2025年線性代數(shù)全球治理中的合作博弈試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）在全球氣候治理合作中，假設(shè)發(fā)達(dá)國家與發(fā)展中國家的減排策略構(gòu)成一個(gè)2×2矩陣博弈，其支付矩陣如下表所示（行代表發(fā)達(dá)國家策略，列代表發(fā)展中國家策略）：策略組合發(fā)展中國家減排發(fā)展中國家不減排發(fā)達(dá)國家減排(8,6)(3,9)發(fā)達(dá)國家不減排(10,2)(5,4)若雙方均采用風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避策略（最大最小化原則），則最終的均衡結(jié)果是：A.(減排,減排)B.(減排,不減排)C.(不減排,減排)D.(不減排,不減排)設(shè)某國際組織由5個(gè)成員國構(gòu)成，其投票權(quán)分配向量為v=(3,2,2,1,1)，按照加權(quán)投票規(guī)則，通過提案需獲得至少6票的支持。若定義特征函數(shù)v(S)為聯(lián)盟S的獲勝狀態(tài)（1表示獲勝，0表示失敗），則最小獲勝聯(lián)盟的數(shù)量為：A.3B.4C.5D.6在全球公共衛(wèi)生資源分配模型中，設(shè)三個(gè)國家的需求向量分別為a?=(5,3,2)，a?=(4,4,1)，a?=(3,5,3)（分量分別代表疫苗、藥品、防護(hù)物資），若資源總量向量為b=(12,12,6)，則該分配問題有解的充要條件是：A.存在非負(fù)矩陣X使得X(a?,a?,a?)^T=bB.a?,a?,a?線性無關(guān)且b可由其線性表示C.b的每個(gè)分量不超過對應(yīng)需求分量之和且非負(fù)D.需求向量構(gòu)成的矩陣秩等于增廣矩陣[a?,a?,a?|b]的秩某跨國污染治理博弈中，兩個(gè)國家的策略集均為{治理,不治理}，其支付矩陣的納什均衡解為(不治理,不治理)。若引入第三方監(jiān)督機(jī)制，使得雙方選擇(治理,治理)時(shí)的收益增加k，則k的最小值應(yīng)為（原支付矩陣如下表）：策略組合國家B治理國家B不治理國家A治理(5,5)(1,7)國家A不治理(7,1)(2,2)A.1B.2C.3D.4設(shè)G20成員國的經(jīng)濟(jì)影響力可用3階實(shí)對稱矩陣A表示，其特征值為λ?=50（對應(yīng)特征向量u?，代表北美經(jīng)濟(jì)體），λ?=30（對應(yīng)特征向量u?，代表歐洲經(jīng)濟(jì)體），λ?=20（對應(yīng)特征向量u?，代表亞洲經(jīng)濟(jì)體）。若采用正交變換將A對角化，則變換后的矩陣主對角線元素之和為：A.50B.80C.100D.無法確定二、填空題（每題4分，共20分）在全球貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)中，5個(gè)國家的進(jìn)出口關(guān)系可用有向圖表示，其鄰接矩陣M滿足M??=1表示國家i向國家j出口商品，否則為0。若M2的第2行第3列元素為2，則說明______。難民分配問題中，3個(gè)接收國的容量向量為c=(100,150,200)，4個(gè)來源國的難民數(shù)量向量為r=(80,120,130,120)，則該問題可行解存在的必要條件是______，當(dāng)該條件滿足時(shí)，用運(yùn)輸問題模型求解需引入______個(gè)松弛變量。設(shè)某國際組織的投票系統(tǒng)為加權(quán)多數(shù)制，其Banzhaf權(quán)力指數(shù)計(jì)算中，成員國A在20個(gè)獲勝聯(lián)盟中為關(guān)鍵成員，則A的權(quán)力指數(shù)為______。氣候變化談判中，10個(gè)國家的減排承諾向量構(gòu)成的向量組S={v?,v?,...,v??}，若該向量組的秩為3，則說明這些承諾中存在______個(gè)線性無關(guān)的"核心承諾"，其余承諾可表示為它們的______?？鐕炯夹g(shù)共享博弈中，三家公司的策略集均為{共享,不共享}，若該博弈存在純策略納什均衡，則其支付矩陣需滿足______（用不等式描述，設(shè)u???為公司1選i、公司2選j、公司3選k時(shí)的收益）。三、計(jì)算題（每題10分，共50分）全球疫苗分配模型已知甲、乙、丙三國的疫苗需求向量分別為d?=(400萬劑,600萬劑)（滅活疫苗、mRNA疫苗），d?=(300萬劑,500萬劑)，d?=(200萬劑,400萬劑)?，F(xiàn)有A、B兩個(gè)生產(chǎn)國，產(chǎn)能矩陣為C=[\begin{pmatrix}800&1000\600&800\end{pmatrix}]（行代表A、B國，列代表滅活、mRNA疫苗）。（1）建立線性方程組判斷該分配問題是否有解；（2）若存在解，求出所有可能的分配方案（用參數(shù)表示）。聯(lián)合國安理會(huì)投票博弈安理會(huì)由5個(gè)常任理事國（P5）和10個(gè)非常任理事國組成，決議通過需獲得9票且無常任理事國否決（即每個(gè)常任理事國擁有否決權(quán)）。（1）寫出該博弈的特征函數(shù)v(S)（S為成員國子集）；（2）計(jì)算任一常任理事國的Shapley值（保留3位小數(shù)）。碳關(guān)稅博弈的納什均衡兩個(gè)國家的碳關(guān)稅博弈支付矩陣如下表（單位：十億美元）：國家B策略低關(guān)稅高關(guān)稅國家A低關(guān)稅(12,12)(5,15)國家A高關(guān)稅(15,5)(8,8)（1）找出所有純策略納什均衡；（2）若雙方采用混合策略（國家A以p概率選低關(guān)稅，國家B以q概率選低關(guān)稅），求混合策略納什均衡。國際援助網(wǎng)絡(luò)的矩陣運(yùn)算某國際組織對4個(gè)受援國的援助金額（單位：百萬美元）矩陣為A=[\begin{pmatrix}2&1&0&3\1&4&2&1\3&0&5&2\end{pmatrix}]（行代表農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、教育領(lǐng)域，列代表甲、乙、丙、丁國）。（1）計(jì)算A^TA并解釋其(i,j)元素的經(jīng)濟(jì)意義；（2）若援助效果向量b=(10,15,20)，求最小二乘意義下的最優(yōu)分配系數(shù)向量x（即最小化||Ax-b||2）。區(qū)域貨幣合作的特征值分析三個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)聯(lián)動(dòng)矩陣為M=[\begin{pmatrix}0.8&0.1&0.1\0.2&0.7&0.1\0.1&0.3&0.6\end{pmatrix}]（M??表示國家i對國家j的經(jīng)濟(jì)影響系數(shù)）。（1）求M的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量；（2）解釋該特征向量的經(jīng)濟(jì)含義。四、證明題（15分）設(shè)n個(gè)國家參與某全球公共產(chǎn)品供給博弈，每個(gè)國家的策略為供給量x?∈[0,X]，收益函數(shù)為u?(x?,...,x?)=a(Σx?)-x?，其中a>0為公共產(chǎn)品邊際收益系數(shù)。證明：（1）該博弈存在唯一的納什均衡；（2）當(dāng)n→∞時(shí)，納什均衡結(jié)果趨向于帕累托無效。五、案例分析題（20分）背景：2025年全球芯片供應(yīng)鏈危機(jī)中，中美歐三方就半導(dǎo)體技術(shù)共享展開博弈。三方策略集均為{開放技術(shù),技術(shù)封鎖}，支付矩陣如下（單位：技術(shù)收益指數(shù)）：美國策略中國開放中國封鎖開放(8,8,6)(3,10,5)封鎖(10,3,5)(5,5,4)（注：支付向量(u?,u?,u?)分別對應(yīng)美國、中國、歐盟收益）問題：（1）找出該三人博弈的所有純策略納什均衡；（2）若歐盟引入"技術(shù)仲裁機(jī)制"，使得任何一方單獨(dú)封鎖時(shí)需支付2單位違約金，重新分析均衡結(jié)果；（3）用合作博弈的核心(Core)概念說明三方能否達(dá)成穩(wěn)定的技術(shù)共享聯(lián)盟，并給出聯(lián)盟分配方案。六、編程與建模題（20分）任務(wù)：建立"一帶一路"國家基礎(chǔ)設(shè)施投資的合作博弈模型數(shù)據(jù)：6個(gè)參與國的初始資本向量k=(50,40,30,60,20,45)（單位：億美元），項(xiàng)目收益矩陣R（i行j列表示國家i投資項(xiàng)目j的收益率）：[\mathbf{R}=\begin{pmatrix}0.12&0.08&0.15&0.05\0.09&0.11&0.07&0.13\0.14&0.06&0.10&0.09\0.08&0.12&0.11&0.07\0.10&0.09&0.08&0.12\0.07&0.13&0.09&0.