2025年線性代數(shù)航空航天中的控制系統(tǒng)試題一、判斷題（每題1分，共10分）描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程不唯一，但用獨立變量描述的系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)是唯一的。（√）解析：狀態(tài)方程的形式可隨狀態(tài)變量選取不同而變化，但系統(tǒng)的最小狀態(tài)空間維數(shù)（即系統(tǒng)階數(shù)）由系統(tǒng)本身動態(tài)特性決定，與變量選取無關。例如衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的3自由度模型，其狀態(tài)向量維數(shù)固定為3，不受坐標系旋轉影響。已知定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程，離散化后的狀態(tài)方程為，其中矩陣與采樣時間T無關。（×）解析：離散化矩陣中，狀態(tài)轉移矩陣指數(shù)項與采樣周期T直接相關。在無人機導航系統(tǒng)中，若采樣時間T從0.1s增大到1s，離散化矩陣會顯著變化，可能導致控制精度下降。狀態(tài)轉移矩陣總是可逆的。（√）解析：狀態(tài)轉移矩陣滿足，其逆矩陣為，對應時間反演特性。在航天器軌道推演中，可通過逆矩陣從當前軌道狀態(tài)反推歷史軌跡。線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控則輸出也一定能控。（×）解析：狀態(tài)能控性僅保證狀態(tài)可通過輸入控制，輸出能控性還需結合輸出矩陣判斷。例如某導彈自動駕駛儀，狀態(tài)能控但輸出矩陣若與不可控子空間正交，則輸出無法控制。線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是其對偶系統(tǒng)完全能觀。（√）解析：對偶原理揭示能控性與能觀性的內在聯(lián)系。衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的能控性等價于其對偶系統(tǒng)（如地面觀測系統(tǒng)）的能觀性，可通過對偶變換簡化分析。一個系統(tǒng)的平衡狀態(tài)有多個，因此系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前所處的平衡狀態(tài)無關。（×）解析：穩(wěn)定性是針對特定平衡狀態(tài)的屬性。例如航天器在地球靜止軌道和低軌道的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)不同，需分別分析李雅普諾夫函數(shù)取值。如果系統(tǒng)可控可觀，那么BIBO穩(wěn)定性等價于漸近穩(wěn)定性。（√）解析：對可控可觀系統(tǒng)，輸入輸出穩(wěn)定性（BIBO）與內部狀態(tài)穩(wěn)定性（漸近穩(wěn)定）一致。在飛機自動駕駛系統(tǒng)設計中，可通過傳遞函數(shù)極點配置同時保證兩種穩(wěn)定性。狀態(tài)反饋能改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，但不改變能控性和能觀性。（×）解析：狀態(tài)反饋不改變能控性，但可能破壞能觀性。例如某艦載機著艦系統(tǒng)，狀態(tài)反饋引入閉環(huán)零點后，可能導致部分狀態(tài)無法通過輸出觀測。完全可控的線性定常系統(tǒng)都可以通過狀態(tài)反饋設計實現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。（√）解析：鎮(zhèn)定問題僅需將閉環(huán)極點配置在復平面左半平面。對完全可控系統(tǒng)，通過極點配置定理可設計狀態(tài)反饋矩陣，例如將火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定極點移至穩(wěn)定區(qū)域。是泛函J取極值的充分必要條件。（×）解析：歐拉-拉格朗日方程是泛函極值的必要條件，而非充分條件。在航天器最優(yōu)軌道規(guī)劃中，需結合二階變分判斷極值類型。二、填空題（每題2分，共10分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為，則系統(tǒng)矩陣=-2I（其中I為單位矩陣）。解析：由狀態(tài)轉移矩陣形式，對應系統(tǒng)矩陣A的特征值為-2（三重根），故A=-2I。該模型可描述三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的角速率衰減過程。已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，則系統(tǒng)不可控不可觀測的動態(tài)方程實現(xiàn)為：狀態(tài)方程：輸出方程：解析：傳遞函數(shù)存在零極點對消（s+1），導致最小實現(xiàn)階數(shù)降為2，存在不可控或不可觀測模態(tài)。此類系統(tǒng)在無人機飛控設計中需通過卡爾曼濾波補償不可觀測狀態(tài)。已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為則系統(tǒng)中可控的狀態(tài)變量為：x?、x?，可觀的狀態(tài)變量為：x?、x?。解析：能控性矩陣秩為2，對應狀態(tài)x?、x?；能觀性矩陣秩為2，對應狀態(tài)x?、x?。在衛(wèi)星電源系統(tǒng)中，x?（電池電壓）既是可控狀態(tài)也是可觀狀態(tài)，需重點監(jiān)控。泛函的變分為∫??(2x?+3u2)dt。解析：根據(jù)變分定義展開被積函數(shù)，得歐拉-拉格朗日方程的被積項。該泛函對應航天器燃料最優(yōu)控制問題的性能指標，需極小化能量消耗?；谟^測器的狀態(tài)反饋控制器設計時的分離原理：狀態(tài)觀測器與狀態(tài)反饋控制器可獨立設計，閉環(huán)系統(tǒng)極點為觀測器極點與狀態(tài)反饋極點的并集。解析：分離原理允許先設計狀態(tài)反饋（配置期望極點），再設計觀測器（配置觀測器極點）。例如導彈制導系統(tǒng)中，可分別優(yōu)化彈道跟蹤性能和狀態(tài)估計精度。三、綜合應用題（共80分）（一）狀態(tài)空間建模與轉換（12分）已知某無人機縱向運動微分方程為：（其中y為高度，u為升降舵偏角）試求系統(tǒng)對角標準型形式的狀態(tài)空間表達式。解答：選取狀態(tài)變量：，則微分方程改寫為：系統(tǒng)矩陣A與輸入矩陣B：特征值分解：A的特征方程為，解得λ?=-1，λ?=-2。對應特征向量：，對角化變換：，對角標準型狀態(tài)方程：輸出方程：航空航天應用背景：無人機縱向運動模型通過對角化可解耦俯仰角速率與高度通道，便于獨立設計PID控制器，簡化多變量耦合問題。（二）能控性分析與分解（15分）已知某衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為：判斷系統(tǒng)是否能控；若不能控，將系統(tǒng)按能控性分解。解答：能控性矩陣：秩rank(U)=2<3，系統(tǒng)不完全能控。能控性分解：選取變換矩陣，其中前2列取自U的列向量，第3列補全正交基：變換后狀態(tài)方程：其中能控子系統(tǒng)：，不可控子系統(tǒng)：航空航天應用背景：衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)的不可控子空間對應燃料耗盡后的自由旋轉模態(tài)，需在任務規(guī)劃中預留燃料以覆蓋該模態(tài)的控制需求。（三）狀態(tài)反饋極點配置（18分）已知運載火箭末級推進系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：設計狀態(tài)反饋控制律，將閉環(huán)極點配置在；分析反饋后系統(tǒng)動態(tài)性能變化。解答：狀態(tài)空間實現(xiàn)（能控標準型）：2.期望特征多項式：3.狀態(tài)反饋律：，閉環(huán)矩陣特征多項式為：對比系數(shù)得：k?=11，k?=30，k?=24。動態(tài)性能變化：開環(huán)極點：0（積分環(huán)節(jié)）、-1、-2，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；閉環(huán)極點：-3（三重），阻尼比ζ=1（過阻尼），調節(jié)時間ts≈4/3=1.33s（5%誤差帶）。航空航天應用背景：通過極點配置將火箭推進系統(tǒng)從臨界穩(wěn)定變?yōu)檫^阻尼，可消除推力調節(jié)過程中的震蕩，確保入軌精度。（四）李雅普諾夫穩(wěn)定性分析（15分）已知航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試應用李雅普諾夫方程，求當Q＝I時的P陣，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解答：李雅普諾夫方程：設，代入方程得：解得：P矩陣正定（各階主子式>0），故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。航空航天應用背景：該系統(tǒng)對應航天器在小姿態(tài)偏差下的線性化模型，P陣的正定保證了姿態(tài)偏差會隨時間指數(shù)收斂，滿足在軌穩(wěn)定運行要求。（五）最優(yōu)控制與觀測器設計（20分）已知某空間站機械臂系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為：，，性能指標為：試求使性能指標為極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。解答：該問題為線性二次型（LQ）最優(yōu)控制，哈密頓函數(shù)：協(xié)態(tài)方程：，邊界條件最優(yōu)控制律：（其中P為黎卡提方程解）解黎卡提方程得：，故最優(yōu)軌線：解閉環(huán)系統(tǒng)方程得航空航天應用背景：LQ最優(yōu)控制可使機械臂在最小能量消耗下完成載荷轉移，P陣的解對應最優(yōu)狀態(tài)反饋增益，確保運動過程平滑無超調。四、線性代數(shù)在航空航天控制中的核心應用總結矩陣理論：狀態(tài)空間模型的建立依賴矩陣運算，特征值分解（如模態(tài)解耦）、QR分解（如最小二乘估計）在系統(tǒng)分析中廣泛應用。線性方程組求解：卡爾曼濾波中的Riccati方程、觀測器設計中的矩陣方程求解，均需高效數(shù)值線性代數(shù)算法。向量空間理論：能控性/能觀性判