列方程中,是分式方程的是

()A.

=2

B.x2-2x=1C.

=1

D.x-2=3y

A

解析

=2的分母中含有未知數(shù),是分式方程,故選A.

分式方程的概念2.(2025湖南衡陽三中月考)已知x=2是分式方程

+

=1的解,那么實(shí)數(shù)k的值為

()A.3

B.4

C.5

D.6

D

解析把x=2代入原方程可得

-1=1,解得k=6,故選D.3.(2025湖南益陽期中)解分式方程

-

=1時(shí),經(jīng)過去分母、去括號(hào)后得到的結(jié)果是

()A.x2-x-2=1

B.x2-x+2=x2-2xC.x2-x+2=1

D.x2-x+2=x2-2

B

解析分式方程的最簡公分母為x(x-2),去分母,得x2-(x-2)=x(x-

2),去括號(hào),得x2-x+2=x2-2x.故選B.

分式方程的解法及分式方程的增根4.已知代數(shù)式

和

的值互為相反數(shù),則x的值為

()A.-1

B.1C.2

D.-2

A

解析根據(jù)題意得

+

=0,去分母,得4x+3-x=0,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得3x=-3,系數(shù)化為1,得x=-1,檢驗(yàn):當(dāng)x=-1時(shí),2x(3-x)≠

0,故x的值為-1.故選A.5.(2025湖南婁底月考)若關(guān)于x的分式方程

=

有增根,則k的值是

()A.-2B.2C.-3D.0

A

解析∵

=

,∴x=k-1,∵關(guān)于x的分式方程

=

有增根,∴x=-3,把x=-3代入x=k-1,則-3=k-1,即k=-2,故選A.6.(2024湖南中考)分式方程

=1的解為___________.

x=1

解析方程的兩邊同乘(x+1),得2=x+1,解得x=1.檢驗(yàn):當(dāng)x=1時(shí),

x+1=2≠0,∴原方程的解為x=1.7.解下列分式方程:(1)(2024廣東廣州中考)

=

.(2)(2024江蘇南通中考)

-1=

.(3)(2024陜西中考)

+

=1.解析

(1)方程兩邊同乘x(2x-5),得x=6x-15,解得x=3,檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí),x(2x-5)≠0,∴原分式方程的解為x=3.(2)方程兩邊同乘3(x+1),得3x-(3x+3)=2x,解得x=-

,檢驗(yàn):當(dāng)x=-

時(shí),3(x+1)≠0,∴原分式方程的解為x=-

.(3)方程兩邊同乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)·(x-1),解得x=-3,檢驗(yàn):當(dāng)x=-3時(shí),(x+1)(x-1)≠0,∴原分式方程的解為x=-3.8.(2025山東煙臺(tái)期中,★★☆)對于有理數(shù)a、b,定義一種新運(yùn)

算¤:a¤b=

,這里等式的右邊是有理數(shù)運(yùn)算.例如:1¤3=

=-

.方程(-2)¤x=

-3的解為

()A.x=4

B.x=5C.x=6

D.x=7

C

解析∵(-2)¤x=

-3,∴

=

-3,去分母得-1=5-3(x-4),解得x=6,檢驗(yàn):當(dāng)x=6時(shí),x-4≠0,∴x=6是原方程的根,故選C.9.(2025湖南岳陽月考,★★☆)關(guān)于x的方程

+

=2有整數(shù)解,求此時(shí)整數(shù)m的值.解析方程兩邊都乘(x-2)得,mx-1-1=2(x-2),解得x=

,∵方程

+

=2有整數(shù)解,∴2-m=±1或2-m=±2且

≠2,解得m=1或3或0或4且m≠1,∴此時(shí)整數(shù)m的值為3或0或4.10.(2025湖南邵陽期中,★★☆)已知關(guān)于x的分式方程

=2m+

.(1)若分式方程有增根,求m的值.(2)若分式方程無解,求m的值.解析

(1)去分母,得x-3=2m(x-1)+m.∵分式方程有增根,∴x-1=0,∴x=1.把x=1代入x-3=2m(x-1)+m,得1-3=2m×(1-1)+m,解得m=-2.∴m的值為-2.(2)去分母,得x-3=2m(x-1)+m,①當(dāng)分式方程有增根時(shí),此分式方程無解,即m=-2時(shí)分式方程

無解.②將上式整理,得(2m-1)x=m-3.當(dāng)2m-1=0,即m=

時(shí),分式方程無解.綜上,若分式方程無解,則m的值為-2或

.11.(2024湖南永州冷水灘期中,★★★)已知關(guān)于x的分式方程

+

=

.(1)當(dāng)a=6,b=1時(shí),求分式方程的解.(2)若a=6,求b為何值時(shí),分式方程無解.解析

(1)當(dāng)a=6,b=1時(shí),分式方程為

+

=

,兩邊同乘x(x-1)得3x-3+6x=x+1,解得x=

,檢驗(yàn):當(dāng)x=

時(shí),x(x-1)≠0,∴x=

是原分式方程的解.(2)當(dāng)a=6時(shí),分式方程為

+

=

,去分母,整理,得(9-b)x=3+b,①當(dāng)整式方程無解時(shí),9-b=0,∴b=9.②當(dāng)分式方程有增根時(shí),增根為x=0或x=1,當(dāng)x=0時(shí),(9-b)×0=3+b,∴b=-3;當(dāng)x=1時(shí),(9-b)×1=3+b,∴b=3.綜上所述,當(dāng)b=-3或3或9時(shí),原方程無解.12.【新課標(biāo)·運(yùn)算能力】(2024湖南永州期中)觀察下面的分

式方程及它們的根:若x+

=2+

,則方程的解為x=2或

;若x+

=3+

,則方程的解為x=3或

;若x+

=4+

,則方程的解為x=4或

.請你用觀察出的規(guī)律解決以下問題:(1)若x+

=6+

,則方程的解為x=_______.(2)若x+

=9

,求此方程的解.(3)若關(guān)于x的分式方程為x+

=

,求此方程的解(用含有a的代數(shù)式表示).解析

(1)x+

=6+

,則方程的解為x=6或

,經(jīng)檢驗(yàn),x=6或

是原方程的解,故答案為6或

.(2)∵x+

=9

,∴(x+1)+

=9+1+

,即(x+1)+

=10+，令t=x+1,則t+

=10+

,∵方程t+

=10+

的解為t=10或

,∴x+1=10或x+1=

,解得x=9或x=-

,經(jīng)檢驗(yàn),x=9或x=-

是原方程的解.(3)∵x+

=

,∴3x+

=

,